Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 16 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG và mặt lê hoành phò file word

Chuyên đề 16: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VÀ MẶT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Phương trình tổng quát của mật phẳng:

r
Mặt phẳng qua M 0  x0 ; y0  và vecto pháp tuyến n   A, B, C  .
Ax  By  Cz  D  0, A2  B 2  C 2 �0
Hay A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
x y z
   1 khi cắt 3 trục Ox, Oy, Oz tại 3 điểm khác gốc O là
a b b
A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c 
Phương trình của đường thẳng: đi qua M 0  x0 , y0 , z0  và có vectơ chỉ phương
r
u   a, b, c  , a 2  b 2  c 2 �0
�x  x0  at
�
Phương trình tham số: d: �y  y0  bt , t �R
�z  z  ct
� 0
Phương trình chính tắc khi a, b, c �0 :
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c
- Đường thẳng giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau:
r
uur uur

�
n
Nếu d   � thì chọn VTCP n  �
� , n �
�Ax  By  Cz  D  0
Hoặc từ hệ �
ta chọn ra
�A ' x  B ' y  C ' z  D '  0
hai bộ nghiệm  x;y;z  tương ứng tọa độ của hai điểm thuộc giao tuyến.
- Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau:
uu
r
Đường thẳng d1 qua M1 và có VTCP u1
uur
Đường thẳng d 2 qua M 2 và có VTCP u 2
r
ur uu
r
�
u
;
u
Cách 1: Đường vuông góc chung d có VTCP u  �
�1 2 �
Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d 2 .
r
Tìm giao điểm A của di và (P) thì d đi qua A và có VTCP u

Trang 1

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Cách 2: Gọi đoạn vuông góc chung là AB, A �d1 và B �d 2 dạng tham số theo t và t' .
Tìm t và t' bằng hệ điều kiện:
uuur ur
�
�AB.u1  0
r
. Đường vuông góc chung d là đường thẳng AB.
�uuur uu
�AB.u2  0
Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) tâm I  a,b,c  bán kính R

 x  a

2

  y  b    z  c   R 2 hay:
2

3

x 2  y 2  y 2  2 Ax  2 By  2Cz  D  0, A2  B 2  C 2  D  0
Có tâm I   A,  B, C  và bán kính R  A2  B 2  C 2  D
Phương trình đường tròn giao tuyến
�x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
�
�Ax  By  Cz  D  0
Giao tuyến của mặt cầu (S) tâm I bán kính

R và mặt phẵng (P) là đường tròn giao
tuyến (C) có tâm H là hình chiếu tâm mặt cầu I lên mặt phẳng (P) và bán
Kính r  R 2  d 2  t ;  P  
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 16.1: Lập phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua hai điểm A  1;1;-1 ,B  5;2;1 và song song với trục Oz
b) Chứa giao tuyến của 2 mặt phẳng x  y  z  4  0,3x  y  z  1  0 và đi qua
K  2;1; 1
Hướng dẫn giải
a) Mặt phẳng (P) song song với Oz nên có phương trình: A ' x  B ' y  D '  0 với
D ' �0, A '2  B '2 �0
�A ' B ' D '  0
� 4 A ' B '  0
(P) đi qua A và B nên: �
5 A ' 2 B ' D '  0
�

Trang 2

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Chọn A '  1, B '  4 và do đó D '  3 và được phương trình của (P) là:
x  4y  3  0
b) Các điểm thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng có toạ độ  x; y; z  thoả mãn hệ
�x  y  z  4  0
�
3x  y  z  1  0
�
3

�
x
�
�x  z  4
3 11 �
�
2 �M �
��
 ;0; �
Cho y=0 thì �
�
3 x  z  1 � 11
2�
�2
�
z
� 2
3
�
x
�
x

y

4
�
3 11 �
�
2 �M�

��
 ;  ;0 �
Cho z=0 thì �
�
3x  y  1 �
11
�2 2 �
�
z
�
2
Ta lập được phương trình (MNK): 15x-7y+7z-16=0
Bài toán 16.2: Lập phương trình mặt phẳng
a) Đi qua điểm G  1;2;3 và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng
tâm của tam giác ABC.
b) Đi qua điểm H  2;1;1 và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực
tâm của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
a) Giả sử A  a;0;0  ,B  0;b;0  và C  0;0;c  . Vì G  1;2;3 là trọng tâm của tam giác
ABC nên:

a00
0b0
00c
 1;
 2;
3
3
3
3

Suy ra a  3, b  6, c  9
Vậy phương trình theo đoạn chắn:

x y z
  1
3 6 9

b) Nếu mặt phẳng đi qua H  2;1;1 và cắt các trục toạ độ tại A, B, C thì tứ diện OABC
có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, do đó H là trực tâm của tam giác ABC
thì OH  mp  ABC  .
uuur
Vậy mp(ABC) đi qua H và có vectơ pháp tuyến OH=  2;1;1 nên có phương trình:
2  x  2    y  1   z  1  0 hay 2 x  y  z  6  0 .

