15 cau trac nghiem bai toan ve goc de 1 co loi giai

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu của S lên
mặt đáy là trung điểm M của AD. Góc giữa SD và mặt đáy bằng 30 0. Khoảng cách từ M đến
mặt phẳng (SBD) là:
A.

a 33
11

B.

a 3
11

C.

a 5
5

3a 13
11

D.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, góc ADC = 60 0. Hai mặt
phẳng (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SC và mặt đáy
bằng 600. Khoảng cách từ trung điểm I của cạnh SB đến mặt phẳng (SCD) là:
A.

a 13
3

B.

3a 13
3

C.

a 39
3

D.

a 15
5

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA ⊥
(ABCD), SA = a 3 . Tính theo a khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng
(SAC):
A.

a 2
6

B.

a 3
7

C.

a 5
8

D.

a 7
7

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA ⊥
(ABCD), SA = a 3 . Tính theo a khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SBC):
A.

a
2

B.

a 3
4

C.

a 5
6

D.

a 7
8

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 2a và đôi một vuông góc với nhau.
Khoảng cách h từ S đến mặt phẳng ABC là:
A. h =

2a
3

B. h =

4a
3

C. h =

a 3
2

D. h =

a 3
4

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = 4a. Mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Côsin của góc giữa hai
đường thẳng chéo nhau SD và BC bằng;
A.

10
5

B.

2 5
5

C.

5
5

D.

5
2

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a 2 , AC =2a. Mặt
bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh bên SA hợp
với mặt đáy một góc α thỏa mãn cosα=

21
. Góc giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
6


A. 300

B. 450

C. 600

D. 900

Câu 8: Cho hình lăng trụ đều ABC. A’B’C’ ' có cạnh đáy bằng 2a. Gọi G là trọng tâm tam
giác ABC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BGC’) bằng

a 3
. Góc giữa hai đường
2

thẳng chéo nhau B’G và BC gần bằng
A. 61,280

B. 64,280

C. 68,240

D. 52,280

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4a. Hai mặt phẳng
(SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tam giác SAB có diện tích bằng

8a 2 6
. Côsin của
3

góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng:
A.

19
5

B.

6
5

C.

6
25

D.

19
25

Câu 10: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B có AB = BC = 4.
Gọi H là trung điểm của AB, SH ⊥ (ABC). Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 600. Cosin
góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và ( ABC) là:
A.

5
5

B.

5
4

C.

10
5

D.

1
7

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, CD = 2a,
AD = AB = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của đoạn AB.
Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) bằng

a 2
. Tan của góc giữa đường thẳng BC
3

và mặt phẳng (SCD) bằng:
A.

2

B.

2
4

C.

2

2

D. 2 2

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 2a ; AD = 2a 3
và SA ⊥ (ABCD) . Gọi M là trung điểm của CD, biết SC tạo với đáy góc 45 0. Cosin góc tạo
bởi đường thẳng SM và mặt phẳng ( ABCD) là:
A.

3
13

B.

13
29

C.

377
29

D.

277
29


Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B có AB = BC = a; SA ⊥
(ABC). Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 600 .Cosin góc tạo bởi đường thẳng SC và

mặt phẳng ( ABC) là:
A.

10
15

B.

10
10

C.

10
20

10
5

D.

Câu 14: Cho hình hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B có AB =
a 3 , BC = a. Biết A’C = 3a. Cosin góc tạo bởi đường thẳng A’ B và mặt đáy ( ABC) là:
A.

10
4

10
6

B.

C.

6
4

15
5

D.

Câu 15: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a. Biết SO ⊥ (ABCD ), AC
= a và thể tích khối chóp là
A.

6
7

a3 3
. Cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và ( ABC) là:
2

B.

3
7

C.

1
7

D.

2
7


Đáp án
1-C
11-B

2-D
12-C

3-A
13-D

4-B
14-C

5-A
15-C

6-B

7-D

8-A

9-A

10-D

Hướng dẫn giải
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu của S lên
mặt đáy là trung điểm M của AD. Góc giữa SD và mặt đáy bằng 30 0. Khoảng cách từ M đến
mặt phẳng (SBD) là:
A.

a 33
11

a 3
11

B.

C.

a 5
5

3a 13
11

D.

·
HD: Do SD tạo với đáy một góc 300 nên SDM
= 300
0
Khi đó SM = MD tan 30 =

a
3

 BD ⊥ SM
⇒ BD ⊥ MF
Dựng ME ⊥ BD; MF ⊥ SE . Do 
 BD ⊥ ME
Từ đó suy ra MF ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( M ; ( SBD ) ) = MF
Mặt khác ME = MD sin 450 =
Suy ra d = MF =

a 2
MI a 2
(hoặc ME =
)
=
2
2
2

SM .ME
SM + ME
2

2

=

a 5
. Chọn C
5

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, góc ADC = 60 0. Hai mặt
phẳng (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SC và mặt đáy
bằng 600. Khoảng cách từ trung điểm I của cạnh SB đến mặt phẳng (SCD) là:
A.

a 13
3

B.

