dayhoctoan vn kỹ thuật nhân lượng liên hợp giải phương trình vô tỷ

Khi giải một phương trình vô tỷ điều ta mong muốn là
khử căn bằng cách bình phương hoặc đặt ẩn phụ. Tuy
nhiên trong một số trường hợp việc bình phương hoặc
đặt ẩn phụ sẽ làm cho bài toán trở nên phức tạp đặc biệt
là những bài toán có nhiều căn thức. Bằng cách nhẩm
nghiệm trực tiếp hoặc dùng máy tính bỏ túi tìm nghiệm
thì chúng ta có một công cụ khá hiệu quả để giải quyết
đó là phương pháp nhân liên hợp.
Ta biến đổi PT theo các công thức nhân liên hợp sau:
AB
(1)
A B 
A B

A B 
3

3

A  B2
AB

A3B 
A B 

3

với B  0

(2)

2

3

3

3

2

A  AB  B
A  B3
2

2

(3)
(4)

A B A B
Trong trường hợp biến đổi theo công thức (2) thông
thường ta cần lưu ý:
- Nếu ta nhẩm thấy PT có 1 nghiệm thì B là hằng số.
- Nếu ta nhẩm thấy PT có 2 nghiệm thì B là hàm bậc
nhất.
Sau đây là một số bài toán minh họa.
Bài toán 1: Giải phương trình
x2  x  4  x  2  0
Dễ dàng ta nhẩm được nghiệm x  2 .

Với x  2 thì x  2  2 . Do đó 2  x  2 là biểu
thức cần nhân liên hợp.
Lời giải. ĐK: x  2 . Khi đó PT đã cho tương đương





với x 2  x  6  2  x  2  0

 (x  2)(x  3) 

 (x  2) x




3x  1  5x  4  2x  3
Dễ dàng ta nhẩm được nghiệm x  1 , x  0 .

Do đó ta phải có 3x  1  (ax  b) . Để tìm a,b ta
cho x  1 và x  0 để biểu thức trên bằng 0, nghĩa là
2  (a  b)  0
a  1

 
.

1  b  0
b  1



Biểu thức cần nhân liên hợp là
dĩ nhiên phần còn lại là

AB
3

Với x  2 thì ta có 2x  5  (x  3) x  2  0 .
Vậy, nghiệm của PT đã cho là x  2 .
Bài toán 2: Giải phương trình

4  (x  2)

0
2 x 2

1
  0
3
2  x  2 



 (x  2) 2x  5  (x  3) x  2  0

x  2
 
2x  5  (x  3) x  2  0

3x  1  (x  1) và

5x  4  (x  2) .

1
Lời giải. ĐK: x   . Khi đó PT đã cho tương đương
3
với



3x  1  (x  1)  5x  4  (x  2)  0
3x  1  (x  1)2
3x  1  x  1
x x2



5x  4  (x  2)2
5x  4  x  2
x  x2

0


0
3x  1  x  1
5x  4  x  2



1
1
  0
 (x  x 2 ) 

 3x  1  x  1
5x  4  x  2 


x  x 2  0  x  0

x  1

 
1
1


0

 3x  1  x  1
5x  4  x  2
1
Với x   thì ta có
3
1
1

 0.
3x  1  x  1

5x  4  x  2
Vậy, nghiệm của PT đã cho là x  1 hoặc x  0 .
Bài toán 3: Giải phương trình
4x 2  3x  8  2 3x  2  2x  1
Ta nhẩm được nghiệm x  1 , x  9 .
3

Do đó ta phải có 3x  2  (ax  b) . Để tìm a,b ta
cho x  1 và x  9 để biểu thức trên bằng 0, ta có
1
1  (a  b )  0 và 5  (9a  b )  0 , suy ra a  b  .
2


Biểu thức cần nhân liên hợp là

1
1
3x  2   x  
 2
2 

hay 2 3x  2  (x  1) và dĩ nhiên phần còn lại sẽ là
3

4x 2  3x  8  (x  2) .

2
Lời giải. ĐK: x  . Khi đó PT đã cho tương đương
3

3

với

4x 2  3x  8  (x  2)  2 3x  2  (x  1)  0
4x 2  3x  8  (x  2)3


3

(4x 2  3x  8)2  (x  2)3 4x 2  3x  8  (x  2)2

4(3x  2)  (x  1)2
2 3x  2  x  1
3
2
x  10x  9x


3

0

(4x 2  3x  8)2  (x  2)3 4x 2  3x  8  (x  2)2

x 2  10x  9
2 3x  2  x  1





0



x
(x2 10x 9)
 3 2
2
2
2
3
 (4x 3x 8) (x 2) 4x 3x 8 (x 2)

1
 0

2 3x 2 x 1
Với x 

2
thì ta có
3
x

1

0
3

(4x2 3x 8)2 (x 2)3 4x2 3x 8 (x 2)2 2 3x 2 x 1
x  1
Do đó x 2  10x  9  0  
.
x  9
Vậy, nghiệm của PT đã cho là x  1 hoặc x  9 .
Bài toán 4: Giải phương trình

đó

ta

phải

có

3 5  x  (ax  b)

và

3 5  11x  (cx  d ) . Để tìm a, b, c, d ta cho x  1
và x  4 để các biểu thức trên bằng 0, ta có
6  (a  b )  0
12  (c  d )  0


và
. Giải ra



3  (4a  b)  0
21  (4c  d )  0


a  1
c  3
được 
và 
. Biểu thức cần nhân liên hợp
b  7
d  9


là 3 5  x  (x  7) và 3 5  11x  (9  3x ) .
Lời giải. ĐK: 5  x 

5
. PT tương đương với
11

9(5  x) (x  7)2



3 5 x x 7

x 2  5x  4









3 5 11x (3  x)2
5 11x  3  x

3(x 2  5x  4)

 x

2

 5x  4

 x 2  5x  4

3 5 x x 7
5  11x  3  x


1
3
(x2  5x  4)

1  0
3 5 x x  7
5 11x  3 x 



x 2  5x  4  0  x  1

x  4

 
1
3


1  0

 3 5  x  x  7
5  11x  3  x
5
Với 5  x 
thì ta có
11
1
3

1 0.
3 5x x 7
5  11x  3  x
Vậy, nghiệm của PT đã cho là x  1 hoặc x  9 .
Bài toán 5: Giải phương trình
x 2  2x  4  16x  7  (x 2  3)(3x  1)
Ta nhẩm được nghiệm x  1 , x  2 .

