Giải một số bài toán tiểu học hai đại lượng bằng phương pháp giả thiết tạm

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
2 KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

NGUYỄN THỊ HẢO

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
TIỂU HỌC HAI ĐẠI
LƢỢNG
BẰNG PHƢƠNG PHÁP GIẢ THIẾT
TẠM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa giáo dục Tiểu học, các
thầy cô trong trường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên. Đặc biệt, em xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã định hướng chọn đề
tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận này.
Do điều kiện thời gian nghiên cứu và vốn kiến thức còn hạn chế, chắc chắn đề
tài không tránh khỏi những thiếu s t. Em trân trọng cảm ơn đã nhận được
những ý kiến đ ng g p của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận của em
được hoàn thiện như hiện tại. Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Hảo


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa luận
tốt nghiệp “Giải một số bài toán Tiểu học hai đại lƣợng bằng phƣơng
pháp giả thiết tạm” được hoàn thành theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác
giả, không trùng với bất kì khóa luận nào khác.
Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Thị Hảo


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU......................................................................................................1
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN................................................................3
1.1. Bài toán có lời văn và lời giải...................................................................3
1.1.1. Quan niệm về bài toán...........................................................................3
1.1.2. Các yếu tố cơ bản của bài toán..............................................................3
1.1.3. Lời giải của bài toán..............................................................................3
1.1.4. Ý nghĩa của việc giải toán.....................................................................4
1.1.5. Bài toán có lời văn.................................................................................4
1.1.6. Các bước giải một bài toán có lời văn...................................................4

1.1.7. Một số phương pháp giải toán có lời văn..............................................5
1.2. Phương pháp giả thiết tạm........................................................................6
1.2.1. Thế nào là giả thiết tạm.........................................................................6
1.2.2. Phương pháp giả thiết tạm.....................................................................6
1.2.3. Các bước giải một bài toán bằng phương pháp giả thiết tạm................7
1.3. Ứng dụng phương pháp giả thiết tạm giải toán ở Tiểu học......................7
1.3.1. Đặc điểm tư duy toán học của học sinh Tiểu học..................................7
1.3.2. Việc sử dụng phương pháp giả thiết tạm ở Tiểu học............................8
1.4. Bồi dưỡng học sinh giỏi...........................................................................10
1.4.1. Mục đích của việc bồi dưỡng học sinh giỏi...........................................10
1.4.2. Một số biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán...................................10
1.5. Các bài toán hai đại lượng vận dụng phương pháp giả thiết tạm ở Tiểu
học...................................................................................................................11
Chƣơng 2: HƢỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP
GIẢ THIẾT TẠM GIẢI BÀI TOÁN HAI ĐẠI LƢỢNG.........................12
2.1. Ứng dụng phương pháp giả thiết tạm giải bài toán tìm số trung bình cộng.12
2.1.1. Kiến thức cần lưu ý...............................................................................12
2.1.2. Một số ví dụ...........................................................................................12
2.1.3. Bài tập tham khảo..................................................................................15
2.2. Ứng dụng phương pháp giả thiết tạm giải bài toán chuyển động đều......15
2.2.1. Kiến thức cần lưu ý................................................................................15
2.2.2. Các ví dụ................................................................................................16
2.2.3. Bài tập tham khảo..................................................................................19
2.3. Ứng dụng phương pháp giả thiết tạm giải bài toán về tuổi......................20
2.3.1. Kiến thức cần lưu ý................................................................................20


2.3.2. Một số ví dụ...........................................................................................20
2.3.3. Bài tập tham khảo..................................................................................21
2.4. Ứng dụng phương pháp giả thiết tạm giải bài toán về công việc chung . 21

2.4.1. Kiến thức cần lưu ý................................................................................21
2.4.2. Một số ví dụ...........................................................................................21
2.4.3. Bài tập tham khảo..................................................................................24
2.5. Ứng dụng phương pháp giả thiết tạm giải bài toán phân số, tỉ số phần
trăm24
2.5.1. Kiến thức cần lưu ý...............................................................................24
2.5.2. Một số ví dụ...........................................................................................25
2.5.3. Bài tập tham khảo..................................................................................27
2.6. Ứng dụng phương pháp giả thiết tạm giải bài toán nội dung hình học ... 27
2.6.1. Một số kiến thức cần lưu ý....................................................................27
2.6.2. Một số ví dụ...........................................................................................28
2.6.3.tập tham khảo.........................................................................................31
2.7. Ứng dụng phương pháp giả thiết tạm giải bài toán vui và toán cổ ở Tiểu
học 32
2.7.1. Một số ví dụ...........................................................................................32
2.7.2. Bài toán tham khảo................................................................................35
KẾT LUẬN................................................................................................. 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................37


