LƯỢNG GIÁC một số CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

0


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
§3. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Công thức cộng:
sin(a+ b) = sin a.cosb + sin b.cosa
sin(a- b) = sin a.cosb- sin b.cos a
cos(a+ b) = cos a.cos b - sin a.sin b
cos(a- b) = cos a.cosb+ sin a.sin b
tan a+ tan b
tan(a+ b) =
1- tan a.tan b
tan a- tan b
tan(a- b) =
1+ tan a.tan b
2. Công thức nhân đôi, hạ bậc:
a) Công thức nhân đôi.
sin 2a = 2sin a.cosa

cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1- 2sin2 a
tan2a =
b) Công thức hạ bậc.

2tan a
1- tan2 a

1- cos2a

2
1+ cos2a
cos2 a =
2
1- cos2a
tan2 a =
1+ cos2a
3. Công thức biến đổi tích thành tổng.
1
cos acos b= �
cos(a+ b) + cos(a- b)�
�
2�
1
sin asin b=- �
cos(a+ b)- cos(a- b)�
�
2�
1
sin acos b= �
sin(a+ b) + sin(a- b)�
�
2�
4. Công thức biển đổi tổng thành tích.
sin2 a =

1


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

cos a+ cos b = 2cos

a+ b
a- b
.cos
2
2

cos a- cosb = - 2sin

tan a+ tan b =

a+ b
a- b
.sin
2
2

sin(a+ b)
cos a.cos b

tan a- tan b =

sin(a- b)
cos a.cos b

sin a+ sin b = 2sin

a+ b
a- b

.cos
2
2

cot a+ cot b =

sin(a+ b)
sin a.sin b

sin a- sin b = 2cos

a+ b
a- b
.sin
2
2

cot a- cot b =

sin(b- a)
sin a.sin b

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG
GIÁC.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức
lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và
đưa về giá trị lượng giác đặc biệt.
2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: a)Tính giá trị lượng giác sau: cos7950 .
A.

6- 2
4

B.

6+ 2
4

C.

6
4

D.

2
4

C.

5- 1
3

D.

5- 1
4

b)Tính giá trị lượng giác sau: sin180
A.

5- 1
2

B.

5- 2
2

c)Tính các giá trị lượng giác sau: tan
A. - 2-

3

B. - 2+ 3

7p
12
C. 2-

3

D. - 2- 2 3

2

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
d)Tính các giá trị lượng giác sau: cot
A. 1-

2

B. 3-

5p
8
C. 2-

2

D. 1- 2 2

2

Lời giải:
a)Vì 7950 = 750 + 2.3600 = 300 + 450 + 2.3600 nên
cos7950 = cos750 = cos300 cos450 - sin300 sin450 =

3 2 1 2
6- 2
.
- .
=
2 2 2 2
4

b)Vì 540 + 360 = 900 nên sin 540 = cos360
0
0
2
0
Mà cos36 = cos( 2.18 ) = 1- 2sin 18

sin 540 = sin( 180 + 360) = sin180 cos360 + sin360 cos180
= sin180.( 1- 2sin2 180) + 2sin180 cos2 180 = sin180.( 1- 2sin2 180 ) + 2sin180 ( 1- sin2 180 )
= 3sin180 - 4sin3 180
0
3
0
2
0
0
2
0
0
Do đó 3sin18 - 4sin 18 = 1- 2sin 18 � ( sin18 - 1)( 4sin 18 + 2sin18 - 1) = 0

� sin180 = 1 hoặc sin180 =

5- 1
5 +1
hoặc sin180 =
2
2

Vì 0 < sin180 < 1 nên sin180 =

5- 1
.
2

p
p
tan + tan
�
�
7p
p
p
3
4 = 3 +1 =- 2= tan�
+ �
=
�
c) tan
�
�
�
p
p 1- 3
12
3 4�
�
1- tan tan
3
4

d) cot

3

�
5p
p p�
p
= cot�
+ �
=- tan
�
�
�
�
8
2 8�
8
�

3


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
p
� p�
� 2tan 8
p
2. �
=

Ta lại có 1= tan = tan�
suy ra
�
� 8�
4
�
�
2p
1- tan
8
1- tan2
� tan

p
p
p
p
= 2tan � tan2 + 2tan - 1= 0
8
8
8
8

p
=- 18

Do tan

2 hoặc tan

p
=- 1+ 2
8

p
p
> 0 nên tan =- 1+ 2
8
8

Vậy cot

5p
= 18

2

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
a) A = sin22030'cos202030'
A. -

2
4

b) B = 4sin4

A.

