HƯỚNG TRONG HÌNH học PHẲNG NGUYEN MINH HA

Nguyễn Minh Hà

NHÀ XUẤT BẢN DÂN TRÍ



Mục lục
Lời giới thiệu

iii

Lời nói đầu

v

Các ký hiệu

vii

Chương 1.

Hướng của đoạn thẳng

1

§1.

Hình thang và hình bình hành

1

§2.

Đoạn thẳng

2

§3.

Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó
3.1. Các định nghĩa
3.2. Các định lí
3.3. Hướng của đoạn thẳng định hướng

4
4
10
17

§4.

18
18
19
20

§5.

21
21
22

26

§6.

27
27
29

Vectơ, hướng và phương của nó
4.1. Các định nghĩa
4.2. Các định lí
4.3. Hướng và phương của vectơ
Hướng và phương của tia
5.1. Các định nghĩa
5.2. Các định lí
5.3. Hướng và phương của tia
Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướng
6.1. Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp
6.2. Đường thẳng định hướng

§7.

Độ dài đại số của đoạn thẳng định hướng

Chương 2.
§8.
§9.

Hướng của góc

Góc giữa hai tia

Góc định hướng giữa hai tia và các vấn đề có liên quan
9.1. Góc định hướng giữa hai tia

31
37
37
44
44
i


ii

Mục lục

9.2.
9.3.
9.4.
9.5.

Cơ sở, tia cơ sở của góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt
có cùng đỉnh
Sự không trùng lặp, sự trùng lặp của hai góc định hướng
giữa hai tia-khác bẹt có cùng đỉnh
Nguồn và cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai
tia-khác bẹt có cùng đỉnh
Các định lí về cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai
tia-khác bẹt cùng đỉnh

Sự cùng hướng, sự ngược hướng của hai góc định hướng
giữa hai tia
10.1. Hai góc định hướng giữa hai tia có cùng đỉnh
10.2. Hai góc định hướng giữa hai tia bất kỳ
10.3. Hướng của góc định hướng giữa hai tia, mặt phẳng
định hướng
10.4. Hướng của tam giác và hướng của đa giác lồi

45
46
47
51

§10.

Số đo của góc định hướng, góc lượng giác giữa hai tia
11.1. Số đo của góc định hướng giữa hai tia
11.2. Góc lượng giác giữa hai tia

63
63
68
76
77

§11.

81
81

82

§12.

86
86
87
90

§13.

91
91
92
94

§14.

95
95
97
101

Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai vectơ
12.1. Góc giữa hai vectơ
12.2. Góc định hướng giữa hai vectơ
12.3. Góc lượng giác giữa hai vectơ
Cung, cung định hướng, cung lượng giác
13.1. Cung
13.2. Cung định hướng

13.3. Cung lượng giác
Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai đường thẳng
14.1. Góc giữa hai đường thẳng
14.2. Góc định hướng giữa hai đường thẳng
14.3. Góc lượng giác giữa hai đường thẳng

§15.

Một vài kết quả cơ bản

105

Tài liệu tham khảo

109

Tra cứu theo vần

111


Lời giới thiệu
Cùng bạn đọc,
Thuở còn là học sinh phổ thông, khi học bài góc lượng giác tôi cảm
thấy có gì đó bất ổn nhưng không hiểu vì sao mình lại có cảm giác đó.
Sau này, sống bằng nghề dạy Toán và làm toán, tôi mới hiểu rằng cái
đồng hồ chính là nguyên nhân của sự bất ổn đó, khái niệm góc lượng
giác được định nghĩa thông qua cái đồng hồ nhưng cái đồng hồ lại không
phải là khái niệm của hình học phẳng. Trong hệ tiên đề Hilbert của
hình học Euclid phẳng, gọi tắt là hình học phẳng, mọi khái niệm phải

được định nghĩa thông qua hai khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng và
ba quan hệ cơ bản: liên thuộc, nằm giữa, toàn đẳng.
Mải mê với công việc riêng của mình, tôi không hề nghĩ rằng lại
có một người quan tâm đến việc định nghĩa góc lượng giác mà không
sử dụng cái đồng hồ, nói theo cách của những người làm toán chuyên
nghiệp, quan tâm tới vấn đề xây dựng lý thuyết về hướng trong hình
học phẳng.
Cầm trong tay bản thảo hơn một trăm trang cuốn sách “Hướng
trong hình học phẳng”, hơn một trăm trang mà viết trong hơn mười
năm trời, tôi thực sự bất ngờ vì cái tình yêu âm thầm và bền bỉ mà tác
giả của nó, TS Nguyễn Minh Hà dành cho Toán học.
Với những gì mà tôi biết về TS Nguyễn Minh Hà, với cách đặt vấn
đề rất hợp lý của “Hướng trong hình học phẳng”, chắc rằng cuốn sách
này là một tài liệu rất đáng đọc cho bất kỳ ai quan tâm tới hình học
phẳng, đặc biệt là sinh viên khoa Toán của các trường Đại học sư phạm
và Cao đẳng sư phạm.
Hãy đọc “Hướng trong hình học phẳng” để xem cái cách mà TS
Nguyễn Minh Hà vất cái đồng hồ ra khỏi hình học phẳng.
GS. TSKH Nguyễn Văn Khuê

iii



Lời nói đầu
Tôi xây căn nhà nhỏ của tôi
trong toà nhà lớn của Hilbert và Euclid
Hướng là khái niệm quan trọng của hình học. Tuy nhiên, từ thời Euclid
cho tới trước thời của Descartes hướng không được coi là khái niệm của
hình học. Từ khi có phương pháp toạ độ của Descartes tình trạng trên

đã phần nào được giải quyết, bằng các khái niệm ma trận và định thức
hướng đã trở thành khái niệm của hình học. Chú ý rằng “phần nào được
giải quyết” chứ không phải “hoàn toàn được giải quyết”, khi không có
phương pháp toạ độ người ta vẫn chỉ có thể nói tới hướng dưới dạng mô
tả. Vì vậy những vấn đề liên quan tới hướng thường bị né tránh, trong
toàn bộ tác phẩm “Cơ sở hình học” của Hilbert [1] không có dòng nào
dành cho khái niệm hướng.
Không có khái niệm hướng, không thể trình bày một cách chặt chẽ
nhiều vấn đề của hình học (góc lượng giác, vectơ, lí thuyết biến hình,
. . . ). Không có khái niệm hướng, ta gặp rất nhiều khó khăn trong học
tập, giảng dạy và nghiên cứu hình học. Không có khái niệm hướng, hình
học phẳng - một trong những ngành khoa học cổ xưa nhất của nhân loại
- tưởng như không còn điều gì đáng bàn sau khi Hilbert viết tác phẩm
“Cơ sở hình học” cho đến ngày hôm nay vẫn chưa hoàn chỉnh.
Vì sao lại cứ phải né tránh? Liệu có thể nói tới khái niệm hướng
mà không cần sử dụng phương pháp toạ độ hay không? Nhiều năm
nay những câu hỏi này đã thôi thúc tôi hướng tới mục tiêu: xây dựng
lí thuyết về hướng, trước hết là trong hình học phẳng, không sử dụng
phương pháp toạ độ, đủ tốt cho việc làm toán. Giờ đây lí thuyết này
đã được xây dựng xong. Cuốn sách “Hướng trong hình học phẳng” mà
bạn đang có trong tay chứa đựng toàn bộ lí thuyết đó, nó bao gồm hai
chương: Chương I-Hướng của đoạn thẳng; Chương II-Hướng của góc.
Tôi dành lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Duy Khánh, người đã có nhiều
đóng góp trong việc trình bày và biên tập cuốn sách.
Tôi rất mong nhận được những nhận xét quý giá từ độc giả.
Nguyễn Minh Hà

v

Các ký hiệu

A = B: các điểm A , B trùng nhau.
A = B: các điểm A , B khác nhau.
A, B / X Y : hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ X Y .
A / X Y / B: hai điểm A, B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ X Y .
AB: đoạn thẳng có hai đầu mút là các điểm A, B.
AB: độ dài đoạn thẳng AB (nếu không có gì nhầm lẫn).
AB: đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A, B (nếu không có gì nhầm
lẫn).
a ≡ b: các đường thẳng a, b trùng nhau.
a ≡ b: các đường thẳng a, b không trùng nhau.
a ∥ b: các đường thẳng a, b song song.
a ∥≡ b: các đường thẳng a, b hoặc song song hoặc trùng nhau.
a ⊥ b: các đường thẳng a, b vuông góc.

vii


viii

Các ký hiệu

a ⊥ b: các đường thẳng a, b không vuông góc.
a ∩ b = O : các đường thẳng a, b cắt nhau tại điểm O .

# »

AB: đoạn thẳng định hướng có đầu mút đầu là điểm A , đầu mút cuối là

điểm B.

#»

0 : đoạn thẳng định hướng-không.

# »

# »

# » # »

# »

# »

# » # »

AB ↑↑ CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD cùng hướng.
AB ↑↓ CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD ngược hướng.

# » # »
# » −−→
AB ∥ CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD cùng phương.
# »

# »

# » # »

# »

# »

# » # »

AB = CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD bằng nhau.
AB = CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD khác nhau.

# »

# »

AB: vectơ chứa đoạn thẳng định hướng AB (nếu không có gì nhầm lẫn).

# »

# »

[ AB]: vectơ chứa đoạn thẳng định hướng AB.

#»

0 : vectơ-không (nếu không có gì nhầm lẫn).

#»

[ 0 ]: vectơ-không.

#»

#»
#»
a ↑↑ b : các vectơ #»
a , b cùng hướng.
#»
#»
#»
a ↑↓ b : các vectơ #»
a , b ngược hướng .
#»
#»
#»
a ∥ b : các vectơ #»
a , b cùng phương.
#»
#»
#»
a ⊥ b : các vectơ #»
a , b vuông góc.
#»
#»
#»
a = b : các vectơ #»
a , b bằng nhau.
#»
#»
#»
a = b : các vectơ #»
a , b khác nhau.

Các ký hiệu

ix

# »

AB: tia có gốc là điểm A và đi qua điểm B (nếu không có gì nhầm lẫn).
I x ↑↑ J y: các tia I x, J y cùng hướng.
I x ↑↓ J y: các tia I x, J y ngược hướng.
I x ≡ J y: các tia I x, J y trùng nhau.
I x ∥ J y: các tia I x, J y cùng phương.
I x ⊥ J y: các tia I x, J y vuông góc.
I x ⊂ J y: tia I x thuộc tia J y.
Ox : tia đối của tia Ox.
x x: đường thẳng chứa hai tia Ox và Ox .
yx: đường thẳng chứa hai tia đối nhau Ox và O y.
xO y: góc giữa hai tia có các cạnh là các tia Ox, O y.

# » # »

AOB: góc giữa hai tia có các cạnh là các tia O A, OB.

# »

AO y: góc giữa hai tia có các cạnh là các tia O A, O y.

# »

xOB: góc giữa hai tia có các cạnh là các tia Ox, OB.

(Ox, O y): góc định hướng giữa hai tia có cạnh đầu là tia Ox, cạnh cuối là
tia O y.

# » # »

# »

# »

# »

(O A, OB): góc định hướng giữa hai tia có cạnh đầu là tia O A , cạnh cuối
# »
là tia OB.
(O A, O y): góc định hướng giữa hai tia có cạnh đầu là tia O A , cạnh cuối
là tia O y.

# »

(Ox, OB) góc định hướng giữa hai tia có cạnh đầu là tia Ox, cạnh cuối là
# »
tia OB.


x

Các ký hiệu

(I x, I y) ↑↑ (J z, J t): các góc định hướng giữa hai tia (I x, I y), (J z, J t) cùng

hướng.
(I x, I y) ↑↓ (J z, J t): các góc định hướng giữa hai tia (I x, I y), (J z, J t) ngược

hướng.
ABC : tam giác ABC .
ABC ↑↑

X Y Z : các tam giác ABC , X Y Z cùng hướng.

ABC ↑↓

X Y Z : các tam giác ABC , X Y Z ngược hướng.

(Ox, O y)k : góc lượng giác giữa hai tia có góc định hướng giữa hai tia
sinh là (Ox, O y) và có chu kì là k.

#»
#»
〈 #»
a , b 〉: góc giữa hai vectơ có các cạnh là các vectơ #»
a, b.
#»
( #»
a , b ): góc định hướng giữa hai vectơ có cạnh đầu là vectơ #»
a , cạnh cuối
#»
là vectơ b .
#»
#»
#»

#»
( #»
a , b ) ↑↑ ( #»
c , d ): các góc định hướng giữa hai vectơ ( #»
a , b ), ( #»
c , d ) cùng
hướng.
#»

#»

#»

#»

( #»
a , b ) ↑↓ ( #»
c , d ): góc định hướng giữa hai vectơ ( #»
a , b ), ( #»
c , d ) ngược hướng.

#»

( #»
a , b )k : góc lượng giác giữa hai vectơ có góc định hướng giữa hai vectơ
#»
sinh là ( #»
a , b ) và có chu kì là k.
AB: cung có hai đầu mút là các điểm A, B.
AB: cung định hướng có đầu mút đầu là điểm A , đầu mút cuối là điểm B.

AB ↑↑ CD : các cung định hướng AB, CD cùng hướng.
AB ↑↓ CD : các cung định hướng AB, CD ngược hướng.
AB k : cung lượng giác có cung định hướng sinh là AB và có chu kì là
k.
〈a, b〉: góc giữa hai đường thẳng có các cạnh là các đường thẳng a, b.


Các ký hiệu

xi

(a, b): góc định hướng giữa hai đường thẳng có cạnh đầu là đường thẳng
a, cạnh cuối là đường thẳng b.
(a, b) ↑↑ (c, d): góc định hướng giữa hai đường thẳng (a, b), (c, d) cùng

hướng.
(a, b) ↑↓ (c, d): góc định hướng giữa hai đường thẳng (a, b), (c, d) ngược

hướng.
(a, b)k : góc lượng giác giữa hai đường thẳng có góc định hướng giữa
hai đường thẳng sinh là (a, b) và có chu kì là k.

: Kết thúc một phép chứng minh.



Chương 1

Hướng của đoạn
thẳng

1. Hình thang và hình bình hành
Theo quan niệm thông thường, hình thang và hình bình hành là hai
khái niệm khác nhau và được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1. Hình thang là tứ giác lồi có một bộ hai cạnh đối thuộc
hai đường thẳng song song và bộ hai cạnh đối còn lại thuộc hai đường
thẳng không song song.
Định nghĩa 2. Hình bình hành là tứ giác lồi mà mỗi bộ hai cạnh đối
cùng thuộc hai đường thẳng song song.
Định nghĩa 1 có vẻ rõ ràng nhưng lại không phù hợp với tinh thần
của lí thuyết tập hợp. Do đó nó không thuận tiện cho việc làm toán. Vì
vậy, gần đây, trong nhiều tài liệu người ta định nghĩa hình thang như
sau.
Định nghĩa 3. Hình thang là tứ giác lồi có một bộ hai cạnh đối thuộc
hai đường thẳng song song.
Trong định nghĩa 3, bộ hai cạnh đối còn lại của hình thang có thể
thuộc hai đường thẳng hoặc song song hoặc không song song. Do đó
hình bình hành là một hình thang đặc biệt.
1


2

1. Hướng của đoạn thẳng

Định nghĩa 3 phù hợp với tinh thần của lí thuyết tập hợp. Vì vậy
nó thuận tiện cho việc làm toán. Do đó nó được coi là định nghĩa chính
thống và chính thức được sử dụng trong cuốn sách này.
Mỗi một trong hai cạnh thuộc bộ hai cạnh đối thuộc hai đường thẳng
song song của hình thang được gọi là cạnh đáy của nó. Mỗi một trong

hai cạnh thuộc bộ hai cạnh đối còn lại của hình thang được gọi là cạnh
bên của nó. Do đó, đối với hình bình hành, một hình thang đặc biệt, ta
có hai cách quan niệm về cạnh đáy và cạnh bên. Cụ thể, với hình bình
hành ABCD , nếu coi AB, CD là cạnh đáy thì AD, CB là cạnh bên, nếu
coi AD, CB là cạnh đáy thì AB, CD là cạnh bên.
Theo cách kí hiệu thông thường, một tứ giác lồi K có bốn đỉnh là
X , Y , Z, T và bốn cạnh là X Y , Y Z, ZT, T X được kí hiệu là ABCD , trong
đó (A, B, C, D) là một hoán vị của (X , Y , Z, T) và (AB, BC, CD, D A) là một
hoán vị của (X Y , Y Z, ZT, T X ). Do đó K được kí hiệu bởi một trong tám
cách sau: X Y ZT, Y ZT X , ZT X Y , T X Y Z, X T ZY , T ZY X , ZY X T, Y X T Z .
Theo thói quen, cách kí hiệu trên cũng được dùng để kí hiệu hình
thang K có bốn đỉnh là X , Y , Z, T và bốn cạnh là X Y , Y Z, ZT, T X . Tuy
nhiên, với cách kí hiệu này ta không thể biết được cạnh nào trong bốn
cạnh X Y , Y Z, ZT, T X là cạnh đáy của K . Đó là nguyên nhân của nhiều
bất lợi trong việc làm toán. Vì vậy, trong cuốn sách này hình thang K
có bốn đỉnh là X , Y , Z, T , bốn cạnh là X Y , Y Z, ZT, T X và hai cạnh đáy
là X Y , ZT được kí hiệu là ABCD , trong đó (A, B, C, D) là một hoán vị
của (X , Y , Z, T), (AB, BC, CD, D A) là một hoán vị của (X Y , Y Z, ZT, T X )
và (AB, CD) là một hoán vị của (X Y , ZT). Do đó K được kí hiệu bởi một
trong bốn cách sau: X Y ZT, ZT X Y , Y X T Z, T ZY X .
Chú ý 4. 1) Nếu một trong bốn tứ giác lồi ABCD, CD AB, BADC, DCBA
là hình thang thì cả bốn cùng là hình thang.
2) Nếu một trong tám tứ giác lồi ABCD, BCD A, CD AB, D ABC, ADCB,
DCBA, CBAD, BADC là hình bình hành thì cả tám cùng là hình bình
hành.

2. Đoạn thẳng
Trong mục này, một số kiến thức cơ bản về đoạn thẳng được nhắc lại.
Định nghĩa 5. Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai điểm khác nhau
A, B được gọi là đoạn thẳng, hoặc kí hiệu là AB hoặc kí hiệu là BA .

−−→ −−→

Định nghĩa 6. Giao của các tia AB, BA được gọi là miền trong của
đoạn thẳng AB.


2. Đoạn thẳng

3

Định nghĩa 7. Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai điểm trùng nhau
A, B cũng được gọi là đoạn thẳng (đoạn thẳng-không, khi cần nhấn
mạnh), kí hiệu bởi một trong các cách sau: AB, BA, A A, BB.
Định nghĩa 8. Miền trong của đoạn thẳng-không là tập hợp rỗng.
Các điểm A, B được gọi là đầu mút của đoạn thẳng AB.
Với sự xuất hiện của khái niệm đoạn thẳng-không, thuật ngữ đoạn
thẳng mang một ý nghĩa mới: đoạn thẳng có thể là đoạn thẳng-khác
không (hai đầu mút khác nhau) và cũng có thể là đoạn thẳng-không
(hai đầu mút trùng nhau). Vì vậy, để tránh nhầm lẫn, trong các vấn đề
liên quan tới khái niệm đoạn thẳng, khi cần thiết ta sẽ nhấn mạnh các
thuật ngữ: đoạn thẳng-khác không, đoạn thẳng-không.
Chú ý 9. 1) Gốc O của tia Ox không thuộc tia Ox.
2) Hình gồm tia Ox và điểm O được gọi là tia Ox mở rộng.
3) Các đầu mút của đoạn thẳng AB không thuộc miền trong của
đoạn thẳng AB.
Nếu ta qui ước một đoạn thẳng nào đó có độ dài bằng 1 thì đối với
mỗi đoạn thẳng tồn tại duy nhất một số thực dương biểu thị độ dài của
đoạn thẳng đó.
Nếu không có gì nhầm lẫn thì độ dài đoạn thẳng AB được kí hiệu
đơn giản là AB.

Chú ý 10. AB = 0 khi và chỉ khi AB là đoạn thẳng-không.
Định nghĩa 11. Hai đoạn thẳng AB, CD được gọi là bằng nhau nếu
chúng có độ dài bằng nhau.
Để biểu thị hai đoạn thẳng AB, CD bằng nhau, ta viết AB = CD .
Định lí 12. Nếu điểm C hoặc thuộc miền trong hoặc trùng với một trong
hai đầu mút của đoạn thẳng AB thì AB = AC + CB (hệ thức Chasles cho
đoạn thẳng).
Trong định lí 12, đoạn thẳng AB có thể là đoạn thẳng-không.
Chú ý 13. 1) Thay cho cách nói điểm C thuộc miền trong của đoạn
thẳng AB ta còn có các cách nói đơn giản hơn: điểm C thuộc đoạn thẳng
AB, điểm C nằm trong đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa các điểm A, B.
2) Nếu điểm C thuộc đường thẳng AB, không nằm trong đoạn thẳng
AB, khác các điểm A, B thì ta nói điểm C nằm ngoài đoạn thẳng AB.


4

1. Hướng của đoạn thẳng

Định nghĩa 14. Hình thang có đúng một cạnh đáy là đoạn thẳngkhông được gọi là hình thang-không.
A

A

B

C

h.1

C=D

B

h.2

Tam giác ABC không phải là hình thang-không nhưng tứ giác ABCD
với C = D là hình thang-không có một cạnh đáy là đoạn thẳng-khác
không AB và một cạnh đáy là đoạn thẳng-không CD (h.1, h.2).
Với sự xuất hiện của khái niệm hình thang-không, thuật ngữ hình
thang mang một ý nghĩa mới: hình thang có thể là hình thang-khác
không (hai cạnh đáy là những đoạn thẳng-khác không) và cũng có thể
là hình thang-không (có đúng một cạnh đáy là đoạn thẳng-không). Vì
vậy, để tránh nhầm lẫn, trong các vấn đề liên quan tới khái niệm hình
thang, khi cần thiết ta sẽ nhấn mạnh các thuật ngữ: hình thang-khác
không, hình thang-không.

3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó
Trong mục 2, khi định nghĩa đoạn thẳng ta không phân biệt thứ tự hai
đầu mút của nó. Trong mục này, ta làm quen với một khái niệm mới:
đoạn thẳng mà thứ tự hai đầu mút của nó phân biệt.
3.1. Các định nghĩa.
Định nghĩa 15. Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai điểm (A, B) được gọi là
# »
đoạn thẳng định hướng, kí hiệu là AB.
# »
Khi các điểm A, B trùng nhau, đoạn thẳng định hướng AB được gọi
là đoạn thẳng định hướng-không, còn kí hiệu bởi một trong các cách
# » # » # »
sau: BA , A A , BB.

Các điểm A, B theo thứ tự được gọi là đầu mút đầu, đầu mút cuối
# »
của đoạn thẳng định hướng AB.
Khi cần thiết, thay cho thuật ngữ đoạn thẳng định hướng ta có thể
nhấn mạnh bằng các thuật ngữ: đoạn thẳng định hướng-khác không


3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó

5

(hai đầu mút khác nhau); đoạn thẳng định hướng-không (hai đầu mút
trùng nhau).
# »
Định nghĩa 16. Độ dài của đoạn thẳng định hướng AB là độ dài của
đoạn thẳng AB.
# »
# »
Độ dài của đoạn thẳng định hướng AB được kí hiệu là | AB|. Vậy
# »
| AB| = AB.
# »
# »
Chú ý 17. | AB| = 0 khi và chỉ khi AB là đoạn thẳng định hướng-không.
Đoạn thẳng AB được gọi là đoạn thẳng sinh của đoạn thẳng định
# »
hướng AB. Vậy độ dài của đoạn thẳng định hướng là độ dài của đoạn
thẳng sinh của đoạn thẳng định hướng đó.
Bổ đề sau đây không chỉ giúp ta chứng minh bổ đề 20 mà còn có vai
trò quan trọng trong nhiều tình huống khác.

Bổ đề 18. (Bổ đề hình thang) Nếu AB ∥ CD thì
1) Hoặc A, D / BC hoặc A / BC / D .
2) A, D / BC khi và chỉ khi ABCD là hình thang.
3) A / BC / D khi và chỉ khi ABDC là hình thang.
Chứng minh. 1) Hiển nhiên.
2) Điều kiện cần. Vì AB ∥ CD nên A, B / CD và C, D / AB (1).
Gọi (∆) là giao của nửa mặt phẳng bờ CD chứa A, B và nửa mặt
phẳng bờ AB chứa C, D (h.3).
E

A

B
(∆)

D

C

h.3

Có hai trường hợp cần xem xét.
Trường hợp 1. AD , BC song song. Hiển nhiên B, C / AD .
Trường hợp 2. AD , BC không song song. Gọi E là giao điểm của AD
và BC . Vì A, D / BC nên E không thuộc đoạn thẳng AD . Kết hợp với


6

1. Hướng của đoạn thẳng

đoạn thẳng AD thuộc (∆), suy ra E không thuộc (∆). Từ đó, chú ý rằng
đoạn thẳng BC thuộc (∆), suy ra E không thuộc đoạn thẳng BC . Điều
đó có nghĩa là B, C / AD .
Tóm lại, trong cả hai trường hợp ta đều có B, C / AD (2).
Từ (1) và (2), chú ý rằng A, D / BC , suy ra ABCD là tứ giác lồi. Kết
hợp với AB ∥ CD , suy ra ABCD là hình thang.
Điều kiện đủ. Vì ABCD là hình thang nên ABCD là tứ giác lồi. Do
đó A, D / BC .
3) Điều kiện cần. Vì AB ∥ CD nên A, B / CD và C, D / AB (1).
Gọi (∆) là giao của nửa mặt phẳng bờ CD chứa A , B và nửa mặt
phẳng bờ AB chứa C , D .
Vì A / BC / D nên AD và BC cắt nhau. Gọi F là giao điểm của AD và
BC (h.4).
B

A

(∆)

F

C

h.4

D

Vì A / BC / D nên F thuộc đoạn thẳng AD . Do đó A, F / BD và
D, F / AC (2).

Vì F thuộc đoạn thẳng AD nên F thuộc (∆). Từ đó chú ý rằng đoạn
thẳng BC thuộc (∆), suy ra F thuộc đoạn thẳng BC . Do đó C, F / BD và
B, F / AC (3).
Từ (2) và (3) suy ra A, C / BD và B, D / AC (4).
Từ (1) và (4) suy ra ABDC là tứ giác lồi. Kết hợp với AB ∥ CD , suy
ra ABDC là hình thang.
Điều kiện đủ. Vì ABDC là hình thang nên ABDC là tứ giác lồi. Do
đó A / BC / D .
Chú ý 19. Nửa mặt phẳng bờ a và đường thẳng a không có điểm chung.
Bổ đề 20. (Bổ đề ba hình thang) Nếu ba đường thẳng AB, CD, X Y đôi
một không trùng nhau và ABY X , DCY X là hình thang thì ABCD cũng
là hình thang.


3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó

7

Chứng minh. Gọi Z là giao điểm của X Y và BC . Có bốn trường hợp
cần xem xét.
Trường hợp 1. Z = Y (h.5).
B

A

X

Y =Z

D

C

h.5

Vì Z = Y nên Y thuộc BC . Do đó BY ≡ BC ≡ CY . Vì ABY X và DCY X
là hình thang nên, theo bổ đề 18, A, X / BY và D, X / CY . Vậy A, D / BC
(1).
Vì ABY X và DCY X là hình thang nên AB ∥ X Y và CD ∥ X Y . Kết
hợp với AB ≡ CD , ta có AB ∥ CD (2).
Từ (1) và (2), theo bổ đề 18, suy ra ABCD là hình thang.
Trường hợp 2. Z = X (h.6).
B

A

Y

X =Z

D

C

h.6

Vì Z = X nên X thuộc BC . Do đó BX ≡ BC ≡ C X . Vì ABY X và DCY X
là hình thang nên, theo bổ đề 18, A / BX / Y và D / C X / Y . Vậy A, D / BC
(1).
Vì ABY X và DCY X là hình thang nên AB ∥ X Y và CD ∥ X Y . Kết

hợp với AB ≡ CD , ta có AB ∥ CD (2).
Từ (1) và (2), theo bổ đề 18, suy ra ABCD là hình thang.
# »
Trường hợp 3. Z thuộc tia X Y và Z = Y (h.7).


8

1. Hướng của đoạn thẳng

B

A

X

Y

Z

D

C

h.7

Vì ABY X và DCY X là hình thang nên, theo chú ý 4, BA X Y và
CD X Y cũng là hình thang. Do đó, theo bổ đề 18, B, Y / A X và C, Y / D X .
# »
Từ đó, chú ý rằng Z thuộc tia X Y , suy ra B, Z / A X và C, Z / D X . Kết

hợp với AB ∥ X Z và CD ∥ X Z , theo bổ đề 18, suy ra BA X Z và CD X Z là
hình thang. Vậy, lại theo chú ý 4, ABZ X và DCZ X cũng là hình thang.
Do đó, theo trường hợp 1, ABCD là hình thang.
# »
Trường hợp 4. Z thuộc tia đối của tia X Y (h.8).
B

A

Z

D

h.8

X

Y

C

Vì ABY X và DCY X là hình thang nên, theo bổ đề 18, A, X / BY và
# »
D, X / CY . Từ đó, chú ý rằng Z thuộc tia đối của tia X Y , suy ra A, Z / BY
và D, Z / CY . Kết hợp với AB ∥ Y Z và DC ∥ Y Z , lại theo bổ đề 18, suy ra
ABY Z và DCY Z cũng là hình thang. Do đó, theo trường hợp 2, ABCD
là hình thang.
Bổ đề 20 khẳng định sự hợp lý của các định nghĩa 21, 22.
# » # »
Định nghĩa 21. Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD được gọi là cùng

hướng nếu tồn tại đoạn thẳng-khác không X Y sao cho các tứ giác ABY X
và CDY X là hình thang (có thể là hình thang-không) (h.9, h.10, h.11,
h.12, h.13, h.14).


3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó

B

A

A

Y

h.9

X

B

A

D

C

B

D

C

X

9

Y

h.10
C=D

A

B

C=D

X

Y

X

Y

h.12

h.11

A=B=C=D

A=B
C=D

X

Y

X

Y

h.14

h.13

# » # »
# » # »
Để biểu thị AB, CD cùng hướng, ta viết AB ↑↑ CD .
# » # »
Định nghĩa 22. Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD được gọi là ngược
hướng nếu tồn tại đoạn thẳng-khác không X Y sao cho các tứ giác ABY X
và CD X Y là hình thang (có thể là hình thang-không) (h.15, h.16, h.17,
h.18, h.19, h.20).
B

A

A

D

X

h.15

Y

D

C

B

C

X

h.16

Y


10

1. Hướng của đoạn thẳng

B

A

C=D

A

B

C=D

X

Y

X

h.17

h.18

Y

A=B=C=D

A=B
C=D

X

Y

h.19

X

h.20

Y

# » # »
# » # »
Để biểu thị AB, CD ngược hướng, ta viết AB ↑↓ CD .
# » # »
Định nghĩa 23. Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD được gọi là cùng
phương nếu chúng hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.
# » # »
# » # »
Để biểu thị AB, CD cùng phương, ta viết AB ∥ CD .
# » # »
Định nghĩa 24. Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD được gọi là bằng
nhau nếu chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau.
# » # »
# » # » # »
Để biểu thị AB, CD bằng nhau (khác nhau), ta viết AB = CD ( AB =
# »
CD ).
3.2. Các định lí.
Định lí 25. Đoạn thẳng định hướng-không cùng hướng với mọi đoạn
thẳng định hướng.
# »

# »
Chứng minh. Giả sử A A là đoạn thẳng định hướng-không và BC là
đoạn thẳng định hướng bất kỳ. Có hai trường hợp cần xem xét.
Trường hợp 1. B = C (h.21).
Dựng đường thẳng X Y không đi qua A = A và B = C . Vì A AY X và
# » # »
BCY X cùng là hình thang-không nên A A ↑↑ BC .


3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó

A=A

11

A=A

B=C
B

Y

X

C

Y

X

h.22

h.21

Trường hợp 2. B = C (h.22).
Dựng đường thẳng X Y không đi qua A = A và song song với BC sao
cho BCY X là hình thang. Vì A AY X là hình thang-không và BCY X là
# » # »
hình thang nên A A ↑↑ BC .
Định lí 26. Đoạn thẳng định hướng-không ngược hướng với mọi đoạn
thẳng định hướng.
# »
# »
Chứng minh. Giả sử A A là đoạn thẳng định hướng-không và BC là
đoạn thẳng định hướng bất kỳ. Có hai trường hợp cần xem xét.
Trường hợp 1. B = C (h.23).
Dựng đường thẳng X Y không đi qua A và B = C . Vì A AY X và BC X Y
# » # »
cùng là hình thang-không nên A A ↑↓ BC .
A=A

A=A

B=C
C

Y

X

h.23

B

Y

X

h.24

Trường hợp 2. B = C (h.24).
Dựng đường thẳng X Y không đi qua A = A và song song với BC sao
cho BC X Y là hình thang. Vì A AY X là hình thang-không và BC X Y là
# » # »
hình thang nên A A ↑↓ BC .
Định lí 27. Đoạn thẳng định hướng-không cùng phương với mọi đoạn
thẳng định hướng.