TÍCH vô HƯỚNG TÍCH vô HƯỚNG của HAI VECTƠ và ỨNG DỤNG (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

CHƯƠNG II
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
§1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ
TỪ 00 ĐẾN 1800
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Với mỗi góc
a ( 00 £ a £ 1800 ) , ta xác định điểm M trên trên đường
·
nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho a = xOM
. Giả
sử điểm M có tọa độ ( x; y) .
Khi đó:
Hình 2.1

sina = y; cosa = x;tana =

y
x
(a ¹ 900 ); cota =    (a ¹ 00 ,a ¹ 1800 ) Các
x
y

số

sin a ,cosa ,tan a ,cot b được gọi là giá trị lượng giác của góc a .
Chú ý: Từ định nghĩa ta có:

(

)

• Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox, Oy khi đó M OP ;OQ .
• Với 00 £ a £ 1800 ta có 0 £ sin a £ 1; - 1£ cosa £ 1
• Dấu của giá trị lượng giác:
Góc a
00

900

1800
sina
cosa
tana
cota

+
+
+
+

2. Tính chất
• Góc phụ nhau
sin(900 - a ) = cosa

+
• Góc bù nhau
sin(1800 - a ) = sin a

cos(900 - a ) = sin a

cos(1800 - a ) =- cosa

tan(900 - a ) = cot a

tan(1800 - a ) =- tan a

cot(900 - a ) = tan a
cot(1800 - a ) =- cot a
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Góc

0

30

45

60

9

1200 1350 1500

18


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

a
sina

cosa

tana

00

00

0

0

0

0

0

1
2

2
2

3
2

1

1

3
2

2
2

1
2

0

-

1
2

0

3
3

1

3

||

-

3

- 1

||

3

1

3
3

0

-

3
3

- 1

cota

3
2

1
2

2
2
2
2

-

-

0

3
2

uuu
r uur
AB2 + EF 2 = AB + EF

(

-

–1

)

2

3

4. Các hệ thức lượng giác cơ bản
sin a
1) tan a =
(a ¹ 900 ) ;
cosa
cosa
2) cot a =
(a ¹ 00 ; 1800 )
sin a
3) tan a.cot a = 1(a ¹ 00 ; 900 ; 1800 )
4) sin2 a + cos2 a = 1
1
5) 1+ tan2 a =
(a ¹ 900 )
2
cos a
1
6) 1+ cot2 a =
(a ¹ 00 ; 1800 )
2
sin a
Chứng minh:
- Hệ thức 1), 2) và 3) dễ dàng suy ra từ định nghĩa.
- Ta có sin a = OQ , cosa = OP
2

2

Suy ra sin2 a + cos2 a = OQ + OP = OQ 2 + OP 2
+ Nếu a = 00 , a = 900 hoặc a = 1800 thì dễ dàng thấy sin2 a + cos2 a = 1
+ Nếu a ¹ 00 , a ¹ 900 và a ¹ 1800 khi đó theo định lý Pitago ta có
sin2 a + cos2 a = OQ2 + OP 2 = OQ 2 + QM 2 = OM 2 = 1
Vậy ta có sin2 a + cos2 a = 1
sin2 a cos2 a + sin2 a
1
suy ra được 5)
=
=
2
2
cos a
cos a
cos2 a
cos2 a sin2 a + cos2 a
1
Tương tự 1+ cot2 a = 1+
suy ra được 6)
=
=
2
2
sin a
sin a
sin2 a
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
Mặt khác 1+ tan2 a = 1+

0
||


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
DẠNG 1 : Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
1. Phương pháp giải.
• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc
• Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt
• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = a2 sin900 + b2 cos900 + c2 cos1800
A. A = a2 - 2c2

