Chuyên đề về tính chia hết trên Z

Soạn:
Giảng: Chuyên đề:
Phép chia hết và phép chia có d
trên tập số nguyên Z
I/ kiến thức cơ bản:
1/ Phép chia hết và phép chia còn d
Cho hai số nguyên a và b ( b>0) .Chia a cho b ta có : a chia hết cho b hoặc a
không chia hết cho b.
*/ a chia hết cho b hay a là bội của b ; Ký hiệu a

b.
Ta cũng nói b chia hết a hay b là ớc của a ; Ký hiệu b a .
a

b.( hay b a ) khi và chỉ khi có số nguyên q sao cho a = bq
*/ a không chia hết cho b : khi chia a cho b ta đợc thơng gần đúng là q và số
d là r , ta có a= bq + r với 0 < r < b
Khi chia một số nguyên a cho một số nguyên b > 0 thì số d là một trong b
số từ 0 đến b 1( Số d r lớn nhất chỉ bằng b-1)
VD: Chia một số cho 2 thì số d là một trong hai số 0 hoặc 1
Chia một số cho 3 thì số d là một trong ba số 0 ; 1 hoặc 2
Chia một số cho 5 thì số d là một trong năm số 0; 1;2;3 hoặc 4
Lu ý: Trong trờng hợp a không chia hết cho b ( số d r

0), thay vì lấy r > 0
( từ 1 đến b 1) để tiện lợi trong c/m và giải toán nhiều khi ngời ta cũng lấy số d là
số âm r với r = r b ( do đó
'r
< b)
VD1: Chia 23 cho 3 đợc d là 2.Ta viết
23 = 3.7 + 2 => ta gọi 7 là thơng gần đúng thiếu, vì 3.7 = 21 < 23 và d là2

Hoặc 23 = 3.8 1=>ta gọi 8 là thơng gần đúng thừa, vì 3.8 = 24 > 23 và d là -1
VD2 : Chia 52 cho 6, nếu lấy thơng gần đúng thiếu là 8 ta có d là 4
52= 6.8 + 4
Nếu lấy thơng gần đúng thừa là 9, ta có d là 4-6 = -2
52 = 6.9 + (-2)
VD3: Chia -36 cho 5 ta đợc -36 = 5. (-8) + 4
Hoặc - 36 = 5.(-7) + (- 1)
Nh vậy nếu coi số d có thể là số âm nh trên ta có:
+/ Khi chia một số cho 2 thì số d là 0 hoặc 1, do đó mọi số nguyên đều có
dạng 2k ( số chẵn) hoặc 2k+1 ( số lẻ) trong đó k

Z. Nếu số d trong phép chia cho 2
là 1 thì cũng có thể coi số d là 1-2 = -1, do đó có thể nói mọi số nguyên đều có dạng
2k hoặc 2k

1
+/ Khi chia một số cho 3 thì số d là 0 ; 1hoặc 2 do đó mọi số nguyên đều có
dạng 3k; 3k+1; 3k+2. Với số d là 2 thì cũng có thể coi số d là 2-3 = -1 vì vậy
có thể nói mọi số nguyên đều có dạng 3k hoặc 3k

1...
Tơng tự nh vậy nếu xét phép chia cho 4, cho 5...
2. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
Cho hai số nguyên dơng a và b.
* Ước chung lớn nhất của a và b đợc ký hiệu là ƯCLN(a;b) hay (a,b).
Một số d là ớc chung của a và b <=> d là ớc của ƯCLN( a.b)
d a và d b

d (a,b)
* Bội chung nhỏ nhất của a và b đợc ký hiệu là BCNN( a,b) hay là

[ ]
ba,
Một số m là bội chung của a và b <=> m là bội của BCNN (a,b)
m

a và m

b

m

[ ]
ba,
Hai số a và b đợc gọi là hai số nguyên tố cùng nhau

(a,b) =1
Cách tìm ƯCLN(a,b) và BCNN( a,b)
(a,b)
[ ]
ba,
+Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
+Chọn ra các thừa số nguyên tố
Chung Chung và riêng
+ Lập tích các thừa số nguyên tố chung
mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của
nó
Lập tích các thừa số nguyên tố chung và
riêng mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất
của nó
Ta có

