VECTO tóm tắt lý thuyết vecto, các dạng toán và phương pháp giải file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
CHƯƠNG I: VECTƠ
§1 CÁC ĐỊNH NGHĨA
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa vectơ:
Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai
điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là
điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.

r
x

r
a

Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu :
uuu
r
AB

Hình 1.1

r r r r
Vectơ cịn được kí hiệu là: a, b, x, y,...
r
Vectơ – khơng là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là 0
2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.
- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ
- Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương
- Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.

Hình 1.2

uuu
r
uuu
r
Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 2) thì hai vectơ AB và CD cùng hướng còn
uuur
uur
EF và HG ngược hướng.
Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng với mọi véc tơ.
3. Hai vectơ bằng nhau
- Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài véc
uuu
r
hiệu AB .

uuu
r
tơ AB , kí
Hình 1.3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuu
r
Vậy AB = AB .
- Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
uuu
r uuu

r
Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD khi đó AB = CD
B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1: Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài
của vectơ
1. Phương pháp giải.
• Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai
vectơ theo định nghĩa
• Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài
của một vectơ
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCDE . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm
đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác.
A.12

B.13

C.14

D.16

Lời giải:
Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A , B ta xác định được hai vectơ khác vectơuuu
r uuu
r
không là AB, BA . Mà từ bốn đỉnh A , B, C , D của ngũ giác ta có 6 cặp điểm
phân biệt do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba điểm A , B,C phân biệt thẳng hàng khi và chỉ
uuu
r uuur

khi AB, AC cùng phương.
Lời giải
uuu
r uuur
Nếu A , B,C thẳng hàng suy ra giá của AB, AC đều là đường thẳng đi qua ba
uuu
r uuur
điểm A , B,C nên AB, AC cùng phương.
uuu
r uuur
Ngược lại nếu AB, AC cùng phương khi đó đường thẳng AB và AC song song
hoặc trùng nhau. Nhưng hai đường thẳng này cùng đi qua điểm A nên hai
đường thẳng AB và AC trùng nhau hay ba điểm A , B,C thẳng hàng.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của
BC ,CA , AB .
uuuu
r
a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng phương với MN có điểm đầu
và điểm cuối lấy trong điểm đã cho.
A.5

B.6

C.7

D.8

uuu
r
b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - khơng cùng hướng với AB có điểm đầu và
điểm cuối lấy trong điểm đã cho.
A.3

B.4

C.6

D.5

uuu
r
c) Vẽ các vectơ bằng vectơ NP mà có điểm đầu A , B .
Lời giải:
(Hình 1.4)
a) Các vectơ khác vectơ không cùng
uuuu
r
phương với MN là
uuuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uur uur
NM , AB, BA , AP , PA , BP , PB .
b) Các vectơ khác vectơ - không cùng
uuu

r uur uuuu
r
uuu
r
hướng với AB là AP , PB, NM .

Hình 1.4

c) Trên tia CB lấy điểm B' sao cho BB' = NP
uuu
r
uuur
Khi đó ta có BB' là vectơ có điểm đầu là B và bằng vectơ NP .
Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP . Trên đường thẳng
uuu
r
uuuu
r
đó lấy điểm A ' sao cho AA ' cùng hướng với NP và AA ' = NP .
uuu
r
uuuu
r
Khi đó ta có AA ' là vectơ có điểm đầu là A và bằng vectơ NP .
Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB,
uuuu
r
N là điểm đối xứng với C qua D . Hãy tính độ dài của vectơ sau MD .

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuuu
r a 15
A. MD =
2

uuuu
r a 5
B. MD =
3

uuuu
r a 5
C. MD =
2

uuuu
r a 5
D. MD =
4

Lời giải:
(hình 1.5)
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vng
MAD ta có
2

ỉư
2 5a2
a 5

DM = AM + AD = ỗ
+a =
ữ
ị DM =
ỗ
ữ
ỗ
4
ố2ứ
2
2

2

2

Hỡnh 1.5

uuuu
r
a 5
Suy ra MD = MD =
.
2
Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt
AB tại P .
a 3a
Khi đó tứ giác ADNP là hình vng và PM = PA + AM = a+ = .
2 2
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vng NPM ta có

2

ỉ3
13a2
a 13
÷
MN = NP + PM = a +ỗ
ữ=
ị DM =
ỗ
ỗ
ữ
4
ố2 ứ
2
2

2

2

2

uuuu
r
a 13
Suy ra MN = MN =
.
2
3. Bài tập luyện tập.