B. -

2
5

2
3

D-

3+ 2
4

D.

C. -

3 2
4

p
p
+ 2cos
16
8

6+ 2
4

B.

5+ 2

4

C.

6-

2
4

p
2p
sin - sin
5
15
c) C =
p
2p
cos - cos
5
15
A. -

3

B.

3

C. - 3 3

D. - 2 3

p
5p
7p
d) D = sin - sin + sin
9
9
9

4


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A.0

B.

C. - 3 3

3

D. - 2 3

Lời giải:
0
0
0
0
a) Cách 1: Ta có cos202 30' = cos( 180 + 22 30') =- cos22 30'

Do đó A =- sin22030'cos22030' =-

1
2
sin450 =2
4

1
1
sin( 22030'+ 202030') + sin ( 22030'- 202030') �
= �
sin2250 + sin ( - 1800 ) �
Cách 2: A = �
�
�
�
� 2�
�
�
2�
1
1
2
= �
sin( 1800 + 450 ) - sin1800 �
=- sin450 =�
�
� 2
2�

4
2
2
�
�
� 2 p�
�
�
p
p
�
�+ 2cos p
b) B = �
2sin
1- cos�
2. �
�+ 2cos = �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
16�
8 �
8
�

� 16�
�

p
p
p
= 1- 2cos + cos2 + 2cos = 1+
8
8
8

p
2
1+
4 = 1+
2 = 6+ 2
2
2
4

1+ cos

� 1�
1�
p 2p �
p
p
2p
2cos �
+ �

sin �
�
�
sin - sin
�5
2�
�5 15�
� 2�
5
15
=
c) C =
� 1�
p
2p
1�
p 2p �
p
cos - cos
- 2sin �
+ �
sin �
�
�
�
�5 15� 2�
�
5
15
2�

5

�
2p �
p
�
cos
�
15�
6 =- cot p ==�
p
6
2p �
� sin
�
6
15 �

3

� p
7p �
5p
4p
p
5p
4p
5p
sin + sin �
- sin

= 2sin .cos - sin
= sin - sin
=0
�
d) D = �
�
�
� 9
9�
9
9
3
9
9
9
�
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
a) A =

1
1
+
0
cos290
3sin2500

A.

4 3
3

B.

3
2

C.

2 3
3

D.

3
3

5


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
0
0
b) B= ( 1+ tan20 )( 1+ tan25 )

A.2

B.1

C.3

D.5

C.3

D.5

1
2

D.5

c) C = tan90 - tan270 - tan630 + tan810
A.2
d) D = sin2

B.4
p
2p
p
2p
+ sin2
+ sin sin
9
9
9
9

A.2

B.

3
4

C.
Lời giải:

0
0
0
0
0
0
0
a) Ta có cos290 = cos( 180 + 90 + 20 ) =- cos( 90 + 20 ) = sin20

sin2500 = sin( 1800 + 900 - 200) =- sin ( 900 - 200 ) =- cos200

C=

1
sin200

=4

3
1
cos200 - sin200
1
3sin20 - sin20

2
=
=4 2
0
0
0
0
3cos20
3sin20 .cos20
3.2.sin20 .cos200
0

sin600 cos200 - cos600 sin200
3sin400

0

=

4sin400

4 3
=
3
3sin 400

� sin200 �
�
� sin250 �
� sin200 + cos200 sin250 + cos250

�
�
�
1
+
1
+
=
.
�
�
b) Cách 1: Ta có B = �
0�
�
�
�
�
� cos250 �
cos200
cos250
� cos20 �
�
�
�
= 2.