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài. Bậc học Tiểu học là một bậc học quan trọng, bậc học
nền tảng đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành, phát triển đúng đắn, lâu dài
về thể chất, trí tuệ, thẩm mỹ của con người, đặt nền móng vững chắc cho giáo
dục phổ thông và cho toàn bộ hệ thống giáo dục quốc dân. Với quan điểm như
trên, giáo dục nói chung và giáo dục Tiểu học n i riêng đã vận động và
chuyển mình mạnh mẽ: nội dung ngày càng hiện đại, tính hệ thống ngày càng
cao, vấn đề đưa ra ngày càng sâu rộng, phương pháp dạy học ngày càng
phong phú và đa dạng phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo của học sinh,

góp phần đào tạo những con người đủ đức, đủ tài để phục vụ xã hội.
Với 9 môn học bậc Tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt, Toán học có vị trí và
ý nghĩa quan trọng, góp phần không nhỏ trong việc hình thành cho học sinh
một phương pháp tư duy riêng biệt để nhận thức thế giới và hỗ trợ cho việc
học các môn học khác được tốt hơn.
Nội dung môn Toán ở Tiểu học chia thành các mạch kiến thức cơ bản: số học,
đại lượng, hình học và giải toán có lời văn. Giải toán có lời văn là một mạch
kiến thức khó, mức độ khó của bài toán được nâng cao dần phù hợp với khả
năng nhận thức, trình độ của học sinh, giúp các em làm quen với các dạng bài
khác nhau. Vì vậy, việc định hướng cho học sinh xác định được dạng bài và
lựa chọn được phương pháp giải phù hợp là việc vô vùng quan trọng. Có rất
nhiều phương pháp giải toán và có những bài toán được giải bằng nhiều
phương pháp khác nhau, nhưng cũng c bài phải dùng phương pháp đặc trưng
thì mới giải được.
Phương pháp giả thiết tạm là một trong những phương pháp điển hình, một
thuật toán, một công cụ có hiệu quả để giải những bài toán có lời văn lớp 4, 5
. Khi giải bằng phương pháp này, sẽ giúp cho học sinh phát huy được cao độ
trí tưởng tượng, tư duy logic vì đòi hỏi người học có trí tưởng tượng phong
phú
1


và khả năng vận dụng linh hoạt. Tuy nhiên, phương pháp này chưa được quan
tâm, tìm hiểu và vận dụng linh hoạt vào trong quá trình dạy học và bồi dưỡng
học sinh giỏi. Được sự định hướng của TS. Nguyễn Văn Hào “Giải một số
bài toán Tiểu học hai đại lƣợng bằng phƣơng pháp giả thiết tạm” để hoàn
thành khóa luận tốt nghiệp.
Để có thể giải quyết được vấn đề đặt ra, chúng tôi chia bố cục khóa luận
thành 2 chương:
Chƣơng 1. Trong chương này, chúng tôi đưa ra cơ sở lí luận để hiểu thế nào

là giả thiết tạm, trình bày các bước để giải một bài toán, sự cần thiết hướng
dẫn học sinh biết vận dụng phương pháp giả thiết tạm để giả các bài toán hai
đại lượng cho học sinh ở Tiểu học.
Chƣơng 2. Đây là chương chính, trình bày những nội dung hướng dẫn học
sinh vận dụng một cách linh hoạt và thành thạo nhất phương pháp giả thiết
tạm giải các dạng toán c hai đại lượng trong toán chuyển động, toán tuổi, tìm
số trung bình cộng, bài toán công việc chung, phân số tỉ số phần trăm… và
một số bài toán tham khảo để học sinh luyện tập và củng cố.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. Phân loại các dạng bài tập và xây
dựng các bài toán, hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp giả thiết tạm để
giải các bài toán, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở Tiểu học.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu các bài toán giải bằng
phương pháp giả thiết tạm trong chương trình môn Toán Tiểu học.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu. Phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh và
xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn.


Chƣơng 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Bài toán có lời văn và lời giải
1.1.1. Quan niệm về bài toán. Theo từ điển Tiếng Việt: Bài toán là “vấn đề
cần giải quyết bằng phương pháp khoa học” . Theo G. Polya: “Bài toán đặt ra
sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt
được một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”. Theo
giáo trình phương pháp dạy học Toán của Đỗ Trung Hiệu, Nguyễn Hùng
Quang, Kiều Đức Thành: “Bài toán là bất cứ vấn đề nào của khoa học hay
cuộc sống cần được giải quyết”. Như vậy, bài toán là một sự đòi hỏi đạt được
mục đích nào đ . Với cách hiểu này bài toán đồng nhất với đề toán, bài tập,
câu hỏi, nhiệm vụ,….
1.1.2. Các yếu tố cơ bản của bài toán. Theo định nghĩa trên, ta thấy một bài

toán gồm hai yếu tố chính hợp thành
- Phần đã cho
- Phần cần tìm (cần làm sáng tỏ)
Phần đã cho, phần cần tìm có thể là những con số, những số đo đại lượng
cũng c thể là những quan hệ hay điều kiện nào đ .
1.1.3. Lời giải của bài toán. Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự
các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra. Ta thống nhất giữa lời
giải, cách giải, bài giải của bài toán.
Một bài toán có thể có một lời giải, không có lời giải hoặc có nhiều lời giải.
Giải được một bài toán là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài
toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lí giải tại sao bài toán là
không lời giải được trong trường hợp nó không có lời giải. Nhưng ở Tiểu học,
một bài toán thường có một hay nhiều lời giải, trường hợp không có lời giải
thường không có.


