NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG MÔ HÌNH QSTATE CLOCK BẰNG PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

Tạ Thành Long

NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG MÔ HÌNH
Q-STATE CLOCK BẰNG PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG
MONTE CARLO

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY
Ngành: Vật lý kỹ thuật



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

Tạ Thành Long

NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG MÔ HÌNH
q-STATE CLOCK BẰNG PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG
MONTE CARLO

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY
Ngành: Vật lý kỹ thuật

Cán bộ hướng dẫn: TS. Đào Xuân Việt

Cán bộ đồng hướng dẫn: TS. Đặng Đình Long

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả những thầy cô và mọi
người đã giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này!
Lời cảm ơn đầu tiên xin được gửi đến TS.Đào Xuân Việt – Viện Tiên tiến
Khoa học và Công nghệ, Đại học Bách Khoa Hà Nội và TS. Đặng Đình Long Khoa Vật lý kỹ thuật & Công nghệ nano người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo và
giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Thầy là người đã định hướng cho tôi biết
hướng đi của đề tài và hướng dẫn cho tôi các bước thực hiện công việc. Thầy
luôn dành nhiều thời gian cho tôi khi tôi gặp khó khăn với quá trình tính toán để
giúp tôi hiểu hơn về vấn đề, nhờ sự tận tình chỉ bảo của thầy, tôi đã có thể tìm ra
những giải pháp mang lại những kết quả chính xác hơn.
Tôi xin cảm ơn tới toàn thể thầy cô giáo và các cán bộ của trường Đại học Công
nghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội nói chung và Khoa Vật lý kỹ thuật & Công Nghệ
nano nói riêng, những người đã giảng dạy, chỉ bảo tận tình và chu đáo, giúp tôi có
những bài học bổ ích và tích lũy những kiến thức quý báu trong quá trình học tập và
nghiên cứu để hoàn thành khóa luận, đồng thời hoàn thiện những kiến thức nền tảng
cho công việc học tập và công tác sau này.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn tất cả người thân, gia đình và bạn bè đã luôn ủng
hộ và động viên tôi khi tôi thực hiện khóa luận này. Xin chúc tất cả mọi người
luôn mạnh khỏe và đạt được nhiều thành công trong cuộc sống!

Hà Nội, ngày tháng năm 2018
Sinh viên

Tạ Thành Long


TÓM TẮT NỘI DUNG

Mô hình q-state clock có thể mô tả sự tương tác của các spin gián đoạn trong mạng
tinh thể hai chiều. Mô hình q-state clock đã được nghiên cứu nhiều từ khá lâu và các
tác giả đã đưa ra nhận định chung là: i) với q ≤ 4 thì mô hình có 1 chuyển pha (là
chuyển pha bậc 2); ii) với q > 5 thì mô hình có 2 chuyển pha (đều là chuyển pha
Kosterlitz-Thouless). Gần đây, mô hình q-satte clock model thu hút được nhiều chú
ý, đặc biệt là những tranh luận xung quanh sự tồn tại hay không tồn tại chuyển pha
Kosterlitz-Thouless (KT) trong trường hợp q = 5. Dựa trên biểu hiện của đại lượng
mô đun xoắn (helicity modulus) với q = 4, q = 5 và q = 6, Beak và cộng sự đã chỉ ra
rằng tại q = 5 không có chuyển pha KT. Tuy nhiên, dựa trên đại lượng mô đun xoắn
gián đoạn (discrete helicity modulus), Kumano và cộng sự lại chỉ ra trường hợp q = 5
có chuyển pha KT. Để làm rõ hơn vấn đề này, chúng tôi khảo sát sự chuyển pha của
mô hình q-state clock thông qua độ dài tương quan (correlation length), binder ratio,
nhiệt dung riêng bằng phương pháp mô phỏng Monter Carlo tại q = 4, q = 5 và q = 6.
Các kết quả mô phỏng của độ dài tương quan và Binder ratio chỉ ra tại q =5 xuất hiện
những biểu hiện giống với kết quả tại q = 6 và khác với kết quả tại q = 4. Nghĩa là,
chuyển pha trong trường hợp q =5 là chuyển pha KT.
Từ khóa: Chuyển pha, Kosterlitz-Thouless, mô phỏng Monte Carlo, vật liệu từ.


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của tôi và trong đó
hoàn toàn không có sự sao chép tài liệu, công trình nghiên cứu của người khác mà
không có chú thích rõ ràng trong mục tài liệu tham khảo. Những kết quả và các số
liệu trong khóa luận chưa từng được công bố dưới bất kỳ hình thức nào. Tôi hoàn
toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường về sự cam đoan này.