Bài 1.1: Cho ngũ giác ABCDE . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có
điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác.
A.20

B.12

C.14

D.16

Lời giải:
Bài 1.1 Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A , B ta xác định được hai vectơ khác
uuu
r uuu
r
vectơ-không là AB, BA . Mà từ năm đỉnh A , B, C , D , E của ngũ giác ta có 10
cặp điểm phân biệt do đó có 20 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Tìm các vectơ từ 5 điểm A,
B, C, D, O
r
uuu
r uuu
a) Bằng vectơ AB ; OB
uuu
r uuur uuu
r uuur
A. AB = AC , OB = AO

uuu
r uuur uuu
r uuur
B. AB = OC , OB = DO

uuu
r uuur uuu
r uuur
C. AB = DC , OB = AO

uuu
r uuur uuu
r uuur
D. AB = DC , OB = DO

uuu
r
b) Có độ dài bằng OB
uuu
r uuur uuur
A. BC , DO , OD

uuu
r uuur uuur
B. BO , DC , OD

uuu
r uuur uuur
C. BO , DO , OD

uuu
r uuur uuur
D. BO , DO , AD

Lời giải:
uuu
r uuur uuu
r uuur
Bài 1.2: a) AB = DC , OB = DO
uuu
r uuur uuur
b) BO , DO , OD
Bài 1.3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng.
uuur
uuu
r
a) Khi nào thì hai vectơ AB và AC cùng hướng ?
A. A nằm trong đoạn BC

B. Nằm chính giữa BC

C. A nằm ngồi đoạn BC

D. Khơng tồn tại

uuur
uuu
r
b) Khi nào thì hai vectơ AB và AC ngược hướng ?

A. A nằm trong đoạn BC

B. Nằm chính giữa BC

C. A nằm ngồi đoạn BC

D. Khơng tồn tại
Lời giải:

Bài 1.3: a) A nằm ngoài đoạn BC
b) A nằm trong đoạn BC
Bài 1.4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt.
uuu
r uuu
r
a) Nếu AB = BC thì có nhận xét gì về ba điểm A, B, C


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
A. B là trung điểm của AC
của AC

B. B nằm ngoài

C. B nằm trên của AC

D. Khơng tồn tại

uuu
r uuur

b) Nếu AB = DC thì có nhận xét gì về bốn điểm A, B, C, D
A. A, B, C, D thẳng hàng
bình hành
C.A, B đều đúng

B. ABCD là hình
D.A, B đều sai
Lời giải:

Bài 1.4 a) B là trung điểm của AC
b) A, B, C, D thẳng hàng hoặc ABCD là hình bình hành
Bài 1.5: Cho hình thoi ABCD có tâm O . Hãy cho biết số khẳng định đúng ?
uuu
r uuu
r
a) AB = BC
uuu
r uuur
b) AB = DC
uuur
uuur
c) OA =- OC
uuu
r uuur
d) OB = OA
uuu
r
uuu
r
e) AB = BC

uuur
uuu
r
f) 2 OA = BD
A.3

B.4

C.5

D.6

Lời giải:
Bài 1.5: a) Sai

b) Đúng

d) Sai

f) đúng

e) Sai

c) Đúng

Bài 1.6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Hãy tìm các vectơ khác vectơkhơng có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho
uuu
r
a) Bằng với AB

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuu
r uuu
r uuu
r
A. FO ,OC , FD

uuu
r uuur uuu
r
B. FO , AC , ED

uuu
r uuur uuu
r
C. BO ,OC , ED

uuu
r uuu
r uuu
r
D. FO ,OC , ED

uuu
r
b) Ngược hướng với OC
uuur uuu
r uuu
r uuu

r
A. AO ,OF , BA , DE

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
B. CO , AF , BA , DE C. CO ,OF , BA , DE D. BO ,OF , BA , DE
Lời giải:

uuu
r uuu
r uuu
r
Bài 1.6: a) FO ,OC , ED

uuu
r uuu
r uuu

r uuu
r
b) CO ,OF , BA , DE

Bài 1.7: Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O và M là trung điểm AB.
uuur uuu
r
Tính độ dài của các vectơ OA + OB .
A. a

B. 3a

C.

a
2

D. 2a

Lời giải:
uuu
r
AB
= AB = a ;
Bài 1.7: (hình 1.40) Ta có
uuur
AC = AC = AB2 + BC 2 = a 2
uuur
1
a 2 uuur

a
OA = OA = AC =
, OM = OM =
2
2
2
Gọi E là điểm sao cho tứ giác OBEA là hình bình
hành khi đó nó cũng là hình vng

Hình 1.40

uuur uuu
r uuu
r
uuur uuu
r
Ta có OA + OB = OE Þ OA + OB = OE = AB = a
Bài 1.8: Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng tâm. Gọi I là trung
điểm của AG .
uu
r
Tính độ dài của các vectơ BI .
A.

a 21
3

B.