=2

sin200 cos450 + cos200 sin450
sin250 cos450 + cos250 sin 450

.
2.
cos200
cos250

sin650 sin700
=2
cos200 cos250

6


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Cách 2: Ta có tan 450 = tan( 200 + 500 ) =

Suy ra 1=

tan 200 + tan250
1- tan200 tan250

tan200 + tan250
� tan200 + tan250 + tan200 tan250 = 1
0
0
1- tan20 tan25

� ( 1+ tan200) ( 1+ tan250) = 2 .
Vậy B= 2
0
0

0
0
c) C = tan9 + tan81 - ( tan27 + tan63 )

=

sin90 cos810 + sin810 cos90 sin270 cos630 + sin630 cos270
cos90 cos810
cos270 cos630

2( sin540 - sin180)
1
1
2
2
=
=
=
cos90 sin90 cos270 sin270 sin180 sin540
sin180 sin540
=

4cos360.sin180
=4
sin180.sin540
2

d) D = sin2

p

2p
p
2p �
p
2p �
p
2p
+ sin2
+ sin sin
=�
sin + sin �
�- sin sin
�
�
�
9
9
9
9 � 9
9�
9
9

2
�
�
�
p
p�
1� p

p�
1�
1
p�
2 p
�
�
=�
2sin cos �+ �
cos - cos �
=
cos
+
cos
�
�
�
�
�
�
� 3
�
6
18�
9�
18 2�
2
9�
�
� 2�

�
p
1+ cos
1
p� 3
9 + 1�
�
=
- cos �
=
�
�
2
2�
2
9�
�
� 4

Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên được sử dụng
�
�
1
3
p
�
= 2sin(x � )
 sin x � 3cos x = 2�sin x � cos x�
�
2

2
3
�
�

7


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
�3
�
1
p
�
= 2sin(x � )
 3sin x �cos x = 2� sin x � cos x�
�
2
6
�2
�
�1
�
1
p
sin x � cos x�
= 2sin(x � ) .
 sin x �cos x = 2 �
�2
�

4
2
�
�
Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
a) A = sin

A.

p
p
p
p
cos .cos .cos
32
32
16
8

3 2
16

B.

3
16

12
16

C.

D.

2
16

b) B= sin10o.sin30o.sin50o.sin70o
A.

1
16

B.

3
4

C.

1
2

D.5

B.

3
4

C.

1
2

D.5

C.

5
4

D.5

p
3p
c) C = cos + cos
5
5
A.2

d) D = cos2

A.2

p
2p
3p
+ cos2
+ cos2

7
7
7
B.

3
4

Lời giải:
a)
1�
p
p�
p
p 1
p
p
p 1
p
p 1
p
2
A= �
2sin cos �
.cos .cos = sin .cos .cos = sin .cos = sin =
�
�
�
�
2�

32
32� 16
8 2
16
16
8 4
8
8 8
4 16
1
b) Ta có B= cos200 cos400 cos80o do đó
2

8


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
16sin200.B= 8sin200 cos200 cos400 cos80o
= 4sin400 cos400 cos80o
= 2sin800 cos800 = sin1600
sin1600
1
= .
0
16
16sin20

Suy ra B=

p

2p
p
c) Ta có C = 2cos cos . Vì sin �0 nên
5
5
5
p
p
p
2p
2p
2p
4p
2sin .C = 4sin cos cos = 2sin cos = sin
5
5
5
5
5
5
5
Suy ra C =

c) D =

1
2

2p
4p

6p
1+ cos
1+ cos
2p
4p
6p �
7 +
7 +
7 = 3 + 1�
�
cos + cos + cos �
�
�
� 7
2
2
2
2 2�
7
7�
�

1+ cos

Xét T = cos

2p
4p
6p
p

+ cos + cos , vì sin �0 nên
7
7
7
7

p
p
2p
p
4p
p
6p
2sin T = 2sin cos + 2sin cos + 2sin cos
7
7
7
7
7
7
7
� 3p
�
�
�
�
p
5
p
3

p
5p �
=�
sin - sin �
+�
sin - sin �
+�
sin p - sin �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 7
�
7� �
7��
7�
� 7
p
=- sin
7
Suy ra T =-

1

.
2

3 1 � 1�
5
- �
= .
�
Vậy D = + .�
�
�
�
2 2 � 2� 4

9


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2
6
Ví dụ 5: Cho a ,b thoả mãn sin a + sin b =
và cosa + cos b =
.
2
2
a) Tính cos( a - b) .
A.0

B.