Hà Nội, ngày tháng
Sinh viên

Tạ Thành Long

năm 2018


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
1

Góc của spin với trục hoành tại vị trí nút mạng i

2

C

Nhiệt dung riêng

3

E

Năng lượng

4

kB

Hằng số Boltzmann

5

KT

Kosterlitz–Thouless

6

L

Kích thước mạng

7

m

Từ độ tuyệt đối

8

N

Số nút mạng,

9

NMC

Số bước mô phỏng

10

T

Nhiệt độ tuyệt đối

11

T1

Chuyển pha ở nhiệt độ thấp

12

T2

Chuyển pha ở nhiệt độ cao

13

Tc

Nhiệt độ chuyển pha Curie

14

TKT

Nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz–Thouless

15

Hamiltonian

16

Hằng số tương tác trao đổi

17

Tổng thống kê

18

Binder ratio

19

Mô đun xoắn (helicity modulus)

20
21

Chiều dài tương quan


DANH MỤC HÌNH VÀ BẢNG BIỂU
Hình 1.1

Sự tương tác của một spin với bốn spin lân cận trong hệ Ising hai
chiều và Chuyển pha trong mô hình Ising.

Hình 1.2

Hình 1.3

Cặp xoáy (phải) và phản xoáy (trái) và trật tự của các spin
Từ trái sang phải, số hướng khả dĩ của mỗi spin trong các mô hình 2D ising, 2D qstate clock, 2D XY
Bức tranh chuyển pha của mô hình q-state clock model

Hình 1.4

Hình 1.5
Hình 1.6
Hình 2.1
Hình 2.2
Hình2.3

Kết quả mô đun xoắn liên tục của Baek cho hai trường hợp q = 5 và q = 6
Kết quả mô đun xoắn gián đoạn của Kumano cho hai trường hợp q = 5 và q = 6
Các góc khả dĩ của spin trong mô hình q-state clock với giá trị q = 5

Hình 3.1

Mô đun xoắn thể hiện tính liên tục ở kích thước vừa và lớn, tính
không liên tục ở kích thước vô hạn.
Nhiệt dung riêng với các kích thước khác nhau của trường hợp
chuyển pha bậc hai (và trường hợp chuyển pha KT
Từ độ với các kích thước khác nhau của mô hình Ising

Hình 3.2
Hình 3.3
Hình 3.4
Hình 3.5

Hình 4.1
Hình 4.2
Hình 4.3
Hình 4.4
Hình 4.5
Hình 4.6
Hình 4.7
Hình 4.8

Năng lượng của mỗi cấu hình theo số bước Monte Carlo
Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của nhiệt dung riêng phụ thuộc vào nhiệt độ thông
qua hai cách tính khác nhau cho các trường hợp q = 4, q = 5 và q = 6

Binder ratio với các kích thước khác nhau của mô hình q-state clock model
Chiều dài tương quan tỷ đối ξ/L phụ thuộc vào nhiệt độ với các kích thước mạng
khác nhau của mô hình 2D XY và mô hình Ising
Đại lượng mô đun xoắn: kết quả mô phỏng và kết quả của Kumano
Mô đun xoắn với các trường hợp q = 4, q = 5 và q = 6
Đạo hàm mô đun xoắn với các trường hợp q = 4, q = 5 và q = 6
TKT phụ thuộc theo 1/l2 với l = ln(bL) với các các kích thước L = 16, 32, 64, 128 cho
trường hợp q = 5 (a), q = 6 (b). Nhiệt độ chuyển pha TKT được xác định theo công
thức (4.1).
Năng lượng với các trường hợp q = 4, q = 5 và q = 6
Kết quả mô phỏng nhiệt dung riêng và kết quả của nhóm O. Borisenko cho
trường hợp q = 5.
Nhiệt dung riêng với các trường hợp q = 4, q = 5 và q = 6
Kết quả mô phỏng từ độ tuyệt đối và kết quả của nhóm O. Borisenko cho trường
hợp q = 5.
Từ độ tuyệt đối với các trường hợp q = 4, q = 5 và q = 6
Kết quả mô phỏng binder ratio và kết quả của nhóm O. Borisenko cho trường

hợp q = 5.
Binder ratio với các trường hợp q = 4, q = 5 và q = 6

Hình 4.9
Hình
4.10
Hình 4.11
Hình
Đạo hàm của binder ratio với các trường hợp q = 4, q = 5 và q = 6
4.12
TKT với các các kích thước L = 16, 32, 64, 128 phụ thuộc theo 1/L cho trường hợp
Hình
q = 4 , phụ thuộc theo J=;;/l2 với l = ln(bL) tại q = 5, q = 6 Nhiệt độ chuyển pha TKT
4.13
Hình

(cho trường hợp q = 5 và q = 6) được xác định theo công thức (4.1) nhiệt độ
chuyển pha Tc (cho trường hợp q = 4) được xác định theo công thức (4.2).
Chiều dài tương quan tỉ đối với các trường hợp q = 4, q = 5 và q = 6


4.13
Hình
4.14

TKT (L) với các giá trị R khác nhau phụ thuộc theo 1/L cho trường hợp q = 4, phụ
thuộc theo 1/l2 với L = ln(bL) cho các kích thước L = 16, 32, 64, 128 tại q = 4, q = 5,
q = 6. Nhiệt độ chuyển pha TKT (cho trường hợp q = 5 và q = 6) được xác định
bằng công thức (4.1), nhiệt độ chuyển pha Tc (cho trường hợp q = 4) được xác
định bằng công thức (4.2).