Trang 3

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Bài toán 16.3: Viết phương trình của mặt phẳng qua điểm M  5;4;3 và cắt ba trục toạ độ
ở ba điểm khác O, cách đều gốc toạ độ.
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng cần tìm có dạng đoạn chắn:
x y z
   1, a  b  c �0
a b c
Điểm M  5;4;3 thuộc mặt phẳng nên:
Với b  a, c  a, (1) �

5 4 3
   1 (1)
a b c

5 4 3
   1 � a  12
a a a

Với b  a, c  a, (1) �

5 4 3
  1� a  6
a a a

Với b  a, c  a, (1) �

5 4 3
  1� a  4
a a a

Với b  a, c  a, (1) �

5 4 3
   1 � a  2
a a a

Do đó bốn mặt phẳng cần tìm là:
x
y z
x y z

x y z x y z
   1;    1;   ;    1.
12 12 12
6 6 6
4 4 4 2 2 2
Bài toán 16.4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng
a) 2 x  y  4 z  5  0 và 3 x  5 y  z  1  0 .
b) x  2 y  z  1  0 và x  2 y  z  5  0
Hướng dẫn giải
a) Điểm M  x;y;z  cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:
2 x  y  4z  5
4  1  16



3x  5 y  z  1
9  25  1

� 5 2 x  y  4 z  5  3x  5 y  z  1
� 5  2 x  y  4 z  5   � 3  3x  5 y  z  1
Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng phân giác:

2
2
Trang 4

  5 5 3 y   4 5  3 z  5 5 
3  x-  5-5 3  y+  4 5  3  z+5 5- 3=0

5 3 3 x 

5-3

30

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


x  2 y  z 1

b) Điểm M  x;y;z  cách đều hai mặt phẳng :

1 4 1



x  2y  z  5
1  4 1

� x  2 y  z 1  x  2 y  z  5
x  2 y  z 1  x  2 y  z  5
�
��
x  2 y  z  1    x  2 y  z  5
�
� 2x  4 y  2z  4  0 � x  2 y  z  2  0
Vậy tập hợp các điểm M là mặt phẳng song song cách đều có phương trình:
x  2y  z  2  0
Bài toán 16.5: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua các điểm
M  0;0;1 ,N  3;0;0  và tạo với mặt phẳng Oxy góc

π
.
3

Hướng dẫn giải
r
uuuu
r
Gọi vectơ pháp tuyến của (P) là n=  1;a;b  . Ta có MN=  3;0;  1
r
r uuuu
r
Vì n.MN=3.1+0-b=0 nên b=3 . Do đó n=  1;a;3
r
Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến k=  0;0;1
rr
n
.k

1
3
� a  � 26
Ta có: cos  r r � 
2
3 n.k
2
a  10
PT mặt phẳng (P) là: 1.  x  0  � 26  y  0   3.  z  1  0
۱ x

26. y  3 z  3  0

Bài toán 16.6: Viết phương trình mp(P) chứa trục Oz và tạo với mp (  ) có phương trình:
2 x  y  5 z  0 một góc 600
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (P) chứa Oz nên có dạng:
uur
uur
Ax  By  0 � n p   A; B;0  , n  2;1;  5



uu
r uur
Ta có: cos n p , n 





2A  B
A2  B 2 . 4  1  5



 cos 600 

1
2

� 2 2 A  B  10. A2  B 2 � 6 A2  16 AB  6 B 2  0

Trang 5

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


� 1
A1 
Lấy B=1,ta có: 6 A  16 A  6  0 � � 3
�
A2  3
�
2

1
x  y  0; 3x  y  0
3

Vậy có hai mặt phẳng (P) phải tìm:

Bài toán 16.7: Cho tứ diện ABCD với A  3;5;-1 ,B  7;5;3 ,C  9;-1;5  ,D  5;3;-3 . Viết
phương trình mặt phẳng cách đều 4 đỉnh của tứ diện đó.
Hướng dẫn giải
Một mặt phẳng cách đều hai điểm M, N thì hoặc nó đi qua trung điểm của MN hoặc
nó song song với MN. Vì vậy, để mặt phẳng (P) cách đều bốn đình A, B, C, D của
hình tứ diện thì:
- Hoặc mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của tứ
diện. Có bốn mặt phẳng như vậy đi qua trung điểm một cạnh và song song với một
mặt.

- Hoặc mặt phẳng (P) chứa hai đường trung bình của tứ diện. Có ba mặt phẳng như vậy
đi qua trung điểm một cạnh và song song với 2 cạnh đối chung mút. Từ đó tìm được
bảy mặt phẳng thoả mãn yêu cầu đầu bài là:
x  z  6  0; x  y  10  0; x  2 y  z  8  0; 2 x  y  z  14
x  y  z  2  0; 2 x  y  z  16  0;5 x  y  2 z  28  0
Bài toán 16.8: Trong hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm M 1  1;0;1 , M 2  2; 1;0  và M 3  0;0;1 .
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M 3 mà khoảng cách từ M1 và M 3 đến (P) đều
bằng

2
.
2
Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) đi qua M  0;0;1 nên có phương trình
A  x  0   B  y  0   C  z  1  0
2
2
2
Hay Ax  By  Cz  0  A  B  C  0 

Ta có khoảng cách

AC C
A2  B 2  C 2



2A  B  C
A2  B 2  C 2



2
2

Do đó A  2 A  B  C hay �A  2 A  B  C
Suy ra C  A  B hoặc C  3 A  B

Trang 6

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A

- Với C  3 A thì từ

A 2 +B2 +C 2



2
ta suy ra
2

2 A2  A2  B 2   3 A  B  � 8 A2  64 B  2 B 2  0
2

2

3 � 7B2
�
��
2 A  B �
 0 � A  0, B  0 nên C  0 : loại
4 � 16
�
Bài toán 16.9: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng
4 x  3 y  12 z  1  0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: 4 x  3 y  12 y  D  0
với

D �1 .
Hướng dẫn giải

Mặt cầu đã cho có tâm là I  1;2;3 và có bán kính
R  12  22  32  2  4
Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng 4 x  3 y  12 z  1  0 nên có phương trình:
với 4 x  3 y  12 y  D  0 với D �1 .
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi.
d  I ,  P    R � 26  D  52 � D  78 hoặc D  26
Vậy có hai mặt phằng thoả mãn yêu cầu là:
4x  3y  12z  78  0 và 4x  3y  12z  26  0
Bài toán 16.10: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d:
x  13 y  1 z

