Định lý xấp xỉ stone - weierstrass

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Th.S Nguyễn Quốc Tuấn, giảng viên khoa
Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người đã tận tình hướng dẫn
để tôi có thể hoàn thành khóa luận này.
Trong quá trình học tập, đặc biệt là trong suốt quá trình làm khóa
luận tôi đã nhận được sự dạy dỗ ân cần cũng như những động viên,
chỉ bảo, tạo điều kiện của Quý thầy, cô giáo tham gia giảng dạy, công
tác tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Qua đây, tôi xin được gửi
lời cảm ơn tới Quý thầy, cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2, cùng Quý thầy, cô giáo giảng dạy trong
toàn khóa học.
Nhân dịp này, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất
tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Xuân Hòa, ngày 01 tháng 05 năm 2014.
Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền Nga


LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn của thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn, khóa luận
tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Sư phạm Toán với đề tài
"Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass"
được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng
với bất cứ khóa luận khác.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, tôi đã thừa kế
những thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn

sâu sắc.
Xuân Hòa, ngày 01 tháng 05 năm 2014.
Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền Nga


Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 1.Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1. Định nghĩa không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2. Sự hội tụ trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3. Lân cận, tập đóng, tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.4. Phần trong, bao đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.5. Ánh xạ liên tục trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.6. Không gian metric compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2. Không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4. Một số khái niệm về đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Chương 2.Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . .

21

2.1. Định lý xấp xỉ Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.1. Đa thức Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.2. Định lý xấp xỉ Weierstrass (1885) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2. Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.1. Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass trong tập compact . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.2. Định lý Stone-Weierstrass trong tập compact địa phương . . . . . . . . . . .

32

2.2.3. Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass trong tập số phức . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3

Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

2.3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Nguyễn Thị Huyền Nga

4

K36B - Sư phạm Toán


MỞ ĐẦU
Năm 1885, Weierstrass công bố kết quả “Mọi hàm số liên tục xác
định trên một khoảng đóng [a, b] có thể xấp xỉ đều bởi một hàm đa
thức”. Đến năm 1937, khi nghiên cứu về đại số các hàm liên tục trên
không gian Hausdoft compact, Marshall H. Stone đã mở rộng định
lý xấp xỉ Weierstrass. Trong đó, Ông thay thế đoạn [a, b] bởi tập
compact hoặc tập compact địa phương và đa thức được thay thế bởi
các phần tử của đại số thỏa mãn một số tiên đề cho trước. Để ghi

nhận công lao của hai nhà Toán học trên, người ta đã đặt tên định
lý mở rộng của định lý xấp xỉ Weierstrass là định lý xấp xỉ Stone Weierstrass.
Hiện nay, có rất nhiều tài liệu đề cập đến định lý xấp xỉ Stone Weierstrass, nhưng trong phạm vi của một bài khóa luận, tôi chỉ tiến
hành nghiên cứu định lý khi xét trên tập compact, tập compact địa
phương, tập số phức và ứng dụng của nó. Từ đó, phần nào hoàn thiện
kiến thức về Giải tích Toán học cho bản thân, đồng thời giới thiệu
cho các bạn sinh viên một cái nhìn sâu sắc về định lý xấp xỉ Stone Weierstrass.
Vì lý do trên, cùng với sự góp ý động viên và tận tình giúp đỡ của
thầy cô, đặc biệt là thầy Th.S Nguyễn Quốc Tuấn với sự đam mê của
bản thân, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài
"Định lý xấp xỉ Stone - Weierstrass"
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo,
khóa luận của tôi gồm hai chương:
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
5


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

Chương này hệ thống lại các kiến thức cơ sở về không gian metric
compact, không gian topo, không gian định chuẩn, các khái niệm Đại
số, Đại số Banach.
Chương 2. Định lý xấp xỉ Stone - Weierstrass.
Trong chương này, tôi nghiên cứu về định lý xấp xỉ Stone - Weierstrass xét trên không gian Hausdoft compact và tìm hiểu ứng dụng
của định lý đó.
Mặc dù khóa luận đã hoàn thành với sự đam mê và cố gắng của
bản thân, song do trình độ và thời gian có hạn, nên trong quá trình
viết cũng như trong quá trình in ấn khóa luận không tránh khỏi những
thiếu sót nhất định. Vì vậy, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của
Quý thầy, cô và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.

Nguyễn Thị Huyền Nga

6

K36B - Sư phạm Toán


Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
1.1.

Không gian metric

1.1.1.

