skkn một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 7 trường PTDT bán trú THCS tam thanh giải toán tỷ lệ thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GD&ĐT QUAN SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 7 TRƯỜNG PTDT
BÁN TRÚ THCS TAM THANH GIẢI TOÁN TỶ LỆ THỨC

Người thực hiện: Khoang Văn Hoa
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường PTDT Bán Trú
THCS Tam Thanh – Quan Sơn – Thanh Hóa.
SKKN thuộc lĩnh vực(môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2018


Mục lục
STT

Nội dung

Trang

1

1.Mở đầu

1

2

1.1Lí do chọn đề tài

1

3

1.2.Mục đích nghiên cứu.

2

4

1.3.Đối tượng nghiên cứu.

2

5

1.4.Phương pháp nghiên cứu.

2

6

2.Nội dung của đề tài.

3

7

2.1.Cơ sở lí luận của đề tài.

3

8

2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng đề tài.

3

9

2.3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

4

10

2.3.1.Giải pháp 1.

4

11

2.3.2.Giải pháp 2.

4

12

2.3.3.Giải pháp 3.

4

13

2.3.4.Giải pháp 4.

8

14

2.3.5. Giải pháp 5.

8

15

2.4 Hiệu quả của đề tài đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.

10

16

3. Kết luận

11

17

- .Kết luận.

11

- .Kiến nghị.

11


1. Mở đầu
1.1. lý do chọn đề tài.
Bước vào thế kỷ 21, trong sự phát triển mạnh mẽ của xã hội hiện đại, giáo
dục và đào tạo ngày càng thể hiện được vai trò cũng như tầm quan trọng đối với
sự phát triển kinh tế - xã hội. Tốc độ phát triển nhanh của khoa học - công nghệ,
xu thế hội nhập, xu thế toàn cầu hoá…đã và đang đặt ra những yêu cầu to lớn
đối với sự nghiệp giáo dục và đào tạo. Chính vì vậy, việc giảng dạy trong nhà
trường phổ thông ngày càng đòi hỏi nâng cao chất lượng toàn diện, đào tạo thế
hệ trẻ cho đất nước có tri thức cơ bản, một phẩm chất nhân cách có khả năng tư
duy, sáng tạo, tư duy độc lập, tính tích cực nắm bắt nhanh tri thức khoa học. Chỉ
có thể tư duy sáng tạo khi học sinh đã có tư duy tích cực và độc lập. Rèn luyện
kỹ năng tư duy độc lập cho học sinh tự chiếm lĩnh kiến thức là cách hiệu quả
nhất.
Môn Toán là môn học góp phần tạo ra những yêu cầu đó. Đặc trưng của
Toán học là trừu tượng hoá cao độ, có tính lôgíc phải chú trọng nguyên tắc trực
quan quy nạp, trực quan Toán học. Dạy học phải cân đối vậy việc hình thành
năng lực giải Toán cho học sinh trung học cơ sở là việc làm chính của người