a 21

6

C.

a 2
6

D.

a
6


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Lời giải:
uuu
r
AB
= AB = a
Bài 1.8: (Hình 1.41)Ta có
Gọi M là trung điểm của BC
Ta có
2
uuur
2
2
2 2 a
a 3
2
2

AG = AG = AM =
AB - BM =
a=
3
3
3
4
3

Hình 1.41

uu
r
a2 a2 a 21
BI = BI = BM 2 + MI 2 =
+ =
4 3
6
Bài 1.9: Cho trước hai điểm A , B phân biệt . Tìm tập hợp các điểm M thoả
uuur
uuur
mãn MA = MB .
A. đường thẳng song song đoạn thẳng AB
B. đường trung trực của đoạn thẳng AB
C. đường vng góc của đoạn thẳng AB
D.Khơng tồn tại
Lời giải:
uuur
uuur
Bài 1,9: MA = MB Û MA = MB Þ Tập hợp điểm M là đường trung trực của

đoạn thẳng AB
 DẠNG 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau.
1. Phương pháp giải.
• Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ
dài và cùng hướng hoặc dựa vào nhận xét nếu tứ giác ABCD là hình
uuu
r uuur
uuur uuu
r
bình hành thì AB = DC và AD = BC
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD,
DA. Khảng định nào sau đây đúng
uuuu
r uuu
r
A. MN =QP

uuuu
r
uuu
r
B. MN = 2QP

uuuu
r uuuur
C. MN = 3QP

uuuuur uuu
r

D. 3MN =QP


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Lời giải:
(hình 1.6)
Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC
nên MN là đường trung bình của tam giác
ABC suy ra MN / / AC và MN =

1
AC (1).
2

Hình 1.6

Tương tự QP là đường trung bình của tam giác ADC suy ra QP / / AC và
1
QP = AC (2).
2
Từ (1) và (2) suy ra MN / /QP và MN = QP do đó tứ giác MNPQ là hình bình
hành
uuuu
r uuu
r
Vậy ta có MN =QP
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi I là trung điểm của BC .
uuur uuur
Dựng điểm B' sao cho B' B = AG .Khẳng định nào sau đây đúng
a)

uu
r uur
A. BI = IC

uu
r
uur
B. 3BI = 2IC

uu
r uuur
C. BI = 2IC

uuur uur
D. 2BI = IC

b) Gọi J là trung điểm của BB' . Khẳng định nào sau đây là đúng
uuur
uur
A. 3BJ = 2IG .

uu
r uur
B. BJ = IG

uu
r
uur
C. BJ = 2IG

uuur uur
D. 2BJ = IG

Lời giải:
(hình 1.7)
a) Vì I là trung điểm của BC nên BI = CI
uur
uu
r
và BI cùng hướng với IC do đó hai vectơ
uu
r uur
uu
r uur
BI , IC bằng nhau hay BI = IC .
Hình 1.7

uuur uuur
b) Ta có B' B = AG suy ra B' B = AG và BB'/ / AG .
uu
r uur
Do đó BJ , IG cùng hướng (1).


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
1
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên IG = AG , J là trung điểm BB' suy ra
2
1

BJ = BB'
2
Vì vậy BJ = IG (2)
uu
r uur
Từ (1) và (2) ta có BJ = IG .
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD . Trên các đoạn thẳng DC , AB theo thứ tự
lấy các điểm M , N sao cho DM = BN . Gọi P là giao điểm của AM , DB và Q
là giao điểm của CN , DB . Khẳng định nào sau đây là đúng?
uuuu
r uuur
A. AM = NC

uuu
r uuu
r
B. DB = QB

C.Cả A, B đúng D.Cả A, B sai

Lời giải:
(hình 1.8)
Ta có DM = BN Þ AN = MC , mặt khác
AN song song với MC do đó tứ giác
ANCM là hình bình hành
uuuu
r uuur
Suy ra AM = NC .
Hình 1.8

·
·
Xét tam giác D DMP và D BNQ ta có DM = NB (giả thiết), PDM
(so le
= QBN
trong)
·
·
·
·
Mặt khác DMP
(đối đỉnh) và APQ
(hai góc đồng vị) suy ra
= NQB
= APB
·
·
.
DMP
= BNQ
Do đó D DMP = D BNQ (c.g.c) suy ra DB = QB .
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
Dễ thấy DB, QB cùng hướng vì vậy DB = QB .
3. Bài tập luyện tập.

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.10: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC,
CD, DA. Khăng định nào sau đây đúng
uuuuur uuu
r
A. 3MQ = NP

uuuu
r uuu
r
B. MQ = NP

uuuuur uuu
r
C. 2MQ = NP

uuuu
r
uuu
r
D. MQ = 2NP

Lời giải:
Bài 1.10: (Hình 1.42) Do M, Q lần lượt là trung
điểm của AB và AD nên MQ là đường trung bình
1
của tam giác ABD suy ra MQ / / BD và MQ = BD
2
(1).

