GIÁO án ôn THI THPT 2016 6017

Nhóm Toán - Trờng THPT Nhữ Văn Lan
Gia năm 2016- 2017

Đề cơng ôn thi THPT Quc

*************************
NI DUNG TRNG TM ễN THI THPTQG MễN TON
Nm hc 2016-2017 vi s thay i ton din hỡnh thc thi THPTQG mụn Toỏn.Nhm nõng
cao cht lng ụn thi ca thy v trũ.Nhúm toỏn 12 trng THPT Nh Vn Lan biờn son li b
cng ụn thi QG mụn toỏn. phự hp vi yờu cu, trong b cng ny chỳng tụi ch gii
thiu cỏc dng toỏn, túm tt lớ thuyt v phng phỏp gii c bn v mt s lng nh vớ d
minh ha.h thng bi tp chỳng tụi biờn son di dng phiu hc tp di mi ch .Hy
vng cun cng s l mt ti liu hu ớch thy v trũ trng THPT Nh Vn Lan ụn tp
hiu qu hn ,t ú t kt qu cao hn mụn toỏn trong nm hc 2016-2017 v nhng nm
hc tip theo.
A. Gii tớch gm nm ch :
1. Chuyờn hm s.
2. Chuyờn m - lụgarit
3. Chuyờn nguyờn hm - tớch phõn v ng dng.
4. Chuyờn s phc.
5. Chuyờn cỏc bi toỏn thc t
B. Hỡnh hc gm hai ch :
6. Chuyờn a din - nún tr - cu.
7. Phng phỏp to trong khụng gian.

A. GII TCH

1. Chuyờn hm s.
S NG BIN V NGHCH BIN CA HM S
A Lí THUYT TểM TT
Bi toỏn 1: Tỡm khong ng bin nghch bin ca hm s:

Cho hm s y = f ( x )
+) f ' ( x ) > 0 õu thỡ hm s ng bin y.

+) f ' ( x ) < 0 õu thỡ hm s nghch bin y.
Quy tc:
+) Tớnh f ' ( x ) , gii phng trỡnh f ' ( x ) = 0 tỡm nghim.

+) Lp bng xột du f ' ( x ) .
+)Da vo bng xột du v kt lun.
Bi toỏn 2: Tỡm m hm s y = f ( x, m ) n iu trờn khong (a,b)
+) hm s ng bin trờn khong ( a, b ) thỡ f ' ( x ) 0x ( a, b ) .

+) hm s nghch bin trờn khong ( a, b ) thỡ f ' ( x ) 0x ( a, b )

Trang : 1
Lu hành nội bộ


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************

ax + b
. Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:
cx + d
+) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì y ' > 0∀x ∈ D
+) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì y ' > 0∀x ∈ D

*) Riêng hàm số: y =

 y ' > 0∀x ∈ ( a, b )

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng ( a; b ) thì 
d
x ≠ −
c

 y ' < 0∀x ∈ ( a, b )

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; b ) thì 
d
x ≠ −
c

3
2
*) Tìm m để hàm số bậc 3 y = ax + bx + cx + d đơn điệu trên R
+) Tính y ' = 3ax 2 + 2bx + c là tam thức bậc 2 có biệt thức ∆ .
a > 0
+) Để hàm số đồng biến trên R ⇔ 
∆ ≤ 0
a > a
+) Để hàm số nghịch biến trên R ⇔ 
∆ ≤ 0
3
2
Chú ý: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d

+) Khi a > 0 để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2
sao cho x1 − x 2 = k .

+) Khi a < 0 để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2
sao cho x1 − x 2 = k .

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 1.

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
Bài toán 1: tìm điểm cực đại – cực tiểu của hàm số
Dấu hiệu 1:
+) nếu f ' ( x 0 ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định tại x 0 và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 0
thì x 0 là điểm cực đại của hàm sô.
+) nếu f ' ( x 0 ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định tại x 0 và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 0

thì x 0 là điểm cực tiểu của hàm sô.
*) Quy tắc 1:
+) tính y '
+) tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó y ' = 0 hoặc y ' không xác định)
+) lập bảng xét dấu y ' . dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Dấu hiệu 2:
cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm đến cấp 2 tại x 0 .

f ' ( x 0 ) = 0
+) x 0 là điểm cđ ⇔ 

f " ( x 0 ) < 0
*) Quy tắc 2:
+) tính f ' ( x ) , f " ( x ) .


f ' ( x 0 ) = 0
+) x 0 là điểm cđ ⇔ 

f " ( x 0 ) > 0

Trang : 2
Lu hµnh néi bé


Nhóm Toán - Trờng THPT Nhữ Văn Lan
Gia năm 2016- 2017

Đề cơng ôn thi THPT Quc

*************************

+) gii phng trỡnh f ' ( x ) = 0 tỡm nghim.

+) thay nghim va tỡm vo f " ( x ) v kim tra. t ú suy kt lun.
Bi toỏn 2: Cc tr ca hm bc 3
Cho hm s: y = ax 3 + bx 2 + cx + d cú o hm y ' = 3ax 2 + 2bx + c
1. hm s cú cc i, cc tiu y ' = 0 cú 2 nghim phõn bit > 0
2. hm s cú khụng cc i, cc tiu y ' = 0 hoc vụ nghim hoc cú nghim kộp 0
3. ng thng i qua im cc i, cc tiu.
+) Cỏch 1: Tỡm ta cỏc im cc i v cc tiu A, B. Vit phng trỡnh ng thng qua A, B.
+) Cỏch 2: Ly y chia y ta c: y = ( mx + n ) y '+ ( Ax + B ) . Phn d trong phộp chia ny l y = Ax + B
chớnh l phng trỡnh ng thng i qua im cc i v cc tiu.
Bi toỏn 3: Cc tr ca hm s bc 4 trựng phng

3
2
Cho hm s: y = ax 4 + bx 2 + c cú o hm y ' = 4ax + 2bx = 2x ( 2ax + b )
1. Hm s cú ỳng 1 cc tr khi ab 0 .
a > 0
+) Nu
hm s cú 1 cc tiu v khụng cú cc i.
b 0
a < 0
+) nu
hm s cú 1 cc i v khụng cú cc tiu.
b 0
2. hm s cú 3 cc tr khi ab < 0 (a v b trỏi du).
a > 0
+) nu
hm s cú 1 cc i v 2 cc tiu.
b < 0
a < 0
+) Nu
hm s cú 2 cc i v 1 cc tiu.
b > 0
3. Gi A, B, C l 3 im cc tr ca th hm s v A Oy , A ( 0; c ) , B ( x B , y B ) , C ( x C , y C ) , H ( 0; y B ) .
+) Tam giỏc ABC luụn cõn ti A
+) B, C i xng nhau qua Oy v x B = x C , y B = yC = y H
uuur uuur
+) tam giỏc ABC vuụng ti A: AB.AC = 0
+) Tam giỏc ABC u: AB = BC
1
1
+) Tam giỏc ABC cú din tớch S: S = AH.BC = x B x C . y A y B