1.1.4. Ý nghĩa của việc giải toán. Giải toán c ý nghĩa to lớn và đ ng vai trò
quan trọng trong quá trình học toán của học sinh tiểu học, cụ thể:
- Giải toán củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh.
- Rèn luyện, phát triển tư duy, kĩ năng vận dụng kiến thức của học sinh.
- Bồi dưỡng và phát triển nhân cách cho học sinh.
1.1.5. Bài toán có lời văn. Giải toán có lời văn là một phần rất quan trọng
trong môn Toán Tiểu học. Việc tiến hành giải toán giúp vận dụng những kiến
thức về toán, rèn kĩ năng thực hành, nâng cao kĩ năng giải toán, cũng như
năng lực tư duy ở học sinh.
Trong giải toán có lời văn chúng ta luôn quan tâm đến một phần rất cơ bản
đ là bài toán có lời văn. Bài toán c chứa lời văn và phải dựa vào lời văn
để đưa ra phép tính được gọi là bài toán có lời văn.
Các bài toán có lời văn đơn giản chỉ có thể áp dụng ngay công thức, quy tắc là
có thể giải ra. Nhưng cũng c những bài toán phức tạp hơn không thể chỉ áp

dụng ngay công thức hay quy tắc để tính mà phải c các bước suy luận từ cái
đã biết để suy ra cái cần tìm.
1.1.6. Các bƣớc giải một bài toán có lời văn. “Tìm được cách giải một bài
toán là một điều phát minh” (G.Polya). Theo G. Polya, phương pháp chung
khi giải một bài toán được tiến hành qua 4 bước:
- Tìm hiểu đề bài;
- Lập kế hoạch giải;
- Thực hiện kế hoạch giải;
- Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải.
Bƣớc 1: Tìm hiểu đề bài. Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề
bài. Bước này gồm các hoạt động:
- Làm rõ phần đã cho và phần cần tìm
- Giải thích các thuật ngữ c trong đề bài
- Phân biệt những gì thuộc về bản chất và không thuộc bản chất


- Làm rõ mối liên hệ giữa những phần đã cho và phần cần tìm
Bƣớc 2: Lập kế hoạch giải toán. Hoạt động này thường diễn ra như sau:
- Minh họa bài toán bằng tóm tắt sơ đồ đoạn thẳng, dùng hình vẽ hay
dùng biểu đồ.
- Lập kế hoạch giải toán nhằm xác định trình tự giải quyết thực hiện
các phép tính số học.
Bƣớc 3: Thực hiện kế hoạch giải toán. Dựa vào kết quả phân tích bài toán,
thực hiện các phép tính để tìm ra đáp số của bài toán có kèm theo lời giải.
Bƣớc 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải. Về nguyên tắc, bước này
không phải là bước bắt buộc khi trình bày lời giải bài toán và học giải bài
toán, bước này có mục đích:
- Kiểm tra, rà soát lại công việc giải toán
- Tìm các cách giải khác và so sánh các cách giải
- Khai thác bài toán: tạo ra bài toán ngược với bài toán đã cho rồi giải

bài toán ngược đ .
Tuy nhiên đây chỉ là các bước giải một bài toán cơ bản. Trong thực tế, khi học
toán học sinh gặp rất nhiều bài toán khó dễ khác nhau không thể tuần tự 4
bước trên mà giải ngay được. Khi gặp các bài toán như vậy cần phải có một
phương pháp giải toán cụ thể để giải. Và qua tìm hiểu nghiên cứu, các chuyên
gia toán học đã thấy rằng trong toán Tiểu học có rất nhiều phương pháp giải
toán có lời văn khác nhau.
1.1.7. Một số phƣơng pháp giải toán có lời văn. Trong hoạt động giải toán,
học sinh Tiểu học cần c các kĩ năng cơ bản là nhận dạng bài toán và lựa
chọn phương pháp giải phù hợp. Các bài toán khác nhau ở Tiểu học được lựa
chọn và sử dụng các phương pháp giải khác nhau. Thông thường, phương
pháp được lựa chọn sẽ là phương pháp tối ưu nhất trong hệ thống phương
pháp giải toán ở Tiểu học.


Hiện nay, có rất nhiều ý kiến khác nhau về số lượng các phương pháp giải
toán ở Tiểu học. Về mặt cơ bản, người ta thống nhất được là có 14 phương
pháp giải các bài toán có lời văn đối với diện học sinh đại trà cũng như nâng
cao. Trong 14 phương pháp trên thì việc sử dụng phương pháp nào để giải
bài tập phụ thuộc vào từng dạng của bài toán. Cá biệt có những bài toán sử
dụng phối hợp nhiều phương pháp để giải và hầu hết mỗi bài toán có nhiều
cách giải khác nhau để dẫn tới một kết quả chung. Vì vậy, trong quá trình dạy
học, giáo viên cần giới thiệu đầy đủ cho học sinh về các phương pháp để các
em có thể vận dụng vào giải toán một cách linh hoạt, hợp lí và hiệu quả hơn.
Đặc biệt là phương pháp giả thiết tạm.
1.2. Phƣơng pháp giả thiết tạm
1.2.1. Thế nào là giả thiết tạm. Theo Từ điển Tiếng Việt giải nghĩa “giả
thiết” là điều cho trước trong một định lí hay của một bài toán, từ đ phân
tích, suy luận để tìm ra kết luận của định lí hay để giải bài toán. “Tạm”
trong chữ “giả thiết tạm” c nghĩa là tạm thời, là nhất thời. Từ đ , ta hiểu