B. A = 2a2 - c2

C. A = 3a2 - c2

D. A = a2 - c2

C. B= 1

D. B= 0

b) B= 3- sin2 900 + 2cos2 600 - 3tan2 450
B. B= 3

A. B= 2

c) C = sin2 450 - 2sin2 500 + 3cos2 450 - 2sin2 400 + 4tan550.tan350
A. C = 3

B. C = 4

C. C = 2

D. C = 1

Lời giải:
2
2
2
2
2
a) A = a .1+ b .0+ c .( - 1) = a - c

2

2
æö
1÷ æ
2ö
÷
ç
ç
÷
ç
b) B = 3- ( 1) + 2ç ÷
3

=1
÷
ç
÷
÷
ç2ø
ç
2
÷
è
è ø
2

2
0
2
0
2
0
2
0
0
0
c) C = sin 45 + 3cos 45 - 2( sin 50 + sin 40 ) + 4tan55 .cot55
2
æ 2÷
ö2
æ 2ö
1 3
÷

ç
ç
÷
÷
C =ç
+ 3ç
- 2( sin2 500 + cos2 400 ) + 4 = + - 2+ 4 = 4
÷
÷
ç
ç
÷
ç2÷
ç2ø
÷
÷
2 2
è
ø
è

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = sin2 30 + sin2 150 + sin2 750 + sin2 870
A.2

B.3

C.4

D.1

b) B= cos00 + cos200 + cos400 +... + cos1600 + cos1800
A.2

B.3

C.4

D.0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

c) C = tan50 tan100 tan150...tan800 tan850
A.1

B.3

C.4

D.0

Lời giải:
2 0
2
0
2
0
2
0

a) A = ( sin 3 + sin 87 ) +( sin 15 + sin 75 )

= ( sin2 30 + cos2 30 ) +( sin2 150 + cos2 150 )
= 1+1= 2
0
0
0
0
0
0
b) B= ( cos0 + cos180 ) +( cos20 + cos160 ) + ...+( cos80 + cos100 )

= ( cos00 - cos00 ) +( cos200 - cos200 ) + ... +( cos800 - cos800 )
=0
0
0
0
0
0
0
c) C = ( tan5 tan85 ) ( tan15 tan75 ) ...( tan45 tan45 )

= ( tan50 cot50 ) ( tan150 cot50 ) ...( tan 450 cot50 )
=1
3. Bài tập luyện tập:
Bài 2.1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = sin450 + 2cos600 - tan300 + 5cot1200 + 4sin1350
A. A =

5 2

- 2 3
2

C. A = 1+

5 2
- 2 3
2

B. A = 1+

2
- 2 3
2

D. A = 1+

2
2

3

b) B = 4a2 sin2 450 - 3(atan450 )2 + (2acos450 )2
A. B = a2

B. B = 3a2

C. B = 4a2

1

D. B = a2
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
c) C = sin2 350 - 5sin2 730 + cos2 350 - 5cos2 730
A. C =- 4
d) D =

B. C =- 2

C. C =- 3

D. C =- 5

12
- 5tan850 cot950 + 12sin2 1040
2
0
1+ tan 76

A. D = 18

B. D = 17

C. D = 16

D. D = 15

e) E = sin2 10 + sin2 20 + ...+ sin2 890 + sin2 900

A. E =

901
2

B. E =

101
2

C. E =

91
2

D. E =

9
2

f) F = cos3 10 + cos3 20 + cos3 30 + ...+ cos3 1790 + cos3 1800
A. F = 0

B. F =- 1

Bài 2.1: a) A =

C. F = 1

D. F =- 2

2
1
3
3
2
5 2
+ 2. - 5.
+ 4.
= 1+
- 2 3
2
2 3
3
2
2

2

æ 2ö
2
÷
÷
ç
b) B = 4a .ç
- 3a2 +( 2a) = 3a2
÷
ç
÷
ç

÷
è2ø
2

2
0
2
0
2
0
2
0
c) C = ( sin 35 + cos 35 ) - 5( sin 75 + cos 75 ) = 1- 5 =- 4

d) D = 12cos2 760 + 5tan850.cot850 + 12sin2 760 = 12+ 5 = 17
2 0
2
0
2 0
2
0
e) E = ( sin 1 + sin 89 ) +( sin 2 + sin 88 ) + ... +

+( sin2 440 + sin2 460 ) + sin2 450 + sin2 900
1
E = ( sin2 10 + cos2 10 ) +( sin2 20 + cos2 20 ) + ... +( sin2 440 + cos2 440 ) + +1
2
1
91
E =1