Định nghĩa không gian metric

Trong Toán học, một không gian metric là một tập hợp mà trong
đó khái niệm về khoảng cách giữa các phần tử đã được định nghĩa.
Không gian metric gần nhất với hiểu biết trực quan của con người là
không gian Euclide ba chiều R3 . Metric Euclide (khoảng cách) giữa
hai điểm trong không gian Euclide R3 là độ dài đoạn thẳng nối chúng.
Bây giờ, ta sẽ đi tìm hiểu cụ thể hơn về khái niệm này.
Định nghĩa 1.1.1 (xem [2]). Không gian metric là một tập hợp X ,
sao cho với mọi x, y ∈ X xác định một số d(x, y), gọi là khoảng cách
giữa x và y thỏa mãn các tiên đề:
i) Xác định dương, có nghĩa là với mọi x, y ∈ X, d(x, y) ≥ 0. Dấu
bằng xảy ra nếu và chỉ nếu x = y .
ii) Đối xứng, có nghĩa là với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x).

iii) Bất đẳng thức tam giác, có nghĩa là với mọi x, y, z ∈ X

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Ta kí hiệu không gian (X, d) với tập nền X và metric (khoảng cách)
d.
7


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

Ví dụ 1.1 (Các không gian metric thông thường, xem [2]).
i) Không gian R là không gian metric với metric

d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ R.
ii) Không gian Rn là không gian metric với metric
n

(xi − yi )2

d(x, y) =
i=1

với x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn .
iii) Cho X là một tập bất kỳ. Đặt



1, x = y
d(x, y) =



0, x = y,
xác định một metric trên X và được gọi là metric rời rạc.
∞

iv) Xét lp = {x = (x1 , x2 , ..., xn , ...) :

|xn |p < ∞} với metric

n=1
∞

|xn − yn |

dp (x, y) =

p

1
p

,

n=1

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn , ..), và y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ lp . Khi đó,
không gian (X, dp ) là một không gian metric.
v) Xét C[a,b] gồm tất cả các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Trên X
ta xác định một metric

d∞ (x, y) = max |x(t) − y(t)|, x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b] .
a≤t≤b

Khi đó, không gian (C[a,b] , d∞ ) lập thành một không gian metric.

1.1.2.

Sự hội tụ trong không gian metric

Định nghĩa 1.1.2 (xem [2]). Cho (X, d) là một không gian metric.
Phần tử x ∈ X được gọi là giới hạn của dãy các phần tử {xn } ⊂ X
Nguyễn Thị Huyền Nga

8

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

(kí hiệu xn → x, n → +∞ hoặc lim xn := x) nếu d(xn , x) → 0
n→+∞

khi n → ∞, có nghĩa là với mọi > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại số tự nhiên
n0 > 0 sao cho với mọi n > n0 ta đều có d(xn , x) < .
Một số tính chất đơn giản
i) Giả sử dãy {xn } là dãy các phần tử trong không gian metric X .
Nếu dãy {xn } hội tụ thì nó hội tụ đến một phần tử duy nhất. Thật
vậy nếu xn → x và xn → y , n → +∞ thì

0 ≤ d(x, y) ≤ d(xn , x) + d(xn , y) → 0, n → ∞.
Do đó d(x, y) = 0 hay x = y.
ii) Metric d(·, ·) là hàm liên tục theo cả hai biến. Thật vậy, với mọi
x, y, z, u ∈ X thì

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ≤ d(x, z) + d(z, u) + d(u, y).
Suy ra,

d(x, y) − d(z, u) ≤ d(u, y) + d(x, z).
Đổi vai trò của x, y, z, u ta có

d(z, u) − d(x, y) ≤ d(u, y) + d(x, z).
Như vậy

|d(z, u) − d(x, y)| ≤ d(u, y) + d(x, z).
Từ đó nếu z → x, u → y thì

|d(z, u) − d(x, y)| ≤ d(u, y) + d(x, z) → 0 khi (n → ∞).
iii) Giả sử dãy {xn } gồm các phần tử trong không gian metric X ,
hội tụ đến x trong (X, d), và {xnk } là dãy con của dãy {xn }. Khi
đó, dãy {xnk } cũng hội tụ đến x trong (X, d). Thật vậy, d(xnk , x) ≤
d(xnk , xn )+d(xn , x). Ta có lim d(xnk , xn ) = 0 và lim d(xn , x) = 0.
nk ,n→∞

n→∞

Suy ra, xnk → x khi nk → ∞.

Nguyễn Thị Huyền Nga

9

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

1.1.3.