MỤC LỤC
MỤC LỤC.................................................................................................................. 2
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU.......................................................................................2
1.1

Vật liệu từ hai chiều và mô hình.................................................................2

1.2

Hiện tượng chuyển pha của các mô hình trong mạng tinh thể vuông......2

1.2.1 Mô hình 2D Ising.......................................................................................2
1.2.2 Mô hình 2D XY.........................................................................................2
1.2.3 Mô hình 2D q-state clock..........................................................................2
1.3 Tranh luận xung quanh trường hợp q = 5 của mô hình q-state clock..........2
1.4 Lý do chọn đề tài..............................................................................................2
CHƯƠNG 2 : MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP.....................................................2
2.1 Mô hình.............................................................................................................2
2.2 Phương pháp....................................................................................................2
2.2.1 Phương pháp Monte Carlo.......................................................................2
2.2 Trung bình hóa và phương pháp lấy mẫu đơn giản..................................2
2.2 Thuật toán Metropolis.....................................................................................2
2.2.1 Phương pháp lấy mẫu quan trọng...........................................................2
2.2.2 Thuật toán Metropolis..............................................................................2
2.2.3 Thuật toán Wolff.......................................................................................2
2.3 Các tham số mô phỏng....................................................................................2
2.4 Kiểm tra cân bằng...........................................................................................2
CHƯƠNG 3: CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ.............................................................2

3.1 Mô đun xoắn (Helicity modulus .....................................................................2
3.2. Năng lượng......................................................................................................2
3.3 Nhiệt dung riêng..............................................................................................2
3.4 Từ độ.................................................................................................................2


3.4 Binder ratio......................................................................................................2
3.5 Chiều dài tương quan (correlation length)....................................................2
..................................................................................................................................... 2
CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ...........................................................................................2
4.1 Mô đun xoắn.....................................................................................................2
4.2 Các đại lượng khác..........................................................................................2
4.2.1 Năng lượng và nhiệt dung riêng..............................................................2
4.2.2 Từ độ..........................................................................................................2
4.2.2 Binder ratio...............................................................................................2
4.2.2 Chiều dài tương quan...............................................................................2
CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN.........................................................................................2
Tài liệu tham khảo.....................................................................................................2


CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU
1.1 Vật liệu từ hai chiều và mô hình.
Vật liệu từ hai chiều có thể được mô tả bằng các mô hình lý thuyết, mỗi mô hình bao
gồm các spin nằm trong một mạng tinh thể hai chiều với mỗi spin tương tác với các
spin xung quanh nó. Thông qua những mô hình lý thuyết này, chúng ta có thể nghiên
cứu các tính chất liên quan đến pha và hiện tượng chuyển pha cuả các vật liệu từ hai
chiều. Những mô hình hai chiều nổi tiếng có thể kể đến như mô hình Ising hai chiều
(2D Ising), mô hình XY hai chiều (2D XY) và mô hình q-state clock hai chiều (2D qstate clock).
Một số vật liệu có thể được mô tả bằng các mô hình lý thuyết nêu trên:
 Đơn lớp C2F6 hấp phụ vật lý trên graphite đã được mô tả bằng mô hình 2D

Ising trên mạng tinh thể tam giác, có biểu hiện của chuyển pha bậc hai
[ CITATION DAr98 \l 1033 ].
 Rb2CrCl4 có những dấu hiệu của chuyển pha Kosterlitz-Thouless trên mô
hình 2D XY [ CITATION STB95 \l 1066 ].
 Đơn lớp CF3Br hấp phụ vật lý trên graphite có dấu hiệu của hai chuyển pha
pha Kosterlitz-Thouless. Thông qua mô phỏng trên mô hình 2D q-state clock
với q =6 trên mạng tinh thể tam giác [ CITATION SFa02 \l 1033 ].
1.2 Hiện tượng chuyển pha của các mô hình trong mạng tinh thể vuông.
1.2.1 Mô hình 2D Ising

Đây là mô hình đơn giản và cũng là mô hình nổi tiếng nhất, mô hình Ising đưa ra
bởi Wilhelm Lenz vào năm 1920, trường hợp một chiều được giải bởi Earnst Ising
vào năm 1924 [ CITATION Tho17 \l 1033 ]. Mỗi nút mạng trong mô hình Ising chứa
một spin có hai chiều duy nhất là lên và xuống. Mỗi spin tương tác với các spin xung
quanh, đối với mô hình 2D Ising trong mạng tinh thể vuông, một spin tương tác với
bốn spin xung quanh nó (hình 1.1a). Năm 1944 Lars Onsager đã đưa ra lời giải chính
xác cho mô hình 2D Ising với trường hợp không có từ trường ngoài. Mô hình 2D
Ising cho hệ vật liệu từ gồm có hai pha là pha sắt từ và pha thuận từ (hình 1.1b), giữa
hai pha này tồn tại một chuyển pha bậc hai [CITATION STE67 \l 1033 ]
Mô hình 2D Ising phù hợp để mô tả các chất có phân cực mạnh, khi mà các
spin chỉ có duy nhất hai hướng lên và xuống. Để mô tả các chất có phân cực yếu hơn
đòi hỏi các mô hình có số hướng spin khả dĩ lớn hơn hai, hai mô hình phổ biến trong
trường hợp này là mô hình 2D XY và mô hình 2D q-state clock.