+ 14+
...+41
14444
24444
3+ 2 + 1= 2
44 sô
3 0
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
f) F = ( cos 1 + cos 179 ) + ...+( cos 89 + cos 91 ) + cos 90 + cos 180

F = cos3 900 + cos3 1800 = 0- 1=- 1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Bài 2.2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
P = 4tan( x + 4 ) .sin x.cot( 4x + 26 ) +
0

0

A.3

8tan2 ( 30 - x)
1+ tan ( 5x + 3 )

B.4

2

0

+ 8cos2 ( x- 30 ) khi x= 300

C.5

Bài 2.2: Thay vào ta có: P = 4tan340.sin300.cot1460 +

D.6
8tan2 ( - 270 )
2

0

1+ tan 153

+ 8cos2 270

1
P =- 4.tan 340. .cot340 + 8tan2 270.cos2 270 + 8cos2 270 =- 2+ 8 = 6
2
DẠNG 2 : Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu

thức không phụ thuộc x, đơn giản biểu thức.
1. Phương pháp giải.
• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
• Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác
• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ .
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có
nghĩa)
a) sin4 x + cos4 x = 1- 2sin2 x.cos2 x
b)

1+ cot x tan x + 1
=
1- cot x tan x- 1

c)

cos x + sin x
= tan3 x + tan2 x + tan x + 1
3
cos x

Lời giải
a) sin4 x + cos4 x = sin4 x + cos4 x + 2sin2 x cos2 x- 2sin2 xcos2 x
2

= ( sin2 x + cos2 x) - 2sin2 x cos2 x
= 1- 2sin2 x cos2 x

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

1+ cot x
=
b)
1- cot x

c)

1
tan x + 1
tanx = tanx = tan x + 1
1
tan x- 1 tan x- 1
1tan x
tan x

1+

cos x + sin x
1
sin x
= tan2 x + 1+ tan x( tan2 x +1)
=
+
3
2
3
cos x
cos x cos x

= tan3 x + tan2 x + tan x +1

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
B
B
cos3
2 +
2 - cos( A + C) .tan B = 2
æA + C ö
æA + C ö
sin B
÷
÷
cosç
sinç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç 2 ø
ç 2 ø
è
è
sin3

Lời giải:
Vì A + B + C = 1800 nên
B

B
cos3
cos( 1800 - B)
2
2
VT =
+
.tan B
0
0
æ
ö
æ
ö
sin
B
180
B
180
B
÷
÷
÷
÷
cosç
sinç
ç
ç
÷
÷

ç
ç 2 ø
÷
÷
è 2 ø
è
sin3

B
B
cos3
2+
2 - - cos B .tan B = sin2 B + cos2 B + 1= 2 = VP
=
B
B
sin B
2
2
sin
cos
2
2
sin3

Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) A = sin(900 - x) + cos(1800 - x) + sin2 x(1+ tan2 x) - tan2 x
A.0
b) B =

B.1

1
1
1
.
+
sin x 1+ cos x 1- cos x

A.1

B.0

C.2

D. tanx

C. sinx

D. tan x

2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

Lời giải:
a) A = cos x- cos x + sin2 x.

b) B =

1
- tan2 x = 0
2
cos x

1
1- cos x +1+ cos x
.
sin x ( 1- cos x) ( 1+ cos x)

2

1
2
1
2
.
- 2=
.
2
sin x 1- cos x
sin x sin2 x
æ 1
ö
2
= 2ç
- 1÷
÷

ç
2
÷= 2cot x
çsin x ø
è
=

2

Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x.
P = sin4 x + 6cos2 x + 3cos4 x + cos4 x + 6sin2 x + 3sin4 x
Lời giải
P=

( 1-

2

cos2 x) + 6cos2 x + 3cos4 x +

( 1-

2

sin2 x) + 6sin2 x + 3sin4 x

= 4cos4 x + 4cos2 x + 1+ 4sin4 x + 4sin2 x + 1
=

( 2cos

2

2

x + 1) +

( 2sin

2

x + 1)