[ ]
ba,
=
),( ba
ab
Từ đó
[ ]
ba,
= a.b nếu ( a,b) =1
3. Thuật toán Euclide
Trớc hết ta xét các định lý sau:
Cho hai số nguyên dơng a,b và giả sử a > b
*/ Định lý 1: Nếu a là bội của b thì ƯCLN của a và b là b
a

b => (a,b) = b
*/ Định lý 2: Nếu a không phải là bội của b thì ƯCLN(a,b) bằng ƯCLN của b và
số d trong phép chia a cho b
a = bq + r ; 0 < r < b => (a,b) = ( b,r)
ý nghĩa của định lý này là ở chỗ ta có thể thay thế việc tìm ƯCLN của hai số đã cho
bằng việc tìm ƯCLN của hai số nhỏ hơn.
*/ Thuật toán Euclide:
Dựa vào hai định lý trên để tìm ƯCLN(a,b) với a > b ta đem a chia cho b
+ Nếu a

b => (a,b) = b
+ Nếu a không chia hết cho b. Ta có:
a = bq + r với 0 < r < b => (a,b) = ( b, r )
Ta lại chia b cho r, nếu phép chia có d ta có
b = rq

1
+ r
1
; 0 < r
1
< r => ( b,r ) = ( r, r
1
)
Ta lại chia r cho r
1
, nếu phép chia có d ta có
r = r
1
q
2
+ r
2
; 0 < r
2
< r
1
=> ( r, r
1
) = ( r
1
, r
2
)
Nếu phép chia còn d ta cứ tiếp tục làm nh vậy. Vì dãy các số b,r,r
1

, r
2
,...là dãy
giảm dần nên đén một lúc nào đó phép chia là hết ( r
n+1
= 0), khi đó ta có
( a,b ) = ( b, r ) = ( r, r
1
) = ( r
1
, r
2
) = ... = ( r
n-1
, r
n
) = r
n
VD
Tìm ƯCLN ( 528, 204) bằng thuật toán Euclide ta có:
528 = 204. 2 + 120
204 = 120 .1 + 84
120 = 84 .1 + 36
84 = 36 . 2 + 12
36 = 12. 3 + 0 ;
Số d cuói cùng khác 0 là 12, vậy ( 528, 204) = 12
Trong thực hành ta đặt phép tính nh sau:
528 204
204 120 2
120 84 1

84 36 1
36 12 2
0 3
- Nếu thực hiện thuật toán Euclide để tìm ƯCLN của hai số mà đến lúc nào đó ta có
số d là 1 thì hai số đã cho là nguyên tố cùng nhau.
VD: Tìm ( 87, 25) Ta có 87 = 25 . 3 + 12 => ( 87, 25) = ( 25, 12)
25 = 12. 2 + 1 => ( 25, 12) = ( 12, 1)
Vậy ( 87, 25) = 1
Ap dụng: Chứng tỏ rằng phân số
314
421
+
+
n
n
với n

N là PS tối giản
Trớc hết ta có NX:
Phân số
314
421
+
+
n
n
với n

N là PS tối giản <=> ( 21n+4, 14n+3) =1
áp dụng thuật toán Euclide dể tìm ƯCLN của hai số 21n + 4 và 14n + 3 , ta có:

21n + 4 = (14n + 3). 1 + 7n + 1 => ( 21n +4, 14n +3) = ( 14n +3, 7n +1)
14n + 3 = ( 7n +1) .2 + 1 => ( 14n +3, 7n +1) = ( 7n +1, 1)
Mà ( 7n +1, 1) = 1 nên ( 21n+4, 14n+3) =1
Hay PS
314
421
+
+
n
n
( n