Lân cận, tập đóng, tập mở

Định nghĩa 1.1.3 (xem [2]). Cho (X, d) là một không gian metric,
x0 ∈ X và số thực dương r. Tập hợp tất cả các phần tử trong X cách
x0 một khoảng nhỏ hơn r, được gọi là hình cầu mở tâm x0 bán kính
r, kí hiệu S(x0 , r), hay

S(x0 , r) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r}.
Tương tự, tập hợp tất cả các phần tử trong x cách x0 một khoảng
không lớn hơn r, được gọi là hình cầu đóng tâm x0 bán kính r, kí
hiệu S(x0 , r), hay

S(x0 , r) = {x ∈ X : d(x, x0 ) ≤ r}.
Định nghĩa 1.1.4 (xem [2]). Cho A là tập con của không gian metric
(X, d). Tập A được gọi là lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại số > 0
sao cho S(x, ) ⊂ A.
Định nghĩa 1.1.5 (xem [2]). Cho không gian metric (X, d), x ∈ X
và A là tập con của X.
i) Điểm x được gọi là điểm trong của tập A nếu tồn tại một lân
cận mở của x nằm trong A, hay tồn tại số > 0 sao cho

S(x, ) ⊂ A.
ii) Điểm x được gọi là điểm ngoài của tập A nếu tồn tại một lân
cận của x không chứa điểm nào thuộc A, hay tồn tại số > 0 sao cho

S(x, ) ⊂ X\A.
iii) Điểm x được gọi là điểm biên của tập A nếu mọi lân cận của
x đều chứa những điểm thuộc A và những điểm không thuộc A, hay
mọi số > 0 ta có

S(x, ) ∩ A = ∅, S(x, ) ∩ (X\A) = ∅.
iv) Điểm x được gọi là điểm dính của tập A nếu với mọi lân cận
của x đều chứa ít nhất một điểm thuộc A, hay với mọi số > 0 ta có

S(x, ) ∩ A = ∅.
Nguyễn Thị Huyền Nga

10

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

v) Điểm x được gọi là điểm giới hạn của tập A nếu với mọi lân
cận của x đều chứa ít nhất một điểm thuộc A khác x, hay với mọi số
> 0 ta có
S(x, ∅) ∩ (A\x) = ∅.
vi) Điểm x được gọi là điểm cô lập của tập A nếu x thuộc A và
tồn tại một lân cận của x không chứa bất kỳ điểm nào của A khác x,
hay tồn tại ε > 0 sao cho

S(x, ε) ∩ A = x.
Định nghĩa 1.1.6 (xem [2]). Cho không gian metric (X, d) và tập
A là tập con của X .
i) Tập A được gọi là tập mở trong không gian (X, d) nếu mọi điểm
thuộc A đều là điểm trong của A, hay nói cách khác nếu điểm x ∈ A
thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A.
ii) Tập A được gọi là tập đóng trong không gian (X, d) nếu mọi
điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác nếu
điểm x ∈
/ A, thì tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc
tập A.
Hệ quả 1.1.1 (xem [2]). Trong không gian metric bất kỳ (X, d),
phần bù của tập mở là tập đóng, phần bù của tập đóng là tập mở.
Các tập X, ∅ vừa là tập đóng, vừa là tập mở.

1.1.4.

Phần trong, bao đóng

Định nghĩa 1.1.7 (xem [2]). Cho không gian metric (X, d) và tập
A là tập con của X .
i) Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A được gọi là phần trong
của A, kí hiệu int A.
ii) Giao của tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của
A, kí hiệu A.
Chú ý 1.1.1 (xem [2]). Cho không gian metric (X, d) và các tập A, B
là con của X . Khi đó,
Nguyễn Thị Huyền Nga

11

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

i) int ∅ = ∅, ∅ = ∅;
ii) int X = X, X = X ;
iii) Nếu A ⊂ B thì int A ⊂ B và A ⊂ B ;
iv) int(A ∩ B) = int A ∩ int B, A ∪ B = A ∪ B;
v) Tập A là tập mở trong X nếu và chỉ nếu int A = A;
vi) Tập A là tập đóng trong X nếu và chỉ nếu bao đóng của A là
tập A.
Định lý 1.1.1 ([xem [2]). Cho không gian metric (X, d) và tập A là
tập con của X . Phần trong int A của tập A là tập tất cả các điểm
trong của A, và int A là tập mở trong X . Bao đóng A của tập A là
tập hợp các điểm tụ của tập A, và A là tập đóng trong X.
Định lý 1.1.2 ([xem [2]). Cho không gian metric bất kỳ (X, d) và A
là tập con của X . Khi đó, phần trong của A được xác định bởi

int A = X \ (X \ A).
Định nghĩa 1.1.8 (xem [2]). Cho không gian metric (X, d), tập A, B
là các tập con X .
i) Tập A được gọi là trù mật trong B nếu B ⊂ A.
ii) Nếu A = X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X .
Chú ý 1.1.2 (xem [2]). Bao đóng của tập A là tập X nếu và chỉ nếu
với mọi x ∈ X , với mọi > 0 tồn tại a ∈ A sao cho d(x, a) < .

1.1.5.