thầy không thể thiếu được, rèn luyện cho các em có khả năng tư duy sáng tạo,
nắm chắc kiến thức cơ bản, gây được hứng thú cho các em yêu thích môn Toán.
Thế mà trong quá trình giảng dạy đôi khi chúng ta cũng quên mất điều
đó. Thực tế khi giảng dạy một cách áp đặt, dập khuôn những vấn đề có sẵn,
thiếu tính sáng tạo, học sinh tiếp thu một cách bị động. Vì thế khi giải Toán gặp
bài toán khó hoặc kiến thức lớp trên trong chương trình Toán THCS thường là
các em không làm được.
Trường PTDT Bán Trú THCS Tam Thanh đóng trên địa bàn xã TamThanh
là một xã biên giới của huyện Quan Sơn, điều kiện kinh tế - xã hội, văn hóa giáo dục có nhiều khó khăn. Tuy nhiên địa phương rất quan tâm đến giáo dục,
đến việc học tập của con em đồng bào các dân tộc, truyền thống hiếu học luôn
được phát huy. Trong nhưng năm gần đây, từ khi có Nghị quyết TW 4 (khoá
VII), đặc biệt là sau Nghị quyết TW2 (khoá VIII), Nghị quyết số 08/NQ-HU
ngày 20/9/2017 của Ban Thường vụ Huyện ủy Quan Sơn về đổi mới, nâng cao
chất lượng giáo dục và đào tạo huyện Quan Sơn đến năm 2020 nhận thức của
các cấp và nhân dân trong xã về vị trí, vai trò của giáo dục ngày càng được quan
tâm sâu sắc. Tuy nhiên khả năng học và tiếp thu kiến thức môn toán của học
sinh đang còn nhiều hạn chế dẫn đến chất lượng đạt được ở cuối kỳ không cao
làm ảnh hưởng rất lớn đến kết quả học tập cuối năm của các em.
Để góp phần nâng cao chất lượng, giúp học sinh hình thành năng lực giải
bài toán tỷ lệ thức trong chương trình Đại số lớp 7 cho học sinh trường PTDT
Bán Trú THCS Tam Thanh, bản thân tôi đã tập trung nghiên cứu và muốn trao
đổi, chia sẻ, học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp để đưa ra: “ Một số giải pháp
hướng dẫn học sinh lớp 7 trường PTDT Bán Trú THCS Tam Thanh giải toán tỷ
lệ thức ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1


Nhằm nâng cao chất lượng giờ dạy, học sinh nắm vững kiến thức, biết
vận dụng vào giải bài tập, vận dụng trong hình học 8 phần Định Lí Ta-let và tam

giác đồng dạng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Một số phương pháp giải toán tỷ lệ thức cho học sinh lớp 7 trường PTDT
Bán Trú THCS Tam Thanh
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết nghiên cứu
+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế
+ Phương pháp thu thập thông tin
+ Phương pháp thống kê
+ Phương pháp xử lí số liệu.

2. Nội dung.
2.1. Cơ sở lí luận
2


Dạy học môn Toán là dạy hoạt động Toán học gồm một hệ thống tác
động liên tục của giáo viên nhằm tổ chức các hoạt động nhận thức, thực hành
của học sinh để học sinh nắm vững kiến thức có niềm tin vào khả năng Toán học
của mình nhằm đạt được mục tiêu đã định.
Trong dạy học Toán thì người thầy giữ vai trò chủ đạo hướng dẫn học
sinh, còn học sinh giữ vai trò chủ động tích cực lĩnh hội tri thức chính là phát
huy tính tích cực của học sinh trong học tập nhằm hình thành cho học sinh tư
duy tích cực, độc lập sáng tạo.
Việc hình thành năng lực giải Toán ở trường phổ thông càng thể hiện rõ
mục đích dạy Toán là:
+ Truyền thụ kiến thức cơ bản.
+ Rèn luyện năng lực giải Toán.
+ Rèn luyện tư duy.
+ Bồi dưỡng phẩm chất nhân cách.

Muốn đạt được mục đích đó cần phải chú trọng tới phương pháp dạy
khái niệm, định lí (tính chất), kiến thức mới, phương pháp dạy tiết luyện tập.
Trong phạm vi nghiên cứu về “Tỷ lệ thức” ta phải chú trọng việc dạy học cho
học sinh khả năng giải Toán.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Sau khi học song các bài “Tỷ lệ thức”,”Tính chất của dãy tỷ số bằng
nhau” ở Toán 7, tôi tiến hành khảo sát lớp 7A,7B có 59 học sinh kết quả đạt
được như sau:
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Tổng
Lớp
số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
HS
7A
30
3