(a)
(b)
Hình 2.1 : a, Sự tương tác của một spin với bốn spin lân cận trong hệ Ising hai chiều.
b, Chuyển pha trong mô hình Ising.
1.2.2 Mô hình 2D XY

Mô hình 2D XY tương tự mô hình 2D Ising nhưng số hướng khả dĩ của mỗi
spin là vô cùng thay vì hai hướng, spin của mô hình 2D XY có tính chất liên tục. Mô
hình 2D XY mới đầu được chứng minh không có chuyển pha bởi Mermin and
Wagner vào năm 1966 [CITATION NDM66 \l 1033 ]. Hai nhà khoa học đã chỉ ra
rằng mô hình này không tồn tại chuyển pha nào tại nhiệt độ hữu hạn. Vào đầu những
năm 1970, hai nhà khoa học J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless đã chỉ ra mô hình 2D
XY tồn tại một chuyển pha mới giữa pha mất trật tự (paramagnetic) và pha giả trật tự
(quasi-long-range order), đặt tên là chuyển pha Kosterlitz–Thouless (KT), thành công
của họ được ghi danh bằng giải Nobel vật lý năm 2016[CITATION Tho73 \l 1033 ].

Hình 1.2 Cặp xoáy (phải) và phản xoáy (trái) và trật tự của các spin.

Trong pha giả trật tự xuất hiện các cặp xoáy và phản xoáy trong vùng nhiệt độ thấp,
trong pha mất trật tự xuất hiện các đơn xoáy trong vùng nhiệt độ cao. Hai pha này
đều là những pha mất trật tự nhưng hàm tương quan (correlation function) (3.6) của
hai pha này lại khác nhau. Pha mất trật tự thì hàm tương quan giảm theo quy luật


hàm mũ, còn pha giả trật tự thì hàm tương quan giảm theo quy luật hàm lũy
thừa[ CITATION Ale17 \l 1033 ] :
1.2.3 Mô hình 2D q-state clock

Spin của mô hình 2D Ising chỉ có hai hướng khả dĩ , spin của mô hình 2D XY có
số hướng vô hạn thì spin của mô hình 2D q-state clock có q hướng hữu hạn (), các
hướng này cách đều nhau một góc . Mô hình 2D q-state clock như một mô hình trung
gian giữa hai mô hình 2D Ising và 2D XY. Hình 1.3 dưới đây mô tả các mô hình sắp
xếp theo chiều tăng dần của số spin khả dĩ từ trái sang phải.

Hình 1.3 Từ trái sang phải, số hướng khả dĩ của mỗi spin trong các mô hình: 2D ising (hai

hướng), 2D q-state clock với q = 4 (bốn hướng), 2D q-state clock với q = 5 (năm hướng), 2D
XY (số hướng spin khả dĩ là vô cùng)

2D Ising có chuyển pha bậc 2, 2D XY có chuyển pha KT, q-state clock là mô
hình trung gian giữa 2 mô hình, vậy bức tranh chuyển pha của q-state clock như thế
nào?
Về mặt lý thuyết giải tích, năm 1977 Kadanoff và các cộng sự đã chỉ ra rằng chỉ có
một điểm chuyển pha giữa pha mất trật tự và pha trật tự, giống với chuyển pha của
mô hình Ising. Ông đưa ra thêm ý kiến rằng với q ≥ 5 thì mô hình có hai chuyển pha,
nhưng không nói rõ là chuyển pha nào [CITATION Jor78 \l 1033 ]. Năm 1980, John
L Cardy cho rằng cả hai chuyển pha của mô hình q-state clock model đều là chuyển
pha KT [CITATION Joh80 \l 1033 ]. Như vậy, các kết quả cho thấy thì mô hình chỉ
có chuyển pha bậc 2, q ≥ 5 mô hình có hai chuyển pha KT. Hình 1.4 mô tả bức tranh
chuyển pha của mô hình q-state clock model. Khi , mô hình tồn tại chuyển pha bậc 2,
q = 5 chỉ xác định được rằng có hai chuyển pha, mô hình tồn tại 2 chuyển pha KT và
khi q tiến đến mô hình trở thành mô hình 2D XY và chỉ tồn tại một chuyển
pha[ CITATION GOr12 \l 1033 ].
Về mặt mô phỏng, có nhiều tranh luận lớn xung quanh mô hình q = 5, đây là
ranh giới giữa các trường hợp có chuyển pha bậc 2 và các trường hợp có chuyển pha
KT. Hai luồng ý kiến trái chiều xoay quanh câu hỏi: q = 5 có chuyển pha KT hay
không?