3
4

C.

5
4

D.5

B.

3
4

C.

5
4

D.

b) Tính sin( a + b) .

A.2

3
2

Lời giải:

 Ta có sin a + sin b =
cosa + cos b =

2
1
� sin2 a + sin2 b + 2sin a sin b = (1)
2
2

6
3
� cos2 a + cos2 b + 2cosa cosb = (2)
2
2

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được
sin2 a + sin2 b + cos2 a + cos2 b + 2sin a sin b + 2cosa cosb = 2
� 2+ 2( sin a sin b + cosa cosb) = 2 � 2cos( a - b) = 0
Vậy cos( a - b) = 0
 Từ giả thiết ta có ( sin a + sin b) ( cosa + cosb) =
� sin a cosa + sin a cos b + sin b cosa + sin b cosb =
�

2 6
.
2 2

3
2

1
3
( sin 2a + sin2b) + sin( a + b) =
2
2

Mặt khác sin 2a + sin2b = 2sin( a + b) cos( a - b) = 0 (Do cos( a - b) = 0 )

10


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Suy ra sin( a + b) =

3
2

3. Bài tập rèn luyện.
Bài 6.26: a)Tính giá trị lượng giác sau sin

A.

1- 2
2

B.

2- 2
2

b) Tính giá trị lượng giác sau sin

A.

2- 2 2+ 2
2

B.

2-

A. - 2-

3

C.

3- 2
2

D.

2- 2 2
2

C.

2+ 2+ 2
7

D.

2-

p
16

2+ 2
3

c) Tính giá trị lượng giác sau cot

p
8

2+ 2
2

11p
12

B. - 2+ 3

C. 2-

3

D. - 2- 2 3

Lời giải:

Bài 6.26: Sử dụng công thức hạ bậc ta tính được

2sin2

p
p 2- 2
p
2- 2
= 1- cos =
� sin =
8
4
2
8
2

2sin2

p
p
= 1- cos = 116
8

2+ 2
p
2� sin =
2
16

2+ 2

2

p
p
1+ tan tan
�
�
11p
p
p p�
3
4 =- 1+ 3 =- 2cot
=- cot =- cot�
- �
=�
�
�
p
p
12
12
3 4�
�
3- 1
tan - tan
3
4

3

11


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau:
a) A = 4sin450 cos120 cos30 - sin540 - sin 360
A.

1+ 3
2

1+ 2 3
2

B.

C.

1-

3
2

D.

1+ 3
3

0
0

b) B= ( 1- cot23 ) ( 1- cot22 )

A.2

B.3

C.4

D.5

B.3

C.4

D.5

B.3

C.4

D.5

p
5p
7p
c) C = cos + cos + cos
9
9
9
A.0

p
p
2sin + 2sin
5
20
d) D =
p
p
2cos - 2sin
5
20
A.1

Lời giải:
Bài 6.27:a)
4sin450 cos120 cos30 - sin540 - sin360 = 2sin450 ( cos150 + cos90 ) - 2sin450 cos90

2sin 450 cos150 = sin300 + sin600 =

1+ 3
2

� cos230 �
� cos220 �
2sin( 230 - 450) . 2sin( 220 - 450)
�
�
�
�
b) C1: B = �

�
�
11=
=2
�
0�
0�
�
�
�
�
�
�
sin 230 sin220
� sin23 �
� sin22 �
cot220 cot230 - 1
� B= 2
C2: 1= cot45 = cot( 22 + 23 ) =
cot220 + cot230
0

0

0

12


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

c) C = 2cos

3p
2p
7p
2p
7p
cos + cos = cos + cos = 0
9
9
9
9
9

p
p
p
p
3p
p
p
p
2sin + 2sin cos
2sin + sin - sin
2sin cos
5
20
4=
5
10

5 =
4
10 = 1
d) D =
p
p
p
p
3p
p
p
p
2cos - 2sin sin
2cos + cos - cos
2cos cos
5
20
4
5
10
5
4
10

Bài 6.28: Tính:
a) Tính giá trị lượng giác của góc cos

A.

b) cos4

A.

