Cộng hưởng tham số giữa phonon âm và phonon quang trong hố lượng tử

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----------

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG
NĂM 2017

TÊN ĐỀ TÀI

CỘNG HƯỞNG THAM SỐ GIỮA PHONON ÂM
VÀ PHONON QUANG TRONG HỐ LƯỢNG TỬ
Mã số: T.17 - TN - 21

Chủ nhiệm đề tài
Bùi Mỹ Hoàng Hòa

Cố vấn khoa học
TS. Lê Thị Thu Phương

Sinh viên phối hợp nghiên cứu
Lê Thị Quỳnh Trâm
Lê Thị Ny

Huế/2017
i


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Thông tin kết quả nghiên cứu của đề tài . . . . . . . . . . . .

v

Thông tin về sinh viên chịu trách nhiệm chính thực hiện đề tài

ix

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN . . . . . .

6

1.1. Tổng quan về hố lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Bán dẫn thấp chiều . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Bán dẫn hố lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong hố lượng
tử thế parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Chương 2. CỘNG HƯỞNG THAM SỐ GIỮA PHONON
ÂM VÀ PHONON QUANG TRONG HỐ LƯỢNG
TỬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1. Hamitonian của hệ electron - phonon trong hố lượng tử
khi có mặt của sóng điện từ . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2. Phương trình động lượng tử cho phonon trong hố lượng tử 11

2.3. Phương trình tán sắc mô tả tương tác tham số giữa phonon
quang và phonon âm trong hố lượng tử . . . . . . . . . .
ii

19


2.4. Biểu thức giải tích cho điều kiện cộng hưởng tham số của
phonon âm và phonon quang trong hố lượng tử . . . . .

26

Chương 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN . .

38

KẾT LUẬN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

iii


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

1.1

Bán dẫn hố lượng tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1

Sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng Eth vào số sóng q

7

tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ T = 77 K (đường liền
nét) và T = 100 K (đường đứt nét). Ở đây, ω0 = 5.5×1013
s−1 và Ω = 4 × 1013 s−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2

38

Sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng Eth vào tần số
giam giữ ω0 của hố tại các giá trị khác nhau của tần số
sóng điện từ Ω = 4 × 1013 s−1 (đường liền nét) và Ω =
4.5×1013 s−1 (đường đứt nét). Ở đây, T = 77 K và q = 108
m−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

39

Sự phụ thuộc hệ số gia tăng F vào số sóng q tương ứng tại
các giá trị khác nhau của nhiệt độ T = 77 K (đường liền
nét) và T = 100 K (đường đứt nét). Ở đây, ω0 = 5.5×1013
s−1 và Ω = 4 × 1013 s−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

40

Sự phụ thuộc hệ số gia tăng F vào tần số giam giữ ω0
của hố tại các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ
Ω = 4 × 1013 s−1 (đường liền nét) và Ω = 4.5 × 1013 s−1
(đường đứt nét). Ở đây, T = 77 K và q = 108 m−1 . . . .

iv

40


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA VẬT LÝ
----------THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1. Thông tin chung
- Tên đề tài: CỘNG HƯỞNG THAM SỐ GIỮA PHONON ÂM VÀ
PHONON QUANG TRONG HỐ LƯỢNG TỬ.
- Sinh viên thực hiện: Bùi Mỹ Hoàng Hòa, Lê Thị Quỳnh Trâm, Lê Thị
Ny.
- Lớp Vật lý tiên tiến 4

Khoa: Vật lý

Năm thứ: 4

Số năm đào

tạo: 04
- Giáo viên hướng dẫn: TS. Lê Thị Thu Phương.
2. Mục tiêu đề tài
Nghiên cứu sự cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon
quang trong hố lượng tử thế parabol dưới sự có mặt của sóng điện từ
thông qua biểu thức giải tích của biên độ trường ngưỡng và hệ số gia
tăng.
3. Tính mới và sáng tạo
Bài toán về cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon quang
trong bán dẫn khối đã được nghiên cứu, trong hố lượng tử thế vuông
góc cao vô hạn, trong dây lượng tử hình trụ. Tuy nhiên bài toán này vẫn
chưa được nghiên cứu trong hố lượng tử thế parabol. Chính vì lý do đó,
chúng tôi chọn "Cộng hưởng tham số giữa phonon âm và phonon quang
trong hố lượng tử" làm đề tài nghiên cứu.
4. Kết quả nghiên cứu
v