N) là PS tối giản
Khi giải các bài toán về chia hết ta thờng sử dụng một số định lý sau:
a, Định lý 1 */ ( ca, cb) = c. (a,b)
*/






c
b
c
a
;
=
c
ba ),(

với c là ớc chung của a và b.
b, Định lý 2: */ a.c

b và ( a,b) = 1 => c

b
c, Định lý 3 : */ c

a và c

b mà (a,b) =1 Thì c

a.b
4.Các bài toán về chia hêt và ph ơng h ớng tìm lời giải
a/ Để c/m biểu thức A(n) chia hết cho một số nguyên tố p, có thể xét mọi trờng
hợp về số d khi chia n cho p ( 0,
2
1
,...2,1


p
)
VD1: C/m rằng A(n) = n. ( n
2
+ 1) .( n
2
+ 4)

5 với mọi số nguyên n

Giải Xét mọi trờng hợp:
+/ n chia hết cho 5, thì hiển nhiên A(n)

5
+/ n không chia hết cho 5 thì n có dạng n = 5k

1; hoặc n = 5k

2
Nếu n = 5k

1 => n
2
= 25 k
2


10k + 1 => n
2
+ 4

5
Nếu n = 5k

2 => n
2
= 25 k
2

20k + 4 => n
2
+ 1

5
Nh vậy A(n) là tích của ba thừa số, trong mọi trờng hợp đều có một thừa số chia hết
cho 5 => A(n)

5

n
b/ Để c/m biểu thức A(n) chia hết cho một hợp số m ta thờng phân tích m ra thừa
số . Giả sử m = p.q
* Nếu p và q là số nguyên tố hay p và q nguyên tố cùng nhau thì ta tìm cách
c/m A(n)

p và A(n)

q, từ đó suy ra A(n)

p.q = m
VD: CMR tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
Giải: Gọi ba số nguyên liên tiếp là n, n+1 và n+2. Tích của chúng là
A(n) = n. (n+1) .(n+2)
Ta có 6 = 2.3 ( 2 và 3 là số nguyên tố), nh vậy ta cần c/m A(n)

2 và A(n)

3
+/ Trong hai số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có một số chẵn, do đó A(n)

2
+/ Trong ba số nguyên liên tiếp n, n+1 và n+2. bao giờ cũng có một số chia hết cho
3, vì số d khi chia n cho 3 chỉ có thể là 0 ( n chia hết cho 3) hoặc là 1 ( khi đó n+2
chia hết cho 3) hoặc là 2 ( khi đó n+1 chia hết cho 3) => A(n)

3
A(n)

2 và A(n)

3 => A(n)

6
* Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau thì ta phân tích A(n) ra thừa số,
chẳng hạn A(n) = B(n) . C(n) và c/m cho B(n)

p và C(n)

q ( từ đó suy ra
A(n) = B(n) .C(n)

p.q = m)
VD: CMR tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Giải: Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n và 2n +2, tích của chúng là
A(n) = 2n . (2n+2)
Ta có 8 = 4 .2
ta viết A(n) thành tích của hai thừa số một thừa số

4, một thừa số

2
A(n) = 2n. ( 2n+2) = 2n. 2.( n+1) = 4.n.( n+1)
Dễ thấy 4

4 ; n.(n+1)

2 ( tích của hai số nguyên liên tiếp)
Vậy A(n) = 4.n.(n+1)

4.2 = 8 #
c/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể biến đổi A(n) thành tổng của
nhiều số hạng và c/m mỗi số hạng chia hết cho m
VD: CMR lập phơng của một số nguyên n bất kỳ ( n >1) trừ đi 13 lần số
nguyên đó thì luôn chia hết cho 6
Giải:
Theo bài ra ta cần c/m A(n) = n
3
13n

6
Ta biến dổi A(n) nh sau:
A(n) = n
3
13n = n
3
- n 12n mà 12n

6 => A(n)

6 <=> n
3
n


6
Ta có n
3
n = n.( n
2
-1) = n.( n-1).( n+1)

6 ( vì là tích của ba số nguyên liên
tiếp)
A(n) là hiệu của hai số hạng n
3
- n và 12n, mỗi số hạng đều chia hết cho 6
nên A(n)