2+ 6
4

p
12

B.

1+ 2 3
2

C.

B.

1+ 2 3
2

C.

B.

1+ 2 3
2

C.

B.

1
8

C.

1-

3

D.

1+ 3
3

D.

1+ 3
3

1
2

D.

1+ 3
3

1

2

D.

1+ 3
3

2

p
p
- sin4
24
24
2+ 6
4

1-

3
2

c) cos360 - cos720
A.

2+ 6
4

d) sin100 sin 500 sin700
A.

2+ 6
4

Lời giải:
Bài 6.28: a) cos

�
�
p
p p�
p
p
p
p
2+ 6
= cos�
- �
= cos cos + sin sin =
�
�
�
12
3 4�
3
4
3
4
4
�

13


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Tương tự sin

b) cos4

p
6- 2
p
=
,tan = 212
4
12

3,cot

p
= 2+ 3
12

� 2 p
p
p �
p
p�
p�
p

2+ 6
�
- sin4
=�
cos2 + sin2 �
cos
- sin2 �
= cos =
�
�
�
�
�
�
�
24
24 �
24�
24�
12
4
� 24
� 24

0

0

c) cos36 - cos72 =

2cos2 360 - 2cos2 720
2( cos360 + cos720 )

2( cos360 - cos720 )( cos360 + cos720 )
2( cos360 + cos720 )

=

cos720 - cos1440
2( cos360 + cos720 )

=

=

1
2

d) 8sin200 sin100 sin500 sin700 = 8sin200 cos200 cos400 cos800
= 4sin400 cos400 cos800 = 2sin800 cos800 = sin1600 = sin200
� sin100 sin500 sin700 =

1
8

Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = cos2 730 + cos2 470 + cos730 cos470
A.

3

4

B.

1
8

C.

1
2

D.

1+ 3
3

C.

1
2

D.

1+ 3
3

b) B= sin60 sin420 sin660 sin780
A.

1
16

B.

1
8

p
4p
5p
c) C = cos cos cos
7
7
7

14


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A.

d) D =

A.

1
16

B.

1
8

C.

1
2

D.

B.

1
8

C.

1
2

D. 2

1+ 3
3

1
- 4sin700
0
sin10

1
16

Lời giải:
Bài 6.29: a)
2

2

A = ( cos730 + cos470 ) - cos730 cos470 = ( 2cos600 cos180 ) -

1
cos1200 + cos360 )
(
2

1+ cos360 1 cos360 3
=
+ =
2
4
2
4
b) B= sin60 cos480 cos240 cos120 =

p
4p
2p
c) C =- cos cos cos =7
7

7

sin120 sin 240 sin480 sin960
1
.
.
.
=
0
0
0
0
16
2cos6 2sin12 2sin24 2cos48

2p
4p
8p
sin
sin
7 .
7 .
7 =1
p
2p
4p 8
2sin 2sin
2sin
7
7

7
sin

0
0
1+ 2( cos800 - cos600 )
d) D = 1- 4sin70 sin10 =
=2
sin100
sin100

Bài 6.30: Cho a ,b thoả mãn sin a + sin b = m và cosa + cos b = n , mn�0 .
Tính cos( a - b)
A.

m2 + n2
- 1
2

B.

3m2 + n2
- 2m
2

C.

m2 - n2
- 1
2

D.

m2 + n2
- 2n
2

15


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Tính cos( a + b)
n2 - m2
A. 2
m + n2

3m2 + n2
B.
- 2m
2

m2 - n2
C.
- 1
2

m2 + n2
D.
- 2n
2

Tính sin( a + b) .

A.

n2 - m2
m2 + n2

B.