- Xuất phát từ Hamitonian của electron - phonon âm và electron phonon quang không bị giam giữ trong hố lượng tử khi có mặt của điện
trường ngoài, ta thu được hai phương trình động lượng tử tổng quát lần
lượt cho phonon âm và phonon quang. Hai phương trình này chính là
nền tảng cơ sở để chúng ta nghiên cứu sâu hơn sự cộng hưởng tham số
giữa phonon âm và phonon quang trong hố lượng tử với thế parabol.

- Đã thu được phương trình tán sắc, phổ của phonon âm và chỉ
ra được điều kiện cộng hưởng tham số giữ phonon âm và phonon quang
trong hố lượng tử thế parabol trong trường hợp electron không bị suy
biến. Phương trình tán sắc đóng vai trò quan trọng trong việc quyết
định trong việc nghiên cứu phổ tái chuẩn hóa của phonon tương tác với
electron khi có mặt trường sóng điện từ.
- Đã thu được biểu thức giải thích của biên độ trường ngưỡng và
hệ số khuếch đại tham số của phonon âm trong hố lượng tử.
- Từ các biểu thức giải thích của biên độ trường ngưỡng và hệ số
gia tăng tham số, chúng tôi đã tiến thành tính số và vẽ đồ thị đồ thị biểu
diễn sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng Eth sóng và hệ số gia tăng
F vào số sóng q và tần số giam giữ ω0 tại các giá trị khác nhau của nhiệt
độ T .
5. Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội, giáo dục và đào tạo,
an ninh quốc phòng và khả năng áp dụng của đề tài
- Các kết quả thu được mới về lý thuyết sẽ đóng góp cho ngành
quang tử, vật liệu bán dẫn nano để giải thích những cơ chế xảy ra do
tương tác của sóng điện trường ngoài và cung cấp thêm thông tin về các
tính chất của bán dẫn hố lượng tử (bán dẫn 2 chiều) cần thiết cho công
nghệ chế tạo các linh kiện điện tử bằng vật liệu nano hiện nay.
vi


- Đóng góp vào nguồn tài liệu nghiên cứu và học tập cho nhà
trường.
6. Công bố khoa học của sinh viên từ kết quả nghiên cứu
của đề tài
Bùi Mỹ Hoàng Hòa, Lê Thị Quỳnh Trâm, Lê Thị Ny, Lê Thị Thu
Phương (2017), “Cộng hưởng tham số giữa phonon âm và phonon quang
trong hố lượng tử”, Kỷ yếu Hội Nghị Khoa Học Sinh viên Trường Đại

học Sư Phạm - Đại học Huế.

Ngày

tháng

năm 2017

Sinh viên chịu trách nhiệm
chính thực hiện đề tài

Bùi Mỹ Hoàng Hòa

vii


Nhận xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa
học của sinh viên thực hiện đề tài
Sinh viên hoàn thành xuất sắc và đúng thời hạn những yêu cầu mà giảng
viên hướng dẫn đưa ra. Hơn nữa, sinh viên có thái độ tích cực, ý thức tự
giác cao và tinh thần trách nhiệm trong quá trình thực hiện đề tài.

Ngày
Xác nhận của đơn vị

tháng

năm 2017

Người hướng dẫn

TS. LÊ THỊ THU PHƯƠNG

viii


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA VẬT LÝ
----------THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH NHIỆM
CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
I. SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN:
Họ và tên: BÙI MỸ HOÀNG HÒA
Sinh ngày: 21 tháng 04 năm 1996
Nơi sinh: Đồng Hới, Quảng Bình
Lớp: Vật Lý Tiên Tiến 4

Khóa: 2014 - 2018

Khoa: Vật Lý
Địa chỉ liên hệ: 6/24/9/131 Trần Phú, Thành Phố Huế
Điện thoại: 01653247676
Email:
II. QUÁ TRÌNH HỌC TẬP:
Ngành học: Vật lý tiên tiến

Khoa: Vật lý

* Năm thứ nhất:
Kết quả xếp loại học tập: Khá
* Năm thứ hai:

Kết quả xếp loại học tập: Giỏi
* Năm thứ ba:
Kết quả xếp loại học tập: Giỏi
ix


Ngày
Xác nhận của đơn vị

tháng

năm 2017

Sinh viên chịu trách nhiệm
chính thực hiện đề tài

Bùi Mỹ Hoàng Hòa

x


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong mấy thập niên gần đây khoa học vật liệu được tập trung
nghiên cứu và phát triển như vũ bão đặc biệt là sự chuyển hướng đối
tượng nghiên cứu từ các vật liệu bán dẫn khối (bán dẫn có cấu trúc 3
chiều) sang bán dẫn thấp chiều. Bởi vì vật liệu bán dẫn thấp chiều (kích
thước cỡ nanomet) có nhiều tính chất mới lạ đáp ứng được các yêu cầu
khác nhau trong thực tiễn [2]. Đó là, các bán dẫn hai chiều (hố lượng tử,

siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng,. . . ); bán dẫn một
chiều (dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật,. . . ); bán dẫn
không chiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử hình hình
cầu). Tuỳ thuộc vào cấu trúc bán dẫn cụ thể mà chuyển động tự do của
các hạt tải (electron, lỗ trống,. . . ) bị giới hạn mạnh. Hạt tải chỉ có thể
chuyển động tự do theo hai chiều (hệ hai chiều, 2D), hoặc một chiều (hệ
một chiều, 1D), hoặc bị giới hạn theo cả 3 chiều (hệ không chiều, 0D).
Sự chuyển hướng sang bán dẫn thấp chiều đã làm thay đổi đáng
kể các tính chất vật lý của vật liệu như: tính chất quang, tính chất động
(tán xạ điện tử-phonon, tán xạ điện tử-tạp chất, tán xạ bề mặt,. . . ).
Đồng thời, cấu trúc thấp chiều làm xuất hiện nhiều đặc tính mới ưu việt
hơn mà các hệ điện tử chuẩn ba chiều không có. Đây chính là cơ sở của
sự phát triển mạnh mẽ máy tính, các thiết bị điện tử hiện đại thế hệ mới
siêu nhỏ, thông minh và đa năng như hiện nay. Đặc biệt, các hiệu ứng
động của hệ thấp chiều đã tạo tiền đề quan trọng cho việc chế tạo hầu
hết các thiết bị quang điện tử hiện đại mà ưu điểm của chúng vượt trội
so với các linh kiện, vật liệu chế tạo theo công nghệ cũ. Nhờ đó hàng loạt
1


các linh kiện, thiết bị điện tử đã và đang được tạo ra, chẳng hạn như: các
lase bán dẫn chấm lượng tử, các điôt huỳnh quang điện, pin mặt trời,
các vi mạch điện tử tích hợp thấp chiều,. . . . Đó là các ứng dụng quan
trọng mà các các nhà khoa học vật lý đạt được khi nghiên cứu về các
hiệu ứng động trong hệ bán dẫn thấp chiều.
Chính bởi tính thời sự khoa học này mà việc nghiên cứu bán dẫn
nói chung và bán dẫn thấp chiều nói riêng đã thu hút được sự quan tâm
chú ý của nhiều nhà vật lý hiện đại, về cả cơ sở lý thuyết và thực nghiệm.
Sự giam cầm electron trong bán dẫn thấp chiều đã dẫn đến nhiều tính
chất quang, điện khác biệt so với bán dẫn khối thông thường và đã có

nhiều công trình đề cập đến tính chất này [3], [4], [5], [8], [9], [17], [19].
Khi có sóng điện từ ngoài khí electron trong bán dẫn nói chung và trong
hệ thấp chiều nói riêng trở nên linh động. Khi điều kiện cộng hưởng
tham số được thỏa mãn sẽ xuất hiện các khả năng tương tác tham số và
biến đổi tham số của một loại kích thích giống nhau (phonon ↔ phonon,
plasmon ↔ plasmon) hoặc của các loại kích thích khác nhau (phonon ↔
plasmon) dẫn đến sự trao đổi năng lượng của loại kích thích này sang
loại kích thích khác. Bức tranh vật lí ở đây có thể được miêu tả: Do
tương tác electron - phonon, sự lan truyền của phonon âm có tần số ωq
được kèm theo một sóng mật độ electron cùng tần số. Với sự có mặt của
sóng điện từ tần số Ω, sẽ xuất hiện thêm sóng mật độ điện tích có tần
số tổ hợp ωq ± nΩ (n = 1, 2, 3...). Nếu trong các sóng mật độ điện tích
tổ hợp đó tồn tại một sóng có tần số trùng hoặc gần trùng với tấn số
của phonon quang vq , tức là (ωq ± nΩ