2

= 2cos2 x + 1+ 2sin2 x + 1
=3
Vậy P không phụ thuộc vào x .
3. Bài tập luyên tập.
Bài 2.3. Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có
nghĩa)
a) tan2 x- sin2 x = tan2 x.sin2 x
b) sin6 x + cos6 x = 1- 3sin2 x.cos2 x


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

c)

tan3 x

1
cot3 x
+
= tan3 x + cot3 x
2
2
sin x sin x cos x cos x

d) sin2 x- tan2 x = tan6 x(cos2 x- cot2 x)
e)

tan2 a- tan2 b sin2 a- sin2 b
=
tan2 a.tan2 b
sin2 a.sin2 b
Lời giải:

sin2 x
Bài 2.3: a) VT =
- sin2 x = sin2 x( 1+ tan2 x) - sin2 x = VP
2
cos x
3

b) sin6 x + cos6 x = ( sin2 x + cos2 x) - 3sin2 x.cos2 x( sin2 x + cos2 x)
= 1- 3sin2 x.cos2 x
3
2
2
3

2
c) VT = tan x( cot x + 1) - tan x( cot x + 1) + cot x( tan x + 1)

= tan x + tan3 x- cot x- tan x + cot x + cot3 x = VP
d) VP = tan6 x cos2 x- tan6 x cot2 x = tan4 x sin2 x- tan4 x
= tan4 x.cos2 x = tan2 x.sin2 x = tan2 x- sin2 x = VT (do câu a))
e) VT =

1
1
1
1
= cot2 b- cot2 a=
= VP
2
2
2
tan b tan a
sin b sin2 a

Bài 2.4. Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) A =

1
- tan2 ( 1800 - x) - cos2 ( 1800 - x)
2
cos x

A. A = sin2 x
b) B =

C.1

D. tan x

C. B =- cos4 x

D. B =- cos4 x + 1

cos2 x- sin2 x
- cos2 x
2
2
cot x- tan x

A. B = cos4 x
c) C =

B.0

B. B= sinx

sin3 a+ cos3 a
cos2 a+ sin a(sin a- cos a)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
A. C = 2cos a
d) D =

B. C = 2sin a

C. C = sin a- cos a D. C = sin a+ cos a

1+ sin a
1- sin a
+
1- sin a
1+ sin a

A. D =

1
cos a

B. D =

3
cos a

C. D =

2
cos a

D. D =

a
cos a

Lời giải:
Bài 2.4: a) A = tan2 x + 1- tan2 x- cos2 x = sin2 x
cos2 x- sin2 x
B ==
- cos2 x
b)
1
1
- 1+1
2
sin x
cos2 x
= cos2 x sin2 x- cos2 x =- cos4 x
c) C =

(sin a+ cos a)( sin2 a- sin acos a+ cos2 a)

2
d) D =

=

sin2 a- sin acos a+ cos2 a

= sin a+ cos a

1+ sin a 1- sin a
+
+2
1- sin a 1+ sin a

( 1+ sin a)

2

+( 1- sin a)

1- sin2 a

Suy ra D =

2

+ 2=

2+ 2sin2 a
4
+ 2=
2
cos a
cos2 a

2
cos a

Bài 2.5.Rút gọn biểu thức. (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) (tan a + cot a )2 - (tan a - cot a )2
A.1

B.2

C.3

D.4

C.3

D.4

b) 2(sin6 a + cos6 a )- 3(sin4 a + cos4 a )
A.-1

B.2

c) cot2 300(sin8 a - cos8 a ) + 4cos600(cos6 a - sin6 a ) - sin6(900 - a )( tan2 a - 1)

3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
A.0

B.2

C.3

D.4

C.3

D.4

C.3

D.

d) (sin4 x + cos4 x- 1)(tan2 x + cot2 x + 2)
A.1

B.-2

sin4 x + 3cos4 x- 1
e)
sin6 x + cos6 x + 3cos4 x- 1
A.1

B.2

2
3

Lời giải:
Bài 2.5: a) (tan a + cot a )2 - (tan a - cot a )2 = 4
b) 2(sin6 a + cos6 a )- 3(sin4 a + cos4 a )
= 2( 1- 3sin2 x.cos2 x) - 3( 1- 2sin2 x.cos2 x) =- 1
c) cot2 300(sin8 a - cos8 a ) + 4cos600(cos6 a - sin6 a ) - sin6(900 - a )( tan2 a - 1)