 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  67  0
1
1
4

Hướng dẫn giải
Tâm của (S) là I  1;2;3 , bán kính R  12  22  32  67  9
Đường thẳng d đi qua M  13; 1;0  và N  12;0; 4 
Phương trình(P): Ax  By  Cz  D  0, A2  B 2  C 2  0
13 A  B  D  0
�
�A  B  4C
��
(P) qua M, N nên: �
12 A  4C  D  0 �D  12 B  52C
�
Do đó (P):  B  4C  x  By  Cz  12 B  52C  0

(*)

Điều kiện (P) tiếp xúc (S): d  I,  P    R
�

Trang 7

B  4C  2 B  3C  12 B  52C

 B  4C 

2

 B C
2

2

9

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


� B+5C = 2B2 +8BC+17C 2
� B 2  2 B  8C 2  0 � B  4C hoặc B  2C .
Thế vào (*) và rút gọn C �0 , ta được 2 mặt phẳng:
2 x  2 y  z  28  0,8 x  4 y  z  100  0 .
Bài toán 16.11: Lập phương trình mặt cầu
a) Có đường tròn lớn là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với
A  0;  2;1 ,B  1;0;1 ,C  0;0;  1
b) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A  1;2;  4  ,B  1;  3;1 ,C  2;2;3  ,D  1;0;4 
Hướng dẫn giải:
a) Gọi I  x; y; z  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
uuu
r
uuur
uur
Ta có: AB   1; 2;0  , AC   0; 2; 2  , AI   x; y  2; z  1
uuu
r uuur
�
��
AB
� , AC �  4; 2; 2 
uuur uuur uur
�AI=0 � 2x-y+z-3=0
AB,AC

Nên I � ABC  � �
�
�
�
�x  1
�AI  BI
2 x  4 y  -3
�
�
� 2
1
�
�
2
AI

CI
�
y

z


1
�
Ta có �
�
�y  
4
�I � ABC

�
2 x  y  z  3 �


�
�
� 3
z
�
� 4
2

2

� 1 3�
33
t ,  , �và bán kính R  AI 
Nên tâm I �
� 4 4�
8
2

2

� 1 � � 3 � 33
Vậy PT mặt cầu là  x  1  �y  � �z  �
� 4� � 4� 8
2

b) Gọi I  a;b;c  là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

�IA2  IB 2
 y  z  1
�IA  IB
�
�x  2
� 2
�
�
�
2
�IA  IC � �IA  IC � �x  7 y  2 � �y  1
�IA  ID
�IA2  ID 2
�
�z  0
2 x  8 y  -2
�
�
�
�
Do đó
I  2;1;0  và R  IA  26

Trang 8

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Vậy (S):  x  2    y  1  z 2  26
2

2

Bài toán 16.12: Cho bốn điểm A  3;2;0  ,B  -1;3;2  ,C  1;0;1 ,D  0;-1;3
Tìm tập hợp những điểm M trong không gian thoả mãn:
uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuur uuur uuuu
r
MA  MB  MC  MD  MA  MB  2MC
Hướng dẫn giải
�3 3 � � 5 �
,I �
1; ;1�
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, I là trung điểm AB thì: G � ;1; �
�4 2 � � 2 �
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
Ta có MA  MB  MC  MD  4MG
uuur uuur uuuu
r
uuu
r uuuu
r
uur
MA  MB  2MC  2 MI  2 MC  2CI
uuur uuur uuuu

r uuuu
r uuur uuur uuuu
r
Do đó MA  MB  MC  MD  MA  MB - 2MC
� 4 MG  2CI � MG 

CI 5
 : không đổi
2 4

Vậy tập hợp những điểm M  x;y;z  là mặt cầu tâm
2

2

2
� 3�
� 3 � 25
�x  �  y  1  �x  �
� 4�
� 2 � 16

Bài toán 16.13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu:
�x  2t
x -1 y z
�
 
(S): x  y  z  2 x  2 y  4  3  0 cà đường thẳng 1 : �y  1  t ,  2 :
1 1 1
�z  t

�
2

2

2

Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường
thẳng 1 và  2 .
Hướng dẫn giải
Mặt cầu (S) tâm I  1; 1; 2  , R  3
r
1 đi qua điểm A  0; 1; 0  có vectơ chỉ phương u =  2;  1 ; 1
r
 2 đi qua điểm B  1; 0; 0  có vectơ chỉ phương v   1; 1;  1 .
r
r r
�
u
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n  �
� , v �  0; 1; 1 �  P  : y  z  m  0 .
Điều kiện tiếp xúc: d  l ,  P    R
�

Trang 9

m3
2

 3 � m  3 �3 2 .

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Vậy có 2 mặt phẳng  P1  : y  z  3  3 2  0,  P2  y  z  3  3 2  0
Các điểm A, B không thuộc hai mặt phẳng nên đó là 2 mặt cần tìm.
Bài toán 16.14: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa giao tuyến d của 2 mặt phẳng:
x  y  z  3  0 , 2 x  y  z  4  0 và hợp với mp(Oxy) góc 60°.
Hướng dẫn giải
Giao tuyến d của mặt phẳng: x  y  z  3  0, 2 x  y  z  4  0 đi qua
M(1; 1; 1)
r
ur uu
r
�
n
,
n
và có VTCP: u  �
1
� 2 � (0 ;1 ; 1 )
( P) : A( x  1)  B( y  1)  C ( z  1)  0; A2  B 2  C 2 �0
r
r
Ta có VTPT n=  A,B,C  vuông góc với u nên: B  C  0 � C  B.
Do đó (P): Ax  By  Bz  A  2 B  0
r
Mặt phắng (Oxy) có VTPT k  (0; 0; 1)
r r
1

0
Ta có:   60 � cos n, k  �
2

 

B
A  2B
2

2



1
2

� A2  2 B 2 � A  �B 2
Từ đó tìm được 2 mặt phẳng (P):
2 x  y  z  2  2  0,

2x  y  z  2  2  0

Bài toán 16.15: Lập phương trình m ặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng

  :

x  2 y 1 z 1



và tiếp xúc với hai mặt phẳng
3
2
2

(P):

x  2 y  2 z  2  0, (Q) : x  2 y  2 z  4  0
Hướng dẫn giải
Ta có (P), (Q) song song nên tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn AB với A, B là
giao điểm của    và 2 mặt phẳng đó (A) cắt (P) tại A(2; 1; 1) , cắt (Q) tại
l(-1 ; 3; 3). B (4;5;5) nên tâm
Ta có R  d (l , ( P)) 

1  2.3  2.3  2
1 4  4

1

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là  x  1   y  3   z  3  1
2

2

2

Bài toán 16.16: Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I  2; 3;  1 , cắt đường thẳng

Trang 10 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

�x  2t
�
11
�
d: �y    t tại 2 điểm A, B mà AB = 40
2
�
�
�z  14  2t
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm dây AB thì IH vuông góc với
AB. Mặt phẳng (P) qua I, vuông góc với d có
phương trình: 2 x  y  2 z  9  0 , suy ra giao
điểm d và d (P) là: H  -3;-7;-11 .
Ta có R 2  IA2  AH 2  IH 2  202  152  225
Vậy (S):  x  2    y  3   z  1  225
2

2

2

uuuur r
�
M 0 I .u �
�
�
Cách khác IH = d(l, d) =
r

u
Bài toán 16.17: Cho  P  : 5 x  4 y  z  6  0,  Q  : 2 x  y  z  7  0 và d là giao
tuyến của 2 mặt phẳng: x  y  2 z  3  0 , x  3 y  z  0 . Lập phương trình mặt cầu
(S) tâm I là giao điểm của d với (P), cắt (Q) theo đường tròn có chu vi 4 .
Hướng dẫn giải
Tâm I  x; y; z  có toạ độ là nghiệm của hệ:
5x  4 y  z  6  0
�
�x  1
�
�
�x  y  2 z  3  0 � �y  0 nên I(1; 0; 1)
�x  3 y  z  0
�z  1
�
�
Ta có d = d(I, (Q)) =

2.1  0  1  7
4 11



10
6

Đường tròn giao tuyến có chu vi 4 5  2 r nên có bán kính r  2 5 do đó
R2  d 2  r 2 

110

.
3

2
Vậy phương trình (S):  x  1  y   z  1 
2

2

110
.
3

Bài toán 16.18: Lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d:
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng:  P  : 2 x  y  z  5  0 ;  P '  : 2 x  z  3  0 .

Trang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


b) Vuông góc với mp(ABC) có A  1; 0; 1 , B  2; 3; 1 , C  1; 3; 1 tại trực tâm H của
tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
r
ur
a) (P), (P') có VTPT n  (2; 1; 1); n '  (2; 0; 1).
r r ur
r
Gọi VTCP của giao tuyến d là: u thì u  n,n'
r
r ur �1 1 1 2 2  1 �

�
n
Chọn u  �
�, n '� �0  1 ; 1 2 ; 2 0 � (1; 4; 2)
�
�
Các điểm thuộc giao tuyển d có toạ độ thoả mãn hệ:
2x  y  z  5  0
�
. Cho x = 0 thì y=8,z=3
�
2x  z  3  0
�
r
Do đó d qua M  0; 8; 3  , có VTCP u= (1; 4; 2) nên có phương trình tham số
�x  t
x y 8 z 3
�

và chính tắc là: �y  8  4t z; 
1
4
2
�z  3  2t
�
2x-y+z+5
�
�y=z+2x+5
��
Cách khác: ta có �

2x-z+3=0
z=2x+3
�
�
�x  t
�
Đặt x  t thì y  8  4t , z  3  2t nên phương trình: �y  8  4t
�z  3  2t
�
Ngoài cách tìm một điểm và VTCP, cách tạo tham số, ta có thể tìm 2 điểm trên giao
tuyến.
b) Phương trình mặt phẳng    qua c vuông góc với AB là:
1( x  1)  3 ( y  3)  0 � x  3 y  10  0.
Phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC là:
3( y  3)  2( z  1)  0 3 y  2 z  7  0
Đường thẳng d qua trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC)
là giao tuyến của    và    .
r
uur uur
�
n
Đường thẳng d qua N  1; 3;  1 và có vectơ chỉ phương u  �
� , n �  6; 2;3

Trang 12 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


�x  1  4t
�
nên có phương trình là: �y  t

�z  1  3t
�
Bài toán 16.19: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm
�x  1  4t
�
M  0; 1; -1 vuông góc và cắt đường thẳng  : �y  t
�z  1  4t
�
Hướng dẫn giải
r
Đường thẳng  VTCP u  ( 4; 1; 4). Gọi H là hình chiếu của M lên  thì
H (1  4t ; t; 1  4t ).
uuuur
Ta có MH  (1  4t ; t  1 ; 4t ) nên MHΔ
r uuuur
u.MH  0 � 4(1  4 t )  1(t  1)  4(4t )  0.
� 33t = 5 � t =

5
�13 -28 20 �
; �hay (13; -28 ; 20)
.Do đó H � ;
33
�33 33 33 �

Vậy phương trình chính tắc của d là

x y 1 z 1



3 28
20

Cách khác: Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng
( M ,  ) : 4 x  4 y  3z  1  0 và mặt phẳng qua M, vuông góc với
 : 4 x  y  4 z  3  0.
Bài toán 16.20: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của
�x  5  t
�
a) Đường thẳng d: �y  3  2t trên mỗi mặt phẳng toạ độ.
�z  4  t
�
�x  t
�
b) Đường thẳng d: �y  8  4t lên mặt phẳng (P): x  y  z  7  0.
�z  3  2t
�

Trang 13 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Hướng dẫn giải
a) Điểm M  x; y; z  thuộc d có hình chiếu lên mp(Oyz) là M'  0; y; z  thuộc d', d' là
hình chiếu lên mp(Oyz).
�x  5  t
�
Vậy phương trình tham số của d' là: �y  3  2t . Tương tự thì hình chiếu lên
�z  0
�
�x  5  t �x  5  t