vq ) thì sẽ có sự xuất hiện các

phonon quang. Các phonon này lại sinh ra sóng mật độ điện tích tổ hợp
với tần số vq ± nΩ và khi vq ± nΩ

ωq một sóng mật độ điện tích tổ hợp

nào đó sẽ sinh ra các phonon âm ban đầu [3], [13], [14], [16], [18]. Tương
2


tác tham số như thế sẽ dẫn đến sự tắt dần một loại kích thích đang lớn
lên và gia tăng một loại kích thích khác. Bài toán về cộng hưởng tham
số của phonon âm và phonon quang trong bán dẫn khối đã được nghiên
cứu [1], trong hố lượng tử thế vuông góc cao vô hạn [15], trong dây lượng

tử hình trụ [6]. Tuy nhiên bài toán này vẫn chưa được nghiên cứu trong
hố lượng tử thế parabol. Chính vì lý do đó, chúng tôi chọn "Cộng hưởng
tham số giữa phonon âm và phonon quang trong hố lượng tử" làm đề tài
nghiên cứu.

2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu sự cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon
quang trong hố lượng tử thế parabol dưới sự có mặt của sóng điện từ
thông qua biểu thức giải tích của biên độ trường ngưỡng và hệ số gia
tăng.

3. Nội dung nghiên cứu
- Bán dẫn thấp chiều và mô hình hố lượng tử.
- Phương pháp phương trình động lượng tử cho phonon kết hợp với
Hamitoninan của hệ electron- phonon âm và electron- phonon quang.
- Phương trình tán sắc, phổ của phonon âm và điều kiện cộng
hưởng tham số của phonon âm và phonon quang trong hố lượng tử thế
parabol.
- Biểu thức giải thích của biên độ trường ngưỡng Eth và hệ số gia
tăng tham số F của phonon âm trong hố lượng tử thế parabol.
- Tính số và vẽ đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường
3


ngưỡng Eth và hệ số gia tăng F vào số sóng q và vào tần số giam giữ ω0
ở các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phương trình động lượng tử cho phonon kết hợp với
chương trình tính số và vẽ đồ thị bằng phần mềm Matlab.

5. Giới hạn nghiên cứu
Trong đề tài này chỉ tập trung nghiên cứu tương tác của các hạt
cùng loại electron - phonon nên bỏ qua tương tác cùng loại như tương
tác electron - electron, phonon - phonon và chỉ xét cộng hưởng bậc 1
trong bài toán cộng hưởng tham số của hai loại phonon.

6. Bố cục đề tài
Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN
1.1. Tổng quan về hố lượng tử
1.1.1. Bán dẫn thấp chiều
1.1.2. Bán dẫn hố lượng tử
1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong hố lượng tử thế
parabol
Chương 2. CỘNG HƯỞNG THAM SỐ GIỮA PHONON ÂM VÀ PHONON
QUANG TRONG HỐ LƯỢNG TỬ THẾ PARABOL
2.1. Hamitonian của hệ electron - phonon trong hố lượng tử khi có
mặt của sóng điện từ
4


2.2. Phương trình động lượng tử cho phonon trong hố lượng tử
2.3. Phương trình tán sắc mô tả tương tác tham số giữa phonon
quang và phonon âm trong hố lượng tử
2.4. Biểu thức giải tích cho điều kiện cộng hưởng tham số của phonon
âm và phonon quang trong hố lượng tử
Chương 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN

5

NỘI DUNG
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN
1.1.

Tổng quan về hố lượng tử

1.1.1.