6 #
d/ Để c/m một tổng không chia hết cho m, có thể c/m một số hạng nào đó không
chia hết cho m còn tất cả các số hạng khác đều chia hết cho m
VD : CMR với mọi n lẻ thì n
2
+ 4n + 5 không chia hết cho 8
Giải Vì n lẻ, ta đặt n = 2k +1. Ta có :
n
2
+ 4n + 5 = (2k +1)
2

+ 4.( 2k +1) + 5
= ( 4k
2
+ 4k + 1) + ( 8k + 4) + 5 = (4k
2
+ 4k ) +( 8k + 8) + 2
= 4k. ( k +1) + 8.(k +1) + 2
Dễ thấy 4k.(k+1)

8 ; 8.( k+1)

8 và 2 không chia hết cho 8
Vậy n
2
+ 4n + 5 không chia hết cho 8 #
e/ Nếu số d khi chia a cho b ( b>0) là r ( 0 < r < b) thì số d khi chia a
n
( n>1) cho b
là số d khi chia r
n
cho b ( Số d này bằng r
n
nếu r
n
< b)
VD: CMR nếu n không chia hết cho 7 thì n
3
+1 hoặc n
3
- 1 chia hết cho 7

Giải: Vì n không chia hết cho 7 nên n có dạng
n = 7k

1; n = 7k

2 hoặc n= 7k

3
+/ Với n = 7k

1 => n
3
= 7p

1
+/ n = 7k

2 => n
3
= 7q

8 = 7 ( q

1)

1
+/ n= 7k

3 => n
3

= 7r

27 = 7( r

4)

1
Trong mọi trờng hợp n
3
+1 hoặc n
3
- 1 là bội của 7 #
Ngoài ra để c/m chia hết hay không chia hết ta còn sử dụng các hằng đẳng thức,
các hằng đẳng thức mở rộng , p
2
quy nạp, đồng d .v.v...
II/ Bài tập
A/ CC DNG TON CHNG MINH CHIA HT
Dng 1: S dng tớnh cht
Trong n s nguyờn liờn tip cú mt v ch mt s chia ht cho n, n

1
Bi 1 : CMR
a/ Tớch ba s nguyờn liờn tip chia ht cho 6
b/ Tớch bn s nguyờn liờn tip chia ht cho 24
c/ Tớch nm s nguyờn liờn tip chia ht cho 120
d/ Tớch ba s chn liờn tip chia ht cho 48
e/ Tớch sỏu s nguyờn liờn tip chia ht cho 720
Gi i
a/ Ta cú 6 = 2.3 v ( 2,3) =1

Trong ba s nguyờn liờn tip cú mt s chia ht cho 2, mt s chia ht cho 3 nờn tớch
ca chỳng chia ht cho 6 #
b/ Ta cú 24 = 2
3
. 3 =8.3 v (3,8) =1
Trong bn s nguyờn liờn tip cú ớt nht mt s chia ht cho 3, cú hai s chn liờn
tip tớch ca chỳng chia ht cho 8 (VD)
=>Tích bốn só nguyên liên tiếp chia hết cho 24
c/ Ta có 120 = 3.5.8
Trong 5 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 5 nên tích
của chúng chia hết cho 3.5. Ta c/m trong 5 số nguyên liên tiếp có hai số chẵn liên
tiếp nên tích chia hết cho 8. Thật vậy , giả sử 5 số đó là a, a+1, a+2, a+3, a+4
- Nếu a chẵn thì a và a+2 là hai số chẵn liên tiếp
- Nếu a lẻ thì a+1 và a+3 hai số chẵn liên tiếp
Do đó tớch nm s nguyờn liờn tip chia ht cho 3.5.8 = 120
d/ Gọi ba số chẵn liên tiếp là 2n, 2n+2, 2n+ 4
Tích của ba só đó là A(n) = 2n. (2n+2). ( 2n + 4)
= 2n .2 ( n+1). 2.( n+2) = 8.n.( n +1).( n+2)
n.( n +1).( n+2) là tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 => A(n)

8.6 = 48 #