3

= 3( sin2 a - cos2 a ) ( sin4 a + cos4 a )

- 2( sin2 a - cos2 a ) ( sin4 a + sin2 a cos2 a + cos4 a )
3

3

3

- ( sin2 a - cos2 a ) = ( sin2 a - cos2 a ) - ( sin2 a - cos2 a ) = 0
d) (sin4 x + cos4 x- 1)(tan2 x + cot2 x + 2) =- 2
e)

sin4 x + 3cos4 x- 1
2
=
6
6
4
sin x + cos x + 3cos x- 1 3

Bài 2.6: Cho tam giác ABC . Hãy rút gọn
a) A = cos2

B
A +C
B
A +C
+ cos2
+ tan tan
2
2

2
2

A. A = 3

B. A =- 1

C. A = 1

D. A = 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
B
B
cos
2 2 - cos( A + C) .tan B
b B=
A +C
A +C
sin B
cos
sin
2
2
sin

A. B= 3

B. B= 1

C. B=- 1

D. B= 2

Lời giải:
Bài 2.6: a) A = 1 b) B= 1
DẠNG 3 : Xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều
kiện.
1. Phương pháp giải.
• Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản
• Dựa vào dấu của giá trị lượng giác
• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: a) Cho sin a =

1
với 900 < a < 1800 . Tính cosa và tana
3

2 2
3

A. cosa =-

C.Cả A, B đều đúng

1
2 2

D.Cả A, B đều sai

2
. Tính sina và cota
3

b) Cho cosa =-

A. sin a =

B. tan a =-

5
3

B. cot a =-

C.Cả A, B đều đúng

2
5

D.Cả A, B đều sai

c) Cho tan g =- 2 2 tính giá trị lượng giác còn lại.
A. cosa =-

C. cot a =-

1

3
1
2 2

B. tan a =

2 2
3

D.Cả A, B, C đều đúng


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Lời giải:
a) Vì 900 < a < 1800 nên cosa < 0 mặt khác sin2 a + cos2 a = 1 suy ra
cosa =-

1- sin2 a =-

sin a
=
Do đó tan a =
cosa

1-

1
2 2
=9
3

1
3 =- 1
2 2
2 2
3

b) Vì sin2 a + cos2 a = 1 nên sin a = 1- cos2 a = 1-

cosa
cot a =
=
sin a

-

4
5
và
=
9
3

2
3 =- 2
5
5
3

c) Vì tan g =- 2 2 < 0 Þ cosa < 0 mặt khác tan2 a + 1=

cosa =-

1
=tan2+ 1

Ta có tan a =

1
nên
cos2 a

1
1
=8+ 1
3

æ 1ö
sin a
2 2
Þ sin a = tan a.cosa =- 2 2.ç
- ÷
=
÷
ç
÷
ç
cosa
3
è 3ø

1
cosa
1
Þ cot a =
= 3 =sin a
2 2
2 2
3
Ví dụ 2: a) Cho cosa =

A. A =-

17
8

tan a + 3cot a
3
với 00 < a < 900 . Tính A =
.
tan a + cot a
4
B. A =

b) Cho tan a = 2 . Tính B =

17
8

C. A =

sin a - cosa
sin a + 3cos3 a + 2sin a
3

1
8

D. A =

7
8


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

A. B =

(

3

)

2- 1

B. B =

3+ 8 2

(

)

3

2- 2

C. B =

3+ 8 2

(

3

)

2- 1

1+ 8 2

D. B =

(

3+ 8 2

Lời giải:
1
1

+2
2
tan
a
+
3
tan a =
cos2 a
=
= 1+ 2cos2 a
a) Ta có A =
2
1
1
tan a + 1
tan a +
tan a
cos2 a
9 17
Suy ra A = 1+ 2. =
16 8
sin a
cosa
tan a ( tan2 a + 1) - ( tan2 a + 1)
3
3
cos
a
cos
a