Ánh xạ liên tục trong không gian metric

Trong phần này ta xét f là ánh xạ đi từ không gian metric (X, d1 )
vào không gian metric (Y, d2 ).
Định nghĩa 1.1.9 (xem [2]). Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm
x0 ∈ X nếu với mọi dãy điểm {xn } là tập con của X hội tụ tới điểm
x0 trong không gian (X, d1 ), thì dãy điểm {f (xn )} hội tụ tới f (x0 )
trong không gian (Y, d2 ).

Nguyễn Thị Huyền Nga

12

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

Định nghĩa 1.1.10 (xem [2]). Ánh xạ f được gọi là liên tục trên tập
A ⊂ X nếu ánh xạ f liên tục tại mọi điểm x ∈ A. Khi A = X thì
ánh xạ f được gọi là liên tục.
Định nghĩa 1.1.11 (xem [2]). Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên
tập A ⊂ X nếu với mọi > 0 cho trước bé tùy ý tồn tại δ > 0 sao cho
với mọi x, x thuộc A mà d1 (x, x ) < δ ta đều có d2 (f (x), f (x )) < .
Định lý 1.1.3 (xem [2]). Năm mệnh đề sau đây là tương đương:
i) Hàm f liên tục;
ii) Tạo ảnh của tập đóng bất kỳ trong (Y, d2 ) là tập đóng trong
(X, d1 );
iii) Tạo ảnh của tập mở bất kỳ trong (Y, d2 ) là tập mở trong (X, d1 );

iv) Với mọi tập A ⊂ X ta đều có f (A) ⊂ (f (A));
v) Với mọi tập B ⊂ Y ta đều có f −1 (int B) ⊂ int (f −1 (B)).
Tiếp theo, ta sẽ tìm hiểu một số khái niệm và tính chất của không
gian metric đầy và không gian metric compact.
Định nghĩa 1.1.12 (xem [2]). Cho không gian metric (X, d). Dãy
điểm {xn } ⊂ X được gọi là dãy cơ bản trong (X, d) nếu với mọi
> 0 cho trước bé tùy ý tồn tại số tự nhiên n0 ∈ N∗ sao cho với mọi
m, n ≥ n0 ta đều có d(xm , xn ) < , tức là

lim

n,m−→∞

d(xn , xm ) = 0.

Định nghĩa 1.1.13 (xem [2]). Không gian metric (X, d) được gọi là
không gian đầy (đủ) nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này là hội
tụ.

1.1.6.

Không gian metric compact

Định nghĩa 1.1.14 (xem [2]). Cho không gian metric (X, d). Tập
K ⊂ X được gọi là tập compact trong không gian (X, d) nếu với mọi
dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa ít nhất một dãy con hội
tụ tới phần tử thuộc tập K . Tập K được gọi là tập compact tương
Nguyễn Thị Huyền Nga

13

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

đối trong không gian (X, d) nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc
K đều chứa ít nhất một dãy con hội tụ tới phần tử thuộc X .
Định nghĩa 1.1.15 (xem [2]). Không gian metric (X, d) được gọi là
không gian metric compact (compact) nếu tập X là tập compact.
Ví dụ 1.2 (Ví dụ về không gian metric compact, xem [2]).
i) Trong không gian metric R (tập số thực R với metric tự nhiên)
đoạn bất kỳ là tập compact, khoảng bất kỳ là tập compact tương đối.
Các khẳng định trên suy ra từ bổ đề Bolzano-Weierstrass. Nhờ đó dễ
dàng chứng minh trong không gian Euclide Rn tập bất kỳ đóng và bị
chặn là tập compact, tập bất kỳ bị chặn là tập compact tương đối.
ii) Không gian metric C[a,b] không là không gian compact, vì dãy
hàm số xn (t) = n trên đoạn [a, b] với (n = 1, 2, ...) không chứa dãy
con nào hội tụ.
Định nghĩa 1.1.16 (xem [2]). Cho không gian metric (X, d). Tập A
là tập con của X được gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu với mọi số
dương cho trước tùy ý, ta đều tìm được một số hữu hạn các hình
cầu S1 , S2 , ...Sk (k là số dương nào đó) với bán kính sao cho
k

A⊂

Sj .
j=1

Khi đó, ta cũng nói các hình cầu S1 , S2 , ...Sk phủ tập A.
Định lý 1.1.4 (Tiêu chuẩn compact Hausdoff, xem [2]).
Không gian metric (X, d) là không gian compact nếu và chỉ nếu
(X, d) là không gian đầy và tập X hoàn toàn bị chặn.
Định nghĩa 1.1.17 (xem [2]). Cho không gian metric (X, d) và tập
A ⊂ X . Họ (Gα )α∈I gồm các tập mở trong (X, d) (I là tập chỉ số có
lực lượng nào đấy) được gọi là một phủ mở của A nếu
Gα ⊃ A.
α∈I

Khi tập I hữu hạn, thì họ (Gα )α∈I được gọi là phủ mở hữu hạn của
A.