Bán dẫn thấp chiều

Hệ bán dẫn thấp chiều [7] thường được tạo ra bằng phương pháp
công nghệ hiện đại như dòng phân tử MBE (molecular beam epitaxy),
kết tủa kim loại hóa hữu cơ MOCVD (metal - organic chemical vapor
deposition),. . . (công nghệ này có khả năng tạo ra các cấu trúc với phân
bố thành phần tuỳ ý và với độ chính xác tới từng lớp phân tử riêng rẽ)
trong đó các lớp mỏng chất bán dẫn có bề rộng vùng cấm khác nhau
được tạo ra xen kẽ nhau. Một hệ bán dẫn thấp chiều là một hệ lượng
tử trong đó các hạt mang điện dịch chuyển tự do hay theo hai chiều,
một chiều hoặc không chiều. Kích thước của hệ này vào cỡ bước sóng
Debroglie của hạt mang điện nên tính chất vật lý và điện tử thay đổi. Ở
đây các quy luật cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực.
Việc phân loại hệ bán dẫn thấp chiều dựa trên số hướng không
gian mà hệ mang điện có thể chuyển động tự do. Từ đó ta có các hệ bán
dẫn thấp chiều sau:
- Hệ 2 chiều: Trong hệ này các hạt mang điện bị nhốt theo một
hướng và chuyển động tự do theo hai hướng khác còn lại (như là: màng
mỏng, cấu trúc lớp, hố lượng tử, siêu mạng).

6


- Hệ 1 chiều: Trong hệ này các hạt mang điện bị nhốt theo hai
hướng và chuyển động tự do theo một hướng khác (như là: ống nano,
dây lượng tử,. . . ).
- Hệ không chiều: Trong hệ này các hạt mang điện bị nhốt theo cả
ba hướng và không thể chuyển động tự do theo bất kì hướng nào (như
là: nhóm tinh thể, chấm lượng tử,. . . ).

1.1.2.

Bán dẫn hố lượng tử

Cấu trúc hố lượng tử trong mấy năm gần đây đã trở thành một
đối tượng nghiên cứu quan trọng, thu hút sự quan tâm của rất nhiều
nhà vật lý lý thuyết và thực nghiệm. Cấu trúc với khí electron chuẩn hai
chiều (như trong hố lượng tử và siêu mạng bán dẫn) có một loạt các tính
chất khác thường so với hệ ba chiều thông thường.

Hình 1.1: Bán dẫn hố lượng tử.

Hố lượng tử là cấu trúc trong đó một lớp mỏng bán dẫn này được
đặt giữa hai lớp chất bán dẫn khác.
7


Sự khác biệt của các cực tiểu vùng dẫn của hai chất bán dẫn đó
tạo nên một hố lượng tử đối với electron. Các electron nằm trong mỗi
chất bán dẫn này không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp

bán dẫn bên cạnh. Do vậy, trong cấu trúc hố lượng tử, các hạt tải điện
bị định xứ mạnh, chúng bị cách li lẫn nhau bởi các hố lượng tử hai chiều
mà thực chất là các lớp mỏng của bán dẫn vùng cấm hẹp. Các electron
nằm trong các hố thế khác nhau không thể tương tác được với nhau.
Đặc điểm chung của các hệ electron trong cấu trúc hố lượng tử là chuyển
động của nó theo một hướng nào đó (thường chọn là hướng z) bị giới
hạn rất mạnh chỉ còn chuyển động tự do trong mặt phẳng (x − y). Sự
giới hạn này là do electron bị giam giữ trong các hố thế năng tạo ra bởi
mặt dị tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn có độ rộng vùng cấm khác nhau.
Vì vậy bán dẫn hố lượng tử là cấu trúc nano hai chiều và khí electron
trong bán dẫn hố lượng tử là hệ electron chuẩn hai chiều.

1.2.

Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong
hố lượng tử thế parabol
Xét một cấu trúc hố lượng tử với thế giam giữ có dạng parabol,

giả thiết theo phương z, được cho bởi V0 = 21 mω02 z 2 với ω0 là tần số
giam giữ đặc trưng của hố lượng tử. Ta thấy rằng thế giam giữ electron
trong trường hợp này có dạng giống như trong bài toán chuyển động
của dao động tử điều hòa. Một cách tổng quát, năng lượng và hàm sóng
của electron trong hố lượng tử thu được bằng cách giải phương trình
Schrodinger cho electron.
Vì vậy hàm sóng và phổ năng lượng của electron lần lượt được cho

8


bởi [10]

mω0
exp (ikx + iky y)
22n π (2n + 1)!
mω02 2
mω0
× exp −
z Hn
z ,
2
√

r|n, k⊥ = Ψn,k =

εn k⊥ =

2

1
n+
2

ω0 +

kx2 + ky2
,
2m

(1.1)

(1.2)

trong đó, m là khối lượng của electron; k⊥ là véc tơ xung lượng của
electron; kx , ky là số sóng theo phương x và y, n là chỉ số lượng tử
(n = 1, 2, 3...), Hn (x) là đa thức Hermite bậc n của x.

9


Chương 2
CỘNG HƯỞNG THAM SỐ GIỮA PHONON ÂM
VÀ PHONON QUANG TRONG HỐ LƯỢNG TỬ
THẾ PARABOL
2.1.

Hamitonian của hệ electron - phonon trong hố
lượng tử khi có mặt của sóng điện từ
Chúng ta khảo sát tương tác của hệ electron - phonon (phonon âm

và phonon quang) trong hố lượng tử khi có sự xuất hiện của sóng điện
trường ngoài thì Hamitonian hệ electron - phonon trong hố lượng tử có
dạng
H = He + Hp + Hep ,

(2.1)

trong đó, số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai của phương trình lần lượt
là Hamitonian của electron và Hamitonian của phonon, được cho bởi
ε⊥ k⊥ −

He =

e
A (t) c+
c ,
n,k⊥ n,k⊥
c

(2.2)

n,k⊥

ωq aq+ a q +

Hp =

vq bq+ bq ,

(2.3)

q

với c+
n,k

⊥

(cn,k⊥ ) là toán tử sinh (hủy) electron ở trang thái n, k⊥ ;

aq+ (aq ) và bq+ (bq ) lần lượt là toán tử sinh (hủy) của phonon âm và
phonon quang; k⊥ (q) là véc tơ xung lượng của electron (phonon).

10


Hamitonian trong số hạng cuối cùng của phương trình mô tả sự
tương tác của electron - phonon và được viết dưới dạng
ε⊥ k⊥ −

He =

e
A (t) c+
c ,
n,k⊥ n,k⊥
c

(2.4)

n,k⊥

trong đó, Mnn (q) = Cq Inn (q) và Nnn (q) = Dq Inn (q) là yếu tố ma trận
tương tác electron - phonon quang và phonon âm, với Inn (q) là thừa số
2

dạng của electron được cho bởi |Inn (q)| =
×

Lnn −n

q2
mω0

q2
mω0

n −n

2

[12, 11], Cq là hệ số tương tác electron - phonon quang

2πe2 ω0
1
1
ε0 V
χ∞ − χ0
ξ2
|Dq |2 = 2ρυ
q [15];
s

|Cq |2 =
âm

− q2

n!
mω0
2n ! mω0 e

1

q2 ,

Dq là hệ số tương tác của electron - phonon

ω0 : năng lượng phonon quang, e: điện tích của

e− , ε0 : hằng số điện môi, V : thể tích, ξ: hằng số biến dạng, υs : vận tốc
sóng âm; χ0 (χ∞ ): hằng số điện môi tĩnh (cao tần), ρ: mật độ tinh thể;
ωq (vq ) là tần số của phonon âm (quang), A (t) là thế véc tơ của trường
điện từ được xác định bởi − 1c dA(t)
dt = E0 sinΩt.

2.2.

Phương trình động lượng tử cho phonon trong
hố lượng tử
Sử dụng phương trình động lượng tử cho electron trong hố lượng

tử ta có
∂
aq t = [aq , H] t .
(2.5)
∂t
Thay Hamiltonian cho bởi toán tử (2.1), (2.2), (2.3) và (2.4) vào (2.5) và
i

tính toán các giao hoán tử ở vế phải


e

aq ,
εn k⊥ − A (t) c+
c  = 0.
n,k⊥ n,k⊥
c
n,k⊥

11






ωq aq , a+
a
q q

ω q a+
a =
q q

aq ,

q

q

aq a+
a − a+

a a
q q
q q q

ωq

=
q

aq , a+
aq + a+
a a − a+
a a
q
q q q
q q q

ωq

=
q

ωq aq δqq = ωq aq .