“giả thiết tạm” là điều không có trong dữ kiện của bài toán, được tạm thời
đưa ra để làm điểm xuất phát cho lập luận (không đúng với yêu cầu đề ra,
không đúng với thực tế cuộc sống) nhằm tìm tòi lời giải của bài toán.
1.2.2. Phƣơng pháp giả thiết tạm. Phương pháp giả thiết tạm là phương
pháp mà ta tưởng tượng ra các tình huống vô lí với thực tế, các tình huống
không có thật trong cuộc sống nhằm đưa bài toán về dạng cơ bản đã biết cách
giải. Phương pháp giả thiết tạm dùng để giải các bài toán có 2, 3, 4 đối
tượng (người, vật, sự việc,…) c những tính chất biểu thị bằng 2, 3, 4 số
lượng chênh lệch nhau. Chẳng hạn hai chuyển động có vận tốc khác nhau,
hai loại vé giá tiền khác nhau,….


Những bài toán giải bằng phương pháp giả thiết tạm đôi khi c thể giải được
bằng phương pháp khác. Tuy nhiên, c bài toán giải bằng phương pháp giả
thiết tạm sẽ ngắn gọn hơn, dễ hiểu hơn (bài toán cổ, bài toán hình học,…).
Ngoài ra trong quá trình học số học, tôi thấy phương trình Đi-ô-phăng bậc
nhất hai ẩn (ax

by

c với

a,b,c là hệ số; x,y là ẩn) có ứng dụng trong

giải toán giả thiết tạm. Điều này cho thấy khi giải toán bằng phương pháp giả
thiết tạm có thể giúp các em học sinh rèn luyện kĩ năng và làm quen với kiến
thức mới (phương trình bậc nhất hai ẩn ở THCS mới học).
1.2.3. Các bƣớc giải một bài toán bằng phƣơng pháp giả thiết tạm. Để
dùng phương pháp giải một bài toán thông thường thực hiện theo các bước
sau:

Bƣớc 1. Tìm hiểu đề bài
Bƣớc 2. Lập kế hoạch giải toán
Bƣớc 3. Thực hiện kế hoạch giải toán
+ Thay một giả thiết bằng một giả thiết tạm vượt ra ngoài dữ kiện nào
đ của bài toán nhưng vẫn tôn trọng các điều kiện của bài.
+ Từ dữ kiện thay đổi đ dẫn đến các dữ kiện liên quan đến n cũng
thay đổi theo điều kiện của đề bài.
+ Phân tích sự thay đổi đ , rồi đối chiếu với các điều kiện của bài toán
phát hiện ra nguyên nhân thay đổi và tìm phương pháp điều chỉnh thích hợp
để đáp ứng toàn các điều kiện của bài.
Bƣớc 4. Kiểm tra lời giải và đánh giá cách giải
1.3. Ứng dụng phƣơng pháp giả thiết tạm giải toán ở Tiểu học
1.3.1. Đặc điểm tƣ duy toán học của học sinh Tiểu học. Đặc điểm nổi bật
trong tư duy của học sinh Tiểu học là sự chuyển từ tính trực quan cụ thể sang
tính trừu tượng, khái quát. Ở Tiểu học, tư duy học sinh chia làm hai giai đoạn:
Giai đoạn thứ nhất Tiểu học (lớp 1, 2,3). Tư duy cụ thể, các em nhận biết đối
tượng bằng cách dựa vào đặc điểm trực quan, tách riêng lẻ từng bộ phận,


thuộc tính của đối tượng khi phân tích hay chỉ cộng lại một cánh đơn giản các
thuộc tính, các bộ phận để làm nên cái toàn thể khi tổng hợp. Cho nên, trẻ
thường dùng ngón tay, que tính, lời n i để giải toán và thường lĩnh hội tài liệu
học tập cục bộ, một chiều. Kết thúc giai đoạn này, học sinh đã c kiến thức và
kĩ năng cần thiết cho cuộc sống cộng đồng và chuẩn bị học tiếp ở giai đoạn
sau.
Giai đoạn 2 Tiểu học ( lớp 4,5). Tư duy của các em đã thoát ra khỏi tính trực
tiếp của tri giác và mang dần tính trừu tượng khái quát. Các em đã hình thành
được khả năng phân biệt những dấu hiệu, những khía cạnh khác nhau của đối
tượng dưới dạng ngôn ngữ và sắp xếp chúng vào một hệ thống nhất định.
1.3.2. Việc sử dụng phƣơng pháp giả thiết tạm ở Tiểu học. Phương pháp