Nguyễn Thị Huyền Nga

14

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

Định lý 1.1.5 (Định lý về ánh xạ liên tục trên tập compact, xem
[2]).
Cho hai không gian metric (X, d1 ), (Y, d2 ) và ánh xạ f ánh xạ X
vào Y . Nếu ánh xạ f liên tục trên tập compact K là tập con của X ,
thì
i) Ánh xạ f liên tục đều trên K ;
ii) Tập f (K) là tập compact trong không gian Y .
Định lý 1.1.6 (Tiêu chuẩn compact Heine-Borel, xem [2]).

Tập K ⊂ X là tập compact trong không gian metric (X, d) nếu
và chỉ nếu mọi phủ mở (Gα )α∈I của tập K đều chứa một phủ mở con
hữu hạn của K .

1.2.

Không gian topo

Định nghĩa 1.2.1 (xem [3]). Cho một tập hợp X = ∅. Họ τ các tập
hợp con nào đó của X được gọi là một topo trên X nếu
i) Các tập ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;
ii) Giả sử dãy {Gα }α∈I là dãy tùy ý những tập thuộc τ suy ra
∪ Gα ∈ τ (trong đó I là tập chỉ số bất kỳ);
α∈I

iii) Với mọi G1 , G2 ∈ τ suy ra G1 ∩ G2 ∈ τ.
Ví dụ 1.3 (Không gian topo, xem [3]). Cho X là tập hợp tùy ý khác
rỗng và A là tập con của X.
i) Họ τ = (∅, X) là một topo trên X . Không gian (X, τ ) được gọi
là không gian topo thô (hoặc không gian phản rời rạc).
ii) Họ τ = {A|A ⊂ X} là một topo trên X . Không gian (X, τ )
được gọi là không gian topo rời rạc.
iii) Họ τ = {∅, A, X} là một topo trên X .
Định nghĩa 1.2.2 (Không gian compact địa phương, xem [3]). Không
gian topo X được gọi là không gian topo compact địa phương (compact địa phương) nếu mỗi x ∈ X đều tồn tại một lân cận chứa trong
một tập compact trong không gian X .
Nguyễn Thị Huyền Nga

15

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

Định nghĩa 1.2.3 (xem [14]). Không gian topo X được gọi là không
gian Hausdoff nếu mỗi cặp điểm x, y bất kỳ của không gian X luôn
tồn tại hai lân cận U của x và V của y rời nhau, có nghĩa là U ∩V = ∅.
Định lý 1.2.1 (xem [3]). Không gian Hausdoff X là compact địa
phương nếu và chỉ nếu với mỗi phần tử của X thì tồn tại không gian
con compact C của X sao cho nó thuộc phần trong của C .
Compact hóa là một quá trình biến một không gian topo thông
thường thành một không gian compact. Trong một vài trường hợp
nhất định, ta có thể compact hóa một không gian không compact
bằng cách thêm vào đó một điểm và gọi là compact hóa một điểm. Đó
cũng là một khái niệm hữu ích khi xét không gian Hausdoff compact
địa phương.
Định nghĩa 1.2.4 (xem[3]). Cho (X, τ ) là không gian Hausdoff com∼
pact địa phương. Đặt X ≡ X ∪ {∞} trong đó ký hiệu ∞ là điểm
∼
∼
không thuộc X và được gọi là điểm vô cực. Cơ sở topo τ của X là
∼

τ = τ ∪ K C trong đó K là tập compact con của X

,

∼

trong đó K C là phần bù của K trong X , hay K C là cơ sở tập mở
∼ ∼
chứa ∞. Khi đó, (X , τ ) được gọi là compact của không gian (X, τ ).
Bổ đề 1.2.1 (xem[14]). Nếu (X, τ ) là không gian Hausdoff compact
∼ ∼
địa phương, khi đó X , τ là không gian compact Hausdoff.

1.3.

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.3.1 (Không gian tuyến tính, xem [1]). Ta nói X là
một không gian tuyến tính trên trường số K (thường xét K = R hoặc
C) nếu với mọi x, y ∈ X , xác định hai phép toán: cộng vector x + y
và nhân vector với vô hướng αx, thỏa mãn các tiên đề sau
i) x + y = y + x , ∀x , y ∈ X (tính chất giao hoán của phép cộng);
ii) (x + y) + z = x + (y + z ), ∀x , y, z ∈ X (tính chất kết hợp của
phép cộng);
Nguyễn Thị Huyền Nga

16

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

iii) Tồn tại một phần tử 0 sao cho x + 0 = x , ∀x ∈ X (phần tử
này gọi là phần tử không);
iv) Ứng với mỗi phần tử x thuộc X ta có một phần tử −x thuộc