�
�
mp(Oxy), mp(Oxz) có phương trình tham số: �y  3  2t , �y  0
�z  0
�z  4  t
�
�
b) Ta viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua d và vuông góc với mp(P).
r
r
Vectơ pháp tuyến của của (Q) vuông góc với cả u và n p nên ta có thể lấy
r
r uur
�
n�
u
�, n p �  2; 1;  3 . Và (Q) đi qua d nên đi qua M  0; 8; 3  . Vậy (Q) có phương
trình:
2( x  0)  ( y  8)  3( z  3)  0 hay 2 x  y  3 z  1  0.
Vì d không vuông góc với (P) nên hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng d'. Đường
thẳng d' là giao tuyến của (Q) và (P) nên d' chứa các điểm có toạ độ  x, y , z 
�x  y  z  7  0
thỏa mãn : �
�2 x  y  3 z  1  0
�x  8  4t
�
Đặt z = t thì x  8  4t , y = 15 – 5 t .Vậy d' �y  15  5t
�z  t
�
Cách khác: Tìm giao điểm A của d và (P). Thế toạ độ x, y, z vào

4
�4 40 13 �
� A� ; ; �
7
�7 7 7 �
ur
r uur
�
u
Mặt phẳng (Q) qua d, vuông góc với (P) có VTPT: u '  �
�.n p � (2; 1; 3)

 P :

t  8  4t )  (3  2t )  7  0 � t 

r
r uu
r
�
n
,
n
Đường thẳng d' của VTCP u '  �
� p � (4; 5; 1)
Từ đó suy ra phương trình của hình chiếu d'.
Bài toán 16.21: Viết phương trình hình chiếu của   2  :
theo phương (  1  :

x 7 y 3 z 9



1
2
1

x  3 y 1 z 1


lên mặt phẳng ( ) : x  y  z  3  0.
7
2
3

Trang 14 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Hướng dẫn giải
Hình chiếu A là giao tuyến của  α  với  β  , trong đó  β  là mặt phẳng chứa   2  ,
song song với  1  Vì  β  chứa   2  nên đi qua A  7; 3; 9  và có VTPT
r
uruu
r
�
n�
u
u
1
� 2 �  8; 4;16  hay  2; 1; 4  .
Do đó

 β  : 2( x  7)

 1( y  3)  4( z  9)  0 hay 2 x  y  4 z  53  0.

�x  y  7  3  0
Các điểm thuộc giao tuyến   2  có toạ độ thoả mãn: �
2 x  y  4 z  53  0
�
Đặt z  t thì x  56  3t , y  59  2t
�x  56  3t
�
Vậy phương trình tham số của hình chiếu: �y  59  2t
�z  t
�
Bài toán 16.22: Cho đường thẳng  và mp(P) có phương trình:
x  1 y  2 z3

 ( P) : 2 x  z  5  0.
1
2
2
Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm A của A và (P), nằm trong (P) và
vuông góc với  .
Hướng dẫn giải
 dạng tham số: x  1  1, y  2  2t , z  3  2t.
Thế x, y, z vào (P) thì được t = 0 nên A  1; 2; 3 .
Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với  . Khi đó, vectơ chỉ
r
r

phương u ' của d phải vuông góc với vectơ chỉ phương u'=  1; 2; 2  của  , đồng thời
r
vuông góc với vectơ pháp tuyến n=  2; 0; , 1 của (P), nên ta chọn:
r
r r
�
u�
u
� , n �  2;3; 4  .
Vậy đường thẳng d:

x 1 y  2 z  3


2
2
4

Cách khác: Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với  thì (Q) có vectơ pháp
tuyến là vectơ chỉ phương của A nên có phương trình:
x  1  2  y  2   2  z  3  0 hay x  2 y  2 z  11  0. Giao tuyến d của (P) và (Q) là
đường

thẳng đi qua A, nằm trong (P) và dΔ

(vì d nằm trong (Q) mà Δ   Q  )

Trang 15 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

1 2
�
�x   3  3 t
�
Suy ra phương trình tham số của d là: �y  1
� 17 4
�z   t
� 3 3
Bài toán 16.23: Viết phương trình đường thẳng đi qua A  1; -1; 1 và cắt cả hai đường

�y  1  2t
�x  t '
�
�
thẳng: d: �y  t
và d ' : �y  1  2t '
�z  3  t
�z  2  t '
�
�
Hướng dẫn giải
Ta có A không thuộc d và d'.Đường thẳng d' đi qua điểm M  1; 0; 3 và có vectơ chỉ
r
phương u=  2; 1;-1 . Đường thẳng d' đi qua điểm M'  0; -1; 2  và có vectơ chỉ
phương u'=  1;-2; 1 .
Đường thẳng  cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng: mp (A; d) và mp (A; d').
Mp(A; d) có vectơ pháp tuyến
r
uuuu
r r

�
n�
AM
� , u � (3; 4; 2), mp(A; d') có vectơ pháp tuyến
r
uuuuu
r ur
�
n'  �
AM
� ', u '� (2;2;2) hay (1; 1; 1).
r ur
�
n
Đường thẳng  có vectơ chỉ phương là �
�, n '�  6; 1;  7  đi qua A nên có
�x  1  6t
�
phương trình tham số là: �y  1  t
�z  1  7t
�
rr
Ta có u.n  2  1  1  2 �0 nên d cắt mp(A; d'), do đó d cắt 
r r
Tương tự, vì u'.n  3  9  2  13 �0 nên d' cắt mp(A; d), do đó d' cắt  .
Vậy  là đường thẳng đi qua A, cắt cả d và d'.
Cách khác: Ta tìm giao điểm B của d' và (A; d), đường thẳng  là đường thẳng qua A và
B. Lấy điểm M  1 + 2t; t;3-1 nằm trên d và điểm M '  t '; 1  2t '; 2  t '  nằm trên d'.
uuuu
r

uuuuur
Ta tìm giá trị của t và t' sao cho điểm A, M, M' thẳng hàng, tức là AM và AM ' cùng
phương.