Tương tự NP là đường trung bình của tam giác
1
CBD suy ra NP / / BD và NP = BD (2).
2

Hình 1.42

Từ (1) và (2) suy ra MQ / / NP và NP = MQ do đó
tứ giác MNPQ là hình bình hành
uuuu
r uuu
r
Vậy ta có MQ = NP .
Bài 1.11: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
DC , AB ; P là giao điểm của AM , DB và Q là giao điểm của CN , DB .Khẳng
định nào sau đây là đúng nhất.
uuu
r uuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
A. DM = NB
B. DP = PQ = QB C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B
đều sai
Lời giải:
Bài 1.11: (Hình 1.43)
Ta có tứ giác DMBN là hình bình

1
hành vì DM = NB = AB, DM / / NB .
2
uuuu
r uuu
r
Suy ra DM = NB .
Xét tam giác CDQ có M là trung
điểm của DC và MP / /QC do đó P là
trung điểm của DQ . Tương tự xét
tam giác ABP suy ra được Q là trung
điểm của PB
Vì vậy DP = PQ = QB từ đó suy ra

Hình 1.43


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuu
r uuu
r uuu
r
DP = PQ = QB
Bài 1.12: Cho hình thang ABCD có hai đáy
uu
r uuur
vẽ CI = DA . Khẳng định nào sau đây là đúng
a)
uuur uur
A. AD = IC

B.

là AB và CD với AB = 2CD . Từ C
nhất?
uur uur
DI = CB

C.Cả A, B đều đúng
b)

D.Cả A, B đều sai

uur uu
r uuur
A. AI = IB = DC

uur uuur uuur
B. AI = 2IB = DC

uuur uu
r uuur
C. 2AI = IB = DC

uur uu
r uuuur
D. AI = IB = 2DC

Lời giải:
Bài 1.12: (Hình 1.44)
uu

r uuur
a) Ta có CI = DA suy ra AICD là hình
bình hành
uuur uur
Þ AD = IC
Ta có DC = AI mà AB = 2CD do đó
1
AI = AB Þ I là trung điểm AB
2
Ta có DC = IB và DC / / IBÞ tứ giác
BCDI là hình bình hành
uur uur
Suy ra DI = CB

Hình 1.44

uur uu
r
b) I là trung điểm của AB Þ AI = IB và tứ giác BCDI là hình bình hành
uu
r uuur
uur uu
r uuur
Þ IB = DC suy ra AI = IB = DC
Bài 1.13: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường trịn ngoại
tiếp . Gọi B' là điểm đối xứng B qua OKhẳng định nào sau đây là đúng?
uuur uuur
A. AH = B'C

uuuur uuur

B. 3AH = B'C

uuuur uuur
C. 2AH = B'C

Lời giải:
Bài 1.13: Ta có B'C ^ BC , AH ^ BC Þ B'C / / AH ,
B' A ^ BA , CH ^ AB Þ B' A / /CH

uuur
uuur
D. AH = 2B'C


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuur uuur
Suy ra AHCB' là hình bình hành do đó AH = B'C .
§2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tổng hai vectơ
r r
a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a; b.
uuu
r r
Từ điểm A tùy ý vẽ AB = a rồi từ B
uuu
r r
uuur
vẽ BC = b khi đó vectơ AC được gọi
r r

là tổng của hai vectơ a; b.
uuur r r
Kí hiệu AC = a+ b (Hình 1.9)

r
a

r
r
r b
a
b
r r
a +b
Hình 1.9

b) Tính chất :
r r r r
+ Giao hốn : a+ b= b+ a
r r r r r r
+ Kết hợp : (a+ b) + c = a+ (b+ c)
r r r r
+ Tính chất vectơ – khơng: a+ 0 = a, " a
2. Hiệu hai vectơ
a) Vectơ đối của một vectơ.
r
r
Vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng và cúng độ dài với vectơ a
r
Kí hiệu - a

r
r
r r
uuu
r
uuu
r
Như vậy a+ - a = 0, " a và AB =- BA

( )

b) Định nghĩa hiệu hai vectơ:
r
r
r
r
Hiệu của hai vectơ a và b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b . Kí
r r r
r
hiệu là a- b= a+ - b

( )


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
3. Các quy tắc:
uuu
r uuu
r uuur
Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC

uuu
r uuur uuur
Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC
uuu
r uuur uuu
r
Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB- OA = AB
Chú ý: Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1 , A 2 ,..., An thì
uuuuu
r uuuuu
r
uuuuuuu
r uuuuu
r
A1A2 + A 2A 3 + ...+ An- 1An = A1An
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ.
1. Phương pháp giải.
Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ
• Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất,
quy tắc để xác định định phép tốn vectơ đó.
• Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong
tam giác vng để xác định độ dài vectơ đó.
2. Các ví dụ.
·
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng tại A có ABC
= 300 và BC = a 5 .
uuu
r uuur
Tính độ dài của các vectơ AB + AC .