X sao cho x + (−x ) = 0 (phần tử −x được gọi là phần tử đối của x );
v) 1.x = x , ∀x ∈ X ;
vi) α(βx ) = (αβ)x , ∀x ∈ X (α, β là những số bất kỳ);
vii) (α + β)x = αx + βx , ∀x ∈ X ;
viii) α(x + y) = αx + αy , ∀x , y ∈ X .
Phần tử không và phần tử đối là duy nhất.
Ví dụ 1.4 (xem [1]).
i) Không gian X = R1 , phép cộng và nhân với một số thực hiện
bình thường.
ii) Không gian X = R2 , phép cộng vector và nhân với một số thực
hiện theo từng thành phần: Giả sử x = (x1 , ..., xn ); y = (y1 , ..., yn ).
Khi đó x + y = (x1 + y1 , ..., xn + yn ) và αx = (αx1 , ..., αxn ).
iii) Không gian X = l2 , phép cộng và nhân với đại lượng vô hướng
được thực hiện theo từng thành phần. Giả sử x = (x1 , ..., xn , ...) ∈ l2
và y = (y1 , ..., yn , ...) ∈ l2 . Đặt x + y = (x1 + y1 , ..., xn + yn , ...) và
αx = (αx1 , ..., αxn , ...). Dễ thấy αx ∈ l2 với mọi α ∈ R. Bao hàm
thức x + y ∈ l2 suy ra từ bất đẳng thức:
∞

∞
2

|xn + yn | ≤
n=1

∞
2

|yn |2 < +∞.

|xn | +
n=1

n=1

Từ nay về sau, để cho xác định nếu không nói gì thêm, ta chỉ xét
không gian tuyến tính trên trường số thực và phức.
Định nghĩa 1.3.2 (Không gian tuyến tính định chuẩn, xem [1]).
Cho X là một không gian tuyến tính. Ta nói X là không gian tuyến
tính định chuẩn (định chuẩn) nếu với mọi x ∈ X xác định một số,
được gọi là chuẩn của x (kí hiệu x ) thỏa mãn ba tiên đề sau:
i) Xác đinh dương, có nghĩa là với mọi x ∈ X, x ≥ 0. Đẳng thức
xảy ra nếu và chỉ nếu x = 0.

Nguyễn Thị Huyền Nga

17

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

ii) Thuần nhất dương, có nghĩa là với mọi x ∈ X, λ ∈ R, x =
|λ| x .
Nếu X xác định trên trường C thì |λ| là mođun của số phức λC.
iii) Bất đẳng thức tam giác, có nghĩa là với mọi x ∈ X , thì

x +y ≤ x + y .
Mọi không gian tuyến tính định chuẩn (X, · ) là không gian metric với khoảng cách được xác định như sau

d(x, y) := x − y , ∀x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.3.3 (xem [1]). Dãy điểm {xn } của không gian định
chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim xn − x = 0,
n→∞

kí hiệu

lim xn = x hay xn −→ x(n −→ ∞).

n→∞

Định nghĩa 1.3.4 (xem [1]). Dãy điểm {xn } trong không gian định
chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu lim xn − xm = 0.
m,n→∞

Định nghĩa 1.3.5 (xem [1]). Không gian định chuẩn X được gọi là
không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.5 (xem [1]). Đối với số thực bất kì x ∈ R ta đặt

x = |x| .

(1.3.1)

Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.3.1)
cho một chuẩn trên R. Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là
R1 .
Ví dụ 1.6 (xem [1]). Cho không gian vector Rn . Đối với vector bất kì
x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , ta đặt
1

p

n

x

p

|xi |p

=

, 1 ≤ p < +∞

(1.3.2)

i=1

hoặc

x
Nguyễn Thị Huyền Nga

∞

= sup |xi |.

(1.3.3)

1≤i≤n

18

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

Ví dụ 1.7 (xem [1]). Cho không gian vector l2 . Đối với vector bất kì
x = (xn ) ∈ l2 , ta đặt
∞

|xn |2 .

x =

(1.3.4)

n=1

Từ công thức x = d (x, 0) và hệ tiên đề metric suy ra công thức
(1.3.4) cho một chuẩn trên l2 . Không gian chuẩn tương ứng kí hiệu là
l2 .
Ví dụ 1.8 (xem [1]). Cho không gian vector C[a,b] . Đối với hàm số
bất kì x(t) ∈ C[a,b] ta đặt

x = sup |x (t)| .

(1.3.5)

a≤t≤b

Nhờ công thức x = d (x, 0) và hệ tiên đề metric suy ra công thức
(1.3.5) cho một chuẩn trên C[a,b] . Không gian định chuẩn tương ứng
kí hiệu là C[a,b] .

1.4.