2mn
m2 + n2

C.

m2 - n2
- 1
2

D.

m2 + n2
- 2n
2

Lời giải:
2

2

Bài 6.30: + Ta có ( sin a + sin b) +( cosa + cosb) = m2 + n2
� sin2 a + sin2 b + cos2 a + cos2 b + 2sin a sin b + 2cosa cos b = m2 + n2
� cos( a - b) =

m2 + n2
- 1
2
2

2

+ ( cosa + cosb) - ( sin a + sin b) = n2 - m2 � cos2a + cos2b + 2cos( a + b) = n2 - m2
� 2cos( a + b) cos( a - b) + 2cos( a + b) = n2 - m2 � 2cos( a + b) �
cos( a - b) +1�
= n2 - m2
�
�
Suy ra 2cos( a + b) .
+

m2 + n2
n2 - m2
= n2 - m2 � cos( a + b) = 2
2
m + n2

( sin a + sin b) ( cosa + cosb) = mn

� sin a cosa + sin a cosb + sin b cosa + sin b cosb = mn
1

� ( sin2a + sin2b) + sin( a + b) = mn � sin( a + b) cos( a - b) + sin ( a + b) = mn
2
m2 + n2
2mn
sin( a + b) = mn � sin( a + b) = 2
2
m + n2

16


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = sin

A.

p
7p
13p
19p
25p
sin sin
sin
sin
30
30
30
30
30

1
32

B.

1
2

C.

1
4

D.

1
8

b) cos24o + cos48o - cos84o - cos12o
A.

1
32

B.

1
2

C.

1
4

D.

1
8

B.

1
2

C.

1
4

D.

1
8

p
2p
3p
c) cos - cos + cos
7

7
7
A.

1
32

Lời giải:
Bài 6.31: a)

1
32

b)

1
2

c)

1
2

Bài 6.32: Tính giá trị của biểu thức sau:
p
4p
5p
a) A = cos .cos .cos
7
7

7

A.

1
8

B.

3
8

C.

1
16

D.

1
32

3
8

C.

1
16

D.

1
32

b) B= cos100.cos500.cos700
A.

1
8

B.

17


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c) C = sin6o.sin42o.sin66o.sin78o
A.

1
8

d) E = cos

A.

3
8

B.

C.

1
16

D.

1
32

C.

1
16

D.

1
32

C.

1
16

D.

2

512

2p
4p
8p
16p
32p
.cos .cos .cos
.cos
31
31
31
31
31

1
8

3
8

B.

e) F = sin 5o.sin15o.sin 25o.... sin75o.sin85o
A.

1
8

3

8

B.

Lời giải:
Bài 6.32: a)

1
8

b)

3
8

c)

1
16

d)

1
32

e)

0
0
0

Bài 6.33: Tính A = ( 1+ tan1 ) ( 1+ tan2 ) ...( 1+ tan45 )

A. 223

B.

3
8

C. 224

D.

2
512

Lời giải:
Bài 6.33: 1+ tan k0 =

2cos( 450 - k0 )
0

cos k

(

)

� ( 1+ tan k0) 1+ tan ( 450 - k0 ) = 2

Do đó A = 223
Bài 6.34: Tính A = cosa cos2a cos3a ...cos999a với a =

2p
1999

18


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A. 223

B.

1
2999

C. 224

D.

2
512

Lời giải:
Bài 6.34: Đặt B = sin a sin2a sin3a...sin999a khi đó
2999 A.B = sin2a sin4a...sin1998a
= (sin2a sin4a...sin998a ). �
- sin ( 2p - 1002a ) �
... �

- sin ( 2p - 1998a ) �
=B
�
�
�
�
Suy ra A =

1
.
2999

 DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG
GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho cos2x=-

4
p
p
, với < x < .
5
4
2

a) Tính sin x, .
A.

2
3 10

B.

3
10

C.

1
10

D.

2
10

b) Tính cosx .
A.

2
3 10

B.

3
10

C.

1

10

D.

2
10

� p�
�
x+ �
c) Tính sin�
.
�
�
�
� 3�

A.

3+ 3
2 10

B.

2+ 3
2 10

C.

1+ 2 3

2 10

D.

1+ 3
2 10

19


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
� p�
2x- �
�
d) Tính cos�
.
�
�
�
4�
�

A. -

2
10

B.