=
q





vq b+
b  = 0.
q q

aq ,
q





aq ,

c+
n ,k

Mnn q

⊥ +q

 = 0.
cn,k⊥ bq + b+
−q

n,n k⊥ ,q

Vậy ta thu được kết quả

aq ,


Nnn q

c+
n ,k

cn,k⊥
⊥ +q


aq + a+
−q

n,n k⊥ q

=

Nnn q

c+
n ,k

Nnn q

c+
n ,k

cn,k⊥
⊥ +q

aq , aq + a+
−q

cn,k⊥
⊥ +q

aq , a+
−q

n,n k⊥ q

=
n,n k⊥ q

=

Dq Inn q

c+
n ,k

⊥ +q

cn,k⊥ δq,q

n,n k⊥ q

Inn (q) c+
n ,k

=

⊥ −q

cn,k⊥ .

n,n ,k⊥

Từ đó phương trình (2.5) có thể viết dưới dạng:
i

∂
aq
∂t

t

=

Nnn (−q) c+
n ,k

ωq aq t +
n,n ,k⊥

12

⊥ −q

cn,k⊥ .
t

(2.6)


Tương tự ta lại thiết lập phương trình cho c+
n ,k
i

∂ +
c
c
∂t n ,k⊥ −q n,k⊥

c+
n ,k

=
t

⊥ −q

⊥ −q

cn,k⊥

cn,k⊥ , H

Lần lượt tính


c+
n ,k

⊥

, ta có
t

.

(2.7)

t



c ,
−q n,k⊥

k⊥ −

εn

e
A (t) c+
c
n ,k⊥ n
c

,k⊥



n ,k⊥

=

εn

k⊥ −

e
A (t)
c

εn

k⊥ −

e
A (t)
c

c+
n ,k

cn,k⊥ , c+
c
−q

n ,k⊥ n ,k⊥
⊥

n ,k⊥

=
n ,k⊥

× c+
n ,k

cn,k⊥ , c+
c
n ,k⊥ n
e
k⊥ − A (t)
c

⊥ −q

εn

=

,k⊥

− c+
c
n ,k n
⊥

+
,k⊥ cn ,k⊥ −q cn,k⊥

n ,k⊥

× c+
n ,k

⊥ −q

cn,k⊥ , c+
n ,k

− c+
cn
n ,k

+
,k⊥ , cn ,k⊥ −q

⊥

k⊥ −

εn

=

⊥

+

+

cn

,k⊥

− c+
n ,k

⊥ −q

c+
c c
n ,k n,k⊥ n

+
cn,k⊥ + c+
c
n ,k n ,k
⊥

⊥

⊥ −q

cn

,k⊥

,k⊥ cn,k⊥

e
A (t)
c

n ,k⊥

× c+
n ,k

⊥ −q

cn

,k⊥ δn,n

δk ⊥ , k − c +
n ,k
⊥

⊥ −q

c+
c c
n ,k n,k⊥ n
⊥

,k⊥

+
+
− c+
c
δ
δ
+
c
c
c
c
n
,n
n,
k
k
k
−q
⊥
⊥
n ,k⊥
n ,k⊥ n ,k⊥ −q n ,k⊥ n,k⊥
⊥
e
e
c
−
ε

k
−
q
−
A (t) c+
c
=εn k⊥ − A (t) c+
n
⊥
n,
k
⊥
n
,
k
−q
n ,k⊥ −q n,k⊥
⊥
c
c
e
e
= εn k⊥ − A (t) − εn k⊥ − q − A (t) c+
c
n ,k⊥ −q n,k⊥
c
c
e
= εn k⊥ − εn k⊥ − q −
q A (t) c+