Hình 1.4 Bức tranh chuyển pha của mô hình q-state clock model
1.3 Tranh luận xung quanh trường hợp q = 5 của mô hình q-state clock.
Phần lớn các nhà khoa học cho rằng trường hợp q = 5 của mô hình q-state
clock có hai chuyển pha Kosterlitz–Thouless, chuyển pha ở nhiệt độ thấp (T1) là
chuyển pha giữa pha trật tự và pha giả trật tự, chuyển pha ở nhiệt độ cao (T 2) là
chuyển pha giữa pha giả trật tự và pha mất trật tự [CITATION GOr12 \l 1033 ]
[CITATION Yut13 \l 1033 ][ CITATION Ole10 \l 1033 ], trong đó có nhóm của O.

Boerisenko, kết quả của nhóm ủng hộ quan điểm rằng với q ≥ 5 mô hình tồn tại ba
pha, pha trật tự ở nhiệt độ thấp, pha mất trật tự ở nhiệt độ cao và pha giả trật tự ở
giữa hai pha trên [ CITATION OBo12 \l 1033 ].
Tuy nhiên vẫn có nhiều tranh luận xung quanh bản chất của chuyển pha này đặc biệt
là xung quanh đại lượng mô đun xoắn (xem phần 3.1), mô đun xoắn được định nghĩa
là đạo hàm bậc hai của năng lượng tự do, có thể dùng để chỉ thị cặp xoáy kép xuất
hiện trong mô hình, đại lượng này tiến về 0 khi các cặp xoáy kép tách nhau ra trong
chuyển pha KT. Trong các công trình nghiên cứu phản đối trường hợp q = 5 có hai
chuyển pha KT [CITATION Chi09 \l 1033 ][CITATION Cin06 \l 1033 ][CITATION
Seu09 \l 1033 ], đáng chú ý nhất là công trình của Baek và Minhagen , hai nhà khoa
học cho rằng đại lượng mô đun xoắn không tiến về 0 trong pha ở nhiệt độ cao nên
chuyển pha tại T2 không phải là chuyển pha có dạng KT. Để đưa thêm bằng chứng,
Baek và đồng nghiệp so sánh biểu hiện của đại lượng này giữa hai mô hình q = 5 và
q = 6 được đưa ra ở hình 1.5 [CITATION Seu101 \l 1033 ].


Hình 1.5 Kết quả mô đun xoắn liên tục của Baek cho hai trường hợp q = 5 (trái) và q = 6 (phải)
[CITATION Seu101 \l 1033 ]

Dễ dàng quan sát thấy mô đun xoắn tại q = 5 không tiến về giá trị 0 mà chỉ giảm đến
một giá trị hữu hạn, khác với trường hợp tại q = 6 khi mà đại lượng này tiến về giá trị
0. Nhóm của Baek đã đưa ra kết luận q = 5 không có chuyển pha KT.
Tuy nhiên Kumano và đồng nghiệp cho rằng định nghĩa mô đun xoắn mà Baek cùng
cộng sự sử dụng cho mô hình này không phù hợp với hệ có các spin gián đoạn và
nhóm đưa ra định nghĩa mô đun xoắn dành riêng cho các hệ này. Để tính mô đun
xoắn, mỗi một spin sẽ được xoắn một góc nhất định (twist angles). Mô đun xoắn mà
nhóm của Baek sử dụng có góc xoáy phụ thuộc vào tọa độ x của spin đó, còn với
“mô đun xoắn gián đoạn” (discrete helicity modulus) được định nghĩa bởi nhóm của
Kumano, góc xoáy là bội nguyên lần của và kết quả mô phỏng cho thấy mô đun
xoắn này có tiến về giá trị 0 với trường hợp ba pha của q = 5 [CITATION Yut13 \l

1033 ]. Kết quả của mô đun xoắn của Kumano được trình bày ở hình 1.6.

Hình 1.6 Đại lượng mô đun xoắn gián đoạn của Kumano cho hai trường hợp q = 5 (trái) và q = 6
(phải) [CITATION Yut13 \l 1033 ]


Cũng như nhóm của Baek với “mô đun xoắn liên tục”, Kumano và cộng sự so sánh
biểu hiện giữa hai trường hợp q = 5 và q = 6, chỉ ra rằng đại lượng mô đun xoắn
dành riêng cho hệ này có những biểu hiện giống nhau trên cả trường hợp q = 5 và q
= 6 và đi đến kết luận q = 5 cũng có hai chuyển pha KT như q = 6.
1.4 Lý do chọn đề tài.
Cả lý thuyết và mô phỏng đều đã công nhận mô hình q-state clock với q ≥ 5 có
hai chuyển pha và q > 5 thì hai chuyển pha đó là chuyển pha KT. Với trường hợp q =
5, đã có hai luồng ý kiến trái chiều về quan điểm này. Trong đó có ý kiến cho rằng
hai chuyển pha của trường hợp q = 5 không phải là chuyển pha KT từ nhóm của
Baek dựa trên đại lượng mô đun xoắn có biểu hiện không giống nhau ở q = 5 và q =
6, tuy nhiên ý kiến phản biện của Kumano và cộng sự cho rằng đại lượng này không
phù hợp cho mô hình q-state clock và nhóm của Kumano định nghĩa đại lượng mô
đun xoắn riêng cho hệ này, kết quả của nhóm cho thấy biểu hiện mô đun xoắn tại q =
5 và q =6 là giống nhau.
Như vậy q = 5 có hai chuyển pha KT hay không [CITATION Two10 \l 1033 ]. Để
làm rõ thêm cũng như tìm câu trả lời cho trường hợp đặc biệt của mô hình q-state
clock, chúng tôi tiến hành nghiên cứu các hiện tượng chuyển pha của mô hình q-state
clock với q = 4, 5, 6 bằng mô phỏng sử dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng phương pháp Monte Carlo và tính toán các
đại lượng vật lý như là: năng lượng, nhiệt dung riêng, từ độ, mô đun xoắn và đạo
hàm, chiều dài tương quan, Binder ratio và đạo hàm.


CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP

2.1 Mô hình.
Chúng tôi tiến hành nghiên cứu mô hình q-state clock trong mạng hai chiều
hình vuông được định nghĩa bởi Hamiltonian sau đây [CITATION Seu101 \l 1033 ]:
(2.1)

Trong đó:
-

và là các góc của spin với trục hoành tại vị trí nút mạng i, j, spin lân cận i

-

và j chạy qua mọi vi trí trong toàn bộ mạng hình vuông.
= và = , và là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: ,
J là hằng số tương tác trao đổi giữa các spin.

Với giá trị q bất kỳ, mỗi spin sẽ có q giá trị khả thi tương đương với q góc cách đều
nhau : 0, ,... (q - 1) .Với q = 1, mô hình trở thành mô hình Ising (spin có 2 giá trị) ; q
= ∞, mô hình trở thành mô hình 2D XY (giá trị của spin có thể là bất kỳ giá trị nào).

Hình 2.1. Các góc khả dĩ của spin trong mô hình q-state clock với giá trị q = 5

2.2 Phương pháp.
2.2.1 Phương pháp Monte Carlo

Thuật ngữ “Mô phỏng Monte Carlo” ám chỉ bất kỳ mô phỏng nào sử dụng các
số ngẫu nhiên trong thuật toán mô phỏng. Về cơ bản, cách tính toán của Monte Carlo
sử dụng một cách chặt chẽ các biến ngẫu nhiên, một quá trình ngẫu nhiên đặc trưng
bởi một quá trình ngẫu nhiên khác thay đổi theo thời gian. Vì vậy nó phù hợp để mô

phỏng các hệ mà trong đó xảy ra các quá trình ngẫu nhiễn.
Trong vật lý thống kê, khi mà mục đích chính là mô tả chính xác nhất có thể những
tính chất vĩ mô của một hệ vĩ mô dựa vào những đặc tính vi mô của những hạt cấu


tạo nên hệ, vì vậy ta phải tính được biểu thức hàm Hamilton của hệ nhưng điều này là
không khả thi vì chỉ có thể tính gần đúng hàm Hamilton và hệ vĩ mô không bao giờ ở
trạng thái hoàn toàn dừng mà lại thay đổi theo thời gian. Như vậy để tính toán được
gần đùng chúng ta phải dùng phương pháp thống kê để tính những thăng giáng gây ra
do sự không ổn định về mặt vi mô của hệ. Vì vậy, chúng ta có thể sử dụng phương
pháp Monte Carlo tạo ra các số ngẫu nhiên để biểu diễn cho những thăng giáng này,
nếu coi mỗi bước Monte Carlo như một đơn vị thời gian, chúng ta có thể lấy mẫu
tương tự việc lấy trung bình thời gian dọc theo một quỹ đạo ngẫu nhiên của không
gian pha.
2.2 Trung bình hóa và phương pháp lấy mẫu đơn giản.

Trung bình nhiệt của một đối tượng quan sát được A(x) được xác định bởi công
thức[CITATION Jac08 \l 1033 ]:
(2.2)
Trong: đó x là vectơ của không gian pha, và tổng thống kê Z :
(2.3)

Thành phần Boltzmann là:
Xác suất này biểu thị khối lượng thống kê chính xác cấu hình x thể hiện ở trạng thái
cân bằng nhiệt động. Nếu chúng ta chỉ tính trung bình nhiệt thông qua một giới hạn
M trong không gian pha, trung bình sẽ có dạng:
(2.4)

Khi M → thì phương trình (2.4) sẽ được được đơn giản hóa thành phương trình
(2.2) . Nhưng khi chọn một không gian mẫu lớn thì phân bố xác suất sẽ không đảm

bảo được giá trị cao tại vùng được chọn. Trong quá trình mô phỏng, điều này sẽ ảnh
hưởng đến thời gian hoàn thành và độ chính xác. Vì vậy cần một phương pháp lấy
mẫu hiệu quả hơn, tập trung vào những vùng quan trọng trong không gian pha.
2.2 Thuật toán Metropolis.
2.2.1 Phương pháp lấy mẫu quan trọng.