A. a 2

B. a 5

C. a 7

D. a 3

Lời giải:
(hình 1.10)
Theo quy tắc ba điểm ta có
uuu
r uuu
r uuur
• AB + BC = AC
AC
·
=
Mà sin ABC
BC
a 5
·
Þ AC = BC.sin ABC
= a 5.sin300 =
2

Hình 1.10


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

uuu
r uuu
r
uuur
a 5
Do đó AB + BC = AC = AC =
2
uuur uuu
r uuur uur uuu
r
• AC - BC = AC + CB = AB
Ta có AC 2 + AB2 = BC 2 Þ AB = BC 2 - AC 2 = 5a2 -

5a2 a 15
=
4
2

uuur uuu
r
uuu
r
a 15
Vì vậy AC - BC = AB = AB =
2
• Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành.
uuu
r uuur uuur
Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AC = AD
Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra

AD = BC = a 5
uuu
r uuur
uuur
Vậy AB + AC = AD = AD = a 5
Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD có tâm là O và cạnh a. M là một điểm bất
kỳ.
uuu
r uuur uuur uur uuu
r uuur
AB
+
AD
,
OA
CB
,
CD
- DA
a) Tính
uuu
r uuur
AB
+ AD = a 2
A.

uuur uur
OA
- CB = a
B.

uuu
r uuur
CD
- DA = a 2
C.

D.Cả A, B, C đều đúng

r uuur uuur uuur uuuu
r
b) Chứng minh rằng u = MA + MB- MC - MD khơng phụ thuộc vị trí điểm M .
r
Tính độ dài vectơ u
A.2a

B.3a

C.a
Lời giải:

(hình 1.11)
uuu
r uuur uuur
a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC

D.4a


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

uuu
r uuur
uuur
Suy ra AB + AD = AC = AC .
Áp dụng định lí Pitago ta có
AC 2 = AB2 + BC 2 = 2a2 Þ AC = 2a
uuu
r uuur
AB
+ AD = a 2
Vậy
uuur uuu
r
+ Vì O là tâm của hình vng nên OA = CO suy ra
uuur uur uuu
r uur uuu
r
OA - CB = CO - CB = BC
uuur uur uuur
Vậy OA - CB = BC = a
uuu
r uuu
r
+ Do ABCD là hình vng nên CD = BA suy ra
uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
CD - DA = BA + AD = BD

Hình 1.11

uuu
r
uuu
r uuur
2
2
Mà BD = BD = AB + AD = a 2 suy ra CD - DA = a 2
b) Theo quy tắc phép trừ ta có
r
uuur uuur
uuur uuuu
r
uuu
r uuu
r
u = MA - MC + MB- MD = CA + DB

(

) (

)

r
Suy ra u khơng phụ thuộc vị trí điểm M .
Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC tại C ' .
Khi đó tứ giác ADBC ' là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra
uuu

r uuuu
r
DB = AC '
r uuu
r uuuu
r uuur
Do đó u = CA + AC ' = CC '
r
uuur
Vì vậy u = CC ' = BC + BC ' = a+ a= 2a
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.14: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính độ dài của các vectơ sau
uuu
r uuur uuu
r uuur
AB- AC , AB + AC .


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuu
r uuur
A. AB- AC = a

uuu
r uuur
B. AB + AC = a 3

C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A, B đều sai

Lời giải:
Bài 1.14: (Hình 1.45)Theo quy tắc trừ ta có
uuu
r uuur uur
uuu
r uuur
AB- AC = CB Þ AB- AC = BC = a
Gọi A ' là đỉnh của hình bình hành ABA 'C và O là
tâm hình nình hành đó. Khi đó ta có
uuu
r uuur uuuu
r
AB + AC = AA ' .
Ta có AO = AB2 - OB2 = a2 -