Một số khái niệm về đại số

Định nghĩa 1.4.1 (Đại số, xem [14]). Một không gian vector B trên
trường số thực R được gọi là Đại số nếu nó được trang bị thêm một
phép nhân trong thỏa mãn các điều kiện:
i) Với mọi x, y, z ∈ B , x(yz) = (xy)z ;
ii) Với mọi x, y, z ∈ B , (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz;
ii) Với mọi x, y ∈ B và α ∈ R, α(x + y) = αx + αy .
Định nghĩa 1.4.2 (Đại số Banach, xem [14]). Cho B là đại số trên
trường số thực và được trang bị chuẩn · . Không gian B được gọi là
Đại số Banach nếu (B, · ) là không gian Banach.
Ví dụ 1.9 (Ví dụ về Đại số Banach, xem [12]).
i) Trường C các số phức z là một ví dụ đơn giản về Đại số
Banach nếu trang bị chuẩn cho nó theo công thức: z = |z| =
Nguyễn Thị Huyền Nga

19

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

(x2 + y 2 ), (z = x + iy). Các số phức tạo thành một trường, ta ký
hiệu trường này là C. Trong C đối với mọi phần tử, trừ phần tử 0, ta
định nghĩa phép chia là nghịch đảo của phép nhân. Đơn vị trong C
là e = 1.
ii) Đại số Banach các toán tử tuyến tính bị chặn. Giả sử X là
không gian Banach. Ta xét không gian L = (X, X) là không gian
gồm tất cả các toán tử tuyến tính liên tục ánh xạ từ X vào chính nó.
Với các phép toán cộng, nhân toán tử với một số và phép nhân thông
thường với các toán tử. Đơn vị trong L = (X, X) là toán tử đồng
nhất. Chuẩn trong L = (X, X) được định nghĩa như sau:
A = sup Ax .
x ≤1

Khi đó, không gian (X, X) lập thành một Đại số Banach với đơn vị
là toán tử đồng nhất I .

Nguyễn Thị Huyền Nga

20

K36B - Sư phạm Toán


Chương 2
Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass
2.1.

Định lý xấp xỉ Weierstrass

2.1.1.

Đa thức Bernstein

Định nghĩa 2.1.1 (xem [11]). Với các số tự nhiên k , n (0 ≤ k ≤ n),
ta định nghĩa hệ số nhị thức nk , hay tổ hợp chập k của n phần tử,
như sau
n
n!
=
.
(2.1.1)
k
k!(n − k)!
Định lý 2.1.1 (Khai triển nhị thức, xem [11]). Với số tự nhiên bất
kỳ n, ta có
n
n k n−k
n
(a + b) =
a b .
(2.1.2)
k
k=0

Định nghĩa 2.1.2 (xem [11]). Với mỗi n ∈ N, đa thức Bernstein bậc
n của một hàm f ∈ C ([0, 1], R), kí hiệu Bn (x, f ), được định nghĩa
n

Bn (x, f ) :=

f
k=0

k
n

21

n k
x (1 − x)n−k .
k

(2.1.3)


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

2.1.2.

Định lý xấp xỉ Weierstrass (1885)

Bây giờ, sử dụng khai triển nhị thức trong định lý 2.1.1, lấy đạo
hàm hai vế của
n
n k n−k
n
(x + b) =
x b
(2.1.4)

k
k=0

theo x, ta được
n
n−1

n (x + b)

k

=
k=1

n k−1 n−k
x b .
k

Thay x = a và nhân hai vế của (2.1.5) với
n
n−1

a (a + b)

=
k=1

(2.1.5)

a

, ta được
n

k n k n−k
a b .
n k

(2.1.6)

Lấy đạo hàm hai lần cả hai vế của (2.1.4), sau đó thay x = a và
a2
nhân hai vế với 2 thì ta sẽ có
n

1
a2 (a + b)n−2 =
1−
n

n

k
k2
−
n2 n2

k=2

n k n−k
a b .

k

(2.1.7)

Khi đó, từ (2.1.6) thay a = x và b = 1 − x, ta được

1 n
n k
k
x (1 − x)n−k = x [x + (1 − x)]n−1
n k=1 k
suy ra
n

k
k=1

n k
x (1 − x)n−k = nx.
k

(2.1.8)

Tương tự, từ (2.1.7) cũng thay a = x và b = 1 − x và được

1 n
k2 − k
2
n k=2

n k
1
x (1 − x)n−k = 1 −
x2 [x + (1 − x)]n−2
k
n

Nguyễn Thị Huyền Nga

22

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

suy ra
n

k2 − k
k=2

n k
x (1 − x)n−k = n2 − n x2 .
k

(2.1.9)