Do đó ta phải có (ax  b)  16x  7 . Để tìm a, b ta
cho x  1 và x  2 để biểu thức trên bằng 0, ta có
a  b  3  0
a  2

 
. Biểu thức cần nhân liên

2a  b  5  0
b  1


hợp là 2x  1  16x  7 .
7
Lời giải. ĐK: x 
. PT đã cho tương đương với
16

2x  1  16x  7  x 2  3  (x 2  3)(3x  1)  0
(2x 1)2 (16x  7)



3 5  x  3 5  11x  x 2  3x  20
Ta nhẩm được nghiệm x  1 , x  4 .

Do

3 5  x  (x  7)  3 5  11x  (9  3x )  x 2  5x  4

2x 1  16x  7



4x 2  12x  8





 x 2  3 x 2  3  3x  1  0





x 2  3 x 2  3x  2

0

2x  1  16x  7
x 2  3  3x  1



4
x2  3
  0
 x2 3x 2 



2x 1  16x 7
2
x  3  3x 1








x 2  3x  2  0  x  1

x  2




4
x2  3


0
 2x  1  16x  7
2
x

3


3
x

1

7
Với x 
thì ta có
16


4



x2  3

 0.

2x  1  16x  7
x 2  3  3x  1
Vậy, nghiệm của PT đã cho là x  1 hoặc x  2 .
Bài toán 6: Giải phương trình

nhân tử chung là x 2  4x  4 . Một điều dễ nhận ra là
2x 2  8  (x  2)2  x 2  4x  4 , do đó ta sẽ nhóm

2x 2  8  (x  2) và dĩ nhiên nhóm còn lại sẽ là

4x  2  3 x 3  14  3

Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi để tìm
nghiệm thì ta có được hai nghiệm là x 1  2, 41421 và
x 2  0, 41421 . Tương tự như trên ta tìm a,b sao cho

biểu thức

nhóm các căn thức sao cho sau khi nhân liên hợp ta có

4x  2  (ax  b) có giá trị bằng 0 tại x 1

và x 2 . Suy ra a  b  1 .

2x  2  2 2x  3 .

Lời giải. ĐK: x 
với

1
Lời giải. ĐK: x   . Khi đó PT đã cho tương đương
2



4x  2  (x  1)  (x  2)  3 x 3  14  0



với

2





4x  2  (x  1)


4x  2  x  1
(x  2)3  (x 3  14)

(x  2)2  (x  2) 3 x 3  14  3 (x 3  14)2
x 2  2x  1

4x  2  x  1
6x 2  12x  6

0

0
(x  2)2  (x  2) 3 x 3  14  3 (x 3  14)2

1
 (x 2  2x  1)

 4x  2  x  1

6
  0


3 3
2
3
2
(x  2)  (x  2) x  14  3 (x  14) 
x2 2x 1 0 x 1 2


1
6

0

3 3
2
 4x 2 x 1 (x 2) (x 2) x 14  3 (x3 14)2

1
Với x   thì ta có
2
1
6

0
4x 2 x 1 (x 2)2 (x 2)3 x3 14  3 (x3 14)2

Vậy, nghiệm của PT đã cho là x  1  2 .
Bài toán 7: Giải phương trình
2x 2  8  2 2x  3  x  4  0

Ta nhẩm được nghiệm x  2 . Tuy nhiên ở bài toán này
nếu các bạn nhóm các căn thức với hằng số như bài toán
1 thì sẽ gặp khó khăn vì sau khi nhân liên hợp và rút
nhân tử chung thì PT còn lại vẫn còn nghiệm x  2 .
Điều này cho thấy nghiệm x  2 không phải là nghiệm
đơn như bài toán 1 mà là nghiệm kép. Nghĩa là ta sẽ tách

3
. Khi đó PT đã cho tương đương
2

2x 2  8  (x  2)  2x  2  2 2x  3  0
2x 2  8  (x  2)2
2x 2  8  x  2

x 2  4x  4
2x 2  8  x  2







0

2 (x  1)2  (2x  3)
x  1  2x  3

2(x 2  4x  4)

x  1  2x  3

0



1
2

  0
 (x 2  4x  4)

 2x 2  8  x  2 x  1  2x  3 
x 2  4x  4  0  x  2

 
1
2


0
2
 2x  8  x  2 x  1  2x  3
Với x 

3
thì
2

1

2

2x  8  x  2



2
x 1  2x  3

Do đó nghiệm của PT đã cho là x  2 .
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1) 6  3x  4x  3  9x  5.
2) 2x  6  3 x 3  26  6x  19.
3) 3x 2  x  3  3x  1  5x  4.
4)

7x  4  3 x  1  x 2  3x  1.


1
5) x 2  3x  5  2 1   x  1  0.
x 

6) x 2  3x  1  3x  5  1  x .
7)

x 2  16  2 x 2  3x  4  x  1  1.

0