Hình 1.45

a2 a 3
=
4
2

uuu
r uuur
Suy ra AB + AC = AA ' = 2AO = a 3

Bài 1.15: Cho hình vng ABCD có tâm là O và cạnh a. M là một điểm bất
kỳ.
uuu

r uuur uuu
r uuu
r uuur
a) Tính AB + OD , AB- OC + OD
uuu
r uuur a 2
A. AB + OD =
2
C.Cả A, B đều đúng

uuu
r uuur uuur
B. AB- OC + OD = a
D.Cả A, B đều sai

uuur uuur uuur uuuu
r
b) Tính độ dài vectơ MA - MB- MC + MD
uuur uuur uuur uuuu
r
A. MA - MB- MC + MD = a

uuur uuur uuur uuuu
r
B. MA - MB- MC + MD = 3a

uuur uuur uuur uuuu
r
C. MA - MB- MC + MD = 2a

uuur uuur uuur uuuu
r 3a
D. MA - MB- MC + MD =
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Lời giải:
Bài 1.15. (Hình 1.46)
a) Ta có
uuur uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur
OD = BO Þ AB + OD = AB + BO = AO
uuu
r uuur
AC a 2
AB + OD = AO =
=
2
2

Hình 1.46

uuu
r uuur
Ta có OC = AO suy ra
uuu

r uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur r
AB- OC + OD = AB- AO + OD = OB + OD = 0
uuu
r uuur uuur
Þ AB- OC + OD = 0

b) Áp dụng quy tắc trừ ta có
uuur uuur uuur uuuu
r
uuur uuur
uuur uuuu
r
uuu
r uuur uuu
r uuur
MA - MB- MC + MD = MA - MB - MC - MD = BA - DC = BA - DC

(

) (

)

Lấy B' là điểm đối xứng của B qua A
uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur

Khi đó - DC = AB' Þ BA - DC = BA + AB' = BB'
uuur uuur uuur uuuu
r
uuur
Suy ra MA - MB- MC + MD = BB' = BB' = 2a
·
Bài 1.16: Cho hình thoi ABCD cạnh a và BCD
= 600 . Gọi O là tâm hình thoi.
uuu
r uuur uuu
r uuur
Tính AB + AD , OB- DC .
uuu
r uuur
uuu
r uuur
a 3
A. AB + AD = a 3, B. OB- DC =
2
C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A, B đều sai
Lời giải:

uuu
r uuur
uuur
AB
+
AD

=
AD = 2acos300 = a 3,
Bài 1.16: Ta có


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuu
r uuur
uuu
r
a 3
OB- DC = CO = acos600 =
2
uuur uuu
r uuu
r
Bài 1.17: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ OA , OB, OC
uuur uuu
r uuur r
cùng bằng a và OA + OB + OC = 0
a) Tính các góc AOB, BOC , COA
·
A. AOB=
1200

·
B. BOC
= 600

·

·
·
C. AOB
= BOC
=COA
= 1200

·
D. COA
= 300

uuu
r uuur uuur
OB
+ AC - OA
b) Tính
uuu
r uuur uuur
OB
+ AC - OA = a 3
A.

uuu
r uuur uuur
OB
+ AC - OA = 2a 3
B.

uuu
r uuur uuur

OB
+ AC - OA = 3a 3
C.

uuu
r uuur uuur
OB
+ AC - OA = a
D.
Lời giải:

Bài 1.17: a) Từ giả thiết suy ra ba điểm A, B, C tạo thành tam giác đều
·
·
·
nhận O làm trọng tâm do đó AOB
= BOC
=COA
= 1200
b) Gọi I là trung điểm BC. Theo câu a) D ABC đều nên AI =

3
a
2

uuu
r uuur uuur
OB + AC - OA = a 3
Bài 1.18: Cho góc Oxy . Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B . Tìm điều kiện của A,B
uuur uuu

r
sao cho OA + OB nằm trên phân giác của góc Oxy .
A. OA = OB

B.

1
OA = OB
2

C. 2OA = OB

D. OA = 2OB

Lời giải:
uuur uuu
r uuur
Bài 1.18: Dựng hình bình hành OACB. Khi đó: OA + OB = OD


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuur
Vậy OD nằm trên phân giác góc xOy Û OACB là hình thoi Û OA = OB .
 DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ.
1. Phương pháp giải.
• Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành vế
kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương
trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc
tính vectơ.
Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần

xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm
sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế
đơn giản hơn.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho năm điểm A , B,C , D , E . Khẳng định nào đúng?
a)
uuu
r uuu
r uuu
r
uur uuu
r
AB
+
CD
+
EA
=
2
CB
+
ED
A.

(

uuu
r uuu
r uuu
r 1 uur uuu

r
B. AB + CD + EA = CB + ED
2

)

(

uuu
r uuu
r uuu
r 3 uur uuu
r
C. AB + CD + EA = CB + ED
2

(

uuu
r uuu
r uuu
r uur uuu
r
D. AB + CD + EA = CB + ED

)

b)
uuur uuu
r uuu

r
uuu
r uuu
r uur
AC
+
CD
EC
=
2
AE
DB
+ CB
A.