2
2
4
2
4. Trng hp thng gp: Cho hm s y = x 2bx + c
+) Hm s cú 3 cc tr khi b > 0
+) A, B, C l cỏc im cc tr
A ( 0;c ) , B b,c b 2 , C b;c b 2

(

) (

)

+) Tam giỏc ABC vuụng ti A khi b = 1
+) Tam giỏc ABC u khi b = 3 3
1
ã
b= 3
+) Tam giỏc ABC cú A
= 1200 khi
3
+) Tam giỏc ABC cú din tớch S0 khi S0 = b 2 b

+) Tam giỏc ABC cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip R 0 khi 2R 0 =
+) Tam giỏc ABC cú bỏn kớnh ng trũn ni tip r0 khi r0 =

Trang : 3
Lu hành nội bộ

b3 + 1
b

b2
b3 + 1 + 1


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 2
.

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên D.

M ≥ f ( x ) ∀x ∈ D
f ( x)
+) M là GTLN của hàm số trên D nếu: 
. Kí hiệu: M = max
D
∃
x
∈

D
:
f
x
=
M
(
)

0
0

m ≤ f ( x ) ∀x ∈ D
f ( x)
+) m là GTNN của hàm số trên D nếu: 
. Kí hiệu: m = min
D
∃
x
∈
D
:
f
x
=
m
(
)
 0
0

+) Nhận xét: Nếu M, N là GTLN và GTNN của hàm số trên D thì phương trình
f ( x ) − m = 0 & f ( x ) − M = 0 có nghiệm trên D.
2. Quy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số:
*) Quy tắc chung: (Thường dung cho D là một khoảng)
- Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm trên D.
- Lập BBT cho hàm số trên D.
- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.
*) Quy tắc riêng: (Dùng cho [ a; b ] ) . Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên [ a; b ] .

- Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm trên [ a, b ] .
- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 , x 2 ∈ [ a, b ] .

- Tính 4 giá trị f ( a ) , f ( b ) , f ( x1 ) , f ( x 2 ) . So sánh chúng và kết luận.
3. Chú ý:
1. GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn.
2. Hàm số liên tục trên đoạn [ a, b ] thì luôn đạt GTLN, NN trên đoạn này.

3. Nếu hàm sồ f ( x ) đồng biến trên [ a, b ] thì max f ( x ) = f ( b ) , min f ( x ) = f ( a )

4. Nếu hàm sồ f ( x ) nghịch biến trên [ a, b ] thì max f ( x ) = f ( a ) , min f ( x ) = f ( b )

5. Cho phương trình f ( x ) = m với y = f ( x ) là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm

f ( x ) ≤ m ≤ max f ( x )
khi min
D
D

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 3.

TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa:
+) Đường thẳng x = a là TCĐ của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có một trong các điều kiện sau:
lim+ y = +∞ hoặc lim+ y = −∞ hoặc lim− y = +∞ hoặc lim− y = −∞
x →a

x →a

x →a

x →a

+) Đường thẳng y = b là TCN của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có một trong các điều kiện sau:
lim y = b hoặc lim y = b
x →+∞

x →−∞

2. Dấu hiệu:
+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.

Trang : 4
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************

+) Hàm phân thức mà bậc của tử ≤ bậc của mẫu có TCN.
+) Hàm căn thức dạng: y =
− ,y =
− bt, y = bt −

có TCN. (Dùng liên hợp)

+) Hàm y = a , ( 0 < a ≠ 1) có TCN y = 0
x

+) Hàm số y = log a x, ( 0 < a ≠ 1) có TCĐ x = 0
3. Cách tìm:
+) TCĐ: Tìm nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử.
y hoặc lim y
+) TCN: Tính 2 giới hạn: xlim
→+∞
x →−∞
4. Chú ý:
+) Nếu x → +∞ ⇒ x > 0 ⇒ x 2 = x = x
+) Nếu x → −∞ ⇒ x < 0 ⇒ x 2 = x = − x

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 4.

BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định hình hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d

y ' = 0 có hai
nghiệm phân
biệt
hay
∆ y/ > 0

a>0

a<0

y ' = 0 có hai
nghiệm
kép
hay ∆ y/ = 0

y ' = 0 vô
nghiệm hay
∆ y/ > 0

Trang : 5
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************
1. Định hình hàm số bậc 3: y = ax 4 + bx 2 + c

x = 0

3
2
+) Đạo hàm: y ' = 4ax + 2bx = 2x ( 2ax + b ) , y ' = 0 ⇔ 

2
 2ax + b = 0

+) Để hàm số có 3 cực trị: ab < 0
a > 0

- Nếu b < 0 hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu


a < 0
hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu
b > 0
+) Để hàm số có 1 cực trị ab ≥ 0
a > 0
- Nếu b ≥ 0 hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại

a < 0
- Nếu 
hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu
b ≤ 0

- Nếu 

y' = 0

a>0

a<0

có 3
nghiệm
phân
biệt hay ab < 0

y ' = 0 có đúng

1 nghiệm hay
ab ≥ 0

ax + b
cx + d
 d
+) Tập xác định: D = R \  − 
 c
ad − bc
+) Đạo hàm: y =
2
( cx + d )
- Nếu ad − bc > 0 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4.
- Nếu ad − bc < 0 hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3.
d
a
+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x = − và TCN: y =
c

c
 d a
+) Đồ thị có tâm đối xứng: I  − ; ÷
 c c
ad − bc > 0
ad − bc < 0

3. Định hình hàm số y =

Trang : 6
Lu hµnh néi bé


Nhóm Toán - Trờng THPT Nhữ Văn Lan
Gia năm 2016- 2017

Đề cơng ôn thi THPT Quc

*************************

Bi tp ỏp dng: Phiu hc tp s 5.

S TNG GIAO CA TH HM S
BI TON 1: TA GIAO IM CA HAI TH HM S:
Phng phỏp:
Cho 2 hm s y = f ( x ) , y = g ( x ) cú th ln lt l (C) v (C).

