DIỆN TÍCH bài TOÁN ĐỒNG QUY THẲNG HÀNG

Diện tích và phơng pháp diện tích với bài
toán đồng quy thẳng hàng.
Hạ Vũ Anh − THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Ngày 24 tháng 11 năm 2011

Mở đầu
Trong các kỳ thi học sinh giỏi, các bài toán hình học cổ điển thường
là những bài toán khó. Một trong những lớp bài toán thường gặp là bài
toán về sự đồng quy của các đường thẳng, sự thẳng hàng của một họ
điểm.
Có rất nhiều cách thức để tiếp cận, giải quyết bài toán đó. Nhưng,
nhìn chung có bốn phương pháp chính để giải bài toán này. Đó là
• Phương pháp quỹ tích.
• Phương pháp vectơ.
• Phương pháp toạ độ.
• Phương pháp biến hình.
Trong bài viết này, chúng tôi xin trao đổi với các thầy cô giáo,
các bạn đồng nghiệp và các em học sinh yêu toán về một khía cạnh của
phương pháp quỹ tích: sử dụng công cụ diện tích phục vụ cho việc chứng
minh đồng quy, thẳng hàng.
Hạ Vũ Anh - Tổ Toán - Tin học
1


1. Định nghĩa diện tích.

Diện tích của một hình (H) là một số, ký hiệu S hay S(H), được
xác định bởi
(i) S ≥ 0
(ii) Hình vuông cạnh 1 có diện tích bằng 1
(iii) Hai hình bằng nhau có diện tích bằng nhau

(iv) Nếu một hình (H) được phân hoạch thành các hình (Hi ) (tức là
n

Hi và (Hi ∩ Hj = ∅) thì

(H) =
i=1

n

S(H) =

S(Hi )
i=1

2. Đa giác định hướng và diện tích đa giác định hướng.

Đa giác A1 A2 ...An được gọi là được định hướng dương, nếu đi từ
A1 tới An dọc theo chu tuyến là ngược chiều kim đồng hồ. Trong trường
hợp ngược lại, thì được gọi là được định hướng âm.
Ký hiệu S(A1 A2 ...An ) hay SA1 A2 ...An để chỉ diện tích (hình học) của
đa giác A1 A2 ...An , còn ký hiệu S[A1 A2 ...An ] hay [A1 A2 ...An ] để chỉ diện
tích (đại số) của đa giác định hướng A1 A2 ...An . Khi đó

 S (A1 A2 ...An )
nếu đa giác A1 A2 ...An định hướng dương
S [A1 A2 ...An ] =
 −S (A1 A2 ...An ) nếu đa giác A1 A2 ...An định hướng dương
3. Một số kết quả đáng chú ý.

2


1. Diện tích tam giác
1
1
1
S(ABC) = S = a · ha = b · hb = c · hc
2
2
2
1
1
1
= ab sin C = bc sin A = ca sin B
2
2
2
= pr = (p − a)ra = (p − b)rb = (p − c)rc
=

p(p − a)(p − b)(p − c)

Từ đó
1
1
1
1
1
1

1
+
+
= =
+ +
ha hb hc
r
ra ra ra
2. Nếu

ABC

A1 B1 C1 thì

S(ABC)
S(A1 B1 C1 )

2

= k trong đó k =

AB
A1 B1

3. Cho góc ∠xOy, và lấy A, A ∈ Ox, B, B ∈ Oy. Khi đó
OA OB
[OAB]
=
·
[OA B ] OA OB

x
A
A
O
B

B
y

Hình 1
4. Cho tam giác ABC. Khi đó [ABC] = [M BC]+[M CA]+[M AB] ∀M .
Mở rộng. Cho đa giác A1 A2 ...An . Khi đó
n

[M Ai Ai+1 ]

[A1 A2 ...An ] =
i=1

3

∀M


(Quy ước An+k ≡ Ak , k = 1, n)
5. M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi [M N P ] = 0
6. Cho tam giác ABC và điểm M chia đoạn BC theo tỷ số k = 1. Khi
đó
[M AB]
=k

[M AC]

Một số bài toán.
1. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC, CD lần lượt lấy M, N sao
cho CN : N D = 2 · BM : M D. Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm
của AM, AN với BD. Chứng minh rằng [AM N ] = 2 · [AP Q]
Lời giải.

B

Đặt BM : M C = k ⇒ CN :

M
P

N D = 2k. Khi đó
[AP Q]
AP AM
=
·
[AM N ] AQ AN

(1)

C
Q

A

Theo định lý Thalès, ta có

N
D

Hình 2

AD
AP
AD
BC
AP
=
⇒
=
=
PM
BM
AP + P M
AD + BM
BC + BM
Mặt khác, do BM : M C = k nên
k+1
BC
k+1
BC
=
⇒
=
BM
k

BC + BM
2k + 1
AP
k+1
⇒
=
PM
2k + 1

(2)

Tương tự
AQ
ND
AB
DC
2k + 1
=
=
=
=
AN
AB
AB + DN
DC + DN
2k + 2
Từ (1),(2),(3) suy ra điều phải chứng minh.
4

(3)

2. Cho hình thang ABCD (AB

CD). Gọi I, J theo thứ tự là trung

điểm hai đáy AB, CD. Chứng minh rằng
M ∈ (IJ) ⇐⇒ [M AD] = [M BC]
Lời giải.
Theo giả thiết ta có
[AIJD] = [BCJI]

(4)

[AIJD] = [M AI] + [M IJ] + [M JD] + [M DA]

(5)

[BCJI] = [M BC] + [M CJ] + [M JI] + [M IB]

(6)

[M AI] = [M IB] ; [M DJ] = [M JC]

(7)

Mà

A

I

B

M
D

J

C

Hình 3
Từ (4),(5),(6),(7) suy ra
M ∈ (IJ) ⇔ [M IJ] = [M JI] = 0 ⇔ [M DA] = [M BC]
điều phải chứng minh.
Nhận xét. Cũng với cách giải trên, chúng ta còn chứng minh được
M ∈ (IJ) ⇔ [M AC] = [M DB]
5


3. Cho tứ giác ABCD. Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E. Gọi
F, G theo thứ tự là trung điểm các đường chéo AC, BD của tứ giác.
1
Chứng minh rằng [EF G] = · [ABCD]
4
Lời giải.
A
C
F
G

E
B

D
Hình 4

Nối AG, CG. Ta có
[EF G] = [AEG] − [AF G] − [AEF ]
= [ABG] + [EGB] − [AF G] − [AEF ]
1
= · ([ABD] + [BDE] − [ACG] − [ACE])
2
1
= · ([ADE] − [AGCE])
2
1
= · ([ABCD] − [ABCG])
2
Mặt khác
[ABCG] =

1
· [ABG] + [BCG]
2

1
· [ABD]
2
1
[BCG] = · [BCD]

2

[ABG] =

Từ đó suy ra điều phải chúng minh.
6


4. Cho tứ giác ABCD. Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E, các
đường thẳng BC, DA cắt nhau tại F . Gọi I, J, K theo thứ tự là
trung điểm các đoạn thẳng AC, BD, EF . Chứng minh rằng I, J, K
thẳng hàng.
Lời giải.

A

Theo kết quả bài toán 3, ta có
[EIJ] = [IJF ]

=

1
· [ABCD]
2

I
B

Kẻ EG, F H⊥IJ. Khi đó
1

1
· IJ · EG = · IJ · F H
2
2

E

Suy ra EG = F H, và do đó

J

D
C
G
KH

F

Hình 5

EGF H là hình bình hành. Suy
ra GH, EF cắt nhau tại
trung điểm mỗi đường, tức là GH đi qua K. Từ đó suy ra điều phải
chứng minh.
5. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AC, BD.
Chứng minh rằng P ∈ (M N )L[P AB] + [P CD] = [P BC] + [P DA]
Lời giải. Ta có
1
([AN P ] + [CN P ])
2

1
= ([ABP ] + [ADP ] + [CDP ] + [P CD])
4
1
= ([P AB] + [P CD] − [P BC] − [P DA])
4

[M N P ] =

Do vậy
P ∈ (M N )L[M N P ] = 0L[P AB] + [P CD] = [P BC] + [P DA]
7


6. Cho tứ giác lồi ABCD với diện tích S. Lấy P1 ∈ (CD) sao cho
S
P1 , C nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ (AB) và [ABP1 ] = .
2
Tương tự lấy P2 ∈ (BC), P3 ∈ (AB), P4 ∈ (DA). Chứng minh
rằng P1 , P2 , P3 , P4 thẳng hàng.
Lời giải.
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các đường chéo AC, BD và
không mất tổng quát, coi tứ giác ABCD định hướng dương.
Khi đó [P1 AB] =

S
2

; [P1 CD] = 0 và S = [ABCD] = [P1 AB] +

[P1 BC] + [P1 CD] + [P1 DA]
A
B
M
N
P1
C

D
Hình 6

=⇒ [P1 BC] + [P1 DA] =

S
2

= [P1 AB] + [P1 CD]

Suy ra P1 ∈ (M N ).
Hoàn toàn tương tự, chứng minh được P2 , P3 , P4 ∈ (M N ). Vậy,
P1 , P2 , P3 , P4 thẳng hàng.
7. Cho ngũ giác lồi ABCDE. Gọi F = (BC) ∩ (DE), G = (CD) ∩
(EA), H = (DE) ∩ (AB), I = (EA) ∩ (BC), J = (AB) ∩ (CD).
Giả sử rằng các tam giác AHI, BIJ, CJF, DF G, EGH có diện tích
bằng nhau, chứng minh rằng các đường thẳng AF, BG, CH, DI, EJ
đồng quy.
8


Lời giải. Từ giả thiết suy ra

AH

= BJ, AI

= EG, BI

I

J

=

CF, CJ = DG, DF = EH. Đặt
AH
AI
= x,
= y. Áp dụng định
AB
AE
lý Ménélaus cho tam giác AGJ với

A
E
H

B
C

P
D

F

cát tuyến (CBI) ta có
BA CJ IG
·
·
=1
BJ CG IA

G
Hình 7

Suy ra
xy
CJ
BJ IA
=
·
=
CG BA IG 1 + 2y

(8)

Tương tự, áp dụng định lý Ménélaus cho tam giác GAJ với cát
tuyến (DEH), cũng được
xy
DG
=
1 + 2x

DJ
Từ (8) và (9), để ý rằng
là HI

DG
DJ

=

CJ
,
CG

(9)

suy ra x = y. Điều đó có nghĩa

EB. Suy ra
FE
FB
FE
FB
=
⇒
=
FH
FI
FD
FC

hay CD

EB.

Chứng minh hoàn toàn tương tự, cũng được
IJ

AC

DE, JF

BD

EA, F G

CE

AB, GH

AD

BC

Giả sử rằng (AF ) ∩ (BG) = {P }. Khi đó, áp dụng kết quả bài toán
2 cho hình thang ABF G, đường thẳng IP là tập hợp những điểm
9


M mà S

M AG

=S
S

MF B.

DAG

Ta có

=S

BAG

=S

ABF

=S

DBF

Suy ra D ∈ (IP ), hay I, P, D thẳng hàng. Tương tự, cũng được các
bộ ba điểm C, P, H và E, P, J thẳng hàng. Điều phải chứng minh.

10


Bài tập

1. Cho tứ giác lồi ABCD. M, N theo thứ tự là trung điểm AB, CD.
Gọi P = (AN )∩(M D) , Q = (BN )∩(CM ). Chứng minh rằng [P AD]+
[BQC] = [M P N Q]
2. Cho lục giác lồi ABCDEF . Gọi M, N, P.Q, R, S theo thứ tự là
trung điểm của các đoạn thẳng AB, DE, BC, EF, CD, F A. Chứng
minh rằng nếu mỗi đoạn M N, P Q, RS chia lục giác thành hai phần
tương đương thì chúng đồng quy.
3. Tam giác A1 A2 A3 không cân, không vuông nội tiếp đường tròn (O).
Gọi Bi là trung điểm cạnh đối diện đỉnh Ai . Trên tia [OBi ) lấy điểm
Ci sao cho

OAi Bi

OCi Ai . Chứng minh rằng các đường thẳng

Ai Ci , i = 1, 2, 3 cùng đi qua một điểm.
4. Cho tứ giác lồi ABCD có AC⊥BD, AB

CD. Trung trực AB, CD

cắt nhau tại P ở trong tứ giác.
(a) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của P trên AC, BD. Chứng
minh rằng
[ABP ] = [CDP ]LAM · BN = CM · DN
(b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi [ABP ] =
[CDP ]
5. Gọi F, G, H, I, J theo thứ tự là trung điểm các cạnh CD, DE, EA, AB, BC
của ngũ giác lồi ABCDE. Biết rằng AF, BG, CH, DI đồng quy,
chứng minh rằng P, E, J thẳng hàng.

11


6. Lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối diện song song. Chứng
minh rằng các đường thẳng đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện
đồng quy.
7. Tứ giác lồi ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi M, N theo thứ
tự là trung điểm của các đường chéo AC, BD, chứng minh rằng
M, N, O thẳng hàng.

12


Đôi điều kết luận.
Do khuôn khổ của bài viết, trong báo cáo này chúng tôi chỉ trình
bày một số bài toán cơ bản mang tính chất chìa khoá, có thể áp dụng
cho nhiều bài toán khác cùng loại.
Qua các bài toán trên, chúng ta có thể thấy rằng việc sử dụng khái
niệm hướng và diện tích của đa giác định hướng đã làm cho bản thân
các lời giải khá gọn gàng, quan trọng hơn, chúng không còn phụ thuộc
vào hình vẽ nữa - điều đó thật tuyệt.

13