3

10

C. -

3
10

D.

2
10

Lời giải:
Vì

p
p
< x < nên sin x > 0, cos x > 0 .
4
2

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có :
sin2 x =

1- cos2x 9
3
= � sin x =
2
10
10

cos2 x =

1+ cos2x 1
1
= � cos x =
2
10
10

Theo công thức cộng, ta có
� p�
p
p
3 1
1
3 3+ 3
sin�
x+ �
= sin x cos + cos x sin =
. +
.
=
�
�
�
� 3�
3
3
�

10 2
10 2
2 10
�
p�
p
p
4 2
2
3
1
2
cos�
2x- �
= cos2x sin + cos sin2x =- .
+
.2.
.
=�
�
�
�
4�
4
4
5 2
2
10
�
10 10

Ví dụ 2: Cho cos4a + 2 = 6sin2 a với
A. tan 2a =- 3 3

p
< a < p . Tính tan 2a .
2

B. tan 2a =- 2 3

C. tan2a =-

3 D. tan 2a = 3

Lời giải:
2
2
Ta có cos4a + 2 = 6sin a � 2cos 2a - 1+ 2 = 3( 1- cos2a )

1
� 2cos2 2a + 3cos2a - 2 = 0 � ( 2cos2a - 1) ( cos2a + 2) = 0 � cos2a = (Vì
2
cos2a + 2> 0)

20


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1
1
� tan2 2a =

- 1= 3
2
cos 2a
cos2 2a

Ta có 1+ tan2 2a =

Vì

p
< a < p � p < a < 2p nên sin 2a < 0. Mặt khác cos2a > 0 do đó tan2a < 0
2

Vậy tan2a =Ví dụ 3: Cho

3
1
1
1
1
+
+ 2 +
= 7 . Tính cos4a .
2
2
tan a cot a sin a cos2 a
7
10

A. cos4a =-

B. cos4a =-

7
11

C. cos4a =-

7
12

D. cos4a =-

7
9

Lời giải:
Ta có

�
�

1
1
1
1
+
+ 2 +
=7
2

2
tan a cot a sin a cos2 a

sin2 a + 1 cos2 a +1
+
=7
cos2 a
sin2 a
sin2 a ( sin2 a +1) + cos2 a ( cos2 a +1)

sin2 a cos2 a
� sin4 a + cos4 a +1= 7sin2 a cos2 a

=7

2

� ( sin2 a + cos2 a ) - 2sin2 a cos2 a + 1= 7sin2 a cos2 a
� 2 = 9sin2 a cos2 a
� 8 = 9( 2sin a cosa )

2

� 8 = 9sin2 2a
� 16 = 9( 1- cos4a )
� cos4a =-

7
9

Vậy cos4a =-

7
9

Ví dụ 4: Cho sin a + cosa = cot

�
a + 2013p �
a
�
�
với 0 < a < p . Tính tan�
.
�
�
�
2
�
�
2

21


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A. - 1

C. 0

B.1

D.

1
2

Lời giải:

a
a
2a
Ta có sin a = 2sin cos = 2cos .
2
2
2

a
a
2tan
2=
2
a
a
cos
tan2 + 1
2
2
sin

�
a�
a
�
sin2 �
1- tan2
�
�
�
a
a
a
�
2�
2
�
cosa = cos2 - sin2 = cos2 �
1=
�
�
a
a
�
2
2
2�
2
�
tan2 +1
�

� cos �
�
�
2�
2

a
Do đó sin a + cosa = cot �
2

a
a
1- tan2
2 +
2= 1
a
a
a
tan2 + 1 tan2 + 1 tan
2
2
2
2tan

a�
a
a�
a
a
a

a
� tan �
1+ 2tan - tan2 �
= 1+ tan2 � tan3 - tan2 - tan +1= 0
�
�
�
�
2�
2
2�
2
2
2
2
� a
��
tan �
�
� 2