giả thiết tạm là một trong những phương pháp giải toán hữu hiệu, một công
cụ, một thuật toán để giải các bài toán điển hình, bài toán nâng cao. Căn cứ
vào sự phát triển đặc điểm tâm sinh lí của học sinh mà việc sử dụng phương
pháp giả thiết tạm để giả các bài toán hai đại lượng ở Tiểu học theo các mức
độ khác nhau. Để biết rõ việc sử dụng phương pháp này ở các lớp Tiểu học
như thế nào ta đi tìm hiểu cụ thể từng lớp.
(i) Việc sử dụng phương pháp giả thiết tạm ở lớp 1, 2, 3
Lớp 1. Học sinh chủ yếu làm quen với bài toán có lời văn, biết giải các bài
toán đơn giản một phép tính bằng phép tính cộng, trừ. Học sinh chưa gặp các
bài toán phức tạp để phải sử dụng đến các phương pháp giải mà chỉ hướng
dẫn học sinh qua bốn bước giải thông thường.
Lớp 2. Học sinh tiếp tục được học giải toán có lời văn, tiếp tục ôn tập các bài
toán đã học ở lớp 1 và có những bài toán phức tạp hơn. Nội dung phong phú
hơn thêm phần bài toán có nội dung hình học. Tuy nhiên, do đặc điểm tư duy
trừu tượng của học sinh lớp 2 chưa phát triển, tư duy cụ thể vẫn chiếm ưu thế
nên việc giới thiệu phương pháp giả thiết tạm là chưa được tiến hành. Bởi học
sinh sẽ khó hình dung ra các giả thiết không thực.


Lớp 3. Tư duy trừu tượng của học sinh bắt đầu phát triển, học sinh đã biết
hình dung ra những giả thiết không thực. Học sinh mới được làm quen với các
dạng bài tìm thành phần chưa biết. Khi giải học sinh giả sử là số cần tìm và
dựa vào bài toán để xác lập mối quan hệ của x với các thành phần khác. Từ
đ , tìm ra lời giải của bài toán.
Ví dụ. Tìm số có hai chữ số. Biết rằng khi nhân số đ với 7 , rồi lại cộng
thêm 1 thì được một số lớn nhất có hai chữ số.
Bài giải. Giả sử
x

0 là số phải tìm. Theo bài ra ta có

x

7

x

x

199
798

14
Vậy số phải tìm là 14 .

Tuy nhiên hiện nay dạy học đang theo hướng giảm tải cho học sinh. Do vậy,
chương trình học cũng không quá kh đối với học sinh và phù hợp với lứa
tuổi học sinh.
Như vậy ở lớp 3 học sinh chỉ làm quen với các bài giả sử ở mức độ đơn giản
làm nền tảng cho việc giải toán lớp 4, 5 ; chứ chưa đề cập đến bài toán
giả thiết tạm.
(ii) Việc sử dụng phương pháp giả thiết tạm ở lớp 4,5.
Bắt đầu từ lớp 4 khi các em được học về cách giải các bài toán tìm số trung
bình cộng và nâng cao dần hơn ở lớp 5 khi các em học về cách giải các bài
toán chuyển động, toán công việc chung, toán tuổi, toán phân số và tỉ số phần
trăm,….
Trong chương trình toán Tiểu học, các bài toán giả thiết tạm chỉ được đưa ra
mức độ đơn giản. Chúng chủ yếu xuất hiện trong các sách tham khảo, sách
nâng cao bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.

1.4. Bồi dƣỡng học sinh giỏi
1.4.1. Mục đích của việc bồi dƣỡng học sinh giỏi. Bồi dưỡng học sinh giỏi
là hoạt động cần thiết trong quá trình dạy học các bộ môn. Nhằm:
- Nâng cao hứng thú học tập, phát triển năng lực Toán học của những
học sinh c năng khiếu về môn Toán.
- Giúp học sinh thấy rõ hơn vai trò, tầm quan trọng của môn Toán trong
đời sống và sản xuất.
- Phát triển tư duy logic, tác phong nghiên cứu, thói quen tự học của
học sinh.
1.4.2. Một số biện pháp bồi dƣỡng học sinh giỏi Toán
- Củng cố vững chắc và hướng dẫn đào sâu các kiến thức đã học thông
qua những gợi ý hay câu hỏi hướng dẫn đi sâu vào nội dung bài học.
- Ra thêm một số bài toán kh hơn trình độ chung đòi hỏi việc vận
dụng sâu khái niệm đã học hoặc vận dụng những phương pháp giải một cách
linh hoạt, sáng tạo hơn.
- Yêu cầu giải toán bằng nhiều cách, phân tích, so sánh tìm ra cách giải
quyết hay, hợp lí và ngắn gọn nhất.
- Sử dụng một số bài toán có yếu tố chứng minh, suy diễn để bồi
dưỡng, phát triển khả năng tư duy cho học sinh.
- Rèn luyện cho học sinh khả năng tự lập đề toán và giải.
- Tổ chức một số cuộc thi về Toán học.
- Giới thiệu tiểu sử của một số nhà Toán học xuất sắc để giáo dục tình
cảm yêu thích môn Toán và kính trọng các nhà Toán học.