c
n ,k⊥ −q n,k⊥
mc



c+
n ,k

ω q a+
a  = 0.
q q

cn,k⊥ ,
⊥ −q
q

13





c+
n ,k

vq b+
b  = 0.
q q

cn,k⊥ ,
⊥ −q
q





c+
n ,k

Mn1 n1 (q1 ) c+
n

cn,k⊥ ,
⊥ −q

1


bq1 + b+
−q1

c
,k⊥1 +q1 n1 ,k⊥1

n1 ,n1 k⊥1 ,q1

Mn1 n1 (q1 ) c+
n ,k

=

⊥

+
c
,
c
n,
k
⊥
−q
n

,k⊥1 +q1

1

bq1 + b+
−q1

cn1 ,k⊥1

n1 ,n1 k⊥1 ,q1

Mn1 n (q1 ) c+
n ,k

=

⊥

+
b
c
+
b
q
1
−q1
n
,
k
−q
⊥
1
1
−q

n1 ,q1

Mnn1 (q1 ) c+
n

−

1

bq1 + b+

−q1

c
,k⊥1 −q+q1 n,k⊥

n1 ,q1

Mnn (q1 ) c+
n ,k

=

cn ,k⊥ −q1
⊥ −q

− c+
n ,k

cn,k⊥
⊥ −q+q1

bq1 + b+
−q1 .

q

1



c+
n ,k

⊥ −q

Nn1 n1 (q1 ) c+
n

cn,k⊥ ,

c
,k⊥1 +q1 n1 ,k⊥1


aq1 + a+
−q1

c
,k⊥1 +q1 n1 ,k⊥1

aq1 + a+
−q1

1

n1 ,n1 k⊥1 ,q1

Nn1 n1 (q1 ) c+
n ,k

=

⊥ −q

cn,k⊥ , c+
n

1

n1 ,n1 k⊥1 ,q1

Nn1 n1 (q1 ) c+
n ,k

=

⊥ −q

cn,k⊥ δn,n1 δk⊥ ,k⊥1 +q1

n1 ,n1 k⊥1 ,q1

− c+
c δ
δ
× aq1 + a+
−q1
n1 ,k⊥1 +q1 n,k⊥ n1 ,n k⊥1 ,k⊥ −q

Nn1 n (q1 ) c+

n ,k

=

⊥ −q

Nn n1 (q1 ) c+
n

cn1 ,k⊥ −q1 −

n1 ,q1

1

n1 ,q1

× aq1 + a+
−q1
Nnn (q1 ) c+
n ,k

=

cn ,k⊥ −q1
⊥ −q



− c+

n,k

q1

× aq1 + a+
−q1 .

14

⊥ −q+q1

cn,k⊥

c
,k⊥ −q+q1 n,k⊥




Như vậy (2.7) thành
i

∂ +
c
c
∂t n ,k⊥ −q n,k⊥

t

= εn k⊥ − εn k⊥ − q −

+

Mnn (q1 )

c+
n ,k

Nnn (q1 )

c+
n ,k

e
q A (t)
mc
− c+
n,k

cn ,k⊥ −q1
⊥ −q

q1

+

⊥ −q

c+
n ,k
⊥ − +qq1

cn ,k⊥ −q1 − c+
n,k

⊥ −q

cn,k⊥

bq1 + b+
−q1

cn,k⊥

⊥ −q+q1

t

cn,k⊥

aq1 + a+
−q1

q1

t

.
t

(2.8)

Để giải phương trình vi phân không thuần nhất (2.8) trước hết ta giải
phương trình vi phân thuần nhất sau
i

∂
c+
c
∂t n ,k⊥ −q n,k⊥

0
t

= εn k⊥ − εn k⊥ − q −

e
q A (t)
mc

c+
n ,k

⊥

0

c
−q n,k⊥

.

(2.9)

t

Giả thiết tại t = −∞ thì trường sóng điện từ chưa có mặt, khi đó hệ
electron, phonon không tương tác và nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt
động. Do đó
c+
n ,k

⊥ −q

cn,k⊥

= 0.
t=−∞

Lấy tích phân hai vế của (2.9)
t

∫
−∞

∂ c+
n ,k

0
⊥

c

−q n,k⊥

t
0

c+
n ,k

=

−i

−∞

cn,k⊥
⊥ −q
t

⇒ c+
n ,k

t

∫

0
⊥

c
−q n,k⊥

= exp
t

εn k⊥ − εn k⊥ − q −

−i

e
q A (t) dt1 .
mc

t

∫
−∞

εn k⊥

− εn k⊥ − q −

15

e
q A (t) dt1 .
mc