Đề thi HSG lớp 10, bạc liêu, năm học 2010 – 2011 file word có lời giải

ĐỀ SỐ 05
(Đề thi HSG lớp 10, Bạc Liêu, năm học 2010 – 2011)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. (4 điểm)
Hãy tìm tất cả các số để khi thêm vào tích sau ta được một số chia hết cho 2011.
A   20112  1

2010

.2010 2011

Câu 2. (4 điểm)
�x  1 �

Tìm tất cả các hàm số f  x  xác định trên � thỏa mãn f  x   f � � x  1 , với mọi
�x �
x �0, x �1 .
Câu 3. (4 điểm)
Giải phương trình: 3x 2  8 x  67  8 4 4 x  4  0 .
Câu 4. (4 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:
a3
b3
c3
 2
 2
 1.
2
2
a  ab  b
b  bc  c

c  ca  a 2
2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S  a  b  c .
Câu 5. (4 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn  C  có tâm O và bán kính R. Chứng minh:
M � C  � MA2  MB 2  MC 2  2 BC 2 .

– Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word mới nhất


ĐỀ SỐ 05
Câu 1.

 20112  1
Ta có: A  �
�

2010

 20102010 �
.20102011   20104021  1  1
�

Hay A  M  N  1 với
2010
M �
.20102011  2011.E M2011
 20112  1  20102010 �
�

�

N   20104021  1  2011.F M2011

Vậy thêm 2011k  1 (k nguyên) vào thì A chia hết cho 2011.
Câu 2.
�x  1 �

Theo đề bài, ta có: f  x   f � � x  1 (1)
�x �
Đặt t 

x 1
1
�x
x
1 t
t 2

�1 �

, t �1 (2)
Khi đó: (1) � f � � f  t  
1 t �
t 1
�

Đặt

1

x 1
t 1

�x
1 t
x
t
�t  1 �

� 1 � 2t  1
, t �0, t �1 (3)
t

Khi đó:  1 � f � � f � �
1 t �
�t � �

Cộng vế theo vế phương trình (2) và (3), ta được:
2t  1 t  2
�1 �
2 f � �  t  1 

, t �0, t �1
1 t �
t
t 1
�
1 1�
�1 � 1 �
� f � � �

2t 
 �
, t �0, t �1
1 t � 2 �
1 t t �
�
1� 1
1 �
� f  x   �x  
, t �0, t �1
�
2 � x 1 x �
1�

1

1 �

Thử lại, ta thấy f  x   �x  
�, thỏa mãn điều kiện đề bài.
2 � x 1 x �
Câu 3.
Điều kiện: x �1
Đặt t  4 4 x  4  t �0  � x 

t 4  4 2 t 8  8t 4  16
,x 
4
16

Phương trình đã cho trở thành: 3t 8  8t 4  128t  1152  0

– Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word mới nhất


�  t  2   3t 7  6t 6  12t 5  24t 4  56t 3  112t 2  224t  576   0
� t  2 (vì t �0 ).

Với t  2 , ta có

4

4x  4  2 � x  3 .

Câu 4.
3
a  ab  b 2 
ab  a  b 
ab  a  b 
a
Ta có: 2
a 2
a 2
�a 
2
2
2
a  ab  b
a  ab  b
a  ab  b

3ab



a3
a 2  ab  b 2



a

ab
(1)
3

Tương tự, ta có:
b3
bc
�b 
(2)
2
b  bc  c
3
2

c3
ca
�c 
(3)
c 2  ca  a 2

3

Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta được:
a3
b3
c3
abc


�
2
2
2
2
2
2
a  ab  b
b  bc  c
c  ca  a
3


 S

3, S

3 khi a  b  c  1 .

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức S là 3.
Câu 5.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC, ta có:

BC 2
 4 R 2 � 2 BC 2  6 R 2
sin 2 A

Khi đó:
uuuur uuu
r 2 uuuu
r uuur 2 uuuu
r uuur
MA2  MB 2  MC 2  2 BC 2 � OM  OA  MO  OB  MO  OC



 

 



2

 6R 2

uuuu
r2
uuuu
r uuu
r uuur uuur

� 3MO  2MO OA  OB  OC  3R 2





uuu
r uuur uuur r
� OM  R (do OA  OB  OC  0 ) � M � C  .

– Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word mới nhất