2

�� a
�
a
�
1�
tan +1�
= 0 � tan = �1

�
�
�
�
�
� 2 �
2
��

Vì 0 < a < p � 0 <

a p
a
a
a
< do đó tan > 0 nên tan = 1� cot = 1
2 2
2
2
2

�
�
a + 2013p �
a
p�
a
�
= tan�
+ 2006p + �

=- cot =- 1
�
�
Ta có tan�
�
�
�
�
�
�
2�
2
� 2
�
�2
�
a + 2013p �
�
=- 1
�
Vậy tan�
�
�
�
� 2
�
Lưu ý: Ta có thể biểu diễn sin a ,cosa ,tan a ,cot a qua t = tan

a
như sau:

2

22


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
sin a =

2t
1- t2
2t
1- t2
,cos
a
=
,tan
a
=
,cot
a
=
với a làm các biểu thức có
2t
1+ t2
1+ t2
1- t2

nghĩa.
1
Ví dụ 5: Cho sin( a + b) = , tan a =- 2tan b .

3
� 3p �
� p�
� 5p �
� p�
�
�
�
�
�
�
a+ �
cos
a
+
+
sin
b
sin
b�
�
�
�
Tính A = sin�
�
�
�
�
� �
�

� �
�.
�
� 8�
� 12�
� 12�
� 8�
�
A.

- 1
3

B.

1
3

C.

2
3

D.

4
7

Lời giải:
1

1
Ta có sin( a + b) = � sin a cosb + cosa sin b = (1)
3
3
tan a =- 2tan b � sin a cosb =- 2sin b cosa (2)
�
�
cosa sin b =�
�
Từ (1) và (2) ta được �
�
�
sin a cosb =�
�
�

1 �
1 �
1
�
�
cos2 a sin2 b =
1- sin2 a ) sin2 b =
(
�
�
3��
9��
9
�

�
2 �
4 �
4
�
�
sin2 a cos2 b =
sin2 a ( 1- sin2 b) =
�
�
�
�
3 �
9 �
9

�
�
( 1- sin2 a) sin2 b = 91 � 2 1�
�
1
�
��
��
1- sin b - �
sin2 b =
�
�
�
�

�
1
3�
9
�
�
sin2 a - sin2 b =
�
�
3
�
2
� 2
�
2 2
1
1
1
�
� sin b - sin b + = 0 � �
sin b - �= 0 � sin2 b =
�
�
�
3
9
3�
3
�
4

1 2
Do đó sin2 a = sin2 b + =
3 3
�
� 3p�
� p�
�
1�
p�
p�
1�
2�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a
+
cos
a
+
=
sin

2
a
+
sin
=
cos2
a
�
�
�
Ta có sin�
�
�
�
�
�
� �
� 2� �
�
�
�
� 8�
�
2�
4�
2�
� 8�
�
�
�

� 2�

23


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
� 1�
1�
2�
2
2�
2+ 3 2
�
�
�
2
�
�
�
�
= �
1- 2sin a = �
1- 2. =�
�
�
�
�
2�
2�
3 2�

�
12
�
� 2�
� p�
� � 5p �
� 1� �
�
p�
p�
1�
3�
�
�
�
�
�
�
sin�
bcos
b
=
sin
2
b
+
sin
=
cos2
b

+
�
�
�
�
�
�
�
�
� 2�
� 12�
�
2
3
2
�
� �
� 12�
� 2�
�
�
�
�
� �

1�
3�
1�
1
3�

�
� - 2+ 3 2
�
�
2
�
�
�
= �
- 1+ 2sin b + �
= �
- 1+ 2. + �
=
�
�
�
�
2�
2�
� 2�
3 2�
�
12
�
Do đó A =-

2+ 3 2 - 2+ 3 2
1
+
=12

12
3

2. Bài tập luyện tập.
Bài 6.35: Cho cos2x=

3
3p
< x < p ).
(với
5
4

a)Tính sin x
A.

1
5

B. -

1
5

C.

2
5

D. -

2
5

b)Tính cosx
A.

1
5

B. -

1
5

C.

2
5

D. -

2
5

Lời giải:
Bài 6.35: Vì

3p
< x < p nên sin x > 0, cos x < 0 .

4

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có :
sin2 x =

1- cos2x 1
1
= � sin x =
2
5
5

24