1.5. Các bài toán hai đại lƣợng vận dụng phƣơng pháp giả thiết tạm ở
Tiểu học
- Bài toán tìm số trung bình cộng
- Bài toán chuyển động đều
- Bài toán tuổi

- Bài toán công việc chung
- Bài toán về phân số, tỉ số phần trăm
- Bài toán nội dung hình học
- Bài toán vui và toán cổ


Chƣơng 2
HƢỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP GIẢ
THIẾT TẠM GIẢI BÀI TOÁN HAI ĐẠI LƢỢNG
Phương pháp giả thiết tạm được sử dụng trong rất nhiều dạng bài toán khác
nhau. Dưới đây, tôi xin trình bày một số bài toán hai đại lượng vận dụng
phương pháp giả thiết tạm. Khi giả các bài toán hai đại lượng này, chúng ta
thường bỏ qua sự xuất hiện của một đại lượng, rồi dựa vào tình huống giả
thiết đ để tính đại lượng thứ hai, sau đ tính đại lượng còn lại.
2.1. Ứng dụng phƣơng pháp giả thiết tạm giải bài toán tìm số trung bình
cộng
2.1.1. Kiến thức cần lƣu ý. Công thức tìm số trung bình cộng
a1

t
Trong đ
an

a2

...
n

an

;

là các số hạng, n là số các số hạng và t là trung bình cộng của

n số hạng hoặc
t

ambn ;
mn

nếu c m số hạng bằng a,n số hạng bằng b .
2.1.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Lớp 4A có 38 học sinh, lớp 4B có số học sinh nhiều hơn trung
bình số học sinh của hai lớp 4A và 4B là 2 học sinh. Hỏi lớp 4B có bao
nhiêu học sinh?
Tóm tắt. Bài toán cho biết
- Lớp 4A có 38 học sinh
- Lớp 4B có số học sinh nhiều hơn trung bình cộng học sinh cả lớp 4A
và 4B là 2 học sinh
Bài toán hỏi. Tính số học sinh lớp 4B ?


Phân tích
- Muốn tính số học sinh lớp 4B ta cần biết những gì? (số học sinh lớp 4A và
mối quan hệ giữa trung bình cộng số học sinh lớp 4A, 4B với học sinh
lớp 4B ).
- Số học sinh lớp 4A biết chưa? (biết rồi).
- Để số học sinh lớp 4B bằng trung bình số học sinh của hai lớp, ta phải giảm
số học sinh của lớp 4B hoặc tăng thêm trung bình số học sinh của cả hai lớp
bao nhiêu học sinh? ( 2 học sinh).

- Nếu chuyển 2 học sinh từ lớp 4B sang lớp 4A thì trung bình số học sinh
của hai lớp như thế nào? (không thay đổi).
- Khi đ số học sinh của lớp 4B sẽ như thế nào với trung bình số học sinh
của hai lớp? (bằng trung bình số học sinh của hai lớp).
- Giả sử chuyển 2 học sinh từ lớp 4B sang lớp 4A thì trung bình số học sinh
của hai lớp không thay đổi và bằng số học sinh của mỗi lớp khi đ . Vậy:
+ Tính số học sinh lớp 4A ta làm như thế nào? (số học sinh lớp 4A cộng thêm 2
).
+Tính số học sinh lớp 4B ta làm như thế nào? (số học sinh lớp 4B cộng thêm

2 ).
- Nếu lớp 4A có thêm 4 học sinh thì trung bình số học sinh của hai lớp tăng
thêm bao nhiêu học sinh? ( 2 học sinh) và như thế nào với số học sinh của lớp

4B ? (bằng số học sinh lớp 4B ).
- Giả sử trung bình số học sinh của hai lớp tăng thêm 2 học sinh thì tổng số
học sinh của hai lớp tăng thêm bao nhiêu học sinh?( 4 học sinh).
- Biết trung bình số học sinh hai lớp tăng thêm 4 học sinh thì bằng số học
sinh lớp 4B . Vậy tìm số học sinh lớp 4B ta làm như thế nào? (học sinh
lớp 4A cộng thêm 4 ).
Bài toán này vận dụng phương pháp giả thiết tạm có hai cách giải.