Mặt khác,
n

2

k −k
k=2

n k
x (1 − x)n−k =
k

n

k2
k=2
n

n k
x (1 − x)n−k
k
(2.1.10)

n k
k
x (1 − x)n−k .
−
k
k=2
Do đó, từ (2.1.8), (2.1.9), (2.1.10) ta được
n

k2

k=2

n k
n
x (1 − x)n−k = n2 − n x2 + nx −
x(1 − x)n−1
k
1
(2.1.11)

hay
n

k2
k=0

n k
x (1 − x)n−k = n2 − n x2 + nx.
k

(2.1.12)

Định lý 2.1.2 (xem [11]). Giả sử f ∈ C ([0, 1], R). Khi đó, tồn tại
một dãy các đa thức pn sao cho pn (x) hội tụ đều đến f (x) trên [0, 1].
Chứng minh. Vì [0, 1] là tập compact nên hàm liên tục f sẽ liên tục
đều trên [0, 1]. Do đó, cho > 0, tồn tại δ > 0 sao cho

∀x, y ∈ [0, 1], |x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < .
2
Theo giả thiết, do hàm f liên tục trên đoạn [0, 1] nên tồn tại f ,

đặt M := f . Lấy cố định ξ ∈ [0, 1]. Khi đó, nếu |x − ξ| < δ thì
|f (x) − f (ξ)| < . Mặt khác, nếu |x − ξ| ≥ δ thì |x−ξ|
≥ 1. Do đó,
δ
2
với mọi x ∈ [0, 1] ta có

|f (x) − f (ξ)| ≤ |f (x)| + |f (ξ)| ≤ 2M ≤ 2M
Nguyễn Thị Huyền Nga

23

x−ξ
δ

2

+ .
2

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

Suy ra
2

x−ξ
δ

|f (x) − f (ξ)| ≤ 2M

+ , ∀x ∈ [0, 1].
2

Bây giờ, ta sử dụng đa thức Bernstein để xấp xỉ hàm f trên [0, 1].
Đầu tiên, ta thấy
n

Bn (x, f − f (ξ)) =

k
n

(f − f (ξ))
k=0
n

k
n

f

=
k=0

n

−f (ξ)

k=0

n k
x (1 − x)n−k
k

n k
x (1 − x)n−k −
k
n k
x (1 − k)n−k
k

=Bn (x, f ) − f (ξ) B (x, 1) .
Áp dụng công thức (2.1.2), ta có
n

n k
x (1 − x)n−k = (x + (1 − x))n = 1.
k

Bn (x, 1) =
k=0

Do đó,

|Bn (x, f ) − f (ξ)| = |Bn (x, f − f (ξ))|
≤Bn x, 2M
n

=

x−ξ
δ

2M
k=0

2M
= 2
δ
+
=

Nguyễn Thị Huyền Nga

2

n

(x − ξ)2
k=0
n

k=0

2

x−ξ
δ

k
n

+

2

2

+
k
n

2

k
n

n k
x (1 − x)n−k
k

n k
x (1 − x)n−k
k

n k
x (1 − x)n−k
k

2M
Bn x, (x − ξ)2 + .
2
δ
2

24

K36B - Sư phạm Toán


Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass

Ta lại có
n
2

Bn x, (x − ξ)

k=0
n

=
k=0
n

2

k

n

=
k=0

1
= 2
n

2

k
−ξ
n

n

k2
k=0

2ξ
−
n

−2

n k
x (1 − x)n−k
k
kξ

+ ξ2
n

n k
x (1 − x)n−k
k

n k
x (1 − x)n−k
k

n

k
k=0

n k
x (1 − x)n−k
k

k
n

(x − ξ)2

=

n k
x (1 − x)n−k + ξ 2 ,
k

kết hợp với (2.1.8) và (2.1.12), ta được

1
2ξ
2
2
(n
−
n)x
+
nx
−
nx + ξ 2
2
n
n
1
=x2 +
x − x2 − 2ξx + ξ 2 .
n

Bn x, (x − ξ)2 =

Suy ra

|Bn (x, f ) − f (ξ)| ≤

2

+

2M
2M 1
2
(x
−
ξ)
+
x − x2 .
2
2
δ
δ n

Thay x = ξ vào bất đẳng thức trên, ta được
2M 1
|Bn (ξ, f ) − f (ξ)| ≤ + 2 (ξ − ξ 2 ).
2
δ n
Bằng tính toán đơn giản, ta dễ thấy trên [0, 1] giá trị lớn nhất của
1
z − z 2 là . Do đó,
4
M
|Bn (ξ, f ) − f (ξ)| ≤ + 2 .
2 2ξ n
M
Vì vậy, khi lấy N ≥ 2 thì với n ≥ N , ta có
ξ

sup{|Bn (ξ, f ) − f (ξ)|} <
[0,1]

Nguyễn Thị Huyền Nga

25

K36B - Sư phạm Toán