10
6
20
10
33.3 8
26.7 3
10
7B
29
1
3.4 3
10.4 11
37.9 10
34.5 4
13.8
Trong số 59 học sinh của khối 7 thì một số học sinh có hoàn cảnh đặc
biệt khó khăn do đó việc đầu tư về thời gian, sách vở bị hạn chế ảnh hưởng
không nhỏ đến sự phát triển tư duy của học sinh. Chính vì vậy HS tiếp thu một
cách thụ động, không tự học. Trong khi toán tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng
nhau đóng vai trò quan trọng trong việc giải toán, nhưng sự vận dụng của các
em phần lớn là chưa tốt có nhiều em chưa biết vận dụng kiến thức vào giải toán.
Hơn nữa một số kỹ năng phục vụ cho việc giải toán tỷ lệ thức, quy tắc dấu
ngoặc, quy tắc chuyển vế, công thức về lũy thừa, phối hợp các phép toán cộng,
trừ, nhân, chia phân số chưa thành thạo dẫn đến các em còn lúng túng khi giải
các dạng bài tập này. Nguyên nhân của vấn đề trên là do các em chưa có ý thức
tự giác học tập, chưa có kế hoạch tự học ở nhà, chưa nắm vững hiểu sâu kiến
thức, không tự ôn luyện thường xuyên một cách có hệ thống, không chịu tìm tòi
kiến thức mới, không chịu học hỏi bạn bè, thầy cô.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Giải pháp 1: Tạo tâm lí thoải mái cho học sinh khi học môn Đại sô.

3


Sự thân thiện của GV là điều kiện cần để những giải pháp đạt hiệu quả.
Thông qua cử chỉ, ánh mắt… GV tạo ra sự gần gũi, cảm giác an toàn cho học
sinh để các em bày tỏ những khó khăn trong học tập, trong cuộc sống của các
em. Để các em thích thú với môn toán học nói chung và các bài toán tỷ lệ thức
nói riêng. Khi các em đó được trang bị đầy đủ kiến thức tôi cho học sinh củng
cố để nắm vững và hiểu thật sâu về định nghĩa, các tính chất cơ bản, tính chất
mở rộng của tỷ lệ thức, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, đại lượng tỷ lệ thuận,
đại lượng tỷ lệ nghịch sau đó cho học sinh làm một loạt những bài toán cùng
loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó làm cơ sở cho việc chọn lời
giải, có thể miêu tả điều đó bằng các dạng toán, bằng các toán tử từ đơn giản đến
phức tạp.
2.3.2. Giải pháp 2: Củng cố và hệ thống lý thuyết về tỷ lệ thức, tính chất của
dãy tỷ số bằng nhau, các bài toán tỷ lệ thuận, các bài toán tỷ lệ nghịch có liên
quan đến tỷ lệ thức.
a c
a. Định nghĩa tỷ lệ thức: Tỷ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số: 
b d
b.Tính chất cơ bản của tỷ lệ thức Với a, b, c, d  0

a

b.c
b.c
a.d
a.d
; d  ;b 
;c 

d
a
c
b

c.Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau:

a b a b
a a b
c d a b
 
 


c d c d
c c d
c
a
d. Một số kiến thức cần vận dụng trong quá trình giải toán tỷ lệ thức:
- Hai tính chất cơ bản của phân số
- Định lý tổng ba góc của một tam giác bằng 1800
- Quảng đường đi được của chuyển động bằng tích của vận tốc với thời gian đi
hết quảng đường đó.
e.Luyện lại một số kỹ năng biến đổi: kỹ năng thực hiện phép tính, kỹ năng xứ lý
dấu, bỏ ngoặc, chuyển vế…
2.3.3.Giải pháp 3: Hệ thống dạng bài tập và các cách giải:
Dạng 1: Lập tỷ lệ thức:
a. Cách giải: Sử dụng hai tính chất tỷ lệ thức:
VD: Các tỷ lệ thức sau đây có lập được tỷ lệ thức hay không?
a, 0,5:15 và 0,15:50

b, 0,3: 2,7 và 1,71:15,39
Giải:
a, Ta có: 0,5:15=0,5/15=1/30 và 0,15:50=0,15/50=3/1000
Nên: 0,5:15 và 0,15:50 không lập được tỷ lệ thức
b, Tương tự như a, suy ra: 0,3:2,7= 1,71:15,39
Nên: 0,3:2,7 và 1,71:15,39 lập được tỷ lệ thức
Dạng 2: Cho tỷ lệ thức, hãy suy ra tỷ lệ thức khác:
4


Ví dụ 1: Cho tỷ lệ thức:
Chứng minh

a c
 1 với a, b, c, d  0
b d

a b c d

a
c
Bài giải

Cách 1: Từ
a
c

 a.d b.c
b
d

Xét tích ( a.  b).c a.c  b.c
Thay b.c a.d  ( a  b).c a.c  a.d (c  d ).a
Vậy ( a  b).c (c  d ).a 

a b c d

a
c

Như vậy để chứng minh:

a b c d

a
c

ta phải có đẳng thức

( a  b).c (c  d ).a .

a
c
 k  a b.k ; c d .k
b
d
a  b b.k  b b(k  1) k  1 (1)



Xét

a
b.k
b.k
k
c  d d .k  d d (k  1) k  1 (2)



Và
c
d .k
d .k
k
a b c d

Từ (1) và (2) 
a
c
a b c d

Trong cách này ta chứng minh tỉ số:
nhờ tỉ số thứ ba. Để có
a
c
tỉ số thứ ba ta đặt giá trị tỉ số đã cho bằng giá trị k. Từ đó tính giá trị của một số
hạng theo k.
a c
a b
Cách 3: Từ tỉ số   
b d

c d
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
a b a b
a a b
c d a b
 
 


c d c d
c c d
c
a
a b c d

hay
a
c
Trong cách này sử dụng hoán vị trong tỉ rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau rồi lại hoán vị ngoại tỉ một lần nữa.
Cách 2: Đặt

5


a c
b d
  
b d
a c

a b
b
b
d c d
1   1  1  
Xét
a
a
a
c
d
a b c d

Vậy
a
c
a c
b d
Cách 5: Từ   
b d
a c
Cách 4: Từ

Lấy 1 trừ từng vế của tỷ lệ thức:

1

b
d
a b c d

1  

a
c
a
c

Trong cách này đổi đồng thời ngoại tỉ cho trung tỉ. Rồi chọn số 1 biến đổi
đẳng thức cần chứng minh.
Cách 6: Từ tỷ lệ thức

a c
  a.d b.c
b d

Xét:

a  b c  d (a  b).c  (c  d ).a a.c  b.c  a.c  a.d  b.c  a.d




a
c
a.c
a.c
a.c
 bc  ad
0 vì a, c  0
Mà a.d b.c 

ac
a b c d
a b c d


0 

a
c
a
c
Tóm lại từ một tỷ lệ thức ta có thể suy ra tỷ lệ thức khác bằng cách chứng
minh theo nhiều cách khác nhau có thể sử dụng trong bài tập.
a 2  b 2 ab
Ví dụ 2: cho tỷ lệ thức 2

c  d 2 cd
Với a, b, c, d 0 và c d Chứng minh :

a c
a d
 hoặc 
b d
b c
Giải:
Cách 1: Ta sử dụng cách 6:
a 2  b 2 ab
Xét 2
 0
c  d 2 cd

6


(a 2  b 2 )cd  ab(c 2  d 2 )

0
(c 2  d 2 )cd
a 2 cd  b 2 cd  c 2 ab  d 2 ab

0
(c 2  d 2 )cd
 (a 2 cd  c 2 ab)  (d 2 ab  b 2 cd ) 0
 ac (ad  bc)  db(da  bc ) 0
 (ad  bc)(ac  db) 0

a c

b d
a d
ac  bd 0  ac bd  
b c
ad  bc 0  ad bc 



a 2  b 2 ab
a c
Vậy 2



 hoặc
b d
c  d 2 cd

a d

b c

Cách 2:
a 2  b 2 ab
a 2  b 2 2ab
Từ 2
  2

c  d 2 cd
c  d 2 2cd
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:

a 2  b 2 a 2  b 2  2ab (a  b) 2  a  b 




c 2  d 2 c 2  d 2  2cd (c  d ) 2  c  d 

2

(1)

a 2  b 2 a 2  b 2  2ab (a  b) 2  a  b 



và 2

c  d 2 c 2  d 2  2cd (c  d ) 2  c  d 
2

 a b  a  b
Từ (1) và (2)  
 

cd  c d 

2

(2)

