Đậu hoàng hưng bài giảng chuyên đề bồi dưỡng trường hè 2017

ĐẬU HOÀNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017

$1. MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP CƠ BẢN
Trong bài giảng này chúng tôi trình bày phương pháp đếm bằng hai cách để giải quyết một số bài
toán đếm khoảng cách trong hình học phẳng và ứng dụng.
Bài toán 1.1 Cho k , n là các số nguyên dương và S là tập hợp n điểm trong mặt phẳng sao cho các điều
kiện sau đồng thời thỏa mãn:
(i) Không có 3 điểm nào thuộc S thẳng hàng.
(ii) Với mọi điểm P thuộc S , tồn tại ít nhất k điểm thuộc S cách đều P .
1
Chứng minh rằng k   2n .
2
(IMO 1989)
Bài giải. Giả sử S   P1 , P2 ,..., Pn  . Từ giả thiết (ii) thì với mỗi điểm Pi  S tồn tại đường tròn (Ci ) có
tâm Pi sao cho có ít nhất k điểm thuộc S nằm trên (Ci ) . Giả sử có đúng ri điểm của S nằm trên đường
tròn (Ci ) và Pi là điểm chung của xi đường tròn thuộc C  (C1 ), (C2 ),..., (Cn ) , ta có:
n

n

 x   r  kn .
i

i 1

i

i 1

Nếu điểm Pi  S là điểm chung của hai đường tròn (C j ), (Ck ) ( j  k ) thì ta xác định được một bộ

 P ;(C ), (C ) 
i

j

k

và gọi F ( S ) là tập hợp các bộ như thế. Từ giả thiết ta thấy với hai đường tròn bất kỳ

thuộc C , chúng cắt nhau tại nhiều nhất hai điểm, suy ra có nhiều nhất hai bộ thuộc F ( S ) chứa hai đường
tròn. Do đó ta có:
(1.1)
F ( S )  2Cn2  n(n  1) .
Mặt khác, mỗi điểm Pi là điểm chung của xi đường tròn thuộc C nên có Cx2i bộ chứa điểm Pi , suy ra
n
n
1 n

F ( S )   Cx2i    xi2   xi  .
2  i 1
i 1
i 1


(1.2)

2
n

1 n 2 n 

11 n 
Từ (1.1) và (1.2) ta thấy:   xi   xi   n(n  1)     xi    xi   n(n  1)
2  i 1
2  n  i 1  i 1 
i 1




1
1  n  n

(kn)(kn  n)  n(n  1)
xi   xi  n   n(n  1) 


2n
2n  i 1  i 1


 k 2  k  2(n  1)  0  k 

1  1  8(n  1) 1  8n
1

hay ta có k   2n .
2
2
2


Bài toán 1.2 Cho n điểm trong mặt phẳng. Chứng minh rằng có không quá n n cặp điểm có khoảng
cách bằng 1 .
Bài giải. Giả sử S   P1 , P2 ,..., Pn  là n điểm đã cho và xi là số các điểm thuộc S có khoảng cách tới Pi

1 n 
bằng 1 . Khi đó, số cặp điểm cần tìm là m    xi  . Gọi (Ci ) là đường tròn đơn vị có tâm Pi và
2  i 1 

C  (C1 ), (C2 ),..., (Cn ) . Nếu điểm Pi  S là điểm chung của hai đường tròn (C j ), (Ck ) ( j  k ) thì ta xác
định được một bộ  Pi ;(C j ), (Ck )  và gọi F ( S ) là tập hợp các bộ như thế. Từ giả thiết ta thấy với hai

1


ĐẬU HOÀNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017
đường tròn bất kỳ thuộc C , chúng cắt nhau tại nhiều nhất hai điểm, suy ra có nhiều nhất hai bộ thuộc
F ( S ) chứa hai đường tròn. Do đó ta có:

F ( S )  2Cn2  n(n  1) .