(

)

uuur uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uur
AC
+
CD
EC
=

3
AE
DB
+ CB
B.

(

)

uuu
r uuu
r uur
uuur uuu
r uuu
r AE - DB + CB
C. AC + CD - EC =
4
uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uur
D. AC + CD - EC = AE - DB + CB
Lời giải:
a) Biến đổi vế trái ta có

)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuur uur uuu
r uuu
r uuur
VT = AC + CB + CD + ED + DA
uur uuu
r
uuur uuu
r uuur
= CB + ED + AC + CD + DA
uur uuu
r uuur uuur
= CB + ED + AD + DA

(
(
(

)

(

) (
)

)

)

uur uuu

r
= CB + ED = VP ĐPCM
b) Đẳng thức tương đương với
uuur uuu
r
AC - AE +
uuu
r uuu
r
Û EC + BD -

(

) (

uuu
r uur uuu
r uuu
r r
CD - CB - EC + DB = 0
uuu
r uuu
r r
EC + DB = 0

)

uuu
r uuu
r r

BD + DB = 0 (đúng) ĐPCM.
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong mặt
phẳng. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
a)
uuu
r uuur uuur r
A. BA + DA + AC = 0

uuu
r uuur uuur uuu
r
B. BA + DA + AC = AB

uuu
r uuur uuur uuuuur
C. BA + DA + AC = 2AM

uuu
r uuur uuur uuuu
r
D. BA + DA + AC = AM

uuur uuu
r uuur uuur uuur
A. OA + OB + OC + OD = OM

uuur uuu
r uuur uuur uuuuu
r
B. OA + OB + OC + OD = 3OM

uuur uuu
r uuur uuur r
C. OA + OB + OC + OD = 0

uuur uuu
r uuur uuur uuuuu
r
D. OA + OB + OC + OD = 4OM

b)

c)

.
uuur uuur uuuur
uuuu
r
A. MA + MC = 2MB + 2MD

uuur uuuu
r
uuur uuur MB + MD
B. MA + MC =
2

uuur uuur uuur uuuu
r
C. MA + MC = MB + MD

uuur uuur
uuur uuuu
r
D. MA + MC = 3 MB + MD

(

)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Lời giải:
(Hình 1.12)
a) Ta có
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur
BA + DA + AC =- AB- AD + AC
uuu
r uuur uuur
=- AB + AD + AC

(

)

Hình 1.12

Theo quy tắc hình bình hành ta có

uuu
r uuur uuur
AB + AD = AC suy ra
uuu
r uuur uuur
uuur uuur r
BA + DA + AC =- AC + AC = 0

uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur r
b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: OA = CO Þ OA + OC = OA + AO = 0
uuu
r uuur r uuur uuu
r uuu
r uuur r
Tương tự: OB + OD = 0 Þ OA + OB + OC + OD = 0 .
uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r r
c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC Þ BA + DC = BA + AB = 0
uuur uuur uuur uuu
r uuuu
r uuur
Þ MA + MC = MB + BA + MD + DC
uuur uuuu
r uuu
r uuur uuur uuuu
r

= MB + MD + BA + DC = MB + MD
Cách 2: Đẳng thức tương đương với
uuur uuur uuuu
r uuur
uuu
r uuu
r
MA - MB = MD - MC Û BA = CD (đúng do ABCD là hình bình hành)
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
BC , CA , AB .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
a)
uuur uuur uuu
r uuu
r
A. BM + CN + AP = AB

uuur uuur uuu
r 1 uuu
r
B. BM + CN + AP = AB
2

uuur uuur uuu
r r
C. BM + CN + AP = 0

uuur uuur uuu
r uuuur
D. BM + CN + AP = 2AB

uuuur
uuu
r uuur uuur uuur 1AB
A. AP + AN - AC + BM =
2

uuur
uuu
r uuur uuur uuur BC
B. AP + AN - AC + BM =
2

b)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuu
r uuur uuur uuur uuuu
r
C. AP + AN - AC + BM = AM

uuu
r uuur uuur uuur r
D. AP + AN - AC + BM = 0

c) với O là điểm bất kì.
uuur uuur uuu
r
uuur uuu
r uuur OM + ON + OP

A. OA + OB + OC =
2
uuur uuur uuu
r
uuur uuu
r uuur OM + ON + OP
C. OA + OB + OC =
4

uuur uuur uuu
r
uuur uuu
r uuur OM + ON + OP
B. OA + OB + OC =
3
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r
D. OA + OB + OC = OM + ON + OP