2

* Xét trường hợp

a b a  b

cd c d
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Và

a  b a  b  a  b 2a a

 
c  d c  d  c  d 2c c
a  b a  b  a  b 2b b

 
c  d c  d  c  d 2d d



a b
a c
  
c d
b d

7


* Xét trường hợp:Trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa quan tâm đến học
sinh nắm được gì, luyện được kỹ năng nào? Dạy theo phương pháp thầy giảng
là chính. Vì vậy chất lượng khảo sát còn thấp.
Như vậy nếu không thay đổi phương pháp và đưa ra giải pháp cụ thể thì
có lẽ kết quả môn Toán núi chung và phân môn Đại số nói riêng còn thấp hơn
nữa. Vì vậy tôi áp dụng và đưa ra một số giải pháp dạy học phù hợp nhằm mục
đích giúp học sinh có hứng thú trong việc học Đại số và nâng cao chất lượng
dạy học bộ môn.
2.3.4.Giải pháp 4: Đầu tư thời gian cho việc soạn bài GV cần chuẩn bị kỹ hệ
thống bài tập và câu hỏi nhằm gieo tình huống, hướng dẫn từng bước cách giải

quyết vấn đề phù hợp với đối tượng học sinh, dự kiến những khó khăn trở ngại,
những cái bẫy mà học sinh cần vượt qua.
2.3.5.Giải pháp 5: Gv phải tạo cho học sinh có động cơ ham muốn khám phá
cách giải mới, một phát hiện mới trong tiết “Tỷ lệ thức”. Đây là giải pháp cần
thiết tạo nên tính tích cực, chủ động sáng tạo học tập

a b
a b b a


cd
c d c d
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

a  b b  a a  b  b  a 2b b


 
c  d c  d c  d  c  d 2c c
a  b a  b  b  a 2a a

 
Và
c  d c  d  c  d 2d d



a b
a d
  

d c
b c

Ví dụ 3: Tìm 3 phân số tối giản biết tổng của chúng bằng 2

13
, các tử số của
70

chúng tỉ lệ với 5, 3, 2 và mẫu của chúng tỉ lệ với 2, 5, 1.
Giải:
Gọi các phân số cần tìm là x, y, z .
Ta có: x  y  z 2

13 153

70 70
x

y

z

2

5

1

 

5 3 2
Và x : y : z  : :
hay 5 3 2
2 5 1
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

153
xyz
x y z
3
  
 70 
5 3 2 5 3 2
51 7
 
2 5 1 2 5 1 10
3 5 15
Vậy x  . 
7 2 14
8


3 3 9
y . 
7 5 35
3 2 6
z . 
7 1 7
Trả lời: Ba phân số cần tìm là

15 9 6
; ;
14 35 7

Ví dụ 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ
số của nó nếu xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1, 2, 3.
Bài giải:
Giọi a, b, c là các chữ số phải tìm xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có:

a b c a b c
  
1 2 3
6

(1)

Do số phải tìm là bội của 72
Mà 3 a  b  c 27  a  b  c {9,18,27}
Từ (1) suy ra a  b  c 6
(3)
Từ (2) và (3) suy ra a  b  c 18
a 3.1 3

(2)

b 3.2 6
c 3.3 9
Vì số cần tìm chia hết cho 2 nên ta có 396, 936. Ta thấy số 936 thoả mãn
điều kiện của đầu bài.
Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2, 3, 4. Ba chiều cao tương

ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào.
Bài giải:
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c.
Ba chiều cao tương ứng là x, y, z.
Diện tích tam giác là S ta có:
2S
2S
2S
a  ;b  ;c 
(1)
x
y
z
Vì ba cạnh tỉ lệ với 2, 3, 4 ta có:
a b c
 
(2)
2 3 4
2S 2S 2S
   2 x 3 y 4 z
Từ (1) và (2) ta có:
2x 3 y 4z

9


x y y z
 ; 
3 2 4 3
x y z

  
6 4 3


Vậy chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với các số 6, 4, 3.
Ví dụ 6: Tìm hai số khác 0 biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với 5, 1,
12.
Bài giải:
Giọi hai số phải tìm là a, b ( a  0, b  0 ), a > b ta có:
a  b a  b a.b


5
1
12
a b a  b

 a  b 5(a  b)
Xét
5
1
 a  b 5a  5b  4a 6b  a 

Do đó a  b 
Từ

3b
2

3b

.b
 b
2
2

a  b a.b

 ab 12(a  b)
1
12

.b
vào ta có:
2
ab 6b  a 6
3
Thay a=6 vào a  b ta có:
2
3
b  6  3b 12  b  4
2

Thay a  b 

Vậy a = 6; b = 4.
2.4. Hiệu quả của sáng kiên kinh nghiệm.
Sau khi áp dụng SKKN vào tiết dạy của học sinh lớp 7 trường PTDT
Bán trú THCS Tam Thanh. Tôi trực tiếp kiểm nghiệm đề tài kết quả như sau:
Giỏi
Khá

TB
Yếu
Kém
Tổng
Lớp
số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
HS
7A
30
5
16.7 12
40
10
33.3 3
10
0
0
7B
29
3

10.3 8
27.6 13
44.8 5
17.3 0
0

10


3. Kết luận, kiến nghị.
- Kết luận.
Trong Toán học bất kỳ nội dung gì cũng không có một khuân mẫu cứng
nhắc và đơn điệu. Vì phương pháp dạy học là một nghệ thuật sáng tạo.Không có
phương pháp duy nhất. Nhưng để đáp ứng một cách dễ dàng có hiệu quả thì cần
phải phác hoạ một quy trình chung khá linh hoạt sáng tạo phù hợp với đối tượng
học sinh. Người thầy định hướng suy nghĩ hoặc các cách giải khác nhau để chọn
ra phương án tối ưu và hiệu quả.
Với dạng toán tỷ lệ thức thì phương pháp dạy học phát huy tính tích cực
của trò, yêu cầu trò phải thực sự hoạt động tích cực đặc biệt giờ luyện tập. Trò
lĩnh hội kiến thức của thầy, thì thầy phải rèn luyện cho trò thường xuyên có hệ
thống để giúp trò có khả năng vận dụng kiến thức giải bài tập trong phạm vi
chương trình. Hệ thống đó phải có các bài tập đa dạng, có nhiều cách giải.
Trong thực tế giảng dạy, tôi cũng thấy hiệu quả rõ rệt. Nếu các em có một
hệ thống kiến thức vững thì các em vận dụng giải toán nhất định.
- Kiến nghị.
*Về phía nhà trường :
Tạo điều kiện về cơ sở vật chất, thời gian cho học sinh tiếp tục học phụ
đạo, tự chọn để nâng cao kiến thức và hiểu bài nhiều hơn.
*Về phía Phòng GD&ĐT:
Thường xuyên tổ chức các chuyên đề chuyên môn để tạo điều kiện cho

giáo viên của các đơn vị nhà trường có cơ hội giao lưu, học hỏi kinh nghiệm lẫn
nhau
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Quan sơn, ngày 22 tháng 4 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Khoang Văn Hoa

11


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách Giáo khoa và sách bài tập Toán lớp 7 của Bộ Giáo Dục.
2. Mạng internet.
3. Nghị quyết số 08/NQ-HU ngày 20/9/2017 của Ban Thường vụ Huyện ủy
Quan Sơn về đổi mới, nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo huyện Quan Sơn
đến năm 2020.

12