3a 13
3

( SAC ) ⊥ ( ABC )
⇒ SA ⊥ ( ABC )
HD: Ta có 
( SAB ) ⊥ ( ABC )
·
Do SC tạo với đáy góc 600 ⇒ SCA
= 600
Do ·ADC = 600 nên tam giác ACD đều.
Suy ra AC = 2a ⇒ SA = 2a tan 600 = 2a 3

Dựng AF ⊥ ( SCD ) ; AE =

2a 3
=a 3
2

C.

a 39
3

D.

a 15
5


Khi đó d ( A; ( SCD ) ) = AF =

SA. AE
SA2 + AE 2

=

2a 15
5

 AB / / CD
⇒ d A = d B = 2d I = 2 AF
Lại có 

 BS = 2 IS
⇒ dI =

1
AF a 15
. Chọn D
dA =
=
2
2
5

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA ⊥
(ABCD), SA = a 3 . Tính theo a khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng
(SAC):
A.

a 2
6

B.

a 3
7

C.

a 5
8

D.

a 7
7

HD: Goị G là trọng tâm tam giác SAB và M là trung điểm của AB.
Khi đó GS =

2
2
MS ⇒ d ( G; ( SAC ) ) = d ( M ; ( SAC ) )
3
3

Dựng MH ⊥ AC ; lại có MH ⊥ SA ⇒ MH ⊥ ( SAC )
Do đó d ( M ; ( SAC ) ) = MH = MA sin 450 =

a 2
4

2 a 2 a 2
Do vậy d ( G, ( SAC ) ) = .
. Chọn A
=
3 4
6
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA ⊥
(ABCD), SA = a 3 . Tính theo a khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SBC):
A.

a
2

B.

a 3
4

C.

a 5
6

D.

a 7
8

HD: Ta có AC = 2OC ⇒ d ( A; ( SCD ) ) = 2d ( O; ( SCD ) )
 AD ⊥ CD
⇒ CD ⊥ AH
Dựng AH ⊥ SD . Ta có: 
 SA ⊥ CD
Do vậy AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A; ( SCD ) ) = AH
=

AD.SA
AD 2 + SA2

=

a 3
a 3
⇒ d ( O; ( SCD ) ) =
. Chọn B
2
4

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 2a và đôi một vuông góc với nhau.
Khoảng cách h từ S đến mặt phẳng ABC là:


A. h =

2a
3

B. h =

4a
3

C. h =

a 3
2

D. h =

a 3

4

 AB ⊥ SE
⇒ AB ⊥ SF
HD: Dựng SE ⊥ AB; SF ⊥ AE . Do 
 AB ⊥ SC
Lại có SF ⊥ CE suy ra SF ⊥ ( ABC ) ⇒ d ( S ; ( ABC ) ) = SF
Ta có:

1
1
1
1
1
1
=
+
= 2+ 2+
2
2
2
SF
SE
SC
SA SB
SC 2
2a
= h . Chọn A
3

Suy ra SF =

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = 4a. Mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Côsin của góc giữa hai
đường thẳng chéo nhau SD và BC bằng;
A.

10
5

B.

2 5
5

C.

5
5

D.

5
2

HD: Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH ⊥ AB
Mặt khác ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
 AD ⊥ AB
·
⇒ AD ⊥ SA ⇒ SAD

= 900
Lại có: 
 AD ⊥ SH
Do BC / / AD nên (·BC ;SD ) = (·AD; SD )
·
=
Mặt khác cos SDA

(

AD
=
SD

AD
SA2 + AD 2

2 5
5

=

)

· ; BC = 2 5 . Chọn B
Như vậy cos SD
5
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a 2 , AC =2a. Mặt
bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh bên SA hợp
với mặt đáy một góc α thỏa mãn cosα=

A. 300

21
. Góc giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
6

B. 450

C. 600

HD: Gọi H là trung điểm của AC khi đó SH ⊥ AC
Mặt khác ( SAC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC )

D. 900


Mặt khác BC = AC 2 − AB 2 = a 2 = AB nên tam giác ABC vuông cân tại B do đó
BH ⊥ AC .

Lại có SH ⊥ AC ⇒ AC ⊥ ( SBH ) do đó SB ⊥ AC . Chọn D
Câu 8: Cho hình lăng trụ đều ABC. A’B’C’ ' có cạnh đáy bằng 2a. Gọi G là trọng tâm tam
giác ABC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BGC’) bằng

a 3
. Góc giữa hai đường
2

thẳng chéo nhau B’G và BC gần bằng
A. 61,280

B. 64,280

C. 68,240

D. 52,280

HD: Gọi M là trung điểm của AC ta có: BM ⊥ AC
Dựng CE ⊥ CC ' ⇒ CE ⊥ ( C 'MB )
Do đó d ( C ; ( BC ' M ) ) = d ( C ; ( BC ' G ) ) = GE =
Khi đó

a 3
2

1
1
1
=
+
⇒ CC ' = a 3
2
2
CE
CM
CC '2

Lại có BM = a 3 ⇒ BG =
Tương tự ta có C ' G =

2a 3

a 39
⇒ B 'G = BG 2 + BB '2 =
3
3

a 39
3

Do vậy
· ' B 'G =
cos C

C ' B '2 + GB '2 − GC '2
3
· ' B ' G ≈ 61, 290
=
⇒C
2C ' B '.GB'
39

· ' B ' G ≈ 61, 290 . Chọn A
Mặt khác B ' C '/ / BC ⇒ (·BC ; B 'G ) = (·B ' C '; B 'G ) = C
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4a. Hai mặt phẳng
(SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tam giác SAB có diện tích bằng

8a 2 6
. Côsin của
3

góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng:

A.
HD:

19
5

B.

6
5

C.

6
25

D.

19
25


+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (SBC)

)

(

SH
·

· ; ( SBC ) = cos HSD
·
·
⇒ ( SD; ( SBC ) ) = HSD
⇒ cos SD
=
SD
+) S ABC =

1
1
8a 2 6
4a 6
SA. AB = SA.4a =
⇒ SA =
2
2
3
3

1
1
1 4a 6 1
32a 3 6
+) VD.SBC = DH .S SBC và VD.SBC = VS . BCD = .SA.S BCD = .
. .4a.4a =
3
3
3 3 2
9

1
32a 3 6
32a 3 6
⇒ DH .S SBC =
⇒ DH =
3
9
3S SBC
 BC ⊥ AB
1
1
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ S SBC = BC.SB = .4a.SB = 2a.SB
+) Từ 
2
2
 BC ⊥ SA
2

 4a 6 
80a 2
80
80
2
+ 16a =
⇒ SB = a
⇒ S SBC = 2a 2
+) SB = SA + AB = 
÷
÷
3

3
3
 3 
2

2

Thế vào (1)

2

⇒ DH =

32a 3 6
4a 10
=
5
80
3.2a 2
3
2

 4a 6 
80a 2
80
2
+ 16a =
⇒ SD = a
+) SD = SA + AD = 
÷

÷
3
3
 3 
2

2

2

2

80a 2  4a 10  304a 2
⇒ SH = SD − HD =
− 
÷
÷ = 15
3
 5 
2

⇒ SA = a

2

2

(

304

· ; ( SBC )
⇒ cos SD
15

)

304
SH
15 = 19
=
=
. Chọn A
SD
5
80
a
3
a

Câu 10: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B có AB = BC = 4.
Gọi H là trung điểm của AB, SH ⊥ (ABC). Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 600. Cosin
góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và ( ABC) là:
A.

5
5

B.

5

4

C.

10
5

D.

1
7

HP
·
·
·
⇒ cos (·
=
HD: +) Kẻ HP ⊥ AC ⇒ ( ( SAC ) ; ( ABC ) ) = SPH
( SAC ) ; ( ABC ) ) = cos SPH
SP
·
·
+) Ta có ngay (·
⇒ SBH
= 600
( SBC ) ; ( ABC ) ) = SBH


⇒ tan 600 =

SH
= 3 ⇒ SH = HB 3 = 2 3
HB

+) ∆APH vuông cân P ⇒ HP =

AH
2
=
= 2
2
2

⇒ SP 2 = SH 2 + HP 2 = 12 + 2 = 14 ⇒ SP = 14
HP
2
1
⇒ cos (·
=
=
. Chọn D
( SAC ) ; ( ABC ) ) =
SP
14
7
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, CD = 2a,
AD = AB = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của đoạn AB.
Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) bằng

a 2
. Tan của góc giữa đường thẳng BC
3

và mặt phẳng (SCD) bằng:
A.

B.

2

2
4

C.

2
2

D. 2 2

HD:

+) Gọi P là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (SCD)
BP
·
·
⇒ (·BC ; ( SCD ) ) = BCP
⇒ tan (·BC ; ( SCD ) ) = tan BCP
=

PC
+) AB / / CD ⇒ AB / / ( SCD ) ⇒ d ( H ; ( SCD ) ) = d ( B; ( SCD ) ) = BP ⇒ BP =
Ta có BC 2 = AD 2 + ( CD − AB ) = a 2 + ( 2a − a ) = 2a 2
2

2

2

 a 2  16a 2
⇒ PC = BC − BP = 2a − 
÷
÷ = 9
 3 
2

⇒ PC =

2

2

2

4a
⇒ tan (·BC ; ( SCD ) )
3

a 2
BP

2
. Chọn B
=
= 3 =
4a
PC
4
3

a 2
3


Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 2a ; AD = 2a 3
và SA ⊥ (ABCD) . Gọi M là trung điểm của CD, biết SC tạo với đáy góc 45 0. Cosin góc tạo
bởi đường thẳng SM và mặt phẳng ( ABCD) là:
A.

3
13

B.

13
29

377
29

C.

D.

277
29

HD:

AM
·
·
·
⇒ cos (·SM ; ( ABCD ) ) = cos SMA
=
+) Từ SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SM ; ( ABCD ) ) = SMA
SM
·
·
+) Từ SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ (·SC ; ( ABCD ) ) = SCA
⇒ SCA
= 450 ⇒ ∆SAC vuông cân tại A
⇒ SA = AC = AB 2 + BC 2 = 4a 2 + 12a 2 = 4a
+) AM 2 = AD 2 + DM 2 = 12a 2 + a 2 = 13a 2 ⇒ AM = a 13
⇒ SM 2 = SA2 + AM 2 = 16a 2 + 13a 2 = 29a 2 ⇒ SM = a 29
AM a 13
377
⇒ cos (·SM ; ( ABCD ) ) =
=
=
. Chọn C

SM a 29
29
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B có AB = BC = a; SA ⊥
(ABC). Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 600 .Cosin góc tạo bởi đường thẳng SC và
mặt phẳng ( ABC) là:
A.
HD:

10
15

B.

10
10

C.

10
20

D.

10
5


AC
·
·

·
⇒ cos (·SC ; ( ABC ) ) = cos SCA
=
+) Từ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SC ; ( ABC ) ) = SCA
SC
+) ∆ABC vuông cân B ⇒ AC = AB 2 = a 2
SA
·
·
·
⇒ SBA
= 600 ⇒ tan 600 =
= 3 ⇒ SA = a 3
+) Ta có ngay ( SB; ( ABC ) ) = SBA
AB
⇒ SC 2 = SA2 + AC 2 = 3a 2 + 2a 2 = 5a 2 ⇒ SC = a 5
AC a 2 a 10
⇒ cos (·SC ; ( ABC ) ) =
=
=
. Chọn D
SC a 5
5
Câu 14: Cho hình hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B có AB =
a 3 , BC = a. Biết A’C = 3a. Cosin góc tạo bởi đường thẳng A’ B và mặt đáy ( ABC) là:
A.

10
4

10
6

B.

C.

6
4

15
5

D.

HD: +) Lăng trụ đứng A ' B ' C. ABC ⇒ A ' A ⊥ ( ABC )
AB
⇒ (·A ' B; ( ABC ) ) = ·A ' BA ⇒ cos (·A ' B; ( ABC ) ) = cos ·A ' BA =
A'B
+) ∆ABC vuông tại B ⇒ AC 2 = AB 2 + BC 2 = 3a 2 + a 2 = 4a 2 ⇒ AC = 2a
⇒ A ' A2 = A ' C 2 − AC 2 = 9a 2 − 4a 2 = 5a 2
⇒ A ' B 2 = A ' A2 + AB 2 = 5a 2 + 3a 2 = 8a 2 ⇒ A ' B = 2a 2
AB
a 3
6
⇒ cos (·A ' B; ( ABC ) ) = cos ·A ' BA =
=
=
. Chọn C
A ' B 2a 2

4
Câu 15: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a. Biết SO ⊥ (ABCD ), AC
= a và thể tích khối chóp là
A.

6
7

a3 3
. Cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và ( ABC) là:
2

B.

3
7

C.

1
7

D.

2
7

HD:

OP

·
·
·
⇒ cos (·
=
+) Kẻ OP ⊥ AB ⇒ ( ( SAB ) ; ( ABC ) ) = SPO
( SAB ) ; ( ABC ) ) = cos SPO
SP


+) Cạnh AB = BC = a và AC = a ⇒ AB = BC = CA = a ⇒ ∆ABC đều
⇒ sin 600 =

OP
3
3
3 a a 3
=
⇒ OP =
OA =
. =
OA
2
2
2 2
4

1
1
1

1
a 2 3 a3 3
+) Ta có VS .ABCD = SO.S ABCD = SO.2 S ABC = SO.2. .a.a.sin 600 = SO.
=
3
3
3
2
6
2
⇒ SO = 3a ⇒ SP 2 = SO 2 + OP 2 = 9a 2 +

3a 2 147 a 2
=
16
16

a 3
7a 3
OP
1
·
⇒ SP =
⇒ cos ( ( SAB ) ; ( ABC ) ) =
= 4 =
4
SP 7a 3 7
4