(2.1)

Mặt khác, mỗi điểm Pi là điểm chung của xi đường tròn thuộc C nên có Cx2i bộ chứa điểm Pi , suy ra
n
n
1 n

F ( S )   Cx2i    xi2   xi  .
2  i 1

i 1
i 1


(2.2)

2
n

1 n 2 n 
11 n 
Từ (2.1) và (2.2) ta thấy:   xi   xi   n(n  1)     xi    xi   n(n  1)
2  i 1
2  n  i 1  i 1 
i 1




1
1  n  n

xi   xi  n   n(n  1) 
 2m(2m  n)   n(n  1)


2n
2n  i 1  i 1


 2m 2  nm  n3  n 2  0  m 

n  8n3  7n 2
, suy ra m  n n .
4


n(n  1)
n
Bài toán 1.3 Cho n, k là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu    k 
thì tồn tại n điểm
2
2
phân biệt A1 , A2 ,..., An thuộc mặt phẳng sao cho xác định được đúng k khoảng cách phân biệt Ai Aj .
Bài giải. Để giả bài toán này, ta xét hai trường hợp :
n
+) Trường hợp 1. Với    k  n  1 thì 2k  1  n và n  k  1 . Lúc đó ta lấy n điểm là n đỉnh liên tiếp của
2
đa giác đều 2k  1 đỉnh và ta có trong n điểm này có đúng k khoảng cách phân biệt.
n(n  1)
+) Trường hợp 2. Với n  1  k 
, do Cn2  Cn21  n  1 nên với mỗi số nguyên k thỏa mãn
2
n(n  1)
n 1  k 
tồn tại duy nhất số nguyên m  1, 2,...,, n  1 sao cho Cn2  Cm2  k  Cn2  Cm2 1 .
2
 p  k  Cn2  Cm2  1  1
2
2

Đặt p  k  (m  1)  Cn  Cm 1 , ta có 
hay 1  p  m . Ta lấy n điểm thuộc trục số
2
2
 p  k  Cn  Cm 1  m  m
như sau : m điểm đầu tiên là 1, 2,..., m ; điểm tiếp theo là m  p . Do 1  p  m nên tập khoảng cách giữa
m  1 đầu tiên là 1, 2,..., m  p  1 . Các điểm còn lại ( gồm n  m  1 điểm) ta có thể lấy theo thứ tự là
n

 m  2 ,  m 3 ,...,  n . Khi đó, số khoảng cách khác nhau là m  p  1 

 (i  1)  k

.

im 2

Bài tập tương tự.
n(n  1)
thì tồn tại n điểm
2
phân biệt thuộc một mặt phẳng sao cho xác định được đúng k khoảng cách phân biệt.
Bài tập 1.2 Trong mặt phẳng cho n điểm P1 , P2 ,..., Pn ( n  2 ) phân biệt và d1 , d 2 lần lượt là khoảng cách lớn
nhất, khoảng cách nhỏ nhất giữa chúng. Chứng minh rằng :
a) Có không quá n cặp điểm có khoảng cách d1 .

Bài tập 1.1 Với mỗi   0 tồn tại n0 ( ) sao cho với mọi n  n0 ( ) và  n  k 

b) Có không quá 3n  6 cặp điểm có khoảng cách d 2 .

2


ĐẬU HOÀNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017
Bài tập 1.3 Trên đoạn thẳng  0,1 theo thứ tự ta đánh dấu các điểm x0 , x1 ,..., xn . Với mỗi xk (k  1, 2,..., n)
đặt d k là khoảng cách từ xk đến điểm gần nhất từ dãy các điểm đã đánh dấu trước đó.
1
a) Chứng minh rằng d1  d 2  ...  d n  1  log 2 n .
2

2017

b) Khi n  2017 , tìm GTLN của M   di .
i 1

Bài tập 1.4 Cho  là số thực dương và ai   0;  i  1, n . Chứng minh rằng :
n



n

   ai    n 1  

n
ai 
,
ở
đây
S


ak  ai i  1, n .


i
Si   
k 1

 i 1
Bài tập 1.5 Cho m, n   : n  m  4 và (2n  1)  giác đều A1 A2 ... A2 n 1 . Gọi F là tập hợp các đỉnh của
(2n  1)  giác đều đó. Tìm số m  giác lồi có các đỉnh thuộc F và có đúng hai góc nhọn.
i 1

3


ĐẬU HOÀNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017

$2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM CƠ BẢN TRONG SỐ HỌC
Trong bài giảng này, chúng tôi trình bày ứng dụng phương pháp song ánh kết hợp với các tính chất số
học cơ bản để giải quyết một số bài toán đếm.
Bài toán 2.1 Cho n  * và tập con A  1, 2,..., n được gọi là tốt nếu A   và trung bình cộng các phần tử
của tập hợp A là một số nguyên. Gọi An là tập hợp tất cả các tập tốt. Chứng minh rằng : | An |  n (mod 2) .
Bài giải Với mỗi A  a1 , a2 ,..., a j   An ta xác định tập hợp

A  n  1  a1 , n  1  a2 ,..., n  1  a j  . Vì

1 j
1 j
(

n

1

a
)

n

1


 a j   nên A  An . Do đó, phép đặt tương ứng mỗi tập A  a1 , a2 ,..., a j   An
i
j i 1
j j 1
với tập A  n  1  a1 , n  1  a2 ,..., n  1  a j   An là một song ánh.









Đặt Vn  A  An : A  A và U n  A  An : A  A . Từ cách xác định Vn , U n và phép đặt tương ứng
giữa A với A ta có | An |  | Vn |  | U n | , | Vn | là số chẵn và nếu A  An : A  A thì
MA  MA

MA  MA
2

 MA  MA .

n 1
| A | (n  1) n  1
  (trong đó, M X là trung bình cộng các phần tử trong X ). Ta
nên

2
2
| A| 2
2
xét các trường hợp :
n 1
   | U n | 0 | An || Vn | n(mod 2) .
 Nếu n là số chẵn thì
2
n 1
n 1
n 1




  . Đặt En   A  U n :
 Nếu n là số lẻ thì
 A và Fn   A  U n :
 A,| A | 1 .

2
2
2




 n  1
 n  1
Ta thấy, 
  Fn và En  Fn   và ánh xạ f : En  Fn xác định bởi công thức f ( A)  A  
,
 2 
 2 
 n  1
A  En là một song ánh, suy ra | En |  | Fn | . Kết hợp với U n  En  Fn  
 ta có : | U n | 2 | En | 1 . Do
 2 
đó : | An | n | U n | 2 | En | 1  n 2 hay | An | n(mod 2) .

Bài toán 2.2 Cho số nguyên tố p ( p  3 ) và tập hợp M  1, 2,..., p . Với mỗi số nguyên k thỏa mãn

Mà



1  k  p ta đặt : Ek   A  M :| A | k và xk 

  min A  max A . Chứng minh rằng :

AEk
p 1

 (x C
k

k
p

)  0(mod p3 ) .

k 1

Bài giải Với mỗi A  a1 , a2 ,..., ak   Ek ta xác định tập hợp A   p  1  a1 , p  1  a2 ,..., p  1  ak  . Ta có



A  Ek và A  A  Ek   A  M :| A | k  A : A  M ,| A | k
 2 xk 



  min A  max A  min A  max A .

AEk

Giả sử min A  a1 , max A  ak . Khi đó, min A  p  1  ak , max A  p  1  a1 . Do đó ta có:
min A  max A  min A+max A  2( p  1)

 2 xk 

 2( p  1)  2( p  1)C

k
p

hay xk  ( p  1)C pk .

AEk

4


ĐẬU HOÀNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017
p 1

p 1

 ( xk C pk )  0(mod p3 )  ( p  1) (C pk )2  0(mod p3 ) .

Do đó:

k 1
p 1

k 1

 (C

Ta sẽ chứng minh:

k 2
p

)  0(mod p3 ) .

(2.1)

k 1

Vì p là số nguyên tố và C pk  0(mod p) ( k  1, 2,..., p  1 ) nên

1 k
( p  1)!
Cp 
  . Suy ra
p
k !( p  k )!

2

p 1

 ( p  1)! 
(2.1)   
  0(mod p) .
k 1  k !( p  k )! 
( p  1)!
Với mỗi k  {1,2,..., p-1} đặt ak 
 k !.ak  ( p  1)( p  2)...( p  k  1)

k !( p  k )!
 k !ak  (1) k 1 (k  1)!(mod p)  k .ak  (1) k 1 (mod p ) .
( p  1)!
Xét bk 
, k  1, 2,..., p  1 . Theo Định lý Wilson ta có kbk  (1)(mod p) .
k
Từ (2.3) và (2.4) ta có : ak  (1) k bk (mod p) .

(2.2)

(2.3)
(2.4)
(2.5)

Do p là số nguyên tố và k  1, 2,..., p  1 nên 1k , 2k ,..., ( p  1)k  là hệ thặng dư đầy đủ. Do đó, tồn tại duy
nhất j  1, 2,..., p  1 sao cho : (kj )  1(mod p)  (kj ) 2  1(mod p) . Khi đó
p 1

p 1

p 1

k 1

k 1

k 1

p 1

 (bk )2    (bk )2 .1    (bk )2 .(kj)2    ( p  1)!  j 2 (mod p) .
p 1

Mà

j

2

j 1



j 1

p( p  1)(2 p  1)
 0(mod p) nên
6

p 1

 (b )
k

2

 0(mod p) .

(2.6).

k 1

p 1

Từ (2.5) và (2.6) suy ra

 (a )
k

2

 0(mod p) hay (2.2) đúng.

k 1


Bài toán 2.3 Cho tập hợp X  1, 2,..., 2 p với p là số nguyên tố lẻ. Tìm số tập con gồm p phần tử của X

sao cho tổng các phần tử của mỗi tập con đó chia hết cho p .
(IMO 1995)
Bài giải. Trước hết ta phát biểu và chứng minh Bổ đề sau : Nếu tập hợp A  1, 2,..., p với p là số nguyên tố
và i  0,1,..., p  1 , k  1, 2,..., p  1 thì số tập con gồm k phần tử của A thỏa mãn tổng các phần tử của
mỗi tập con đó  i (mod p ) là

C pk

.
p
Chứng minh. Gọi Ai là tập hợp các các tập con gồm k phần tử của A và tổng các phần tử của mỗi tập con đó
 i (mod p ) . Xét hai số tự nhiên phân biệt m, n  0,1,..., p  1 và a1 , a2 ,..., ak   An . Do  k , p   1 nên tập

hợp kx : x  0,1,..., p  1 là hệ thặng dư đầy đủ mod p , do đó c  0,1,..., p  1 : kc  m  n(mod p ) , ta
k

có

a
j 1

k

j

 c    a j  kc  n  m  n  m(mod p) , suy ra tập hợp

a1  c, a2  c,..., ak  c  Am

j 1

An  Am , như vậy Ai 

A0  A1  ...  Ap 1
p



C pk
p

. Bổ đề đã được chứng minh.

5

hay


ĐẬU HOÀNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017
Trở lại bài toán , do p là số nguyên tố lẻ nên 1  2  ...  p  p và ( p  1)  ( p  2)  ...  ( p  p) p nên hai tập
hợp P  1, 2,..., p , Q   p  1, p  2,..., 2 p là hai tập hợp có p phần tử và tổng các phần tử chia hết cho p .
Xét tập hợp A  X thỏa mãn A  p,  x  0(mod p) và A  P, Q . Giả sử trong tập hợp A có k phần tử
xA

thuộc tập hợp P và tổng các phần tử này  i (mod p ) thì p  k phần tử còn lại thuộc Q và tổng các phần tử này
phải  p  i (mod p ) . Theo kết quả của Bổ đề thì mỗi cách chọn k phần tử thuộc tập P có số cách chọn p  k
C p k
phần tử còn lại của A bằng p . Do đó số tập hợp A  X thỏa mãn A  p,  x  0(mod p) và A  P, Q
p
xA
p 1

p 1

là



k
p

C C

k 2
p

 C 

pk
p



k 1

2


C2pp  2

, suy ra số tập con gồm p phần tử của X thỏa mãn tổng các phần tử
p
C2pp  2
của mỗi tập con đó chia hết cho p là
2 .
p

Bài tập tương tự.
Bài tập 2.1 Cho n-giác lồi A1 A2 ... An ( n  3 ). Có bao nhiêu k-giác lồi có các đỉnh là k trong n điểm
A1 , A2 ,..., An và cạnh của k-giác là đường chéo của n-giác ?.
k 1

p

p

Bài tập 2.2 Cho p là số nguyên tố lẻ và tập hợp X  1, 2,..., m với m  p . Tìm số tập con gồm p phần tử
của X sao cho tổng các phần tử của mỗi tập con đó chia hết cho p .
k

Bài tập 2.3. Cho k  * thỏa mãn điều kiện k  3tk ak với (ak ,3)  1 . Đặt x0  0, xk   ai và tập hợp
i 1

An  k | k  3 , xk  3 . Tính An  ? .
n

Bài tập 2.4 Cho n là số nguyên dương và tập hợp S  1, 2,..., n . Chứng minh rằng nếu tập con X  S thỏa
mãn x, y  X , x  y thì 2x không chia hết cho y thì X 

4n  18
 log 2 n .
9

(Iran TST 2009)
Bài tập 2.5 Cho X là tập hợp gồm 2n phần tử và Fn ( X ) là họ gồm một số tập con n phần tử của X sao
cho bất kỳ tập con của X gồm n-1 phần tử đều bị chứa bởi đúng một phần tử của Fn ( X ) . Chứng minh
rằng n  1 là số nguyên tố.
(China MO 2009)

6