Trang 16 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Bài toán 16.24: Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của AC và BD biết
A  4; 1; 4  , B  3; 3; 1 , C  1; 5; 5  , D  1; 1; 1 .
Hướng dẫn giải

r
PT đường AC là  d1  : x  4  3t , y  1  4t , z  4  t có VTCP u  (3; 4; 1).
uu
r
PT đường BD là  d 2  : x  3  2k , y  3  2k , z  1 có VTCP u2  ( 2; 2; 0)
Gọi đường vuông góc chung là    qua E thuộc d1 ,F thuộc d 2 :
E (4  3t; 1  4t; 4  t ); F (3  2 k ; 3  2 k ; 1)
uuu
r
FE  (1  3t  2k ; 2  4t  2k ; 3  t ). Ta có
� 5
uuu
r ur
t
�
�
FE
.
u


0
26t  2k  8  0
�
� 1
� 17
��
��
r uu
r
�uuu
t  4k  1  0
3
�
�
�FE.u2  0
k
� 17
�53 37 73 � �45 45 17 �
, F� ; ; �
Suy ra E � ; ; �
17 17 17 � �17 17 17 �
�
Đường vuông góc chung    có vectơ chỉ phương
uur �8
8 56 �
FE  � ;  ; �hay  1; 1;7 
17 17 17 �
�
nên có PT là: x 

45
45
 t, y 
 t , z  1  7.t
17
17

Bài toán 16.25: Cho 2 đường thẳng:  1  :

 2  :

x  3 y 1 z 1


và
7
2
3

x 7 y 3 z 9


. Lập phương trình đường thẳng   3  đối xứng với
1
2
1

 Δ 2  qua  Δ1  .
Hướng dẫn giải

Lấy điểm M �  2  � M (t  7; 2t  3; t  9)
Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với  1  :
7  x  1  7   2  y  2 t  3  3  z  t  9   0
Ta có  1  : x  7 k  3, y  2k  1, z  3k  1
nên giao điểm của  1  và (P) là

Trang 17 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


6t
9t �
3t
�21t
�  3   1   1�ứng với k 
3
31 �
31
�31
Gọi M' đối xứng với M qua  Δ1  thì I là trung điểm đoạn MM' nên có
11t
74t
13t
�
�
 1, 
 7 �.
M' �  1, 
31
31
�31

�
Vậy đường thẳng   3  cần tìm chứa các điểm M' nên có phương trình là:
�x  1  11t
�
�y  1  74t
�z  7  17t
�
Bài toán 16.26: Viết phương trình đường thẳng đi qua M  1; -5; 3 và tạo với hai đường
thẳng Ox, Oy các góc bằng 60°.
Hướng dẫn giải
r
2
2
2
Gọi u   a; b; c  , a  b  c �0 là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm. Các
r
r
đường thẳng Ox, Oy có các vectơ chỉ phương là i   1; 0; 0  , j   0; 1; 0  . Theo giả
thiết của bài toán thì:
a
a b c
2

2

2

� a 2  b2 



b
a b c
2

2

2

 cos 600 

1
2

1 2
a  b 2  c 2  � 4a 2  4b 2  a 2  b 2  c 2

4

� 2a 2  2b 2  c 2 . Chọn C= 2 thì a  �1, b  �1 .
Vậy có 4 trường hợp xảy ra nên có 4 đường thẳng có phương trình:
x 1 y  5 z  3 x 1 y  5 z  3


;


1
1
1

1
2
2
x 1 y  5 z  3 x 1 y  5 z  3


;


1
1
1
2 1
2
Bài toán 16.27: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm
A  1; 5; 3 , B  4; 2; -5  , C  5; 5 ;-1



và D  1; 2; 4 

a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Lập phương trình mặt cầu
(S) đi qua bốn điểm đó. Tìm khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S).
c) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng toạđộ.

Trang 18 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Hướng dẫn giải

uuu
r
uuur
uuuur
Ta có AB  (3; 3; 8), AC  (4;0; 4), AD  (0; 3;1)
uuu
r uuur
uuu
r uuuu
r uuur
[ AB, AC ]  (12; 20; 12) nên [ AB, A C ]. AD  72 �0 .
Suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Giả sử mặt cầu (S) có phương trình:
x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0.
Vì mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D nên ta có:
1  25  9  2a  10b  6c  d  0
a  1
�
�
�
�
16  4  25  8a  4b  10c  d  0
b  2
�
�
�
�
�
5  25  1  10a  10b  2c  d  0
c 1

�
�
�
�
1  4  16  2a  4b  8c  d  0
d  19
�
�
Vậy mặt cầu (S) là: x 2  y 2  z 2  2 x  4 x  2 z  19  0
Mặt cầu (S) có tâm I  1; 2;  1 và bán kính R = 5 Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến
r
uuur uuur
n�
AB, AC �
�
� (12; 20; 12) hay (3; 5; 3) và đi qua điểm A  1; 5; 3 nên có phương
trình: 3(x - 1) - 5(y - 5) + 3(z - 3) = 0 hay 3x - 5y + 3z + 13 = 0.
13.1  5.2  3.4  13

18
43
32  52  32
uuuur
b) Mặt phẳng    vuông góc với CD có vectơ pháp tuyến CD   4; 3; 5  nên có
Khoảng cách d ( D;( ABC )) 



phương trình: 4 x  3 y  5 z  d  0. Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và
chỉ khi:

4.1  3 .2  5 .1  d
16  9  25

5�

15  d
50

� d  15 � 2

Vậy ta có hai mặt phẵng cần tìm với phương trình:
4 x  3 y  5 z  15 �25 2  0
c) Tâm mặt cầu (S) là I  1; 2;  1 . Khoảng cách từ I tới (Oxy) là d1 = -1 =1 nên (S)
cắt mp(Oxy) theo đường tròn có bán kính r1 = R 2 -d12 = 25-1=2 6
Khoảng cách từ I tới mp(Oyz) là d 2 =1 nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán
kính r2  R 2  d 2 2  25  1  2 6

Trang 19 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Khoảng cách từ I tới mp(Oxz) là d 3 =2 nên (S) cắt mp(Oxz) theo đường tròn có bán
kính r3  R 2  d32  25  4  21
Bài toán 16.28: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm M  1; 2; 3 . Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể
tích bé nhất.
Hướng dẫn giải
Giả sử A  a; 0; 0  , B  0; b; 0  , C  0; 0; c  với a > 0, b > 0, c > 0.

 P :



 

x y z
1 2 3
   1. Vì M nằm trên (P) nên    1
a b c
a b c

Ta có:1

1
a

2
b

3 31 2 3
3 . .
c a b c

Dấu "=" xảy ra khi

33

6
abc

1

27
abc

abc
6

27

1 2 3
= = =1 hay a = 3; b = 6; c = 9.
a b c

1
abc
�27 .
Thể tích tứ diện OABC là V  OA.OB.OC 
6
6
Vậy thể tích nhỏ nhất là 27. Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là:

x y z
  1
6 6 9

Bài toán 16.29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
( P) : x  2 y  2 z  5  0 và hai điểm A  3; 0; 1 , B(1; 1; 3) . Trong các đường thẳng
đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ
B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải

Gọi A là đường thẳng cần tìm; A nằm trong mặt
phẳng (Q) qua A và song song với (P).
Phương trình (Q): x  2 y  2 z  1  0.
K, H là hình chiếu của B trên  , (Q).
Ta có BK �BH nên AH là đường thẳng cần tìm. Toạ độ H(x; y; z) thoả mãn:
�x  1 y  1 z  3


�
� 1 11 7 �
 ; ; �.
2
2 �H�
�1
9 9 9�
�
�
�x  2 y  2 z  1  0

Trang 20 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


uuur �26 11 2 �
x  3 y z 1
AH= � ; ;- �
 
. Vậy phương trình  :
26 11 2
�9 9 9 �
Bài toán 16.30: Lập phương trình mặt phắng (P) chứa đường thẳng d:

�x  t
�
�y  1  2t và hợp với mặt phẳng  Q  : 2 x  y  2 z  2  0 một góc bé nhất.
�z  2  t
�
Hướng dẫn giải
2
2
2
Gọi  P  : Ax  By  Cz  D  0, A  B  C �0 .Vì (P) chứa d nên đi qua

M (0; 1; 2), N ( 1; 1; 3) :
 B  2C  D  0
�
�A  2 B  C
��
�
 A  B  3C  D  0 �D  B  2C
�
Do đó (P): (2 B  C ) x  By  Cz  B  2C  0
r
Mp(Q) có VTPT n '   2; 1; 2  . Gọi φ là góc giữa 2 mặt phẳng thì:
r ur
cos   cos n, n ' 





B

5B2 + 4BC + 2C 2

Xét B = 0 thì φ  90�. Xét B �0 , đặt m=
cos  

1
2 m  4m  5
2



1
2  m  1  3
2

C
thì:
B

�

1
3

Dấu "=" xảy ra khi m = -1 nên B  C , khi đó φ< 90° là góc cần tìm.
Vậy  P  : x + y - z + 3 = 0.
Bài toán 16.31: Trong không gian Oxyz cho tập hợp các mặt phẳng  α m  có phương trình
là mx  2  m  1 y   m  1 z  1  0 .
a) Chứng tỏ các mặt phẳng (ctm) đi qua một đường thẳng cố định  .
�x  1  2t

�
b) Cho đường thẳng d với phương trình tham số �y  3t
�z  2  t
�
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d và  chéo nhau.
c) Lập phương trình 2 mặt phẳng lần lượt chứa một đường thẳng d hoặc  và chứa
đường vuông góc chung của chúng.
Hướng dẫn giải

Trang 21 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


a) Phương trình các mặt phẳng (am) có thể viết thành:
2 y  z  1  m( x  2 y  z )  0
�2 x  z  1  0
Đẳng thức này đúng với mọi m nên ta suy ra: �
�x  2 y  z  0
Hệ phương trình này xác định một đường thảng A cố định là giao tuyến của 2 mặt
phẳng 2 y  z  1  0, x  2 y  z  0.
r uu
r uur
�
n
 có VTCP n= �
�1 ,n 2 �=  4;4;-2  và đi qua B  1;0;1
Vậy các mặt phẳng   m  đi qua đường thăng cô định  :

x 1 y z 1
 
4

1
2

r
b) d qua A  1; 0; -2  và có VTCP u   2; 3;  1
uu
r r
uuur
�. AB �0 nên d và  chéo nhau.
u
,
v
Ta có �
� �
r
r r
�
u
c) Đường vuông góc chung IJ có VTCP a  �
� , v �  5; 8; 14 

Mặt phẳng (P) chứa d và IJ có VTPT
r
r r
�
np  �
u
� , a �  50; 23; 31 và đi qua A  1; 0; -2  nên có phương trình:
50  x  1  23  y  0   31 2  2   0 hay 50 x  23 y  31z  112  0.
uur

r r
�
v,
Mặt phẳng (Q) chứa  nên IJ có VTPT n Q = �
� a �   30; 66; 27  và đi qua
B  -1; 0; 1 nên có phương trình: 10  x  1  22  y  0   9  z  1  0 hay
10 x  22 y  9 z  1  0.
Bài toán 16.32: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng A có phương trình :
x 1 y 1 z