Lời giải:
(Hình 1.13)
a) Vì PN , MN là đường trung bình của tam giác ABC nên
PN / / BM , MN / / BP suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành
uuur uuur
Þ BM = PN
uuur uuur
N là trung điểm của AC Þ CN = NA
Do đó theo quy tắc ba điểm ta có
uuur uuur uuu

r
uuur uuur uuu
r
BM + CN + AP = PN + NA + AP
uuu
r uuu
r r
= PA + AP = 0

(

)

Hình 1.13

b) Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo quy
uuu
r uuur uuuu
r
tắc hình bình hành ta có AP + AN = AM , kết hợp với quy tắc trừ
uuu
r uuur uuur uuur uuuu
r uuur uuur uuur uuur
Þ AP + AN - AC + BM = AM - AC + BM = CM + BM
uuur uuur r
Mà CM + BM = 0 do M là trung điểm của BC .
uuu
r uuur uuur uuur r
Vậy AP + AN - AC + BM = 0 .
c) Theo quy tắc ba điểm ta có

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuur uuu
r uuur
uuu
r uuu
r
uuur uuur
uuur uuur
OA + OB + OC = OP + PA + OM + MB + ON + NC
uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur
= OM + ON + OP + PA + MB + NC
uuur uuur uuu
r
uuur uuur uuu
r
= OM + ON + OP - BM + CN + AP

(

(
(

) (

)
) (

) (

)

)

uuur uuur uuu
r r
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r
Theo câu a) ta có BM + CN + AP = 0 suy ra OA + OB + OC = OM + ON + OP .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.19: Cho bốn điểm A , B,C , D . Tìm khẳng định đúng nhất?
a)
uuur uuu
r uuu
r uur
A. DA - CA = DB- CB
uuu
r uur
uuur uuu
r DB- CB
DA - CA =
2

B.

uuu

r uur
uuur uuu
r DB- CB
C. DA - CA =
4
uuu
r uur
uuur uuu
r DB- CB
DA - CA =
3

D.

b)
uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r
A. AC + DA + BD = AD - CD + BA

uuur uuu
r uuu
r
uuur uuur uuu
r AD - CD + BA
B. AC + DA + BD =
2

uuur uuu

r uuu
r
uuur uuur uuu
r AD - CD + BA
C. AC + DA + BD =
3

uuur uuu
r uuu
r
uuur uuur uuu
r AD - CD + BA
D. AC + DA + BD =
4

Lời giải:
Bài 1.19: a) Áp dụng quy tắc trừ ta có
uuur uuu
r uuu
r uur
uuur uuu
r uuu
r uur
DA - CA = DB- CB Û DA - DB = CA - CB
uuu
r uuu
r
Û BA = BA (đúng)
b) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r
uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur uuu
r
AC + DA + BD = AD - CD + BA Û DA + AC + BD = BA + AD - CD

(

)

(

)

uuur uuu
r uuu
r uuu
r
Û DC + BD = BD - CD (đúng)
Bài 1.20: Cho các điểm A , B, C , D , E, F . Khẳng định nào đúng nhất?
uuu
r uur uuu
r

uuur uur uur AE + BF + CD
A. AD + BE + CF =
2

uuu
r uur uuu
r
uuur uur uur AE + BF + CD
B. AD + BE + CF =
4

uuu
r uur uuu
r
uuur uur uur AE + BF + CD
C. AD + BE + CF =
3

uuur uur uur uuu
r uur uuu
r
D. AD + BE + CF = AE + BF + CD

Lời giải:
Bài 1.20: Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(

uuur uuu
r

uur uur
uur uuu
r
r
AD - AE + BE - BF + CF - CD = 0

) (

) (

)

uuu
r uur uuu
r r
Û ED + FE + DF = 0
uur uur r
Û EF + FE = 0 (đúng)
uuur uur uur
uuu
r uuu
r
uur uur
uuu
r uuu
r
Cách 2: VT = AD + BE + CF = AE + ED + BF + FE + CD + DF

(

) (

) (

)

uuu
r uur uuu
r uuu
r uur uuu
r
= AE + BF + CD + ED + FE + DF
uuu
r uur uuu
r
= AE + BF + CD = VP
Bài 1.21: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong mặt
phẳng.Khẳng định nào đúng
a)
uuur
uuu
r uuur uuur AC
A. AB + OD + OC =
2

uuu
r uuur uuu
r uuuur
B. AB + OD +OC = 2AC

uuu
r uuur uuu
r uuur
C. AB + OD +OC = AC

uuu
r uuur uuu
r uuuur
D. AB + OD +OC = 3AC

uuu
r uuu
r uuu
r uuur
b) BA + BC + OB = OD
uuu
r uuu
r uuu
r
uuur
A. BA + BC + OB = 3OD

uuu
r uuu
r uuu
r uuur
B. BA + BC + OB = OD