=
b) B =
sin3 a 3cos3 a 2sin a tan3 a + 3+ 2tan a ( tan2 a + 1)
+
+
cos3 a
cos3 a
cos3 a
tan a + 3

Suy ra B =

2( 2+ 1) - ( 2+ 1)
2 2 + 3+ 2 2( 2+ 1)

=

(

)

3 2- 1
3+ 8 2

Ví dụ 3: Biết sin x + cos x = m
4
4
a) Tìm sin x- cos x

2

4
2
4
A. A = 3+ 2m - m B. A = 3 3+ 2m - m
12
2
2
4
2
4
C. A = 3+ 2m - m D. A = 3+ 2m - 2m
2
2

b) Chứng minh rằng m £ 2
Lời giải:
2

a) Ta có ( sin x + cos x) = sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 1+ 2sin x cos x (*)
Mặt khác sin x + cos x = m nên m2 = 1+ 2sin a cosa hay sin a cosa =
4
4
Đặt A = sin x- cos x . Ta có

)

2- 1

m2 - 1
2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
A = ( sin2 x + cos2 x) ( sin2 x- cos2 x) = ( sin x + cos x) ( sin x- cos x)
2

2

Þ A 2 = ( sin x + cos x) ( sin x- cos x) = ( 1+ 2sin x cos x) ( 1- 2sin xcos x)
æ m2 Þ A2 =ç
1+
ç
ç
ç
2
è

æ m2 - 1ö
1ö
3+ 2m2 - m4
÷
÷
ç
÷
÷
1
=
ç
÷
÷

ç
֏
÷
ç
2 ø
4
ø

2
4
Vậy A = 3+ 2m - m
2

b) Ta có 2sin x cos x £ sin2 x + cos2 x = 1 kết hợp với (*) suy ra

( sin x+ cos x)

2

£ 2 Þ sin x + cos x £ 2

Vậy m £ 2
3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.7: Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết
a) sin a =

3
với 00 < a < 900
5

4
3
4
A. cosa = , tan a = , cot a =
5
4
3
4
3
4
B. cosa = , tan a =- , cot a =5
4
3
1
3
4
C. cosa = , tan a = , cot a =
5
4
3
D.

2
3
2
cosa = , tan a = , cot a =
5
2
3

b) cosb =

1
5

A. sin a =

1
5

, tan a =- 2, cot a =

1
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
2

B. sin a =-

D.

5

1
2

5

, tan a = 2, cot a =

1
2

2

A. sin a =

1
3

C. sin a =

, cosa =

1

B. sin a =-

D.

, tan a =- 2, cot a =-

2

sin a =

c) cot g =-

1
2

5
1

C. sin a =

, tan a = 2, cot a =-

3
1

sin a =

3

3

6
1
, tan a =3
2

, cosa =-

, cosa =

1

6
1
, tan a =
3
2

6
1
, tan a =2
2

, cosa =-

6
1
, tan a =3
2

1
d) tan a + cot a < 0 và sin a = .
5
1

A. cot a =- 2 6,tan a =-

2 6

B. cot a =- 2 6,tan a =-

C. cot a =-

6,tan a =-

, cosa = cot a.sin a =-

1
2 6
1

2 6

, cosa =-

, cosa =-

6
5

2 6
5

2 6
5


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

D.

cot a =- 2 6,tan a =-

1
6

, cosa =-

2 6
5

Lời giải:
4
3
4
Bài 2.7: a) cosa = 1- sin2 a = , tan a = , cot a =
5
4
3
2
b) sin a = 1- cos a =

1

c) sin a =

3

, cosa =-

2
5

, tan a = 2, cot a =

1
2

6
1
, tan a =3
2

d) Ta có tan a cot a = 1> 0 mà tan a + cot a < 0 suy ra tan a < 0, cot a < 0
1
- 1 =- 2 6
sin2 a

cot a =-

Þ tan a =-

1
2 6

, cosa = cot a.sin a =-

Bài 2.8. a) Cho cos a=

A. A =-

19

3

b) Cho sin a=

A. B =

cot a+ 3tan a
2
. Tính A =
2cot a+ tan a
3
B. A =

26- 2 2
3

4
3

19
3

C. A =

1
3

D.