2
1 3
a) Viết phương trình hình chiếu của A trên các mặt phẳng ( Oyz).
b) Chứng minh mặt phẳng x + 5y + z + 4 = 0 đi qua đường thẳng  .
c) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả  và  '.
Hướng dẫn giải
�x  0
�
a) Đường thẳng A có phương trình tham số là: �y  1  t
�z  3t
�
r
b) Mặt phẳng    đã cho có vectơ pháp tuyến n=  1; 5; 1

Trang 22 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


r
uu

r uu
r
Đường thẳng  có vectơ chỉ phương u   2; 1; 3 Ta có n . u  0 nên  song song
hoặc nằm trên mặt phẳng    .
Vì điểm M  1; -1; 0  của A    (a) nên A nằm trên    .
c) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hình chiếu d1 của đường thẳng  có phương trình:
x + 2y + 1 = 0 và hình chiếu d'1 của  ' có phương trình x - y = 0 . Giao điểm của hai
�1 1 �
 ; ;0 �Khi đó đường thẳng đi qua I, song song với Oz
đường thẳng d1 và d'1 là I �
�3 3 �
sẽ cắt cả hai đường thẳng 
1
�
�x   3
�
1
�
và  '. Phương trình đường thẳng đó là: �y  
3
�
�z  t
�
�
3. BÀI LUYỆN TẬP
Bài tập 16.1: Lập phương trình mặt phẳng
a) Đi qua hai điểm A  0; 1; 1 , B  1; 0; 2  và vuông góc với mặt phẳng (P):
x - y + z + 1 = 0.
b) Chứa trục Oz và đi qua điểm  E  2; 1; 2 
Hướng dẫn

r uuur uur
a) Chọn n  AB; n p Kết quả y  z  2  0.
b) Kết quả 2y + z = 0.
Bài tập 16. 2: Lập phương trình mặt phẳng
a) Đi qua điểm M  2; -1; 2  , song song với trục Oy và  P  : 2 x  y  3 z  1  0 .
b) Đi qua điểm M  3; -1; -5  đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
3 x  2 y  2 z  7  0 và 5 x  4 y  3z  1  0.
Hướng dẫn
r r uur
a) Chọn VTPT n  j;n p Kết quả 3 x  2 z  2  0 .
b) Kết quả 2 x  y  2 z  15  0

Trang 23 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Bài tập 16. 3: Cho tứ diện với các đỉnh A  2; 0; 0  , B  0; 4; 0  , C  0; 0; 6  , D  2; 4; 6  .
uuuu
r uuur uuur uuuu
r
Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA+MB+MC+MD =4 .
Hướng dẫn
Gọi M  x;y;z  . Kết quả mặt cầu  x  1   y  2    z  3 
2

2

2

 1

Bài tập 16. 4: Lập phương trình mặt cầu:
a) Đi qua ba điểm A  0; 8; 0  , B  4; 6; 2  , C  0; 12; 4  và có tâm nằm trên mp(Oỵz).
b) Cầu có tâm là hình chiếu H của gốc O lên đường thẳng AB và bán kính R = 3 , với
A  3; 0; 0  , B  0; 4; 0  .
Hướng dẫn
a) Tâm I nằm trên mp(Oyz) nên I  0;b;c  .
Kết quả x 2   y  7    z  5   26
2

2

2

2

� 48 � � 36 �
b) Kết quả �x  � �y  � z 2  9
� 25 � � 25 �
Bài tập 16. 5: Lập phương trình mặt cầu: a) Có tâm thuộc trục Oy và tiếp xúc với hai mặt
phẳng: x  2 y  2 z  3  0, x  2 y  2 z  5  0 x .
b) Đi qua A  2; 0; 1 , B  1; 0; 0  , C  1; 1; 1 và có tâm thuộc mặt phẳng

 P :

x  y  z  2  0.
Hướng dẫn

a) Tâm I thuộc trục Oy nên I  0;b;0  .
2
2

Kết quả x   y  2   z 
2

b) Kết quả  x  1  2  y 2 

1
.
9



z  1 2  1

Bài tập 16. 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
d1 :

x 1 y  2 z  5
x  7 y  2 z 1




và d 2 :
2
3
4
3
3
2

Chứng to răng hai đường thẳng đã cho cùng nằm trong một mặt phẳng, viết phương
trình mặt phẳng đó.
Hường dẫn
Chứng minh 2 đường thẳng cắt nhau.

Trang 24 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Kết quả 2 x  16 y  13z  31  0.
Bài tập 16. 7: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d là giao tuyến
của 2 mặt phẳng (P): x  2 y  5 z  6  0, (Q) : x  y  3 z  3  0 vuông góc với
mặt phẳng  R  : 3 x  2 y  z  5  0.
Hướng dẫn
Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt
r

uu
r uur

 P  : x+ 2y + 5z + 6 = 0,  Q  : x - y - 3z + 3 = 0 nên có VTPT n  n p ; nQ
Kết quả 7 x  4 y  13z  24  0.         
Bài tập 16. 8: Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình:
� 2
�x  3  t
�
11
�
d �y    t , ( P) : x  3 y  4 z  1  0.
3
�

�z  t
�
�

Viết phương trình đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P) và
phương trình đường thẳng d1 là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương
Oz.
Hướng dẫn
Tìm giao điểm A của d trên mp(P).
� 2
� 13
�x  3  t
�x  3  t
�
1 2 �
�
Kết quả �y    t ; �y  t
9 3 �
�
10
�z  t
�z    2t
3
�
�
�
Bài tập 16. 9: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng

 d1  :

x7 y 3 z 9
x  3 y 1 z 1




và  d 2  :
1
2
1
7
2
3
Hướng dẫn

Gọi đoạn vuông góc chung là AB với A thuộc di tham số t và B thuộc d 2 tham số t’.
Kết quả

x 7 y 3 z 9


2
2
4

Trang 25 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải