SH thuc ND tinh chat cua phan nguyen trong cac bai toan day so

VẬN DỤNG TÍNH CHẤT PHẦN NGUYÊN
TRONG CÁC BÀI TOÁN CỦA DÃY SỐ
Nguyễn Đình Thức
Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định
Khi quan tâm khảo sát bài toán số học của dãy số , ta thấy có vấn đề đặt ra là :
1/ Khi dãy số đã cho có công thức chứa biểu thức phần nguyên; phần thập phân thì giải
các bài toán về dãy số đó thực hiện ra sao?
2/ Biến đổi dãy số bất kỳ quy về dãy số có công thức chứa biểu thức phần nguyên; phần
thập phân như thế nào ?

Phần 1: GIẢI CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ CÓ CHỨA BIỂU THỨC PHẦN
NGUYÊN; PHẦN THẬP PHÂN
Một số thí dụ sau đây trình bày cụ thể giải pháp xử lý
Thí dụ 1 : (Olympic Canada;1996)
Cho các số hữu tỉ dương r1; r2 ;...;r 2015có tổng bằng 1 và dãy số xn  gồm các số
thực xác định như sau

2015

xn  n   nrk  ; n  Z 
k 1

( x là phần nguyên của biễu diễn thập phân số thực x)
Xác định gía trị lớn nhất và bé nhất của các giá trị xn
Giải : Theo định nghĩa phần nguyên ta có nrk   nrk và giả thiết
2015

2015

2015

k 1

k 1
2015

k 1

2015

r
k 1

k

1

  nrk    nrk  n  rk  n.1

 xn  n  nrk   0 . Min xn =0 đạt khi n=0
k 1

Mặt khác theo định nghĩa phần nguyên ta có nrk 1  nrk  và giả thiết
2015

2015

2015

2015

k 1

k 1

k 1

k 1

2015

r
k 1

k

1

 xn  n   nrk   n  rk   nrk    (nrk  nrk )  1  1  ..  1  2015

Max xn =2014
Thí dụ 2 : (IMO- 1968). Cho dãy số an  gồm các số nguyên xác định như
sau

 k  2n 1 
; n  Z 
an 1  

n
 2 

( x là phần nguyên của biễu diễn thập phân số thực x)


Chứng minh rằng

a
i 1

 k  20 

i

 k (k nguyên dương cho trước)

 k  21 

 k  22 

(  1  +  2  +  3  +….=k)
 2   2   2 
Giải : Bài toán chứng minh bằng quy nạp
1  20  1  21  1  22 
Rõ ràng bài toán đúng khi k=1 vì  1  +  2  +  3  +….=1
 2   2   2 


Giả sử bài toán đúng với mọi số nhỏ hơn k. Ta chứng minh bài toán đúng cho k
Đến bước quy nạp ta chia số k thành 2 trường hợp k chẵn hoặc k lẻ
Vận dụng biễu diễn k trong hệ nhị phân
Giả sử k= at at1...a1a0 2  2at at1...a1 2  a0

Nếu k=2m thì a0 =0 ; m= at at 1...a1 2
Nếu k=2m+1 thì a0 =1 ; m= at at 1...a1 2
Trở lại bài toán

 k  2i   2m  a0  10...02 (i sô 0)   2m  10...02 (i sô 0)
a0
 2i 1    100...0 (i  1 sô 0)    100...0 (i  1 sô 0)  100...0 (i  1 sô 0) 

 
2
2
2
 

 2m  1...02 (i sô 0)   m  1...02 (i  1 sô 0) 

   10...0 (i sô 0) 


10
...
0
(
i

1
sô
0
)
2

2

 


 k  21   k  22 
 k  102   k  100 2 
 m  12   m  102 
  2  +  3  +….= 

 ...  



  ...
 2   2 
 100 2   1000 2 
 102   100 2 
 m  12   m  102   m  100 2 
Sử dụng giả thiết quy nạp cho m

  ..
10
100
1000
2 
2 
 2  


 m  20   m  21   m  22 
 +  2  +  3  +….=m
1
 2   2   2 

=
 k  21 

 k  22 

Vậy  2  +  3  +….=m (*)
 2   2 
 k  20 

Mặt khác  1  =m+a0 (**)
 2 
 k  20 

 k  21 

 k  22 

Cộng (*) và (**) ta có  1  +  2  +  3  +….=2m+a0=k
 2   2   2 
Thí dụ 3: Cho dãy số an  gồm các số nguyên xác định như sau
an  log1 2015 e; n  Z 
( x là phần nguyên của biễu diễn thập phân số thực x)
Tìm số hạng an sao cho phương trình 2015 x  x  an có nghiệm x  1;2
n

Giải : an  log1 2015 e  


 

ln e
1

n 
n
n
 ln(1  2015 )   ln( 2015  1)  ln 2015 
1
Xét hàm f(x)=lnx  f ' ( x) 
x
n

Theo định lý Lagrăng ;
f (2015 n  1)  f (2015 n ) ln( 2015 n  1)  ln( 2015 n )
c  (2015 ;2015  1) / f ' (c) 

2015 n  1  2015 n
1
 1 
 an  
  c
 f ' (c ) 
n

n

Theo định nghĩa phần nguyên ta có :


Do c  (2015 n ;2015 n  1)  c  2015 n  an  2015 n
Khi đó PT 2015 x  x  an  2015 x  x  2015 n  0
Xét g ( x)  2015 x  x  2015n liên tục và đồng biến trên 1;2
g(x) có nghiệm trong 1;2  g(1)  0  g (2)  2015  1  2015n  0  20152  2  2015n
 2015  1  2015 n  2015 2  2 (*)



1
2
 ln( 2015  1)  ln 2015 

(*) đúng khi n=2 và a2  

2

Thí dụ 4 : (Đề vô địch Nam Tư; 1983)
Cho dãy số an  gồm các số nguyên xác định như sau
3 
an 1   an  ; n  Z 
2 

( x là phần nguyên của biễu diễn thập phân số thực x)
Chứng minh rằng dãy số có vô hạn số chẵn
Giải :

Giả sử dãy số trên có hữu hạn các số chẵn
 Tồn tại chỉ số đủ lớn N sao cho n  N ta có an lẻ (*)
Xét số hạng lẻ an  2 p.q +1(q lẻ)
Do tính chất phần nguyên a  r   a  r ; a  Z
3
3  3
 
 an 1   an    .(2 p q  1)  3.2 p 1 q    3.2 p 1 q  1
2
2  2
 
3
3
3
Tương tự an  2   an 1    .(2 p 1 q  1)  3.2 p  2 q    3.2 p  2 q  1 ;…
2
2
 2
 
3

an  m   an  m 1   3.2 p  m q  1
2

Khi m=p thì an  p  3.q  1là số chẵn . Điều này trái với (*)

Vậy dãy số trên có vô hạn các số chẵn
Thí dụ 5 : Cho các số nguyên dương a;b trong đó a và 2015 nguyên tố cùng
an  b 
;

 2015 

nhau và dãy số xn  gồm các số thực xác định như sau xn  

n  Z  ( x là phần thập phân của biễu diễn thập phân số thực x)
2015

Tính tổng các số hạng: S   xk
k 1

Giải : Thực hiện phép chia cho 2015 ta có a.1  b  2015.q1r1;0  r1  2015 ;
a.1  b
r
r
a.2  b
r
r
 a.1  b 
 a.2  b 
 q1  1 ; 1  
 q2  2 ; 2  
 tương tự
…
2015
2015 2015  2015 
2015
2015 2015  2015 
2015
2015
r

S   xk   k
k 1
k 1 2015
Do UCLN(a;2015)=1 và n chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ mod 2015



 an  b chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ mod 2015
 rn chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ mod 2015
2015

rk
0
1
2014 2015 .2014


 ... 

 1007
2015 2015
2015
2.2015
k 1 2015

S

Thí dụ 6 : (IMO- 1996) Cho dãy số (an) có a1=0; an= a n   (1)

n ( n 1)

2

, n  Z 

2
 

( x là phần nguyên của biễu diễn thập phân số thực x)
Xác định giá trị lớn nhất của an khi n  1996
Hướng dẫn :
Giả sử n= ak ak 1...a1a0 2  2ak ak 1...a1 2 a0
n
;a  0
n
   2 0
Khi đó    
 ak ak 1...a1 2 =m
 2   n  1; a  1
0
 2
Kí hiệu un là tổng số các cặp 00 hoặc 11 trong biễu diễn của n trong hệ nhị phân

vn là tổng số các cặp 00 hoặc 11 trong biễu diễn của n trong hệ nhị phân

Ta có kết quả an  un  vn (**)
N=1=12 thì u1  v1  0 suy ra (**) đúng vì a1=0
Giả sử (**) đúng với mọi p=1;2;2;…;n-1.
Ta chứng minh (**) đúng với p=n
Ta chia 2 trường hợp
Trường hợp 1 : n  0(mod 4)  n  3(mod 4) tức là n= ak ak 1...002 hoặc n= ak ak 1...112

Theo công thức (*) và giả thiết quy nạp thì
an  a n   1  u n   v n   1
2
 

2
 

2
 

Do u  n  =un-1; v n  =vn; vậy an  un  vn
2
 

2
 

Trường hợp 2: n  1(mod 4)  n  2(mod 4) tức là n= ak ak 1...012 hoặc n= ak ak 1...102
Theo công thức (*) và giả thiết quy nạp thì
an  a n   1  u n   v n   1
2
 

2
 

2
 

Do u  n  =un ; v n  =vn-1; vậy an  un  vn
2
 

2
 

1996=111110011002 có 7 chữ số 1
nên các số n  1996 cũng có nhiều nhất là 9 số 1
số 1023 có un=9 và vn=0 nên an  un  vn =9
Vậy giá trị lớn nhất của an=9 khi n=1023


Thí dụ 7 : (Đề dự tuyển IMO;Thụy Điển đề nghị)
Cho dãy số an  gồm các số thực xác định như sau an  10n. 2; n  Z 
( x là phần thập phân của biễu diễn thập phân số thực x)
Chứng minh rằng dãy số có tính chất đơn ánh
Giải : Ta thấy 10n. 2  là số vô tỷ (do 2 là số vô tỷ)
Xét biễu diễn trong hệ thập phân có 2  1, k1k2 ....kn ...
k1 k2
k
k
 2  ....  nn   nn11  ...)
10 10
10
10
n
phần thập phân 10 . 2 = 0, kn 1kn 2.......

Suy ra 10 n. 2  10n (1 





Giả sử tồn tại 2 số hạng 10i. 2 = 10k. 2  suy ra 0, ki 1ki  2 .......= 0, kk 1kk  2.......
Khi đó ki  a = kk  a với a=1;2;3;…..
Khi đó xét 2  1, k1k2 ....kn ... là số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ i  k vô lý





Thí dụ 8 : Cho dãy số thực an  xác định như sau an  2  3  ; n  Z 
( x là phần thập phân của biễu diễn thập phân số thực x)
an
Tính giới hạn: A= nlim
 
n

Giải :
n
n
Xét tổng sn  2  3   2  3  là một số nguyên



 2 3

Mặt khác

  2  3   1 (*)
n

n

  2  3   lim 2  3   lim 2  3   0 (**)
Từ (*) và (**)  A= lim a  1  lim 2  3   1






n

0  2  3 1 2  3

n

n

n

n  

n

n  

n

n  

n

n  

Thí dụ 9 : (Đề tác giả sáng tác gửi HĐ thi Olympíc 30-4;2015)
Cho dãy số an  gồm các số thực xác định như sau
a1  3; an 1 

an  2an 
; n  Z 
2
an 
2

2

( x và x tương ứng là phần nguyên và thập phân trong biễu diễn thập
phân của số thực x)
an
Tính giới hạn: A= nlim
 
a  2an 
Giải : an1  n
an 2
2

2

2
2
2
a   a 
a1  2a1
(a1   a1)2  2a1
Suy ra a2 

 1  2 1   1 
2
2
a1   a1  
a1 
a1 

 
 


2
 a 
3 
 2  1  1   2  1 
 2  1  3

3 
 a1  


Suy ra 1  a2  2 . Giả sử 1  an  2  an   1  an   an
2

2

  

2


Xét

an 1 

an  2an 
an  2(an  1)2
2

 an  4an  2
2
2
1
an 
2

2

2

 2  an 1  (2  an )2  ...  (2  a2 )2

n 1

n1

Do 0  2  a2  1  lim (2  a2 )2  0  lim an  2
n 

n 

Thí dụ 10 : Cho f(x) là đa thức bậc 3 có hệ số nguyên và hệ số ứng với số
mũ cao nhất bằng 1. Biết f(0)+f(1)+f(-1) không chia hết cho 3
3 f (n) 
Tính giới hạn: A= nlim
 
( x là phần thập phân của biễu diễn thập phân số thực x)
Giải : Giả sử f(x)= x3  ax2  bx  c; a; b; c  Z
f(0)+f(1)+f(-1)=2a+3c không chia hết cho 3
 a không chia hết cho 3. Vậy a=3k+r; r  1;2
f(n)= n3  (3k  r)n2  bn  c  (n  k )3  rn2  (b  3k 2 )n  c  k 3
Ta chứng minh được khi n đủ lớn ta có
(n  k )3  f (n)  (n  k  1)3

Theo định nghĩa phần nguyên ta có
 A  lim



n  

 lim



n   3



3



f (n)  lim

n  



3



3





f (n)  n  k

f (n)  n  k  lim



n   3



f ( n)  ( n  k ) 3

2

f ( n )  ( n  k ) 3 f ( n)  ( n  k ) 2

rn 2  bn  c  3nk 2  k 3



2

f ( n)  ( n  k ) 3 f ( n)  ( n  k ) 2

r a 
 
3 3

Bài tập
Bài tập 1 (Vô địch Thụy Điển, 1982) Với mỗi n  N , hãy xác định
số nghiệm trên đoạn 1; n của phương trình x 2  x 2   x2
Bài tập 2 (Olympic 30.4 lần thứ 13, 2007, lớp 11. Đề thi đề nghị

TrườngTHPT chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị) Tìm tất cả các số thực
x  0 sao cho
x, x, x, theo thứ tự ấy, lập thành cấp số nhân.
Bài tập 3 (Thi học sinh giỏi toán PTTH toàn quốc lần thứ 17, 1979)

Tìm tất
cả
nhữngsố
sao cho phương
trình sau
2
có hai nghiệm số phân biệt không âm. x  2xx  x    0
Bài tập 4
a/ Phương trình x  1977x  1978 có bao nhiêu nghiệm?
b/Chứng minh rằng với mọi số thực q và với mọi số thực p  0 thì phương
trình x  px  q sẽ có  p  hoặc  p   1 nghiệm


Bài tập 5 (Olympic Czech and Slovakia, 1998).Tìm x  R sao cho

xxxx  88

Bài tập 6 (Olympic Belarus, 1999). Chứng tỏ rằng phương trình
x3 y3 z3có vô số nghiệm nguyên.
Bài tập 7 (Vô địch Australia, 1999) Giải hệ phương trình
 x   y   z  200,0

x  y  z   190,1
x  y  z  178,8


Bài tập 8 (Olympic 30.4 lần thứ 13, 2007, lớp 11. Đề thi đề nghị,
n
Chu Văn An, Ninh Thuận) Cho dãy số xn xác định
THPT
 xn 
bởi công thức xn  4n2  38n với n  N . Tìm nlim

Bài tập 9 (Olympic USA lần thứ 26, 1997) Cho p1, p2 , ...là các số
nguyên tố được viết theo thứ tự tăng dần và cho 0  x0  1 . Với mọi k
0 khi xk 1  0
nguyên dương, ta định nghĩa xk   pk 
.Tìm tất cả các x0
 x khi xk 1  0
 k 1 

sao cho xk tiến đến 0.
Bài tập 10 (Chọn đội tuyển Quốc gia, 2008) Cho dãy số {xn } xác
định bởi
x1  1; xn 1  xn 

2
 n xi 
xn
.Tính nlim
 x 

2008
 i 1 i 1 

Phần 2:
BIẾN ĐỔI DÃY SỐ BẤT KỲ QUY VỀ
DÃY SỐ CÓ CHỨA BIỂU THỨC PHẦN NGUYÊN
Sử dụng phương pháp đánh giá để xác định các số hạng của dãy số có dạng
của biểu thức chứa phần nguyên . Từ đó giải quyết bài toán này như đã trình
bày ở phần 1
Thí dụ 1 : Cho dãy số an  gồm các số nguyên xác định như sau
( n  1)2  an  n, n  Z 
2

Tính tổng các số hạng S 

20152 1

a
k 1

k

Giải : Ta có: ( n  1)2  an 2  n
 an  n  an  1

 

Theo định nghĩa phần nguyên  an  n

  3 ...   2015  1
Tổng S được chia thành nhóm 1   2   3  có 3 số hạng; mỗi số hạng bằng 1;
 4   5   6   7   8  có 5 số hạng mà mỗi số hạng bằng2 ;…….

 a  1  

2015 1
2

S

k 1

2 

k

2

 2014   2014  1 ..   2015  1 có ( 2015
2

2

2

2

 1 )  (2014 2  1)

 2015 2  2014 2  2.2014  1 số hạng mà mỗi số hạng bằng 2014
 S  3.1  5.2  ...  (2.2014  1).2014  2(12  22  ..  2014 2 )  (1  2  .  2014)

2014.2015.4029 2014.2015


6
2
Thí dụ 2 : Cho dãy số an  xác định như sau
 2.

a1  1; a2  a3  2; a4  a5  a6  3;....

(có 1 số 1; 2 số 2; 3 số 3;…)

Tính giá trị a2015
Giải : Ta chia các số hạng của dãy số trên thành các nhóm:
Nhóm thứ 1 có 1 số hạng và có giá trị bằng 1
Nhóm thứ 2 có 2 số hạng và có giá trị bằng 2….
Nhóm thứ k có k số hạng và có giá trị bằng k
Ta cần xác định số thứ tự của nhóm chứa a2015
k (k  1)
2
k (k  1)
-Số lượng số hạng có từ nhóm 1 đến nhóm k là :1+2+…+k=
2
Giả sử a2015 thuộc nhóm thứ k khi đó chỉ số 2015 thỏa

-Số lượng số hạng có từ nhóm 1 đến nhóm k-1 là :1+2+…+(k-1)=


k (k  1)
k (k  1)
 2015 
 k (k  1)  4030  k (k  1)

2
2
2

2

1 1
1 1
1
1
1


  k     4030   k     k   4030   k 
2 4
2 4
2
4
2


 4030 

1 1
1 1
  k  4030  
4 2
4 2


1

1

Theo định nghĩa phần nguyên có k=  4030     63
4 2




Thí dụ 3 : Cho dãy số an  gồm các số nguyên xác định như sau
a1  2

3
3

 2 an  1  an 1  2 an , n  Z

Chứng minh rằng dãy số trên có vô hạn các số lẻ
3
3
an  1  an 1  an  an 1  3 an  an 1  1
Giải : Ta có:
2
2
2
Theo định nghĩa phần nguyên   an   an 1
2 
Giả sử dãy số trên có hữu hạn các số lẻ
 Tồn tại chỉ số đủ lớn N sao cho n  N ta có an chẵn (*)

Xét số hạng chẵn an  2 p.q (q lẻ)
3

Do an 1   an    .2 p q  3.2 p 1 q  3.2 p 1 q
2  2

3

3

Tương tự an  2   an 1    .2 p 1 q  3.2 p  2 q  3.2 p  2 q ;…
2
 2

3

3

3

an  m   an  m 1   3.2 p  m q
2

Khi m=p thì an  p  3.q là số lẻ . Điều này trái với (*)

Vậy dãy số trên có vô hạn các số lẻ
Thí dụ 4 : Cho dãy số an  gồm các số thực xác định như sau
an  3 6  3 6  ...  3 6 (n dấu căn) n  Z 

n2014an

n  2n2015  1

Tính giới hạn: A= lim
Giải

Ta có an  3 6  3 6  ...  3 6  an 1  3 6  an
Rõ ràng a1  a2 ; Giả sử ak 1  ak  3 6  ak 1  3 6  ak  ak  ak 1
Theo nguyên lí qui nạp ta kết luận ( an ) tăng
 n  Z  ; an  a1  1 . (*)


Mặt khác ta có a1  2 . Giả sử ak  2  3 6  ak  3 6  2  2  ak 1  2
Theo nguyên lí qui nạp ta kết luận n  Z  ; an  2 .(**)
Theo định nghĩa phần nguyên thì từ (*) và (**) suy ra phần nguyên an   1
n2014an 
n2014(an   1)

0
;
lim
 0; an   an  an   1
n  2n2015  1
n 
2n2015  1
n2014a
 lim 2015 n
n  2n
1
lim

Bài tập
Bài tập 1 (Olympic 30.4 lần thứ 13, 2007, Đề thi đề nghị, THPT
chuyên
Thăng Long, Đà Lạt) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

 1  2  ...   x  
2

  x  2  5190

x2  1 

2

Bài tập 2 (Olympic Anh, 1975) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn phương
trình:

 1  2  ...  
3

  x  1 400

x3  2 

3

3

3

3

Bài tập 3 (Olympic 30.4 lần thứ 15, 2009, lớp 10. Đề thi đề nghị,
THPT
chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định) Tìm số nguyên dương n thoả mãn

 1  2  ...   n
3

3

3

3

  n  1 85n

2 

3

3

2

Bài tập 4 Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn phương trình

 1  2  ...  
3

3

3

  x  1  y

x3  2 

3

3

Bài tập 5 (Olympic 30.4 lần thứ 9, 2003, lớp 10. THPT Bến tre) Tìm số
n
nguyên dương sao cho

 1  2  ...   n
3

3

3

3



 2n  4  7225

Sử dụng công thức phần nguyên về tính số lượng bội số của q trong dãy số
tự nhiên để xác định tính chất các số hạng của dãy số
Thí dụ 5 : Cho dãy số an  gồm các số thực xác định như sau
n!
, n  Z  với k nguyên dương cho trước
nk
2
Tìm k bé nhất để a2015 là 1 số nguyên
2015!
Giải : Ta có: a2015  2015 k
2
an 

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì số mũ của 2 là
 2015   2015   2015 
 2015 
m



...

2
3
 210 
 2   2   2 
 1007  503  251  125  62  31  15  7  3  1  2005
a2015 là 1 số nguyên  2005  2015  k  k  10
 k=10 là số bé nhất để a2015 là 1 số nguyên

Thí dụ 6 : Cho dãy số an  gồm các số thực xác định như sau

n!
, n  Z 
25
10
Có bao nhiêu số n  N để an là 1 số nguyên có chữ số tận cùng khác 0
n!
Giải : Ta có: an  25
10
là
1
số
nguyên
có chữ số tận cùng khác 0
an
an 

 n! viết trong hệ thập phân có tận cùng đúng 25 chữ số 0
 n! 525.225.q trong đó q không là bội của 10

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì số mũ của 2 ;5 là
n  n   n 
n
i      2    3   ...   k   ...;
2 2  2 
2 

n  n   n 
n

j      2    3   ...   l   ...
 5  5  5 
2 

So sánh i;j có i>j
Theo yêu cầu bài toán thì 25 chính là số mũ j của 5
n  n   n 
n
     2    3   ...   l   ..  25 (*)
 5  5  5 
2 
n  104 thì vế trái(*)  24 (loại)
n  110 thì vế trái(*)  26 (loại)

Chỉ có 5 giá trị n=105;106;107;108;109 thỏa (*)
Có 5 số nguyên dương n để an là 1 số nguyên có chữ số tận cùng khác 0
Thí dụ 7 : Cho dãy số an  gồm các số nguyên từ 2000 đến 2015 . Hỏi có
bao nhiêu số nguyên an không chia hết cho 1 trong các số 3;4;5
Giải :
Xét dãy số nguyên từ 1000 đến 2015 có 1016 số hạng


 

-số lượng các số chia hết cho 3 là A  

 671  333  334

 3   3 
2015

999

2015   999 
-số lượng các số chia hết cho 5 là B  

 403  199  204
 5   5 
 

-số lượng các số chia hết cho 4 là C  

 501  249  252

 4   4 
2015

999

2015   999 
-số lượng các số chia hết cho 15 là A  B  

  134  66  68

 15   15 
2015   999 
-số lượng các số chia hết cho 12 là A  C  

 167  83  84
 12   12 

2015   999 
-số lượng các số chia hết cho 20 là B  C  

 100  49  51
 20   20 
2015   999 

 33  16  17
-số lượng các số chia hết cho 60 là A  B  C  
 60   60 
Số lượng số nguyên an từ 1000 đến 2015 không chia hết cho 1 trong các số

3;4;5 là
1016-( A + B + C ) +( A B + A  C + B  C ) - A  B  C
=1016-790+203-17=412
Bài tập
Bài tập 1 (Olympic 30.4 lần thứ 14, 2008, THPT chuyên Lê Quý Đôn BĐ)
Có bao nhiêu số nguyên dương n  2008 thoả mãn C2nn không là bội của 4.
Bài tập 2 Tìm luỹ thừa cao nhất k của 7 mà 1000! có thể chia hết cho 7k .
Bài tập 3 Chứng minh rằng 1300! chia hết cho 16953 .
Bài tập 4 (Thi học sinh giỏi các vùng của Mĩ, 1986) Tìm số nguyên
dương nhỏ nhất N sao cho N ! chia hết cho1212
Bài tập 5 Cho (n -1)! chia hết cho n. Chứng minh n không nguyên tố.
Bài tập 6 Trong các số tự nhiên từ 1 đến 250 có bao nhiêu số không chia
hết cho đúng hai trong ba số 2, 5, 7.
Bài tập 7 Trong các số tự nhiên từ 1 đến 10 6 có bao nhiêu số đồng thời
không chia hết cho 6, 9, 15 .
Bài tập 8 (Thi học sinh giỏi Quốc gia, 1995) Tìm số tự nhiên lớn nhất k
thỏa mãn điều kiện: 1994!1995 chia hết cho 1995k
Bài tập 9 (Thi học sinh giỏi bang New York, 1986) Khi biểu diễn trong

hệ đếm cơ số 8, N ! được kết thúc bởi đúng 21 chữ số 0. Hãy tìm số nguyên
dương lớn nhất N có tính chất này (tìm biểu diễn của N trong cơ số 10).


Sử dụng đại lượng liên hợp để tìm phần nguyên của số hạng chứa căn thức
và xét tính chất khác của các số hạng trong dãy số nguyên
Thí dụ 8 : Cho dãy số an  gồm các số nguyên xác định như sau

2  3 1  a  2  3 ,n  Z
n

n



n

Chứng minh rằng số hạng a2015 của dãy số trên là số lẻ

Giải : Ta có: 2  3   1  an  2  3 
n



n







n
n
 an  2  3  an  1  an   2  3 


2015

 a2015   2  3







Xét dãy số nguyên sn  : sn  2  3   2  3 
Mà 2  3   2  3   4; 2  3 2  3   1
n

n

 sn  2  4sn 1  sn
 sn  4  4sn 3  sn  2  4sn 3  (4sn 1  sn )  sn  4  sn 2

Mà 2015=4.503+3  s2015  s3 2
s3  4s2  s1  4.14  4  52  2
 s2015  2 (*)

Mặt khác

   2  3 1  2  3
 2  3   = s 1(*)



s2015 1  2  3
 a2015

2015

2015

2015

 s2015

2015

2015

Từ (*) và (**) suy ra a2015 là số lẻ
Thí dụ 9 : Cho dãy số an  gồm các số nguyên xác định như sau

5  2 6  1  a  5  2 6  , n  Z
n

n



n

Tìm chữ số hàng đơn vị của số hạng a2015 của dãy số trên

Giải : Ta có: 5  2 6  1  an  5  2 6 
n





n





n
n
 an  5  2 6  an  1  an   5  2 6 


2015

 a2015   5  2 6







Xét dãy số nguyên sn  : sn  5  2 6   5  2 6 
Mà 5  2 6   5  2 6   10; 5  2 6 5  2 6   1
n

n

 sn  2  10sn 1  sn
 sn  4  10sn 3  sn  2  10sn 3  (10sn 1  sn )  sn  4  sn 10

Mà 2015=4.503+3  s2015  s3 10
s3  10s2  s1  10.98  10  970 có tận cùng là 0


 s2015 có tận cùng là 0 (*)

Mặt khác


  5  2 6  1  5  2 6 
 5  2 6   = s 1(*)


2015

s2015  1  5  2 6
 a2015

2015

2015

 s2015

2015

2015

Từ (*) và (**) suy ra chữ số tận cùng của a2015 là 9
Thí dụ 10 : Cho dãy số an  gồm các số nguyên xác định như sau

3  p 

2n



 1  an  3  p



2n

, n  Z  với p nguyên tố

Tìm số p nhỏ nhất sao cho an  1 chia hết cho 2n 1 với mọi số tự nhiên n

Giải : Ta có: 3  p   1  an  3  p 
2n



2n







2n
 an  1  an   3  p 


Với p=2; nếu chọn n=2 thì a2  1  (11  6 2 )2  1  193  132 2  1  378 không
chia hết cho 23
Với p=3; nếu chọn n=1 thì a1  1  (3  3)2  1  12  6 3  1  23 không chia hết
cho 22

 an  3  p

2n

















Với p=5; Xét dãy số nguyên sn  : sn  3  5   3  5 
2n



 1
 s  1  3  5   3  5 
 3  5   = s  1


0  3 5

2n

2n

2n

2n

n



1  3  5



2n

 sn

2n

n

 an  1  sn

Mặt khác do sn  3  5   3  5 
2n

2n

3  5   3  5   28; 3  5  3  5   16
2

2

2

2

 sn  2  28sn 1  16sn

s1  2822 ; s2  75223
Giả sử sn 2n 1  sn 1 2n  2  sn  2  28sn 1  16sn 2n  3

Theo nguyên lý qui nạp có an  1  sn 2n 1; n  Z 
Vậy số nguyên tố nhỏ nhất là p=5 thỏa an  1 chia hết cho 2n 1 với mọi số tự
nhiên n


Bài tập

Bài tập 1 Chứng minh rằng trong biễu diễn thập phân của số 8  3 7  có
7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy
Bài tập 2 (Tạp chí toán học và tuổi trẻ ) Chứng minh rằng trong biễu diễn
n
thập phân của số 7  4 3  ; n  Z  có ít nhất n chữ số 9 sau dấu phẩy
7

Bài tập 3 (Tạp chí toán học và tuổi trẻ ) Chứng minh rằng trong biễu diễn
n
thập phân của số 5  2 6  ; n  Z  có n chữ số bằng nhau sau dấu phẩy

n
Bài tập 4 Tìm số mũ cao nhất của 2 trong phân tích 1  3  ; n  N thành



tích các thừa số nguyên tố
Bài tập 5 (Olympic 30.4 lần thứ 7, 2001, THPT Chuyên Trà Vinh) Tìm số
2001
nguyên k lớn nhất sao cho 1  3   chia hết cho 2k



Bài tập 6 (Olympic 30.4 lần thứ 15, 2009, THPT Quốc học Huế) Tìm số
dư khi chia 4  15   cho 8


n

Bài tập 7 (Olympic 30.4 lần thứ 10, 2004, THPT Lý Tự Trọng Cần Thơ )
Chứng minh rằng  3  2   không chia hết cho 5; n  Z 


2n

7
Bài tập 8 (Tạp chí toán học và tuổi trẻ ) Tính 4  15  



Bài tập 9(Olympic 30.4 lần thứ 7, 2001, THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu;
2001
An Giang) 45  2001  






KẾT LUẬN
Bài viết đã trình bày tương đối khái quát về d ã y s ố c ó
b i ể u t h ứ c phần nguyên và biến đổi đưa về dạng này. Đặc biệt các thí
dụ trình bày giải pháp xử lý các dạng toán có ch ứa phần nguyên trong
số học, đại số và giải tích. Nhiều vấn đề lí thuyết của phần nguyên
liên quan đến tính chia hết, nhị thức Newton, phương trình sai phân
và hệ đếm.
Chúng tôi hi vọng bài viết này là tài liệu để các giáo viên và
học sinh phổ thông quan tâm tham khảo.