Khi sử dụng phương pháp lấy mẫu quan trọng, phần không gian mẫu được thu
hẹp lại, nâng cao hiệu suất cũng như khoảng thời gian tính toán. Nếu chúng ta sử
dụng các điểm có tọa độ ngẫu nhiên gắn liền với xác suất trong không gian pha.
Phương trình (2.4) sẽ trở thành:
(2.5)

Sự lựa chọn hợp lý nhất cho là . Phương trình (2.4) được đơn giản hóa thông qua
lược bỏ thành phần Boltzmann:


(2.6)

Như vậy không gian mẫu quan đã được giảm xuống, từ vô hạn điểm giảm xuống còn
hữu hạn xung quanh các điểm với phân bố. Bài toán cần giải quyết là làm thế nào để
xác định được phân bố.
2.2.2 Thuật toán Metropolis

Bằng cách sử dụng một quá trình Markov, Metropolis và các cộng sự đã nghĩ
ra ý tưởng về việc mỗi trạng thái được tạo ra từ trạng thái trước đó thông qua xác
suất chuyển phù hợp [CITATION NMe53 \l 1033 ]. Như vậy nếu coi các trạng thái
trong không gian pha là các điểm ngẫu nhiên trong ví dụ trên, thì hình chữ nhật B
chính là phân bố . Phương trình cân bằng của quá trình chuyển đổi được đưa ra như
sau[CITATION Jac08 \l 1033 ]:
(2.7)

Phương trình trên quy định rằng ở trạng thái cân bằng về nhiệt, tồn tại một xác suất
bằng nhau giữa và .Tỉ lệ giữa xác suất và xác suất nghịch đảo của nó phụ thuộc
vào :
(2.8)
Quá trình thông thường là từ trạng thái có năng lượng cao đến trạng thái có năng
lượng thấp, tuy nhiên có những trường hợp đặc biệt khi mà chuyển từ trạng thái năng
lượng thấp đến trạng thái năng lượng cao, xác suất được quy định như sau:
Như vậy xác suất chuyển đối có phân bố của các trạng thái đã được xác định sử dụng
quá trình Markov có xu hướng tiến đến phân bố cân bằng.
Sự thay đổi của phân bố xác suất theo thời gian được điều chỉnh bằng phương trình
Markovian Master:
(2.9)
Trong giới hạn một nhiệt độ khi mà hệ đã đạt đến trạng thái cân bằng ta có ở
phương trình (2.7) , dẫn đến kết quả . Như vậy xác suất chuyển đổi của mô hình
này không thay đổi hoặc chỉ thay đổi theo một chu kỳ nhất định. Với một hệ hữu hạn
sau khi đã đạt đến trạng thái cân bằng, nếu ta coi một bước Monter Carlo như một
đơn vị thời gian, thì ta có thể lấy trung bình về thời gian của một đại lượng A như
sau:
(2.10)
Thuật toán Metropolis dùng cho mô hình q-state clock được mô tả theo các
bước sau:
Bước 1: Chọn một trạng thái ban đầu.


Bước 2: Chọn một vị trí i trong mạng.
Bước 3: Tính toán sự thay đổi của năng lượng nếu đổi hướng của spin ở vị trí
i.
Bước 4: Tạo một số ngẫu nhiên r thỏa mãn điều kiện 0 < r < 1
Bước 5: Nếu r < exp (−∆E / kBT), chấp nhận sự đổi hướng.

Bước 6: Chuyển đến vị trí tiếp theo và quay lại bước 3.
2.2.3 Thuật toán Wolff

Được đặt tên theo Ulli Wolff, thuật toán này được sử dụng trong mô phỏng
Monte Carlo để nâng cao hiệu quả trong quá trình mô phỏng. Thay vì đổi hướng từng
spin riêng biệt như thuật toán Metropolis, thuật toán Wolff cho phép đổi hướng một
cụm các spin. Cụm spin này được định nghĩa là tập hợp các spin lân cận có cùng
hướng. Thuật toán Wolff được thực hiện theo các bước như sau[CITATION DPL15 \l
1033 ]:
Bước 1: Chọn một vị trí i trong mạng.
Bước 2: Nếu một spin gần j có cùng hướng với spin i, thêm spin này vào cụm
với xác suất:
.
Bước 3: Lập lại từ bước 2 cho spin j cho đến khi không có spin nào có thể
thêm được vào cụm nữa.
Bước 4: Đổi hướng đồng thời toàn bộ cụm.
Khi một spin đã được xét trong bước trước nhưng không được thêm vào cụm,
thì spin này có thể được xét lần nữa trong các bước tiếp theo. Spin đã là một phần của
cụm thì không thể được thêm vào lần nữa.
2.3 Các tham số mô phỏng.
Để tính toán được các đại lượng vật lý, hệ cần đạt đến trạng thái cân bằng
nhiệt sau một số bước Monte Carlo nhất định. Vì vậy trong tổng số bước Monter
Carlo sử dụng để tính toán các đại lượng vật lý, phần đầu tiên (không ở trạng thái cân
bằng nhiệt động) sẽ được lược bỏ. Hình 9 dưới đây mô tả đại lượng E cuả một cấu
hình theo số bước Monte Carlo với nửa sau đã đạt đến trạng thái cân bằng nhiệt
động.


Hình 2.2. Năng lượng của mỗi cấu hình theo số bước Monte Carlo
Quá trình mô phỏng được tiến hành cho các trường hợp q = 4, 5, 6, 8 trên

mạng tinh thể hình vuông có kích thước với L= 16, 32, 64,28 và 256. Hằng số tương
tác trao đổi giữa các spin J=1. Điều kiện biên được áp dụng trên mạng hình vuông là
điều kiện biên tuần hoàn cho các hướng khác nhau. Thông số mô phỏng được trình
bày ở bảng 1, trong đó NMC là tổng số bước Monte Carlo, NT là số giá trị nhiệt độ.

q
4

5

6

NT

L
16
32
64
128
16
32
64
128
256
16
32
64
128

39

39
39
39
70
70
70
70
70
75
75
75
75

NMC
Số bước đạt đến trạng
thái cân bằng nhiệt động

Số bước để lấy trung bình

1 000 000
1 000 000
1 000 000
1 000 000
1 000 000
1 000 000
1 000 000
1 000 000
1 000 000
1 000 000
1 000 000

1 000 000
1 000 000

11 000 000
11 000 000
11 000 000
11 000 000
14 000 000
14 000 000
14 000 000
14 000 000
11000 000
14 000 000
14 000 000
14 000 000
14 000 000

Bảng 2.1 Các thông số trong quá trình mô phỏng

2.4 Kiểm tra cân bằng
Quá trình tính toán các đại lượng vật lý phải ở trạng thái cân bằng nhiệt động.
Để kiểm tra xem hệ đã ở trạng thái cân bằng nhiệt động hay chưa. Chúng ta có thể


kiểm tra bằng cách quan sát sự trùng nhau của hai đường biểu thị nhiệt dung riêng
phụ thuộc vào nhiệt độ tính toán theo hai cách khác nhau: thông qua công thức năng
lượng (3.5) và thông qua sự biến thiên của năng lượng (3.6).

(a)

(b)
(c)
Hình2.3: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của nhiệt dung riêng phụ thuộc vào nhiệt độ thông qua hai
cách tính khác nhau cho các trường hợp q = 4 (a), q = 5 (b) và q = 6 (c).


CHƯƠNG 3: CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ
3.1 Mô đun xoắn (Helicity modulus .
Mô đun xoắn trong mô hình lý thuyết tương tự như mô đun cắt của vật liệu,
mô đun xoắn xác định lượng năng lượng tự do của hệ thay đổi khi hệ chịu một biến
dạng. Công thức mô đun xoắn được định nghĩa như sau [ CITATION Yut13 \l
1033 ]:
(3.1)

Lý thuyết của Kosterlitz–Thouless chỉ ra rằng ở kích thước vô cùng, mô đun xoắn thể
hiện tính không liên tục, khi các cặp xoáy và phản xoáy tách nhau ra, mô đun xoắn sẽ
nhảy về 0 ngay lập tức. Nhưng trong các kích thước hữu hạn, thì đại lượng này lại
liên tục, theo chiều tăng của kích thước L thì cú nhảy về 0 càng rõ ràng. Các trường
hợp này được minh họa ở hình 9 cho chuyển pha KT [CITATION Urs15 \l 1033 ].

Hình 3.1 Mô đun xoắn thể hiện tính liên tục ở kích thước vừa và lớn, tính không liên tục ở kích
thước vô hạn. Kích thước càng tăng thì cú nhảy về 0 càng rõ ràng.

Với chuyển pha KT, đại lượng này có biểu hiện ở T 2 là một cú nhảy tiến đến 0 trong
khi với chuyển pha bậc 2, mô đun xoắn không tiến đến 0 mà tiến đến một giá trị hữu
hạn, có thể quan sát trong hình 6 với hai trường hợp q = 4 (chuyển pha bậc 2) và q =
6 (chuyển pha KT). Từ mô đun xoắn ta có thể tính được nhiệt độ chuyển pha qua các
giao điểm với cácđường 25π/8 và 2π/8 với trường hợp q = 5, 36π/8 và 2π/8 với
trường hợp q = 6 [ CITATION Yut13 \l 1033 ], ngoài cách này ra, chúng tôi tính toán
điểm chuyển pha dựa trên đạo hàm của mô đun xoắn:

Đặt , v, ta có: