LTDH chuyen de tich phan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (170.84 KB, 21 trang )
Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của
những hàm số sơ
cấp thường gặp
∫ dx = x + C
∫
x α dx =
x α +1
+ C ( α ≠ 1)
α +1
dx
ax
a dx =
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a
cos xdx = sin x + C
∫
∫
∫ sin xdx = − cos x + C
1
∫ cos x dx = tan x + C
x
1
2
x
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2
∫ sin
∫ du = u + C
∫
x
dx = − cot x + C
Nguyên hàm của
những hàm số
hợp
∫ d ( ax + b) = a ( ax + b) + C
1
∫ x = ln x + C ( x ≠ 0)
∫ e dx = e + C
x
Nguyên hàm của những
hàm số thường gặp
∫
α +1
( ax + b ) dx = 1 ( ax + b ) + C (α ≠ 1)
a α +1
dx
1
= ln ax + b + C ( x ≠ 0 )
ax + b a
1
e ax + b dx = e ax +b + C
a
1
cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C
a
1
sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C
a
1
1
dx = tan ( ax + b ) + C
2
a
cos ( ax + b )
1
1
dx = − cot ( ax + b ) + C
2
a
sin ( ax + b )
α
u α du =
u α +1
+ C ( α ≠ 1)
α +1
du
∫ u = ln u + C ( u ≠ 0)
∫ e du = e + C
u
u
au
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a
cos udu = sin u + C
∫
∫
∫ sin udu = − cos u + C
1
∫ cos u du = tan u + C
a u dx =
2
1
∫ sin
2
u
du = − cot u + C
I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 2
b
Để tính tích phân ò f[u(x)]u/ (x)dx ta thực hiện các bước sau:
a
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u/ (x)dx .
Bước 2. Đổi cận: x = a Þ t = u(a) = a, x = b Þ
b
t = u(b) = b .
b
Bước 3. ò f[u(x)]u/ (x)dx = ò f(t)dt .
a
a
e2
Ví dụ 7. Tính tích phân
I =
dx
ò x ln x .
e
Giải
dx
x
2
x = e Þ t = 1, x = e Þ t = 2
Đặt
t = ln x Þ dt =
1
2
Þ I =
ò
1
dt
= ln t
t
Vậy
2
1
= ln2.
I = ln2 .
p
4
cosx
Ví dụ 8. Tính tích phân
.
I =ò
dx
3
0 (sinx+cosx)
Hướng dẫn:
p
4
I =
cosx
p
4
ò (sin x + cosx)
dx =
3
0
ĐS:
1
ò (tan x + 1)
.
3
0
dx .
cos2 x
Đặt
t = tan x + 1
3
I = .
8
3
Ví dụ 9. Tính tích phân
I =
dx
2x + 3 .
ò (1 + x)
1
2
Hướng dẫn:
Đặt t = 2x + 3
3
ĐS: I = ln 2 .
1
Ví dụ 10. Tính tích phân
I =
3- x
dx
1+ x .
ò
0
Hướng dẫn:
3
Đặt
3- x
t2dt
t=
Þ L 8ò 2
1+ x
(t + 1)2
1
p
I = - 3 + 2.
3
; đặt
t = tan u L
ĐS:
Chú ý:
1
Phân tích
I =
ò
0
3- x
dx ,
1+ x
rồi đặt
t = 1+ x
sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
b
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ∫ f ( x)dx ta thực hiện các
a
bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx = u / (t )dt .
Bước 2. Đổi cận: x = a ⇒ t = α , x = b ⇒ t = β .
β
b
Bước 3. ∫
a
f ( x) dx =
∫
α
β
f [u (t )]u / (t ) dt = ∫ g (t )dt .
Ví dụ 1. Tính tích phân
α
1
2
I =
ò
0
1
dx .
1 - x2
2
Gii
t
p
6
ị I =
ũ
0
p p
x = sin t, t ẻ ộ
- ; ự
ị dx = costdt
ờ
ở 2 2ỳ
ỷ
1
p
x = 0 ị t = 0, x = ị t =
2
6
cost
dt =
1 - sin2 t
p
6
ũ
0
cost
dt =
cost
Vy
I =
p
6
p
ũ dt = t 06 =
0
p
p
- 0= .
6
6
p
6.
2
Vớ d 2. Tớnh tớch phõn
I =
ũ
4 - x2 dx .
0
Hng dn:
t x = 2sin t
S: I = p .
1
Vớ d 3. Tớnh tớch phõn
I =
dx
ũ1+ x .
2
0
Gii
t
ổ p pử
x = tan t, t ẻ ỗ
- ; ữ
ị dx = (tan2 x + 1)dt
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2 2ứ
p
x = 0 ị t = 0, x = 1 ị t =
4
p
4
ị I =
3- 1
I =
tan t + 1
dt =
2
t
p
Vy I = 4 .
ũ 1 + tan
0
Vớ d 4. Tớnh tớch phõn
2
ũ
0
dx
.
x + 2x + 2
2
Hng dn:
3- 1
I =
ũ
0
dx
=
2
x + 2x + 2
3- 1
dx
ũ 1 + (x + 1) .
2
0
t x + 1 = tan t
p
S: I = 12 .
2
Vớ d 5. Tớnh tớch phõn
S:
I =
I =
ũ
0
p
2.
3- 1
Vớ d 6. Tớnh tớch phõn
p
I = .
12
I =
ũ
0
dx
4 - x2
.
dx
.
x + 2x + 2
2
S:
3. Cỏc dng c bit
3
p
4
p
ũ dt = 4 .
0
3.1. Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
p
2
I =
ò cos
2
x sin3 xdx .
0
Hướng dẫn:
Đặt t = cosx
2
ĐS: I = 15 .
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
p
2
I =
ò cos
5
xdx .
0
Hướng dẫn:
Đặt t = sin x
8
ĐS: I = 15 .
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
p
2
I =
ò cos
4
x sin2 xdx .
0
Giải
p
2
I =
ò cos
4
p
2
x sin2 xdx =
0
p
2
p
2
1
1
1
cos2 x sin2 2xdx =
(1 - cos4x)dx + ò cos2x sin2 2xdx
ò
ò
4 0
16 0
4 0
p
2
p
2
p
2
æx
1
sin3 2x ö
p
1
1
2
÷
ç .
=
sin
4x
+
=
=
(1
cos4x)dx
+
sin
2xd(sin2x)
÷
÷
ç
ò
ò
è16 64
24 ø0
32
16 0
8 0
p
Vậy I = 32 .
Ví dụ 14. Tính tích phân
p
2
I =
dx
ò cosx + sin x + 1 .
0
Hướng dẫn:
Đặt
ĐS:
x
.
2
I = ln2 .
t = tan
Biểu diễn các hàm số LG theo
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
p
I =
t = tan
a
2
:
sin a =
xdx
ò sin x + 1 .
0
Giải
Đặt
x = p - t Þ dx = - dt
x = 0 Þ t = p, x = p Þ t = 0
4
2t
1+ t
2
; cos a =
1− t2
1+ t
2
; tan a =
2t
1− t2
.
0
(p - t)dt
Þ I =- ò
=
sin(p - t) + 1
p
p
ò ( sin t + 1 p
0
p
)
t
dt
sin t + 1
p
dt
p
dt
= pò
- I Þ I = ò
sin t + 1
2 0 sin t + 1
0
p
=
p
2ò
0
dt
(
æt p ö
ç
d
- ÷
÷
p
ç
p
dt
÷
ç
æt p ö
è2 4 ø
p
p
= ò
÷
ç
.
= tan ç - ÷
4 0 cos2 t - p = ò
÷ =p
ç
æ
ö
è
ø
2 0
t
p
2
2
4
0
2 4
cos2 ç
- ÷
÷
ç
÷
ç
è2 4 ø
p
t
t
sin + cos
2
2
)
2
p
(
)
Vậy
Tổng quát:
I = p.
p
p
p
ò0 xf(sin x)dx = 2 ò0 f(sin x)dx .
Ví dụ 16. Tính tích phân
p
2
I =
sin2007 x
ò sin2007 x + cos2007 x dx .
0
Giải
(
0
Þ I =-
ò sin
2007
p
2
Mặt khác
p
Đặt x = 2 - t Þ dx = - dt
p
p
x = 0Þ t = , x = Þ t = 0
2
2
p
2007 p
sin
- t
2
2
cos2007 t
dx
=
p
p
ò0 sin2007 t + cos2007 t dx = J
- t + cos2007
- t
2
2
(
)
p
2
I +J =
ò dx =
0
Tổng quát:
p
2
)
p
2
(
(2). Từ (1) và (2) suy ra
sin x
ò0 sinn x + cosn x dx =
n
Ví dụ 17. Tính tích phân
)
p
6
I =
I =
p
6
3
(1).
cosn x
p
ò0 sinn x + cosn x dx = 4 , n Î Z+ .
sin x
ò0 sin x + 3cosx dx
2
và
p
6
J =
dx
p
6
1
dx
ò
2 0 sin x + p
3cosx
0
3
p
1
Đặt t = x + 3 Þ dt = dx ⇒I + J = ln 3 (2).
4
3
1- 3
1
1- 3
ln 3 Từ (1) và (2)⇒I = 16 ln 3 + 4 , J = 16
.
4
I +J =
ò sin x +
dx =
p
4.
p
2
Giải
I - 3J = 1 -
(1).
(
)
5
cos2 x
ò0 sin x + 3cosx dx .
1
Vớ d 18. Tớnh tớch phõn
I =
ũ
0
ln(1 + x)
dx .
1 + x2
Gii
t
x = tan t ị dx = (1 + tan2 t)dt
p
x = 0 ị t = 0, x = 1 ị t =
4
p
4
ị I =
p
4
ln(1 + tan t)
( 1 + tan2 t ) dt = ũ ln(1 + tan t)dt .
2
1 + tan t
0
p
t t = 4 - u ị dt = - du
p
p
t = 0ị u = , t = ị u = 0
4
4
ũ
0
p
4
0
0
p
4
=
ộ
ổp
ửự
uữ
du
ữ
ữỳ
ỳ
ứ
ỷ
2
ử
ũ ln(1 + tan t)dt = - ũ ln ờờở1 + tan ỗỗỗố4 -
ị I =
p
4
ổ
p
4
1 - tan u ử
ổ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ũ ln ỗỗỗố1 + 1 + tan u ứữ
ữdu = ũ ln ố
ữdu
ỗ1 + tan u ứ
0
=
0
p
4
p
4
0
0
p
ũ ln2du - ũ ln ( 1 + tan u) du = 4 ln2 - I .
Vy
p
4
Vớ d 19. Tớnh tớch phõn
I =
I =
p
ln2 .
8
cosx
dx
x
+1 .
ũ 2007
-
p
4
Hng dn:
t x = - t
S:
I =
2
.
2
Tng quỏt:
Vi a > 0 ,
a > 0,
hm s
a
f(x)
chn v liờn tc trờn on [ - a;
a
f(x)
dx =
+1
ũa
Vớ d 20. Cho hm s f(x) liờn tc trờn
Tớnh tớch phõn
0
Ă
v tha
p
2
I =
Gii
f(- x) + 2f(x) = cosx .
ũ f(x)dx .
-
6
thỡ
ũ f(x)dx .
x
- a
a]
p
2
p
2
t
ũ f(- x)dx ,
J =
-
p
p
p
p
ị t= , x= ị t=2
2
2
2
x=p
2
ị I =
x = - t ị dx = - dt
p
2
ũ f(- t)dt = J
p
2
ị 3I = J + 2I =
p
2
ũ[ f(- x) + 2f(x) ] dx
-
p
2
=
p
2
p
2
ũ cosxdx = 2ũ cosxdx = 2.
-
p
2
0
Vy
I=
2
.
3
3.3. Cỏc kt qu cn nh
i/ Vi
a > 0,
hm s
f(x)
a
l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ ũ f(x)dx = 0 .
- a
ii/ Vi
a
a > 0,
a
hm s
f(x)
chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ
ũ f(x)dx = 2ũ f(x)dx .
- a
0
iii/ Cụng thc Walliss (dựng cho trc nghim)
ùỡù (n - 1)!!
, neỏ
un leỷ
ùù
n
n
n!!
.
ũ cos xdx = ũ sin xdx = ớùù (n - 1)!! p
0
0
. , neỏ
un chaỹ
n
ùù
ùợ
n!!
2
p
2
p
2
Trong ú
n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn:
0!! = 1; 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4!! = 2.4; 5!! = 1.3.5;
6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8; 9!! = 1.3.5.7.9; 10!! = 2.4.6.8.10 .
p
2
Vớ d 21. ũ cos11 xdx = 10!! = 2.4.6.8.10 = 256 .
11!! 1.3.5.7.9.11 693
0
p
2
Vớ d 22. ũ sin10 xdx = 9!! . p = 1.3.5.7.9 . p = 63p .
10!! 2 2.4.6.8.10 2 512
0
II. TCH PHN TNG PHN
1. Cụng thc
Cho hai hm s u(x), v(x) liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú
(
uv ) / = u/ v + uv/ ị
(
uv ) / dx = u/ vdx + uv/ dx
b
ị d ( uv ) = vdu + udv ị
b
b
ũ d(uv) = ũ vdu + ũ udv
a
7
a
a
b
Þ uv
b
a
=
b
b
b
ò vdu + ò udv Þ ò udv = uv
a
a
b
a
-
a
ò vdu .
a
Công thức:
b
b
ò udv = uv
b
a
ò vdu (1).
-
a
a
Công thức (1) còn được viết dưới dạng:
b
b
ò f(x)g (x)dx = f(x)g(x)
/
b
a
a
-
ò f (x)g(x)dx (2).
/
a
2. Phương pháp giải toán
b
Giả sử cần tính tích phân ò f(x)g(x)dx ta thực hiện
a
Cách 1.
Bước 1. Đặt
u = f(x), dv = g(x)dx
(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm
b
v(x)
và vi phân
/
du = u (x)dx
không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân ò vdu
a
phải tính được.
Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
b
b
b
i/ Nếu gặp ò P(x) sinaxdx, ò P(x) cosaxdx, ò eax .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt
a
a
a
u = P(x) .
b
ii/ Nếu gặp ò P(x) ln xdx thì đặt
u = ln x .
a
Cách 2.
b
b
Viết lại tích phân ò f(x)g(x)dx = ò f(x)G/ (x)dx và sử dụng trực tiếp công thức
a
a
(2).
1
Ví dụ 1. Tính tích phân
I =
ò xe dx .
x
0
Giải
Đặt
ìï du = dx
ìïï u = x
ï
Þ
í dv = ex dx
í
ïïî
ïï v = ex
î
1
Þ
C = 0)
1
ò xe dx = xe
x 1
0
x
ò e dx = (x x
-
0
0
e
Ví dụ 2. Tính tích phân
(chọn
I =
ò x ln xdx .
1
Giải
8
1)ex
1
0
= 1.
dx
ìï
ïï du =
x
ïí
Đặt
2
ïï
x
ïï v =
î
2
e
e
e
2
x
1
e2 + 1
Þ ò x ln xdx =
ln x - ò xdx =
2
21
4 .
1
1
ìï u = ln x
ïí
Þ
ïï dv = xdx
î
p
2
Ví dụ 3. Tính tích phân
I =
òe
x
sin xdx .
0
Giải
Đặt
p
2
ì du = cosxdx
ìï u = sin x
ïí
ïíï
Þ
ïï dv = ex dx
ïï v = ex
î
î
ò ex sin xdx = ex sin x
Þ I =
0
Đặt
p
2
Þ J =
òe
x
p
2
0
p
2
-
p
ò ex cosxdx = e2 - J
.
0
ïì du = - sin xdx
ïìï u = cosx
ï
Þ
í dv = ex dx
í
ïîï
ïï v = ex
î
cosxdx = ex cosx
p
2
0
0
p
2
+ ò ex sin xdx = - 1 + I
0
p
2
Þ I = e - (- 1 + I) Þ I =
p
2
e + 1.
2
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7. Tính tích phân
p2
4
I =
ò cos
xdx .
0
Hướng dẫn:
Đặt
t=
p
2
x L Þ I = 2ò t costdt = L = p - 2.
0
e
Ví dụ 8. Tính tích phân
I =
ò sin(ln x)dx .
1
ĐS:
I =
(sin1 - cos1)e + 1
.
2
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
b
Giả sử cần tính tích phân
I =
ò f(x) dx , ta thực hiện các bước sau
a
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử
f(x) có BXD:
9
x1
a
x
+
f(x)
b
Bước 2. Tính
I =
x2
-
0
x1
b
+
0
x2
b
ò f(x) dx = ò f(x)dx - ò f(x)dx + ò f(x)dx .
a
a
x1
x2
2
Ví dụ 9. Tính tích phân
òx
2
I =
- 3x + 2 dx .
- 3
Giải
Bảng xét dấu
x
- 3
1
+
2
x - 3x + 2
1
I =
2
-
0
0
2
ò( x
2
ò( x
- 3x + 2) dx -
2
- 3
1
Vậy
Ví dụ 10. Tính tích phân
- 3x + 2) dx =
p
2
I =
59
2.
59
2.
I =
5 - 4cos2 x - 4sin xdx .
ò
0
p
I = 2 3 - 2- .
6
ĐS:
2. Dạng 2
b
Giả sử cần tính tích phân
I =
ò [ f(x)
± g(x) ] dx ,
ta thực hiện
a
Cách 1.
b
Tách
I =
ò [ f(x)
b
± g(x) ] dx =
a
b
ò f(x) dx ± ò g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
a
a
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
2
Ví dụ 11. Tính tích phân
I =
ò(
x - x - 1 ) dx .
- 1
Giải
Cách 1.
2
I =
ò
2
( x -
- 1
0
=-
x - 1 ) dx =
2
ò x dx - ò x - 1
2
1
ò xdx + ò xdx + ò (x - 1
2 0
x
=2
- 1
0
2 2
x
+
2
0
ò (x -
1)dx -
- 1
æx
ö
+ç
- x÷
÷
ç
÷ è2
ø
- 1
10
1)dx
1
1
2
1 dx
- 1
2
2
æx
ö
ç
- x÷
÷
ç
÷ = 0.
è2
ø
1
2
Cách 2.
Bảng xét dấu
x
–1
x
–
x–1
–
0
0
0
I =
ò
1
+
–
0
1
( - x + x - 1) dx +
- 1
=- x
+
+
2
ò
( x + x - 1) dx +
0
0
- 1
2
ò( x -
x + 1) dx
1
1
+ ( x - x)
2
Vậy
0
+ x = 0.
2
1
I = 0.
3. Dạng 3
b
Để tính các tích phân
b
ò max { f(x), g(x)} dx
I =
và
J =
a
ò min { f(x),
g(x) } dx ,
a
thực hiện các bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x) - g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu h(x) > 0 thì max { f(x), g(x)} = f(x) và min { f(x), g(x)} = g(x) .
+ Nếu h(x) < 0 thì max { f(x), g(x)} = g(x) và min { f(x), g(x)} = f(x) .
4
Ví dụ 12. Tính tích phân
I =
ò max { x
+ 1, 4x - 2} dx .
2
0
Giải
Đặt
h(x) = ( x + 1) - ( 4x - 2) = x2 - 4x + 3 .
2
Bảng xét dấu
x 0
h(x)
+
1
I =
–
3
ò( x
2
0
1
0
3
0
4
+
4
+ 1) dx + ò ( 4x - 2) dx + ò ( x2 + 1) dx =
1
3
Vậy
I =
80
3.
80
3.
2
Ví dụ 13. Tính tích phân
I =
ò min { 3 ,
x
4 - x } dx .
0
Giải
Đặt
h(x) = 3 - ( 4 - x ) = 3x + x - 4.
x
Bảng xét dấu
x 0
h(x)
1
1
0
–
2
+
2
2
3x 1 æ
x2 ö
2
5
÷
I = ò 3 dx + ò ( 4 - x ) dx =
+ç
4x
=
+ .
÷
ç
÷
ln 3 0 è
2 ø1
ln 3 2
0
1
x
Vậy
I =
2
5
+ .
ln 3 2
11
ta
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
b
b
Để chứng minh ò f(x)dx ³
(hoặc ò f(x)dx £ 0) ta chứng minh
0
a
f(x) £ 0 )
với
f(x) ³ 0
(hoặc
a
" x Î [ a; b ] .
1
Ví dụ 14. Chứng minh ò 3 1 -
x6 dx ³ 0 .
0
Giải
1
Với
3
6
" x Î [ 0; 1] : x £ 1 Þ
6
1- x ³ 0 Þ
ò
3
1 - x6dx ³ 0 .
0
2. Dạng 2
b
b
Để chứng minh ò f(x)dx ³ ò g(x)dx ta chứng minh
a
f(x) ³ g(x)
với
" x Î [ a; b ] .
a
p
2
p
2
0
0
Ví dụ 15. Chứng minh ò dx 10 £ ò dx 11 .
1 + sin x
1 + sin x
Giải
p
Với " x Î éêë0; 2 ùúû: 0 £ sin x £ 1 Þ 0 £ sin11 x £ sin10 x
1
1
Þ 1 + sin10 x ³ 1 + sin11 x > 0 Þ
£
10
1 + sin x 1 + sin11 x .
p
2
dx
ò0 1 + sin10 x £
Vậy
p
2
dx
ò 1 + sin
11
0
x
.
3. Dạng 3
b
Để chứng minh
A£
ò f(x)dx £
B
ta thực hiện các bước sau
a
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được
m £ f(x) £ M .
b
Bước 2. Lấy tích phân
A = m(b - a) £
ò f(x)dx £
M(b - a) = B .
a
1
Ví dụ 16. Chứng minh
2£
ò
4 + x2 dx £
5.
0
Giải
Với
" x Î [ 0; 1] : 4 £ 4 + x2 £ 5 Þ 2 £
4 + x2 £
1
Vậy
2£
ò
4 + x2 dx £
0
Ví dụ 17. Chứng minh
p
£
4
3p
4
ò 3p
4
dx
p
£ .
2
2
2sin x
12
5.
5.
Gii
1
ộp 3p ự 2
"x ẻ ờ ;
Ê sin x Ê 1 ị
Ê sin2 x Ê 1
ỳ:
2
ở4 4 ỷ 2
1
1
ị 1 Ê 3 - 2sin2 x Ê 2 ị
Ê
Ê1
2 3 - 2sin2 x
Vi
(
)
1 3p p
Ê
2 4
4
ị
Vy
Vớ d 18. Chng minh
3
Ê
12
p
3
ũ
p
4
3p
4
(
dx
3p p
Ê 1
2
4
4
2sin x
ũ 3-
p
Ê
4
p
4
3p
4
).
dx
p
Ê .
2
2
2sin x
ũ 3p
4
cotx
1
dx Ê .
x
3
Gii
Xột hm s
cotx
, xẻ
x
f(x) =
ộp p ự
ờ ; ỳ ta
ờ
ở4 3 ỳ
ỷ
cú
-x
- cotx
2
ộp p ự
sin
x
/
f (x) =
< 0 "x ẻ ờ ; ỳ
2
ờ
x
ở4 3 ỳ
ỷ
p
p
p
p
ị ff
Ê (x) Ê f
"x ẻ ộ
; ự
ờ
3
4
ở4 3 ỳ
ỷ
ộp p ự
3 cotx
4
ị
Ê
Ê
"x ẻ ờ ; ỳ
ờ
p
x
p
ở4 3 ỳ
ỷ
( )
ị
( )
3ổ
p pử
ỗ
- ữ
ữÊ
ỗ
ữ
ố3 4 ứ
p ỗ
p
3
cotx
4ổ
p pử
ỗ
dx
Ê
- ữ
ữ.
ỗ
ũ x
ữ
ỗ3 4 ứ
ố
p
p
4
Vy
3
Ê
12
p
3
ũ
p
4
cotx
1
dx Ê .
x
3
4. Dng 4 (tham kho)
b
chng minh
AÊ
ũ f(x)dx Ê
B
(m dng 3 khụng lm c) ta thc hin
a
Bc 1. Tỡm hm s g(x) sao cho
Bc 2. Tỡm hm s h(x) sao cho
ùỡù f(x) Ê g(x) " x ẻ [ a; b]
b
ùù b
ị ũ f(x)dx Ê B .
ớ
ùù g(x)dx = B
a
ùù ũ
ợ a
ỡù h(x) Ê f(x) " x ẻ [ a; b]
ùù
b
ù b
ị A Ê ũ f(x)dx .
ớ
ùù h(x)dx = A
a
ũ
ùù a
ợ
13
2
£
2
Ví dụ 19. Chứng minh
2
2
ò
0
dx
p
£ .
2007
4
1- x
Giải
é
" x Î ê0;
ê
ë
2ù
1
ú: 0 £ x2007 £ x2 £
2 û
2
ú
1
1
Þ
£ 1 - x2 £ 1 - x2007 £ 1 Þ 1 £
£
2
1 - x2007
Với
2
2
2
2
0
0
dx
£
1 - x2007
ò dx £ ò
Þ
2
2
ò
0
dx
1 - x2
1
1 - x2
.
Đặt
x = sin t Þ dx = costdt
2
p
x = 0 Þ t = 0, x =
Þ t=
2
4
2
2
Þ
ò
0
Vậy
3+1
£
4
Ví dụ 20. Chứng minh
dx
=
1 - x2
2
2
2
£
2
1
p
4
ò
0
costdt
p
= .
cost
4
dx
p.
£
4
1 - x2007
ò
0
xdx
£
x +2- 1
ò
2+1
2 .
2
0
Giải
Với
" x Î [ 0; 1] : 2 - 1 £ x2 + 2 - 1 £ 3 - 1
x
x
x
Þ
£
£
2
3- 1
2- 1
x +2- 1
1
Þ
ò
0
Vậy
xdx
£
3- 1
1
xdx
£
2
x +2- 1
ò
0
3+1
£
4
1
ò
0
1
xdx
.
2- 1
ò
xdx
£
x2 + 2 - 1
0
2+1
2 .
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn
b
bởi các đường
y = f(x), x = a, x = b
và trục hoành là
S=
ò f(x) dx .
a
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
b
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x) dx .
a
14
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ln x,
Giải
Do ln x ³ 0 " x Î [ 1; e] nên
e
S=
x = 1, x = e
e
ò ln x dx = ò ln xdx = x ( ln x 1
1)
e
1
= 1.
1
Vậy S = 1 (đvdt).
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = - x2 + 4x và Ox.
Giải
Bảng xét dấu
x 0
1
3
y
–
0
+
0
1
S=-
và Ox.
3, x = 0, x = 3
3
ò( - x
2
0
+ 4x - 3) dx + ò ( - x2 + 4x - 3) dx
1
1
3
æ x
ö
æ x3
ö
8
2
2
÷
÷
ç
=- ç
+
2x
+
3x
+
+
2x
+
3x
=
÷
÷
ç
ç
÷ è 3
÷
è 3
ø
ø1
3.
0
8
Vậy S = 3 (đvdt).
3
2. Diện tích hình phẳng
2.1. Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng
b
giới hạn bởi các đường
y = f(x), y = g(x), x = a, x = b
là
S=
ò f(x) -
g(x) dx .
a
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) - g(x)
trên đoạn [a; b].
b
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x) -
g(x) dx .
a
2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng
b
giới hạn bởi các đường
y = f(x), y = g(x)
là
S=
ò f(x) -
g(x) dx .
Trong đó
a, b
a
là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x) = g(x) ( a £
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình f(x) = g(x) .
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [ a; b] .
b
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x) a
15
g(x) dx .
a < b £ b) .
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x3 + 11x - 6, y = 6x2 , x = 0, x = 2.
Giải
3
Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - 6
h(x) = 0 Û x = 1 Ú x = 2 Ú x = 3 (loại).
Bảng xét dấu
x 0
1
2
h(x)
–
0
+ 0
1
S=-
2
ò( x
3
0
- 6x + 11x - 6) dx + ò ( x3 - 6x2 + 11x - 6) dx
2
1
1
2
æx
ö
æx
ö
11x
11x2
5
3
3
÷
ç
ç
= - ç - 2x +
- 6x ÷
+ ç - 2x +
- 6x ÷
= .
÷
÷
÷
è4
ø0 è 4
ø1
2
2
2
5
Vậy S = 2 (đvdt).
4
2
4
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x3 + 11x - 6, y = 6x2 .
Giải
3
Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - 6
h(x) = 0 Û x = 1 Ú x = 2 Ú x = 3 .
Bảng xét dấu
x 1
2
3
h(x) 0
+
0
–
0
2
S=
3
ò( x
3
ò( x
- 6x + 11x - 6) dx 2
3
1
2
2
æx
ö
11x
=ç
- 2x3 +
- 6x ÷
÷
÷ ç
è4
ø
2
1
4
2
Vậy
Chú ý:
Nếu trong đoạn
[ a; b]
- 6x2 + 11x - 6) dx
3
æx
ö
11x2
1
ç - 2x3 +
- 6x ÷
= .
÷
÷
ç
è4
ø2
2
2
1
S = (đvdt).
2
phương trình
4
f(x) = g(x)
b
không còn nghiệm nào nữa thì
b
ta có thể dùng công thức ò f(x) -
g(x) dx =
a
ò [ f(x) -
g(x) ] dx
.
a
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3, y = 4x .
Giải
3
Ta có x = 4x Û x = - 2 Ú x = 0 Ú x = 2
0
Þ S=
2
ò( x
3
- 4x ) dx +
- 2
ò( x
3
0
16
- 4x ) dx
0
2
ổx4
ổx4
2ử
2ử
ữ
ữ
ỗ
= ỗ
2x
+
2x
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ = 8.
ố4
ứ
ố4
ứ
- 2
0
Vy S = 8 (vdt).
Vớ d 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
honh.
Gii
2
Ta cú x - 4 x + 3 = 0 t2 - 4t + 3 = 0,
ột = 1
ờ
ờt = 3
ở
ộx = 1
ờ
ờx = 3
ở
3
ũx
- 3
t= x 0
ộx = 1
ờ
ờx = 3
ở
- 4 x + 3 dx = 2ũ x2 - 4x + 3 dx
0
ộ
ự
2
2
ỳ
= 2ờ
x
4x
+
3
dx
+
x
4x
+
3
dx
(
)
(
)
ũ
ờũ
ỳ
ờ0
ỳ
1
ở
ỷ
1
3
3
3
ộổx
ử
ổx
ử ự 16
= 2 ờỗ
- 2x2 + 3x ữ
+ ỗ
- 2x2 + 3x ữ
=
ữ
ữ ỳ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ờ
ỳ 3.
ứ0
ố3
ứ
1 ỷ
ởố 3
16
Vy S = 3 (vdt).
din tớch hỡnh phng gii hn bi y = x2 - 4x + 3
1
Vớ d 7. Tớnh
v trc
3
2
ị S=
y = x2 - 4 x + 3
3
v
y = x + 3.
Gii
Phng trỡnh honh giao im
x2 - 4x + 3 = x + 3
ỡù x + 3 0
ùù
x2 - 4x + 3 = x + 3
ùớ ộ
ùù ờ
2
ùù ờ
ờx - 4x + 3 = - x - 3
ợở
ộx = 0
ờ
ờx = 5 .
ở
Bng xột du
x
0
+
x2 - 4x + 3
1
2
0
5
+
5
- 5x ) dx + ũ ( - x2 + 3x - 6) dx + ũ ( x2 - 5x ) dx
1
1
3
3
5
ổx
ổ- x
ử
ổx
5x ử
3x
5x2 ử
109
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
= ỗ
+
+
6x
+
ữ ỗ
ữ ỗ
ữ =
ỗ
ữ
ữ
ữ
ố3
ứ1 ố 3
2 ứ0 ố 3
2
2 ứ3
6 .
109
Vy S = 6 (vdt).
Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi y = x2 - 1 , y = x + 5 .
3
Vớ d 8.
3
0
3
ũ( x
ị S=
1
0
2
3
2
3
Gii
Phng trỡnh honh giao im
x2 - 1 = x + 5 t2 - 1 = t + 5, t = x 0
17
ỡù
ùù
ùớ
ùù
ùù
ợ
t= x 0
ùỡ t = x 0
x = 3
ớù
ùù t = 3
ợ
ột2 - 1 = t + 5
ờ
ờt2 - 1 = - t - 5
ờ
ở
3
ị S=
ũ
3
2
x - 1-
x + 5) dx = 2ũ x2 - 1 -
(
- 3
(
x + 5) dx
0
Bng xột du
x
0
1
0
2
x - 1
1
ị S=2
3
+
3
ũ( - x
2
0
- x - 4) dx + ũ ( x2 - x - 6) dx
1
1
3
ổ- x
ử
ổx
ử
x
x2
73
ữ
ỗ
ỗ
=2ỗ
- 4x ữ
+ỗ - 6x ữ
=
ữ
ữ
ữ
ố 3
ứ0 ố 3
ứ1
2
2
3.
73
Vy S = 3 (vdt).
3
2
3
Chỳ ý:
Nu hỡnh phng c gii hn t 3 ng tr lờn thỡ v hỡnh (tuy nhiờn thi
H thỡ khụng cú).
B. TNH TH TCH KHI TRềN XOAY
1. Trng hp 1.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
y = f(x) 0" x ẻ [ a;b ] , y = 0 , x = a v x = b (a < b) quay quanh trc Ox l
b
V = pũ f 2(x)dx .
a
Vớ d 9. Tớnh th tớch hỡnh cu do hỡnh trũn (C) : x2 + y2 = R 2 quay quanh Ox.
Gii
Honh giao im ca (C) v Ox l x2 = R 2 x = R .
Phng trỡnh (C) : x2 + y2 = R 2 y2 = R 2 - x2
R
R
ị V = pũ ( R - x ) dx = 2pũ ( R 2 - x2 ) dx
2
2
- R
0
R
ổ2
x ử
4pR 3
ữ
= 2p ỗ
R
x
=
ữ
ữ
ỗ
ố
3ứ
3 .
0
4pR 3
V
=
Vy
(vtt).
3
3
2. Trng hp 2.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
x = g(y) 0" y ẻ [ c;d ] , x = 0 , y = c v y = d (c < d) quay quanh trc Oy l
d
V = pũ g2(y)dy .
c
18
Vớ d 10. Tớnh th tớch hỡnh khi do ellipse
x2
y2
+
=1
a2
b2
(E) :
quay quanh Oy.
Gii
y2
= 1 y = b .
b2
x2
y2
a2y2
2
2
(E)
:
+
=
1
x
=
a
Phng trỡnh
a2
b2
b2
b
b
ổ 2 a2y2 ử
ổ 2 a2y2 ử
ữ
ữdy
ỗa ị V = pũ ỗ
a
dy
=
2
p
ữ
2 ữ
2 ữ
ũ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ứ
ố
ứ
b
b
- b
0
Tung giao im ca (E) v Oy l
R
ổ2
a2y3 ử
4pa2b
ữ
= 2p ỗ
a
y
=
ữ
ỗ
ữ
ố
3 .
3b2 ứ
0
4pa2b
V
=
Vy
(vtt).
3
3. Trng hp 3.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
y = f(x), y = g(x) , x = a v x = b (a < b, f(x) 0,g(x) 0 " x ẻ [ a; b ]) quay quanh
b
trc Ox l
V = pũ f 2(x) - g2(x) dx .
a
Vớ d 11. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
y = x2 , y2 = x quay quanh Ox.
Gii
Honh giao im
ỡù x 0
ộx = 0
ùớ
ờ
ờx = 1 .
ùù x4 = x
ở
ợ
1
1
ị V = pũ x - x dx = p
4
0
=p
( 15 x
4
- x ) dx
0
1
1 2
3p
x
=
2
10 .
0
3p
V =
10 (vtt).
5
Vy
)
ũ( x
-
4. Trng hp 4.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
x = f(y), x = g(y) , y = c v y = d (c < d, f(y) 0,g(y) 0 " y ẻ [ c; d ]) quay quanh
d
trc Oy l
V = pũ f 2(y) - g2(y) dy .
c
Vớ d 12. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
x = - y2 + 5 , x = 3 - y quay quanh Oy.
Gii
Tung giao im
ộy = - 1
- y2 + 5 = 3 - y ờ
ờy = 2 .
ở
2
2
ị V = pũ ( - y2 + 5) - ( 3 - y ) 2 dy
- 1
19
2
=p
ò( y
4
- 11y2 + 6y + 16) dy
- 1
2
æy5 11y3
ö
153p
=pç
+ 3y2 + 16y ÷
÷ =
ç
.
ç
÷
è5
ø
3
5
- 1
153p
5
Vậy V =
VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP
1
1.
Tính I= ∫ ( 1 − x )
10
dx
(đvtt).
Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:
0
S =1−
1 1 1 2
1
C10 + C10 − ... + C1010
2
3
11
1
2.
I = x ( 1 − x)
∫
Tính:
19
dx .
Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:
0
S=
3.
1 0 1 1 1 2
1 18 1 19
C19 − C19 + C19 − ... +
C19 − C19 .
2
3
4
20
21
1
1
1
Chứng minh rằng: 1 + 2 Cn1 + 3 Cn2 + ... + n + 1 Cnn =
2n +1 − 1
n +1
BÀI TẬP TỰ GIẢI
sin x + cos x
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)= sin x − cos x , biết rằng
2.
Tính các tích phân sau:
e2
A= ∫
1
3.
A= ∫ e
∫1+
4.
B= ∫
2
C= ∫ 2
x 2 -1 dx
x
ln 2dx
0
-2
e
3 cos x
sin xdx
0
1
2
2 x + 5 - 7x
dx
x
Tính các tích phân sau:
π
3
2
π
F − ÷ = ln 2
4
2 3
ln 4 x
dx
x
1
B= ∫
C*= ∫
5
dx
D*=
x x2 + 4
x
dx
x -1
Tính các tích phân sau:
e
sin(ln x)
I= ∫1 x dx
π
4
dx
J= π∫ sin 2 x cot x
10
K= ∫ lg xdx
1
6
ln 5
dx
L= ∫ e x + 2e− x − 3
ln 3
π
2
C= ∫
0
5.
π
2
sin 2 xdx
M= ∫
cos 2 x + 4 sin 2 x
0
2
dx
N= ∫ x 2 - 9
1
sin 2 x
dx
(1 + cos2 x)2
Tính các tích phân sau:
1
A= ∫
0
dx
4- x
3
2
B= ∫
3
dx
2
x +3
20
4
C= ∫
0
16 - x 2 dx
ln 2
D= ∫
0
6.
3
1- e x
dx
1 + ex
E= ∫ x
2
2
dx
−1
Tính các tích phân sau:
e2
ln x
A= ∫ x dx
1
D
7.
2
B
eπ
*
π
x sin x
= ∫ 1 + cos2 x dx
0
*
3x 4 − 2 x
E= ∫ x3 dx
1
1
ln x
dx
2
x
1
1
2
= ∫ cos(ln x)dx
2
C =∫
*
F* =
x2 − 1
∫−1 1 + x 4 dx
Tính:
π
π
4
A= ∫ cos
2
xdx
0
2
B= ∫ cos
1
3
xdx
4
C= ∫ xe x dx
D= ∫
0
0
e
x
x
1
dx
E=
2
∫ x ln xdx
1
e
ln x + 1
F= ∫ x dx
1
1
x
∫1+ x
2
2
G= ∫ x 1 + 2 x 2 dx
0
4
H= ∫ x 1 + 2 xdx
0
2
x
I= ∫ x + 1 dx
1
J=
dx
0
8.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a. x=1; x=e; y=0 và y=
1 + ln x
x
b. y=2x; y=3−x và x=0
π
c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x= 3 .
3
2
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x −2x +4x−3 (C)
và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh
trục Ox.
11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường
cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh:
A) Trục Ox.
B) Trục Oy.
−Hết−
21
