Max min so phuc bunyakovsky

MAX MIN SỐ PHỨC
CAUCHY - BUNYAKOVSKY
MINKOWSKI

Giải bài tập:
Bài 1:
Trong các số phức z thỏa mãn
nhất của

z + 4 − 3i + z − 8 − 5i = 2 38

. Tìm giá trị nhỏ

z − 2 − 4i

1
2

B.

A.

5
2

C.

2

D.

1

Cách giải của bạn Phạm Minh Tuấn
Ta có:
z + 4 − 3i + z − 8 − 5i = 2 38 ⇔ ( x + 4) 2 + ( y − 3) 2 + ( x − 8) 2 + ( y − 5) 2 = 2 38
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:
2 38 ≤

(1

2

⇒ 2 38 ≤ 2

2
2
2
2
+ 12 ) ( x + 4 ) + ( y − 3 ) + ( x − 8 ) + ( y − 5 ) 



( x − 2)

z − 2 − 4i =
Suy ra:

2

+ ( y − 4 ) + 37

2

( x − 2)

2

+ ( y − 4) ≥ 1
2


→Đáp án đúng là D


Bài 2 – [Tác giả Phạm Minh Tuấn]
Cho số phức z thỏa mãn
2

P = z +2 − z−i

A.

5 2

z − 3 − 4i = 5

z
, tìm

để biểu thức

2

đạt giá trị lớn nhất

B. 10

C.

2 5

D.

3 5

Giải
z − 3 − 4i = 5 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y − 4)2 = 5






Ta có:
Biểu diễn hình học của P: w2
2
2
X + 2 − X −i
10000 + 100i
r
⇒ P = 4x + 2 y + 3

Kết quả là: 40203

Tiếp theo ta sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky:
P = 4 x + 2 y + 3 = 4( x − 3) + 2( y − 4) + 23 ≤

(4

2

+ 22 ) ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2  + 23

P ≤ 33 ⇒ max P = 33

 4 x + 2 y + 3 = 33
x = 5
MaxP = 33 ⇒ 
⇔
⇒ z =5 2

2
2
(
x
−
3)
+
(
y
−
4)

=
5
y
=
5




→Đáp án là A


Bài 3 – [Tài liệu của thầy Trần Đình Cư]

z3 +
Cho số phức z thỏa mãn

1
≤2
3
z

z+

. Tìm max của

1
z

Giải

Ta có:
3

1
1
1


3
 z + ÷ = z + 3 + 3 z + ÷
z
z
z



(Hằng đẳng thức)

Mặt khác, theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta có:
3

Do đó:

1
1
1
1
1
1


z+
= z 3 + 3 + 3 z + ÷ ≤ z 3 + 3 + 3 z + ≤ 2 + 3 z +
z
z
z
z
z
z


x= z+
Đặt

1
z

, khi đó ta được:

⇔ ( x − 2)( x 2 + 1) ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

z+
Suy ra:
z+
Vậy

a+b ≤ a + b

1
≤2
z

1
=2
z max

x3 ≤ 2 + 3x ⇔ x3 − 3 x − 2 ≤ 0


Bài 4 – [Tác giả Phạm Minh Tuấn]

Cho các số phức

z1 , z2 , z3

z1 z2 z3 =

thỏa mãn
2

nhất của biểu thức:

A.

Pmin = 1

Pmin =

B.

2

P = z1 + z2 + z3
1
3

C.

1
3
+
i
2 2

. Tính giá trị nhỏ

2

Pmin = 3

D.

Pmin = 2

Giải:
2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
z1 z2 z3 =

Mặt khác:

⇒ P ≥3

2

P ≥ 3 3 z1 . z2 . z3

1
3
+
i ⇒ z1 z2 z3 = 1 ⇒ z1 z2 z3 = 1
2 2

. Dấu “=” xảy ra khi

z1 = z2 = z3 = 1

2


→Đáp án đúng là C.Bài 5:
Cho 2 số phức

z1 , z2

nhất của biểu thức
A.

5+3 5

B.

thỏa mãn

z1 + z2 = 8 + 6i

và

z1 − z2 = 2

. Tìm giá trị lớn

P = z1 + z2
2 26

C.

4 6

D.

34 + 3 2

Giải:
2

 Công thức:

2

2

z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + 2 z2
2

2

2

(

2

z1 + z2 + z1 − z2 = 104 = 2 z1 + z2
Áp dụng công thức trên ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:

(

2

P = z1 + z2 ≤ 2 z1 + z2

⇒ MaxP = 2 26
→Đáp án đúng là B

2

)=

104 = 2 26

2

)


Bài 6 – Câu 48 đề minh họa lần 3
Xét các số phức z thỏa mãn

z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2

giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

A.

C.

13 + 73

B.

5 2 + 73

D.

z −1+ i

. Tính

. Gọi m, M lần lượt là

P =m+M

5 2 + 2 73
2
5 2 + 73
2

Giải:
Ta có:
z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 ⇔ ( x + 2) 2 + ( y − 1) 2 + (4 − x) 2 + (7 − y ) 2 = 6 2
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski cho vế trái của đẳng thức phía trên, ta có:
VT ≥ ( x + 2 + 4 − x) 2 + ( y − 1 + 7 − y ) 2 = 6 2 = VP

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

( x + 2)(7 − y ) = ( y − 1)(4 − x)

 y = x+3
⇔
 x ∈ [ −2;4]
2

3  25 5 2

z − 1 + i = 2 x + 6 x + 17 = 2  x + ÷ +
≥
2
2
2


2

Suy ra:


Mặt khác, xét

f ( x) = 2 x 2 + 6 x + 17, x ∈ [ −2;4]

⇒ Maxf ( x) = f (4) = 73 = M

(Tác giả: Phạm Minh Tuấn)