Bài giải
Cách 1. Giả sử chuyển 2 học sinh từ lớp 4B sang lớp 4A thì trung bình số
học sinh của hai lớp không thay đổi và bằng số học sinh của mỗi lớp khi đ .
Số học sinh của lớp 4A là:
Số học sinh của lớp 4B
là:

38
2
40
2

40 (học sinh)
42 (học sinh)
Đáp số: 42 học sinh

Cách 2. Trung bình số học sinh của hai lớp tăng thêm 2 học sinh thì tổng số
học sinh của hai lớp tăng thêm số học sinh là:

2 2

4 (học sinh)

Nếu lớp 4A có thêm 4 học sinh thì trung bình số học sinh của hai lớp tăng
thêm 2 học sinh
Số học sinh lớp 4B là:

38 4 42 ( học sinh)
Đáp số: 42 học sinh.
Ví dụ 2. Tuổi trung bình của 10 cầu thủ (không tính đội trưởng) trong một
đội bóng là 21 tuổi. Biết rằng tuổi của đội trưởng nhiều hơn tuổi trung bình
của cả đội là 10 tuổi, hỏi đội trưởng bao nhiêu tuổi?
Tóm tắt. Bài toán cho biết: Trong một đội bóng
- Tuổi trung bình của 10 cầu thủ (không tính đội trưởng) là 21 tuổi.
- Tuổi của đội trưởng nhiều hơn tuổi trung bình của cả đội là 10 tuổi.
Bài toán hỏi: Tính tuổi của đội trưởng.
Phân tích. Để tuổi trung bình của cả đội không thay đổi ta cần thêm vào tổng

số tuổi của 10 cầu thủ kia số tuổi bằng số tuổi bớt đi của đội trưởng. Từ trung
bình số tuổi của 10 cầu thủ, hiệu số tuổi của đội trưởng ta có thể tìm được
trung bình số tuổi của cả đội. Từ đ tìm được số tuổi của đội trưởng.


Bài giải. Tổng số tuổi của 10 cầu thủ là:

2110 210 (tuổi)
Nếu bớt số tuổi của đội trưởng đi 10 tuổi và thêm vào tổng số tuổi của 10
cầu thủ 10 tuổi thì trung bình số tuổi của cả đội sẽ không thay đổi. Tuổi của
đội trưởng bằng trung bình số tuổi của cả đội.
Tuổi trung bình của cả đội là:

Tuổi của đội trưởng là:

210 10) 10 (tuổi)
22

22 (tuổi)
Đáp số: 32 tuổi
2.1.3. Bài tập tham khảo
Bài toán 1. Khối 4 của một trường Tiểu học gồm 3 lớp. Trong đ lớp 4Acó

26 học sinh, lớp 4B có số học sinh ít hơn trung bình số học sinh của hai lớp
4A và 4C là 3 học sinh. Biết trung bình số học sinh của mỗi lớp là 30 học
sinh. Tính số học sinh của lớp 4B và học sinh lớp 4C ?
Bài toán 2. Tuổi trung bình của 11 cầu thủ trong đội bóng là 22 tuổi. Biết
rằng tuổi của đội trưởng nhiều hơn tuổi trung bình của 10 cầu thủ kia là 11
tuổi, hỏi đội trưởng bao nhiêu tuổi?
2.2. Ứng dụng phƣơng pháp giả thiết tạm giải bài toán chuyển động đều

2.2.1. Kiến thức cần lƣu ý
+ Mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc, thời gian
s

v

t,vs ,t t

s
v

+ Hai vật chuyển động cùng chiều. Khoảng cách giữa hai vật là d với
v1

v2 . Thời gian từ khi khởi hành đến khi gặp nhau là:
d

t

gn

(v1

v2 )


+ Hai vật chuyển động ngược chiều. Khoảng cách giữa hai vật là d . Thời
gian khởi hành đến khi găp nhau là:
d

t

gn

(v1

v2 )

2.2.2. Các ví dụ

12 km/giờ và một ô tô đi với

Ví dụ 1. Một người đi xe đạp với vận tốc
v
vận tốc
v

28 km/giờ cùng khởi hành lúc 6 giờ từ A đến B . Sau đ nửa giờ

một xe máy đi với vận tốc
v

24 km/giờ cũng đi từ A về B . Hỏi trên đường

từ A đến B vào lúc mấy giờ thì xe máy ở đúng điểm chính giữa khoảng cách
giữa xe đạp và xe ô tô?
Tóm tắt. Bài toán cho biết: Lúc 6 giờ hai vật chuyển động cùng chiều từ A
đếnB .
+ Vận tốc xe đạp: v1
+ Vận tốc ô tô: v2

12 km/giờ.
28 km/giờ.

Lúc 6 giờ 30 phút xe máy chuyển động từ A đến B với v3

24

km/giờ. Bài toán hỏi. Thời điểm xe máy nằm chính giữa xe đạp và xe ô
tô?
Phân tích

Ô tô
Xe đạp

C

A
Xe máy 2

D

E

B


Trong sơ đồ trên, thời điểm cần tìm đ là khi xe đạp đi đến điểm C , xe máy
đi đến điểm D và ô tô đi đến điểm E (CD

DE ).