+) Lp phng trỡnh honh giao im ca (C) v (C): f ( x ) = g ( x )
+) Gii phng trỡnh tỡm x t ú suy ra y v ta giao im.
+) S nghim ca (*) l s giao im ca (C) v (C).

BI TON 2: TNG GIAO CA TH HM BC 3
Phng phỏp 1: Bng bin thiờn (PP th)
+) Lp phng trỡnh honh giao im dng F ( x, m ) = 0 (phng

trỡnh n x tham s m)

+) Cụ lp m a phng trỡnh v dng m = f ( x )
+) Lp BBT cho hm s y = f ( x ) .

+) Da v gi thit v BBT t ú suy ra m.
*) Du hiu: S dng PP bng bin thiờn khi m c lp vi x.
Phng phỏp 2: Nhm nghim tam thc bc 2.
F ( x, m ) = 0
+) Lp phng trỡnh honh giao im
x = x 0 l 1 nghim ca phng trỡnh.
+) Nhm nghim: (Kh tham s). Gi s
x = x0
F ( x, m ) = 0 ( x x 0 ) .g ( x ) = 0
g ( x ) = 0 (l g ( x ) = 0 l phng trỡnh bc 2 n x
+) Phõn tớch:
tham s m ).
g( x) = 0
+) Da vo yờu cu bi toỏn i x lý phng trỡnh bc 2
.
Phng phỏp 3: Cc tr
*) Nhn dng: Khi bi toỏn khụng cụ lp c m v cng khụng nhm c nghim.
*) Quy tc:
+) Lp phng trỡnh honh giao im F ( x, m ) = 0 (1). Xột hm s y = F ( x, m )

Trang : 7
Lu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trờng THPT Nhữ Văn Lan
Gia năm 2016- 2017

Đề cơng ôn thi THPT Quc

*************************
+) (1) cú ỳng 1 nghim thỡ th
y = F ( x, m ) ct trc honh ti ỳng 1 im.
(2TH)
- Hoc hm s luụn n iu trờn R hm
s khụng cú cc tr y ' = 0 hoc vụ nghim
hoc cú nghim kộp y ' 0
- Hoc hm s cú C, CT v ycd .yct > 0
(hỡnh v)
+) (1) cú ỳng 3 nghim thỡ th
y = F ( x, m )
ct trc honh ti 3 im phõn
bit Hm s cú cc i, cc tiu v
ycd .yct < 0

+) (1) cú ỳng 2 nghim thỡ th
y = F ( x, m )
ct trc honh ti 2 im phõn
bit Hm s cú cc i, cc tiu v
ycd .yct = 0

Bi toỏn: Tỡm m th hm bc 3 ct trc honh ti 3 im lp thnh 1 cp s cng:
1. nh lớ vi ột:
b
c
*) Cho bc 2: Cho phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 cú 2 nghim x1 , x 2 thỡ ta cú: x1 + x 2 = , x1x 2 =
a
a
3
2
x
,
x
,
x
*) Cho bc 3: Cho phng trỡnh ax + bx + cx + d = 0 cú 3 nghim 1 2 3 thỡ ta cú:
b
c
d
x1 + x 2 + x 3 = , x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = , x 1x 2 x 3 =
a
a
a
2.Tớnh cht ca cp s cng:
+) Cho 3 s a, b, c theo th t ú lp thnh 1 cp s cng thỡ: a + c = 2b
3. Phng phỏp gii toỏn:
b
+) iu kin cn: x0 =
l 1 nghim ca phng trỡnh. T ú thay vo phng trỡnh tỡm m.
3a
+) iu kin : Thay m tỡm c vo phng trỡnh v kim tra.

Bi tp ỏp dng: Phiu hc tp s 6.
BI TON 3: TNG GIAO CA HM S PHN THC
Phng phỏp
Cho hm s y =

ax + b
( C ) v ng thng d : y = px + q . Phng trỡnh honh giao im ca (C) v (d):
cx + d

Trang : 8
Lu hành nội bộ


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************

ax + b
= px + q ⇔ F ( x, m ) = 0 (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m).
cx + d
*) Các câu hỏi thường gặp:

d
1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ ( 1) có 2 nghiệm phân biệt khác − .
c
2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C) ⇔ ( 1) có 2 nghiệm phân biệt

d
x1 , x 2 và thỏa mãn : − < x1 < x 2 .
c
3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) ⇔ ( 1) có 2 nghiệm phân biệt
d
x1 , x 2 và thỏa mãn x1 < x 2 < − .
c
4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C) ⇔ ( 1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2 và
d
thỏa mãn x1 < − < x 2 .
c
5. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:
+) Đoạn thẳng AB = k
+) Tam giác ABC vuông.
+) Tam giác ABC có diện tích S0
* Quy tắc:
+) Tìm điều kiện tồn tại A, B ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt.
+) Xác định tọa độ của A và B (chú ý Vi ét)
+) Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m. Từ đó suy ra m.
*) Chú ý: Công thức khoảng cách:
+) A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) : AB =

( xB − xA )

2

(

+ y B − yA

Ax 0 + By 0 + C
M ( x 0 ; y 0 )
⇒ d ( M, ∆ ) =

+) ∆ : Ax 0 + By0 + C = 0
A 2 + B2

)

2

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 7.
BÀI TOÁN 4: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4
4
2
NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ax + bx + c = 0 (1)

1. Nhẩm nghiệm:

x = x 0 là một nghiệm của phương trình.
x = ±x0
f ( x, m ) = ( x 2 − x 02 ) g ( x ) = 0 ⇔ 
g ( x ) = 0
- Khi đó ta phân tích:
g( x) = 0
- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2
2. Ẩn phụ - tam thức bậc 2:
2
t = x2 , ( t ≥ 0)
- Đặt

. Phương trình: at + bt + c = 0 (2).
 t1 < 0 = t 2
t = t = 0
t ,t
- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm 1 2 thỏa mãn:  1 2
 t1 < 0 < t 2
0 < t = t
t ,t
1
2
- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm 1 2 thỏa mãn: 
- Nhẩm nghiệm: Giả sử

Trang : 9
Lu hµnh néi bé


Nhóm Toán - Trờng THPT Nhữ Văn Lan
Gia năm 2016- 2017

Đề cơng ôn thi THPT Quc

*************************

t1 , t 2 tha món: 0 = t1 < t 2
t ,t
0 < t1 < t 2
- (1) cú ỳng 4 nghim thỡ (2) cú nghim 1 2 tha món:
y = ax 4 + bx 2 + c ( 1)
3. Bi toỏn: Tỡm m (C):

ct (Ox) ti 4 im cú honh lp thnh cp s cng.
2
2
t = x , ( t 0)
- t
. Phng trỡnh: at + bt + c = 0 (2).
t ,t ( t < t )
t = 9t1
- (1) ct (Ox) ti 4 im phõn bit thỡ (2) phi cú 2 nghim dng 1 2 1 2 tha món 2
- (1) cú ỳng 3 nghim thỡ (2) cú nghim

.
- Kt hp

t 2 = 9t1 vi nh lý vi ột tỡm c m.

Bi tp ỏp dng: Phiu hc tp s 8.

TIP TUYN CA TH HM S
A Lí THUYT TểM TT

Bi toỏn 1: Tip tuyn ti im M ( x 0 ; y 0 ) thuc th hm s:

Cho hm s ( C ) : y = f ( x ) v im M ( x 0 ; y0 ) ( C ) . Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti M.
- Tớnh o hm f ' ( x ) . Tỡm h s gúc ca tip tuyn l f ' ( x 0 )

- phng trỡnh tip tuyn ti im M l: y = f ' ( x ) ( x x 0 ) + y 0
Bi toỏn 2: Tip tuyn cú h s gúc k cho trc
- Gi ( ) l tip tuyn cn tỡm cú h s gúc k.

- Gi s M ( x 0 ; y 0 ) l tip im. Khi ú x 0 tha món: f ' ( x 0 ) = k (*) .
- Gii (*) tỡm x 0 . Suy ra y 0 = f ( x 0 ) .

- Phng trỡnh tip tuyn cn tỡm l: y = k ( x x 0 ) + y 0
Bi toỏn 3: Tip tuyn i qua im
Cho hm s ( C ) : y = f ( x ) v im A ( a; b ) . Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) bit tip tuyn i qua A.
- Gi ( ) l ng thng qua A v cú h s gúc k. Khi ú ( ) : y = k ( x a ) + b (*)


f ( x ) = k ( x a ) + b ( 1)
- ( ) l tip tuyn ca (C)
cú nghim.
f
'
x
=
k
2
(
)
(
)


- Thay (2) vo (1) ta cú phng trỡnh n x. Tỡm x thay vo (2) tỡm k thay vo (*) ta cú phng trỡnh
tip tuyn cn tỡm.
* Chỳ ý:
1. H s gúc ca tip tuyn vi (C) ti im M ( x 0 ; y 0 ) thuc (C) l: k = f ' ( x 0 )

2. Cho ng thng ( d ) : y = k d x + b

+) ( ) / / ( d ) k = k d

+) ( ) ( d ) k .k d = 1 k =

1
kd

k kd
+) ( , Ox ) = k = tan
1 + k .k d
3. Tip tuyn ti cỏc im cc tr ca th (C) cú phng song song hoc trựng vi trc honh.
3
2
4. Cho hm s bc 3: y = ax + bx + cx + d, ( a 0 )

+) ( , d ) = tan =

+) Khi a > 0 : Tip tuyn ti tõm i xng ca (C) cú h s gúc nh nht.
+) Khi a < 0 : Tip tuyn ti tõm i xng ca (C) cú h s gúc ln nht.

Trang : 10
Lu hành nội bộ


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 9.

2. Chuyên đề mũ – lôgarit
LŨY THỪA
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ α
α = n ∈ N*
α=0

Cơ số a
a∈R
a≠0

α = −n ( n ∈ N* )

a≠0

m
(m ∈ Z, n ∈ N* )
n
α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N* )
α=

Luỹ thừa a α
a α = a n = a.a......a (n thừa số a)
aα = a0 = 1
1
a α = a −n = n
a

m
n

a>0

a = a = n a m ( n a = b ⇔ b n = a)

a>0

a α = lim a rn

α

2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
α

aα
aα
a
α−β
α β
α .β
α
α α
a .a = a
;
=
a
;

(a
)
=
a
;
(ab)
=
a
.b
;
=
 ÷
aβ
bα
b
•
a > 1 : aα > aβ ⇔ α > β ;
0 < a < 1 : aα > aβ ⇔ α < β
• Với 0 < a < b ta có:
a m < bm ⇔ m > 0 ;
a m > bm ⇔ m < 0
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
α

β

α+β

3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
• Căn bậc n của a là số b sao cho b n = a .
• Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có:
n

ab = n a. n b ; n

a na
=
(b > 0) ;
b nb

n

a p = ( n a ) (a > 0) ;

p q
=
thì n a p = m a q (a > 0) ; Đặc biệt
n m
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a < n b .
Neáu

p

n

m n

a = mn a

a = mn a m

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a < n b .
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.

Trang : 11
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 10.

LÔGARIT
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa
• Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: log a b = α ⇔ a α = b
a > 0, a ≠ 1
Chú ý: log a b có nghĩa khi 
b > 0
lg b = log b = log10 b
• Logarit thập phân:
n

ln b = log e b (với e = lim  1 + 1 ÷ ≈ 2, 718281 )
 n

• Logarit tự nhiên (logarit Nepe):

2. Tính chất
log a a = 1 ;
log a a b = b ;
• log a 1 = 0 ;
a loga b = b (b > 0)
• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì log a b > log a c ⇔ b > c
+ Nếu 0 < a < 1 thì log a b > log a c ⇔ b < c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có:
b
• log a (bc) = log a b + log a c • log a  ÷ = log a b − log a c • log a b α = α log a b
c
4. Đổi cơ số
Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có:
log a c
• log b c =
hay log a b.log b c = log a c
log a b
1
1
• log a b =
• log a α c = log a c (α ≠ 0)
log b a

α

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 11.

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1) Hàm số mũ y = a x (a > 0, a ≠ 1).
• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị:
T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
• Đồ thị:

Trang : 12
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************

y

y

y=a

y=a

x

x

1

1

x

x

a> y = log a x (a > 0, a ≠ 1)
02) Hàm số logarit
1
• Tập xác 1
định: D = (0; +∞).
• Tập giá trị:
T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
• Đồ thị:
y
y
y=loga
x

O

y=logax

x

1

O

0<1

a>
3) Giới hạn đặc biệt 1
x

1
1
• lim(1 + x) x = lim 1 + ÷ = e
x →0
x →±∞ 
x
4) Đạo hàm

• ( a x ) ′ = a x ln a ;
( ex ) ′ = ex ;
• ( log a x ) ′ =

x

1

ln(1 + x)
=1
x →0
x

ex − 1
=1
x →0
x

• lim

• lim

( a u ) ′ = a u ln a.u′

1
;
x ln a

( ln x ) ′ = 1 (x > 0);
x

( eu ) ′ = e u .u′

( loga u ) ′ =
( ln u ) ′ = u′

u′
u ln a

u

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 12.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Phương trình mũ cơ bản:

Với a > 0, a ≠ 1:

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a) Đưa về cùng cơ số:
Với a > 0, a ≠ 1:

b > 0
ax = b ⇔ 
 x = log a b
a f ( x) = a g( x ) ⇔ f (x) = g(x)

Trang : 13
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ị c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************
a M = a N ⇔ (a − 1)(M − N) = 0
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:
a f ( x ) = bg(x ) ⇔ f (x) = ( log a b ) .g(x)
b) Logarit hố:
c) Đặt ẩn phụ:
• Dạng 1:
• Dạng 2:

 t = a f (x ) , t > 0
, trong đó P(t) là đa thức theo t.
P(a ) = 0 ⇔ 
 P(t) = 0
αa 2f (x) + β(ab)f ( x ) + γb 2f (x ) = 0
f (x)

f (x)

Chia 2 vế cho b

2f ( x)

a
, rồi đặt ẩn phụ t =  ÷
b

• Dạng 3: a f ( x) + b f ( x ) = m , với ab = 1 . Đặt t = a f ( x ) ⇒ b f (x ) =

1
t

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình:
f(x) = g(x)
(1)
• Đốn nhận x0 là một nghiệm của (1).
• Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:
ng biế
n vàg(x) nghòch biế
n (hoặ
c đồ
ng biế
n nhưng nghiê
m ngặ
t).
f (x) đồ

u vàg(x) = c hằ
ng số
f (x) đơn điệ
• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) = f (v) ⇔ u = v
e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
A = 0
A = 0
2
2
• Phương trình tích A.B = 0 ⇔ 
• Phương trình A + B = 0 ⇔ 

B = 0
B = 0
f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình:
f(x) = g(x)
(1)
Nếu ta chứng minh được:
f
(x)
≥
M

f (x) = M
thì
(1) ⇔ 

g(x) ≤ M
g(x) = M

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 13.

PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT
1. Phương trình logarit cơ bản
log a x = b ⇔ x = a b
Với a > 0, a ≠ 1:
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
a) Đưa về cùng cơ số
Với a > 0, a ≠ 1:

f (x) = g(x)
log a f (x) = log a g(x) ⇔ 
f (x) > 0 (hoặc g(x) > 0)

b) Mũ hố
log a f (x) = b ⇔ a loga f ( x ) = a b
Với a > 0, a ≠ 1:
c) Đặt ẩn phụ
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e) Đưa về phương trình đặc biệt
f) Phương pháp đối lập
Chú ý:
• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.
• Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: a log b c = clog b a

Trang : 14
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 14.

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
• Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.

 a > 1

f (x) > g(x)
f (x)
g( x)
a
>a
⇔
 0 < a < 1

 f (x) < g(x)
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
a M > a N ⇔ (a − 1)(M − N) > 0

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 15.

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.
 a > 1

f (x) > g(x) > 0
log a f (x) > log a g(x) ⇔ 
 0 < a < 1

 0 < f (x) < g(x)

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
log a A
> 0 ⇔ (A − 1)(B − 1) > 0
log a B > 0 ⇔ (a − 1)(B − 1) > 0 ;
log a B

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 16.

HỆ MŨ-LÔGARIT
A – PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:
• Phương pháp thế.
• Phương pháp cộng đại số.
• Phương pháp đặt ẩn phụ.

Trang : 15
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 17.

3. Chuyên đề nguyên hàm - tích phân và ứng dụng.
ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Khái niệm nguyên hàm
• Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
F '(x) = f (x) , ∀x ∈ K
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
∫ f (x)dx = F(x) + C , C ∈ R.

• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
• ∫ f '(x)dx = f (x) + C • ∫ [ f (x) ± g(x) ]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx • ∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx (k ≠ 0)
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1)

∫ k.dx = k.x + C
1

x n +1
2) ∫ x dx =
+C
n +1
1
4) ∫ dx = ln x + C
x
1
1
dx = ln ax + b + C
6) ∫

(ax + b)
a
n

1
+C
x

3)

∫x

5)

∫ (ax + b)

7)

∫ sin x.dx = − cos x + C

8)

∫ cos x.dx = sin x + C

9)

∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

10)

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

11)

∫ cos

15)

∫ e dx = e

2

dx = −

1

n

dx = −

1
+C;
a(n − 1)(ax + b) n −1

1

1
2

dx = ∫ (1 + tan 2 x)dx = tan x + C

x
1
1
dx = tan(ax + b) + C
13) ∫
2
cos (ax + b)
a

17)
19)
21)
23)
25)
27)
29)

x

x

+C

1

1

12)

∫ sin

16)

∫e

2

dx = ∫ (1 + cot 2 x)dx = − cot x + C

x
1
1
dx = − cot(ax + b) + C
14) ∫
2
sin (ax + b)
a
−x

dx = −e− x + C

1 (ax + b)
1 (ax + b) n +1
(ax + b)
n
e
dx
=
e

+
C
18)
(ax
+
b)
.dx
=
.
+ C (n ≠ 1)
∫
∫
a
a
n +1
1
ax
x
dx = arctan x + C
20)
a
dx
=
+C
2
∫
ln a
x +1
1
1 x −1

1
1
x
dx = arctan + C
22) ∫ 2
∫ x 2 − 1 dx = 2 ln x + 1 + C
2
x +a
a
a
1
1
1
x −a
dx = arcsin x + C
24) ∫
∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C
1− x2
1
x
1
dx = ln x + x 2 ± 1 + C
26) ∫ 2
∫ a 2 − x 2 dx = arcsin a + C
x ±1
1
2
2
x 2
a2

x
28) ∫ a 2 − x 2 dx =
a − x 2 + arcsin + C
∫ x 2 ± a 2 dx = ln x + x ± a + C
2
2
a
2
x
a
2
2
2
2
2
2
∫ x ± a dx = 2 x ± a ± 2 ln x + x ± a + C

∫

Trang : 16
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 18.

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ VI PHÂN
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
+ Phương pháp
+ Phương pháp biến đổi đưa về bảng công thức cơ bản
+ Cách giải:
'
+Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số ∫ f [ u(x)] .u (x)dx = F[u(x)] + C
( F(u) là một nguyên hàm của f(u) ).
Cốt lõi của phương pháp là dùng 1 biến phụ u đặt và chuyển đổi biểu thức f(x)dx ban đầu về toàn bộ
biểu thức g(u)du đơn giản và dễ tìm nguyên hàm hơn.Cần nhận dạng được các mối liên quan giữa biểu thức
và đạo hàm với nó ví dụ như:
1
t anx ¬ 
→
;s inx ¬ 
→ cos x;....
cos 2 x

- Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau :
+ Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó:

∫

f (u(x)).u , (x).dx

+ Dạng 2: Nếu hàm số cần lấy tích phân có dạng :
f(x) chứa biểu thức
f(x) chứa biểu thức

f(x) chứa biểu thức

a 2 − x 2 . Đặt x = |a|sint (-

Π
Π
≤t≤ )
2
2

Π
Π
2
2
Π
|
a
|
 
( t ∈ [ 0; Π ] \   )
x 2 − a 2 . Đặt x =
cos t
2
2
2
a 2 + x 2 hoặc a + x . Đặt x = |a|tgt ( −

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 19.

PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
+Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần : Công thức
∫ u(x).v '(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx

(*)

+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng ∫ f (x).g(x)dx trong các trường hợp sau:
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số mũ
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số logarit
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số đa thức
-f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm lôgarit
-f(x) là hàm mũ.g(x) là hàm lôgarit
-f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm mũ
Cách giải : - Dùng công thức (*)
- Dùng sơ đồ (thường dùng để làm trắc nghiệm)
Chú ý: Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

∫ P(x)e dx
x

u
dv

P(x)
x

e dx

cosx dx ∫ P(x)sinx dx

∫ P(x)Trang
: 17
P(x)
LuP(x)
hµnh néi bé
cos xdx
sin xdx

∫ P(x) lnx dx
lnx
P(x)


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 20.

TÍCH PHÂN
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Khái niệm tích phân
• Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b

F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ∫ f (x)dx .
a

b

∫ f (x)dx = F(b) − F(a)
a

• Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b

b

b

a

a

a

∫ f (x)dx = ∫ f (t)dt = ∫ f (u)du = ... = F(b) − F(a)
• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
b

S = ∫ f (x)dx
a

2. Tính chất của tích phân
0

b

• ∫ f (x)dx = 0
•

a

• ∫ f (x)dx = − ∫ f (x)dx

0
b

b

a

b

b

a

a

a

∫ [ f (x) ± g(x) ]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx

b

b

• ∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx (k: const)
a
b

c

a

b

a

a

c

• ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

b

• Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì ∫ f (x)dx ≥ 0
a

b

b

a

a

• Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì ∫ f (x)dx ≥ ∫ g(x)dx
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b

∫ f [ u(x)] .u '(x)dx =
a

u(b)

∫

f (u)du

u(a )

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a,
b ∈ K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì:
b

b

∫ udv = uv a − ∫ vdu
a

b

a

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.

Trang : 18
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************
b

b

a

a

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ∫ vdu dễ tính hơn ∫ udv .
- Khi tính tích phân cần sử dụng thành thạo và linh hoạt MTBT.

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 21.

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

S = ∫ f (x)dx

là:

(1)

a

2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

S = ∫ f (x) − g(x)dx

là:

(2)

a

Chú ý:
• Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

b

b

a

a

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx

• Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân.
Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
b

c

d

b

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
a

a

=

c

d

c

d

b

a

c

d

∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y)
(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 22.

ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

• Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ
x (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b

Thể tích của B là:

V = ∫ S(x)dx
a

• Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)

Trang : 19
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
b

V = π∫ f 2 (x)dx
a

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh
trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
d

V = π∫ g 2 (y)dy

là:

c

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 23.

4. Chuyên đề số phức.

I – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Khái niệm số phức
• Tập hợp số phức:
C
• Số phức (dạng đại số) : z = a + bi
(a, b ∈ R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)
• z là số thực
⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
a = a '
a + bi = a’ + b’i ⇔ 
(a, b, a ', b ' ∈ R)
• Hai số phức bằng nhau:
b = b '

Chú ý: i 4k = 1; i 4k +1 = i; i 4k + 2 = -1; i 4k + 3 = -i
r
2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi u = (a; b)
trong mp(Oxy) (mp phức)

y
b
O

.

M(a;b)
x

a

3. Cộng và trừ số phức:
• ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = ( a + a’) + ( b + b’) i
• ( a + bi ) − ( a’ + b’i ) = ( a − a’) + ( b − b’) i
• Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
r
r
r r
r r
• u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u + u ' biểu diễn z + z’ và u − u ' biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
• ( a + bi ) ( a '+ b 'i ) = ( aa’ – bb’) + ( ab’ + ba’) i
• k(a + bi) = ka + kbi (k ∈ R)
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a − bi
z  z

• z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z ';  1 ÷ = 1 ;
z.z = a 2 + b 2
z
z
 2
2
• z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo ⇔ z = − z
6. Môđun của số phức : z = a + bi

Trang : 20
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************

uuuu
r
• z = a 2 + b 2 = zz = OM
• z ≥ 0, ∀z ∈ C ,
z =0⇔ z=0
z
z
=
• z.z ' = z . z '
•

• z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z'
z' z'
7. Chia hai số phức:
a+bi
aa'-bb' ab '+ a ' b
= 2
+
i.
• Chia hai số phức:
a'+b'i a ' + b '2 a '2 + b ' 2
−1
•z =

1
2

z (z ≠ 0)

z
8. Căn bậc hai của số phức:

•

z'
z '.z z '.z
= z ' z −1 = 2 =
z
z.z
z

•

z'
= w ⇔ z ' = wz
z

x 2 − y 2 = a
• z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi ⇔ z = w ⇔ 
 2xy = b
• w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
• w ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau
• Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a
2

• Hai căn bậc hai của a < 0 là ± − a.i
9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A ≠ 0 ).
∆ = B2 − 4AC
−B ± δ
• ∆ ≠ 0 : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 =
, ( δ là 1 căn bậc hai của ∆)
2A
B
• ∆ = 0 : (*) có 1 nghiệm kép: z1 = z 2 = −
2A
Chú ý: Nếu z0 ∈ C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là một nghiệm của (*).

II – CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC
A – CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho số phức z =

3 1
− i . Tính các số phức sau: z ; z2; ( z )3; 1 + z + z2
2 2

Giải:
a) Vì z =

3 1
3 1
− i ⇒z =
+ i
2 2
2 2
2

 3 1  3 1 2
3 1
3
− i÷
b) Ta có z2 = 
= + i −
i= −
i
÷
2
2 2
 2 2  4 4
2

 3 1 
3 1 2
3
1
3
⇒( z ) = 
+
i
=
+
i
+
i
=
+
i
÷
 2 2 ÷ 4 4
2
2
2


1
3  3 1 
3 1 3
3
i ÷
+
i

=
+
i
+
i
−
=i
( z )3 =( z )2 . z =  +
÷
÷ 2 2 ÷ 4 2 4
2
2
4



2

Ta có: 1 + z + z2 = 1 +

3 1 1
3
3 + 3 1+ 3
− i+ −
i=
−
i
2 2 2 2
2
2

Trang : 21
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************
Ví dụ 2: Tìm các số thực x, y thoả mãn:
3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
⇔ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i
1

x=−

3x + y = 2y − 1

7
⇔
Giải hệ này ta được: 
5x
=
x
−
y
4


y =

7
Ví dụ 3: Tính:
i105 + i23 + i20 – i34
Giải: Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ thừa của đơn vị ảo như sau:
Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1…
Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; ∀ n ∈ N*
Vậy in ∈ {-1;1;-i;i}, ∀ n ∈ N.
−n

−n
1
Nếu n nguyên âm, i = (i ) =  ÷ = ( −i ) .
i
Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được:
i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2

n

-1 -n

16

8

 1+ i 
 1− i 
Ví dụ 4: Tính số phức sau: z = 

÷ +
÷
 1− i 
 1+ i 
1 + i (1 + i)(1 + i) 2i
=
= =i
Giải: Ta có:
1− i
2
2
16
8
1− i
1+ i 
 1 − i  =i16 +(-i)8 = 2
= −i . Vậy 
⇒
÷ +
÷
1+ i
 1− i 
1+ i 

Ví dụ 5: Tìm phần ảo của z biết: z + 3z = ( 2 + i ) ( 2 − i ) (1)
Giải: Giả sử z=a+bi
(1) ⇔ a + bi + 3a − 3bi = ( 8 + 12i + 6i 2 + i 3 ) ( 2 − i ) = ( 2 + 11i ) . ( 2 − i )
3

⇔ 4a − 2bi = 4 − 2i + 22i − 11i 2 = 20i + 15 ⇔ a =

15
; b = −10 .
4

Vậy phần ảo của z bằng -10
Ví dụ 6: Cho z1 = 3 + i, z 2 = 2 − i Tính z1 + z1z 2
Giải:
z1 + z1z 2 = 3 + i + ( 3 + i ) ( 2 − i ) = 10 = 10 + 0i ⇒ z1 + z1z 2 = 10 2 + 0 2 = 10
Ví dụ 7: Cho z1 = 2 + 3i, z 2 = 1 + i . Tính z1 + 3z 2 ;

z1 + z 2
3
; z1 + 3z 2
z2

Giải:
+) z1 + 3z 2 = 2 + 3i + 3 + 3i = 5 + 6i ⇒ z1 + 3z 2 = 52 + 6 2 = 61
+)

z1 + z 2 3 + 4i ( 3 + 4i ) ( 1 − i ) 7 + i
z +z
49 1 5 2
+ =
=
=
=
⇒ 1 2 =
2
z2

4 4
2
z2
1+ i
1− i
2

3
3
2
3
+) z1 + 3z 2 = 8 + 36i + 54i + 27i − 3 − 3i = −49 + 6i ⇒ z1 + 3z 2 = 2437
Ví dụ 8: Tìm các căn bậc hai của số phức z = 5 + 12i
Giải: Giả sử m+ni (m; n ∈ R) là căn bậc hai của z
Ta có: (m + ni) 2 = 5 + 12i
⇔ m 2 + 2mni + n 2i 2 = 5 + 12i ⇔ m 2 + 2mni − n 2 = 5 + 12i

Trang : 22
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************
m − n 2 = 5(1)
m 2 − n 2 = 5


⇔
⇔
6
2mn = 12
m = (2)

n
2

2

6
Thay (2) vào (1) ta có:  ÷ − n 2 = 5 ⇔ 36 − n 4 = 5n 2
n

⇔ n 4 + 5n 2 − 36 = 0 ⇔ n 2 = 4; n 2 = −9(loai)
n = 2 ⇒ m = 3
 n = −2 ⇒ m = −3

Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i
Ví dụ 9: Tính số phức sau: z = (1+i)15
Giải:
Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i ⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i
z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 24.
DẠNG 2: SỐ PHỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT
A – CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm mô đun của số phức z =
Giải: Ta có : z =

5+i
1
=1+ i
5
5

(1 + i)(2 − i)
1 + 2i

2

1
26
Vậy, mô đun của z bằng: z = 1 +  ÷ =
5
5
(1 − i 2) ( 1 + i )
(1)
2−i
(1 − i 2) ( 1 + 2i + i 2 ) 2i − 2 2i 2
Giải: (1) ⇔ a + bi + 2a − 2bi =
=
2−i
2−i
(2i + 2 2) ( 2 + i ) i(4 + 2 2) + 4 2 − 2
⇔ 3a − bi =
=
4 − i2
5

4 2 −2
−4 − 2 2
⇔a=
;b =
15
5
2

Ví dụ 2: Tìm môđun của z biết z + 2z =

32 + 4 − 16 2 + 144 + 72 + 144 2
225 + 128 2
=
225
15
5(z + i)
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn
= 2 − i (1) . Tính môđun của số phức ω = 1 + z + z 2 .
z +1
Giải: Giả sử z=a+bi
5(a − bi + i)
(1) ⇔
= 2 −i
a + bi + 1
⇒z =

⇔ 5a − 5i(b − 1) = 2a + 2bi + 2 − ai − bi 2 − i ⇔ 3a − 2 − b − i(5b − 5 − 2b + a + 1) = 0
3a − 2 − b = 0 a = 1
⇔
⇒

⇒ z = 1+ i
3b + a − 4 = 0 b = 1
ω = 1 + 1 + i + 1 + 2i − 1 = 2 + 3i ⇒ ω = 4 + 9 = 13

Trang : 23
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn: (2 + i)z +
Giải: Giả sử z = a + bi

2(1 + 2i)
= 7 + 8i (1) . Tìm môđun của số phức ω = z + 1 + i
1+ i

2(1 + 2i)
= 7 + 8i
1+ i
2(1 + 2i)(1 − i)
⇔ 2a + 2bi + ai + bi 2 +
= 7 + 8i
1 + i2

(1) ⇔ (2 + i)(a + bi) +

2a − b + 3 = 7
a = 3
⇔
⇔ 2a + 2bi + ai − bi + 1 − i + 2i − 2i 2 = 7 + 8i ⇔ 
2b + a + 1 = 8
b = 2
Do đó ω = 3 + 2i + 1 + i = 4 + 3i ⇒ ω = 16 + 9 = 5 .
Ví dụ 5: Tính môđun của số phức z biết: (2z − 1)(1 + i) + (z + 1)(1 − i) = 2 − 2i (1)
Giải: (1) ⇔ (2a + 2bi − 1))(1 + i) + (a − bi + 1)(1 − i) = 2 − 2i
⇔ 2a + 2ai + 2bi + 2bi 2 − 1 − i + a − ai − bi + bi 2 + 1 − i = 2 − 2i
⇔ 3a − 3ba + ai + bi − 2i = 2 − 2i
1

a
=
3a − 3b = 2

3
1 1
2
⇔
⇔
Suy ra z =
.
+ =
9 9
3
a + b − 2 = −2
 b = −1


3

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 25.
DẠNG 3: TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
A – CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa mãn z 3 = 18 + 26i
3
2
 x − 3xy = 18
3
(x
+
iy)
=
18
+
26i
⇔
⇒ 18(3x 2 y − y 3 ) = 26(x 3 − 3xy 2 )
Giải: Ta có
 2
3
3x y − y = 26
1
Giải phương trình bằng cách đặt y=tx ta được t = ⇒ x = 3, y = 1 . Vậy z=3+i.
3
2
2
Ví dụ 2: Tìm tất cả các số phức z, biết z = z + z (1)

Giải : (1) ⇔ ( a + bi

2

) =a

2

+ b 2 + a − bi ⇔ a 2 + b 2i 2 + 2abi = a 2 + b 2 + a − bi

1
1

a = − 2 ; b = 2
 2b 2 + a = 0

⇔ 2b 2 + a − bi − 2abi = 0 ⇔ 
⇔  b = 0;a = 0
 b + 2ab = 0

−1
−1
a = ; b =
2
2

−1 1
−1 1
+ i; z =
− i

Vậy z = 0; z =
2 2
2 2
3
Ví dụ 3: Tìm phần ảo của z biết: z + 3z = ( 2 + i ) ( 2 − i ) (1)
Giải: Giả sử z=a+bi
(1) ⇔ a + bi + 3a − 3bi = ( 8 + 12i + 6i 2 + i 3 ) ( 2 − i ) = ( 2 + 11i ) . ( 2 − i )
⇔ 4a − 2bi = 4 − 2i + 22i − 11i 2 = 20i + 15 ⇔ a =

15
; b = −10 .
4

Vậy phần ảo của z bằng -10

Trang : 24
Lu hµnh néi bé


Nhãm To¸n - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
Gia n¨m 2016- 2017

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc

*************************

Ví dụ 4: Tìm số phức z biết: z + 3z = ( 3 − 2i ) ( 2 + i ) (1)
Giải: Giả sử z=a+bi, ta có:
(1) ⇔ a − bi + 3a + 3bi = ( 9 − 12i + 4i 2 ) ( 2 + i ) = ( 5 − 12i ) . ( 2 + i )
2

11
−19
11 19
;b =
. Vậy z = − i
12
2
2 2
(1)

⇔ 4a + 2bi = 10 − 24i + 5i − 12i 2 = 22 − 19i ⇔ a =

Ví dụ 5: Tìm số phức z biết z + 2z = ( 2 − i ) ( 1 − i )
3

Giải: Giả sử z = a + bi ⇒ z = a − bi
(1) ⇔ a + bi + 2(a − bi) = (23 + 3.22 i + 3.2i 2 + i 3 )(1 − i)
⇔ a + bi + 2a − 2bi = (8 + 12i − 6 − i)(1 − i) = (11i + 2)(1 − i)

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 26.
DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MÔĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT
A – CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Biết rằng số phức z thỏa mãn u = (z + 3 − i)(z + 1 + 3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.
Giải: Giả sử z = a + ib , ta có
u = (a + 3 + (b − 1)i)(a + 1 − (b − 3)i) = a 2 + b 2 + 4a − 4b + 6 + 2(a − b − 4)i
u∈R ⇔ a −b −4 = 0 ⇔ a = b + 4

| z |min ⇔ | z |2 min
| z |2 = a 2 + b 2 = (b + 4) 2 + b 2 = 2b 2 + 8b + 16 = 2(b + 2) 2 + 8 ≥ 8

Dấu = xảy ra khi b = −2 ⇒ a = 2

Vậy | z | min ⇔ z = 2 − 2i

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn: z + i + 1 = z − 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
Giải:
2
2
2
a + bi + i + 1 = a − bi − 2i ⇔ ( a + 1) + ( b + 1) = a 2 + ( b + 2 )
⇔ a 2 + 2a + 1 + b 2 + 2b + 1 = a 2 + b 2 + 4b + 4 ⇔ 2a − 2b − 2 = 0 ⇒ a − b = 1 ⇒ a = 1 + b
1
2
⇒ a 2 + b 2 = ( b + 1) + b 2 = 2b 2 + 2b + 1 ≥
2
1
1
1
−1
. Vậy Min z =
⇒z≥
⇔a= ; b=
2
2
2
2
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn: z − 3 + 4i = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
Giải: Giả sử z=a+bi, ta có: a + bi − 3 + 4i = 4 ⇒ ( a − 3) + ( b + 4 ) = 16
2

2

a − 3 = 4sin ϕ
a = 3 + 4sin ϕ
⇒
Đặt 
b + 4 = 4 cos ϕ b = 4 cos ϕ − 4
2

⇒ z = a 2 + b 2 = 9 + 16sin 2 ϕ + 24sin ϕ + 16 cos 2 ϕ + 16 − 32 cos ϕ
3
4
= 41 + 24sin ϕ − 32 cos ϕ = 41 + 40( sin ϕ − cos ϕ)
5
5
3
4
2
Đặt cos α = , sin α = ⇒ z = a 2 + b 2 = 41 + 40 sin(ϕ − α) ≥ 1 .
5
5

Trang : 25
Lu hµnh néi bé