A=

29
3

3cot a+ 2tan a+ 1
1
với 900 < a< 1800 . Tính B =
cot a+ tan a
3
B. B =

c) Cho tan a= 2 . Tính C =

A. C =

2 6
5

26- 2 2
9

C. B =

26- 2
9

D. B=

26
9

2sin a+ 3cos a
;
sin a+ cos a

B. C =

7
3

C. C = 1

D.

C =-

7
3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
d) Cho cot a= 5 . Tính D = 2cos2 a+ 5sin acos a+ 1
A. D =

101
27

B. D =

101

23

C. D =

101
26

D. D =

11
26

Lời giải:
Bài 2.8: a) A =

2 2
1
26- 2 2
, tan a =, cot a =- 2 2 Þ B =
3
9
2 2

cosa =-

c) C =

d)

19

; b) Từ giả thiết suy ra
3

2tan a+ 3 7
=
tan a+ 1
3

D
1
= 2cot2 a+ 5cot a+ 2 Þ ( cot2 a+ 1) D = 3cot2 a + 5cot a+ 1
2
sin a
sin a

Suy ra D =

101
26

Bài 2.9: Biết tan x + cot x = m.
a) Tìm tan2x + cot2x
A. m2 + 1
b)

B. m2 - 2

C. m2 - 3

D. m2 - 1

tan6x + cot6x
tan4x + cot4x
A.

(m -

C.

( m - 2)( m -

4

4m2 + 1)

m4 - 4m2 + 2
2

4

( m - 2)
2

B.
4m2 + 1)

m4 - 4m2 - 2

c) Chứng minh m ³ 2

m4 - 4m2 + 2

( m - 2)( m 2

D.

4

4m2 + 1)

m4 - 4m2 + 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Lời giải:
Bài 2.9: a) tan2x + cot2x=m2 - 2
2

2

b) tan4x + cot4x=( tan2x + cot2x) - 2 = ( m2 - 2) - 2 = m4 - 4m2 + 2
2
2
4
4
2
2
tan6x + cot6x ( tan x + cot x) ( tan x + cot x-tan xcot x)
Þ
=

tan4x + cot4x
m4 - 4m2 + 2
( m2 - 2) ( m4 - 4m2 +1)
=
m4 - 4m2 + 2

Bài 2.10: Cho sin a cosa =

A.

91
125

12
. Tính sin3 a + cos3 a
25

B. -

91
125

C.

29
125

D.

9

125

Lời giải:
2

Bài 2.10: ( sin a + cosa ) = 1+

24
7
Þ sin a + cosa = (do cosa > 0)
25
5

Þ sin3 a + cos3 a = ( sin a + cosa ) ( sin2 a - sin a cosa + cos2 a ) =

91
125

Bài 2.11: Cho tan a- cot a= 3 . Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = tan2 a+ cot2 a
A.11

B.12

C.13

D. 14

B. ± 13

C. ± 14

D. ± 12

B. ±11 13

C. ±22 13

D.

b) B = tan a+ cot a
A. ± 15
c) C = tan4 a- cot4 a
A. ±44 13

Lời giải:

13


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Bài 2.11: ĐS: a) 11

b) ± 13

Bài 2.12: a) Cho 3sin4 x + cos4 x =
A. A =

7
4

B. A =

c) ±33 13

3
. Tính A = sin4 x + 3cos4 x .
4

7
2

C. A =

3
4

7
4

D. A =-

1
b) Cho 3sin4 x- cos4 x = . Tính B = sin4 x + 3cos4 x .
2
A.B = 1

B. B = 0

C. B = 2

D. B = 3

7
c) Cho 4sin4 x + 3cos4 x = . Tính C = 3sin4 x + 4cos4 x .
4
A. C =

57
7
, C =28
4

B. C =

57
7
, C=
28
4

C. C =

Lời giải:
Bài 2.12: ĐS: a) A =

7
57
b) B = 1 ; c) hoặc C =
4

28

7
7
, C=
D.
28
4

C=

5
7
, C=
28
4