Giả sử có một vật thứ tư là xe máy thứ hai xuất phát từ A lúc 6 giờ và có vận
tốc bằng vận tốc trung bình của xe đạp và xe ô tô thì xe máy thứ hai đ luôn
nằm ở điểm chính giữa khoảng cách xe đạp và xe ô tô. Vậy khi xe máy thứ
nhất đuổi kịp xe máy thứ hai c nghĩa là lúc đ xe máy thứ nhất nằm vào
khoảng cách chính giữa xe đạp và xe ô tô.
quãng đường sau nửa giờ xe máy thứ hai đi

Do đ , tính được: v
trước
xemay 2

xe máy thứ nhất + thời gian xe máy thứ nhất đi để đuổi kịp xe máy thứ
hai + thời điểm xe máy thứ nhất đuổi kịp xe máy thứ hai, chính là lúc xe máy
nằm vào khoảng chính giữa xe đạp và xe ô tô.
Bài giải. Giả sử có thêm một xe thứ tư đ là xe máy thứ hai cùng xuất phát
từ A vào lúc 6 giờ và có vận tốc bằng trung bình cộng vận tốc của xe đạp
và xe ô tô thì xe máy thứ hai luôn luôn ở điểm chính giữa khoảng cách
giữa xe đạp và xe ô tô.
Vận tốc của xe máy thứ hai là:
(12

18) : 2

20 (km/giờ)

Sau nửa giờ, khoảng cách giữa xe máy thứ nhất và xe máy thứ hai là:
20 0, 5 10

(km/giờ) Hiệu vận tốc giữa hai xe máy là:

24

20

4 (km/giờ)

Thời gian xe máy thứ nhất đuổi kịp xe máy thứ hai là:
10 : 4

2, 5 (km/giờ)

Thời điểm xe máy thứ nhất nằm giữa xe đạp và xe ô tô là:
6

2, 5

0, 5

9 (giờ)
Đáp số : 9 giờ


Ví dụ 2. Hai người đi bộ cùng một lúc từ A tới B . Quãng đường AB dài

40 km, vận tốc người thứ nhất là 10 km/giờ. Vận tốc người thứ hai là
14 km/giờ. Hỏi sau bao lâu quãng đường còn lại của người thứ nhất gấp 3 lần
quãng đường còn lại tới B của người thứ hai.
Tóm tắt. Bài toán cho biết: Hai người cùng đi bộ một lúc trên quãng đường

từ A tớiB .
- Quãng đường AB dài: 40 km.
- Vận tốc người thứ nhất: 10 km/ giờ
- Vận tốc người thứ hai: 14 km/ giờ
Bài toán hỏi: Thời gian người thứ nhất đi đến điểm mà quãng đường còn lại
gấp 3 lần quãng đường còn lại tới B của người thứ hai?
Phân tích. Để tính được khoảng thời gian người thứ nhất đi đến thời điểm mà
quãng đường còn lại gấp 3 lần quãng đường tới B của người thứ hai. Thì:
Giả sử có một người thứ ba cùng đi bộ khởi hành tại điểm A , A
B

3AB,

vận tốc gấp 3 lần vận tốc người thứ hai. Như vậy, trong suốt quá trình chuyển
động khoảng cách tới B của người thứ ba đ luôn gấp 3 lần khoảng cách tới

B của người thứ hai.
Tính được,
t

v nguoi ,

s nguoi 3,nguoi1
v nguoi 3 v nguoi1

thời gian người thứ ba đuổi kịp người thứ nhất
chính là khoảng thời gian mà người thứ nhất đi đến

điểm mà quãng đường còn lại gấp 3 lần quãng đường còn lại tới B của người
thứ hai.

40 Km

B

A

A

v3

3v1

v1


Bài giải. Giả sử c người thứ ba khởi hành cùng một lúc từ một địa điểm A
( A cách B gấp 3 lần AB ) với vận tốc gấp 3 lần vận tốc người thứ hai. Như
vậy, trong suốt quá trình chuyển động khoảng cách tới B của người thứ ba
luôn gấp 3 lần khoảng cách tới B của người thứ hai. Do đ để tìm đáp số bài
toán ta chỉ việc tìm thời gian để người thứ ba đuổi kịp người thứ nhất.
Khoảng cách của người thứ ba và người thứ nhất là:

40 2

80 (km).

Vận tốc của người thứ ba là:

14 3

42 (km/giờ).

Hiệu vận tốc của người thứ nhất và người thứ ba là:

42

10

32 (km/giờ).

Thời gian họ đuổi kịp nhau là:
80 : 32

2, 5 (giờ).

Vậy sau 2, 5 giờ thì khoảng cách tới B của người thứ nhất gấp 3 lần khoảng
cách tới B của người thứ hai.
Đáp số: 2, 5 giờ
2.2.3. Bài tập tham khảo
Bài toán 1. Hòa được bố đèo đi bằng xe máy đến thị xã để thi HSG với vận
tốc là 40 km/giờ. Một giờ rưỡi sau, anh của Hòa đi xe đạp đến thị xã với vận
tốc 16 km/giờ. Anh Hòa đến thị xã sau 3 giờ. Hỏi Hòa đi từ nhà tới thị xã
mất bao nhiêu thời gian?
Bài toán 2. Lúc 8 giờ 45 phút một đơn vị hành quân từ doanh trại đến
điểm hẹn dài 24 km với vận tốc bằng 4 km/giờ. Hôm sau lúc 10 giờ 15
phút, đơn vị đ theo hướng cũ từ điểm hẹn về doanh trại với vận tốc là 5
km/ giờ. Cả đi lẫn về đều qua một trạm gác vào cùng một thời điểm trong
ngày. Tính thời điểm đ .