Kỹ thuật nhân lượng liên hợp

PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP
GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Lê Phúc Lữ
12
Phương pháp nhân lượng liên hợp là một cách giải quen thuộc được áp dụng khá nhiều trong
các bài toán giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ. Cách giải đơn giản và hiệu quả này
không những giúp ta tiếp cận bài toán theo hướng tự nhiên hơn mà còn giúp ta tự tạo được
nhiều bài toán mới mẻ một cách dễ dàng, thông qua đó có thể tự rèn luyện thêm các kỹ năng
cho mình. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu rõ hơn về phương pháp nhân lượng
liên hợp cũng như những điều cần chú ý khi áp dụng nó.
1 Kiến thức cần nhớ và một số bài toán mở đầu
1.1 Kiến thức cần nhớ
Ở chương trình THCS, chúng ta đã khá quen thuộc với những bài toán về biến đổi biểu thức
vô tỉ bằng cách dùng đại lượng phù hợp để khử căn nhằm làm xuất hiện nhân tử. Điều đó
được thực hiện nhờ các hằng đẳng thức cơ bản sau
3
:
• a
2
− b
2
= (a − b)(a + b) ⇔ a − b =
a
2
− b
2
a + b
.
• a
3

− b
3
= (a − b)(a
2
+ ab + b
2
) ⇔ a − b =
a
3
− b
3
a
2
+ ab + b
2
.
• a
4
− b
4
= (a − b)(a + b)(a
2
+ b
2
) ⇔ a − b =
a
4
− b
4
(a + b)(a

2
+ b
2
)
.
• ···
• a
n
− b
n
= (a − b)(a
n−1
+ a
n−2
b + ··· + ab
n−2
+ b
n−1
).
Sử dụng ý tưởng này, trong các bài toán về phương trình và hệ phương trình, chúng ta có thể
nhóm hoặc thêm bớt các đại lượng phù hợp vào các biểu thức chứa căn rồi làm xuất hiện các
đa thức. Nhờ việc phân tích các đa thức đó thành nhân tử làm xuất hiện ra thừa số chung, ta
1
Sinh viên trường Đại học FPT, thành phố Hồ Chí Minh. Nickname chienthan ở Diễn đàn Cùng nhau vượt
Đại dương .
2
Bài viết được trình bày lại bằng chương trình soạn thảo LaTeX bởi can_hang2007. Đề nghị các bạn ghi rõ
nguồn của khi đăng tải trên các trang web khác.
3
Ở đây ta tạm hiểu là các biểu thức đã thỏa mãn điều kiện của phép chia.

1

2 Lê Phúc Lữ
đưa bài toán đã cho về các phương trình tích quen thuộc và từ đó xử lý tiếp. Tất nhiên là có
nhiều yếu tố khác cần chú ý nhưng với các bài toán thông thường thì ý tưởng tổng quát là:
Giả sử trong phương trình, hệ phương trình cần xét, chúng ta có biểu thức dạng

P (x) với
P (x) là một đa thức nào đó. Bằng cách nhẩm nghiệm, ta tìm được x = a là một nghiệm của
nó. Khi đó, ta sẽ thêm vào biểu thức trên đại lượng −

P (a) để có được biến đổi sau

P (x) −

P (a) =
P (x) − P (a)

P (x) +

P (a)
.
Đa thức P(x) − P (a) ở trên tử rõ ràng có thể phân tích thành (x − a)G(x) nên sau khi làm
các công việc thêm bớt tương tự vào những đại lượng còn lại, chúng ta sẽ có được ngay nhân
tử cần tìm.
Như thế, tổng quát hơn, nếu ta có phương trình dạng f(x) = 0 với f(x) xác định trên miền D
và ta đã biết nó có nghiệm là x = a ∈ D thì ta có thể biến đổi đưa nó về dạng (x −a)g(x) = 0
và quy về xử lý phương trình mới g(x) = 0.
Trong nhiều trường hợp thì g(x) sẽ vô nghiệm trên D, tuy nhiên một số trường hợp khác thì
nó sẽ vẫn còn nghiệm nữa và điều đó đòi hỏi nhiều cách xử lý thích hợp.

1.2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
√
x + 1 +
√
x + 4 +
√
x + 9 +
√
x + 16 =
√
x + 100.
Lời giải. Điều kiện: x  −1. Ta thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình nên có thể tiến
hành biến đổi như sau

√
x + 1 − 1

+

√
x + 4 − 2

+

√
x + 9 − 3

+


√
x + 16 − 4

=

√
x + 100 − 10

⇔
(x + 1) − 1
2
√
x + 1 + 1
+
(x + 4) − 2
2
√
x + 4 + 2
+
(x + 9) − 3
2
√
x + 9 + 3
+
(x + 16) − 4
2
√
x + 16 + 4
=
(x + 100) − 10

2
√
x + 100 + 10
⇔
x
√
x + 1 + 1
+
x
√
x + 4 + 2
+
x
√
x + 9 + 3
+
x
√
x + 16 + 4
=
x
√
x + 100 + 10
⇔


x = 0
1
√
x + 1 + 1

+
1
√
x + 4 + 2
+
1
√
x + 9 + 3
+
1
√
x + 16 + 4
=
1
√
x + 100 + 10
Xét phương trình:
1
√
x + 1 + 1
+
1
√
x + 4 + 2
+
1
√
x + 9 + 3
+
1

√
x + 16 + 4
=
1
√
x + 100 + 10
. (1)
Ta có
√
x + 100 + 10 >
√
x + 1 + 1 > 0 nên
1
√
x + 1 + 1
>
1
√
x + 100 + 10
,
suy ra
1
√
x + 1 + 1
+
1
√
x + 4 + 2
+
1

√
x + 9 + 3
+
1
√
x + 16 + 4
>
1
√
x + 100 + 10
, ∀x  −1
và do đó phương trình (1) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0.

Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 3
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
(a)
3
√
x +
√
x + 3 = 3; (b)
3
√
2x + 1 +
3
√
x = 1.
Lời giải. (a) Điều kiện xác định: x  −3. Phương trình đã cho tương đương với

3

√
x − 1

+

√
x + 3 − 2

= 0 ⇔
x − 1
3
√
x
2
+
3
√
x + 1
+
x − 1
√
x + 3 + 2
= 0
⇔ (x − 1)

1
3
√
x
2

+
3
√
x + 1
+
1
√
x + 3 + 2

= 0 ⇔


x − 1 = 0
1
3
√
x
2
+
3
√
x + 1
+
1
√
x + 3 + 2
= 0
Từ đây, ta thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình. Xét x = 1, khi đó theo các biến đổi ở
trên, ta có
1

3
√
x
2
+
3
√
x + 1
+
1
√
x + 3 + 2
= 0.
Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra do
√
x + 3 + 2 > 0 và
3
√
x
2
+
3
√
x + 1 =

3
√
x +
1
2


2
+
3
4
> 0.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1.
(b) Phương trình đã cho tương đương với

3
√
2x + 1 − 1

+
3
√
x = 0 ⇔
(2x + 1) − 1
3

(2x + 1)
2
+
3
√
2x + 1 + 1
+
3
√
x = 0

⇔
2x
3

(2x + 1)
2
+
3
√
2x + 1 + 1
+
3
√
x = 0 ⇔
3
√
x


2
3
√
x
2
3

(2x + 1)
2
+
3

√
2x + 1 + 1
+ 1


= 0
⇔




x = 0
2
3
√
x
2
3

(2x + 1)
2
+
3
√
2x + 1 + 1
+ 1 = 0
Dễ thấy
2
3
√

x
2
3

(2x + 1)
2
+
3
√
2x + 1 + 1
+ 1 > 0, ∀x ∈ R
nên từ trên, ta suy ra x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 3. Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình sau:
√
x
2
+ 15 = 3
3
√
x
2
+
√
x
2
+ 8 − 2.
Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với

√
x

2
+ 15 − 4

= 3

3
√
x
2
− 1

+

√
x
2
+ 8 − 3

⇔
x
2
− 1
√
x
2
+ 15 + 4
=
3(x
2
− 1)

3
√
x
4
+
3
√
x
2
+ 1
+
x
2
− 1
√
x
2
+ 8 + 3
.

4 Lê Phúc Lữ
Như vậy, ta có x
2
= 1 hoặc
1
√
x
2
+ 15 + 4
=

3
3
√
x
4
+
3
√
x
2
+ 1
+
1
√
x
2
+ 8 + 3
.
Tuy nhiên, do
√
x
2
+ 8 + 3 <
√
x
2
+ 15 + 4 nên ta có
1
√
x

2
+ 15 + 4
<
1
√
x
2
+ 8 + 3
,
và do đó khả năng thứ hai không thể xảy ra. Từ đây ta thu được x
2
= 1 hay x = ±1.
Tóm lại, phương trình đã cho có tất cả hai nghiệm là x = −1 và x = 1.
2 Các bài toán áp dụng và những điều cần chú ý
Trong phần này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu thêm các bài toán minh họa khác thể hiện rõ hơn
ứng dụng của phương pháp.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
(a)
3
√
x
2
− 1 + x =
√
x
3
− 2; (Đề đề nghị Olympic 30/4)
(b) x
3
+ 3x

2
− 3
3
√
3x + 5 = 1 − 3x. (Đề thi Olympic 30/4, 2009)
Lời giải. (a) Điều kiện: x 
3
√
2. Phương trình đã cho tương đương với

3
√
x
2
− 1 − 2

+ (x − 3) =

√
x
3
− 2 − 5

⇔ (x − 3)

1 +
x + 3
3

(x

2
− 1)
2
+ 2
3
√
x
2
− 1 + 4

=
(x − 3)(x
2
+ 3x + 9)
√
x
3
− 2 + 5
⇔



x = 3
1 +
x + 3
3

(x
2
− 1)

2
+ 2
3
√
x
2
− 1 + 4
=
x
2
+ 3x + 9
√
x
3
− 2 + 5
Xét phương trình:
1 +
x + 3
3

(x
2
− 1)
2
+ 2
3
√
x
2
− 1 + 4

=
x
2
+ 3x + 9
√
x
3
− 2 + 5
. (1)
Ta có các đánh giá sau:
• V P =
x
2
+ 3x + 9
√
x
3
− 2 + 5
>
x
2
+ 3x + 9
√
x
3
+ 5

x
2
+ 3x + 9

x
2
+x
2
+ 5
= 2 +
2(2x − 1)
x
2
+ x + 10
> 2.
• V T < 1 +
x + 3
3

(x
2
− 1)
2
+ 4
= 1 +
x + 3
3

(x − 1)
2
(x + 1)
2
+ 4
< 1 +

x + 3
3

(x − 1)
3
+ 4
= 2.
Do đó, với mọi x 
3
√
2, ta có V T < 2 < V P, hay nói cách khác, (1) vô nghiệm. Vậy phương
trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.

Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 5
(b) Ở bài này, chúng ta có hai cách giải như sau:
Cách 1. Phương trình đã cho tương đương với
x
3
+ 3x
2
+ 3x − 1 − 3
3
√
3x + 5 = 0 ⇔ (x
3
+ 3x
2
+ 3x − 7) + 3

2 −

3
√
3x + 5

= 0
⇔ (x − 1)(x
2
+ 4x + 7) +
9(1 − x)
4 + 2
3
√
3x + 5 +
3

(3x + 5)
2
= 0
⇔ (x − 1)


x
2
+ 4x + 7 −
9
4 + 2
3
√
3x + 5 +
3


(3x + 5)
2


= 0.
Ta thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình. Xét x = 1, khi đó ta có
x
2
+ 4x + 7 =
9
4 + 2
3
√
3x + 5 +
3

(3x + 5)
2
,
hay
(x
2
+ 4x + 7)

4 + 2
3
√
3x + 5 +
3


(3x + 5)
2

= 9. (1)
Ta sẽ chứng minh
(x
2
+ 4x + 7)

4 + 2
3
√
3x + 5 +
3

(3x + 5)
2

 9.
Thật vậy, ta có
(x
2
+ 4x + 7)

4 + 2
3
√
3x + 5 +
3


(3x + 5)
2

=

(x + 2)
2
+ 3



3
√
3x + 5 + 1

2
+ 3

 9
và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x + 2 = 0
3
√
3x + 5 + 1 = 0
⇔ x = −2.
Từ đây ta suy ra (1) có nghiệm duy nhất x = −2. Vậy phương trình đã cho có tất cả hai
nghiệm là x = 1 và x = −2.
Cách 2. Ta sẽ biến đổi phương trình đã cho theo cách khác như sau:

x
3
+ 3x
2
− 3
3
√
3x + 5 = 1 − 3x ⇔ (x
3
+ 3x
2
− 4) + 3

x + 1 −
3
√
3x + 5

= 0
⇔ (x − 1)(x + 2)
2
+
3

(x + 1)
3
− 3x − 5

(x + 1)
2

+ (x + 1)
3
√
3x + 5 +
3

(3x + 5)
2
= 0
⇔ (x − 1)(x + 2)
2
+
3(x
3
+ 3x
2
− 4)
(x + 1)
2
+ (x + 1)
3
√
3x + 5 +
3

(3x + 5)
2
= 0
⇔ (x − 1)(x + 2)
2



1 +
3
(x + 1)
2
+ (x + 1)
3
√
3x + 5 +
3

(3x + 5)
2


= 0.
Biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi x ∈ R nên ta suy ra phương trình đã cho có
hai nghiệm là x = 1 và x = −2.

6 Lê Phúc Lữ
Nhận xét. Ở cách thứ nhất của câu (b), do chỉ tìm được một nghiệm của phương trình là
x = 1 nên lời giải dẫn đến một phương trình khác mà ta phải dùng bất đẳng thức đánh giá để
tìm nghiệm còn lại. Trong khi đó, ở cách 2, vì đã tìm được cả hai nghiệm của phương trình đã
cho nên có thể chủ động nhóm các hạng tử để tạo nên nhân tử chung là (x −1)(x + 2), còn lại
biểu thức trong ngoặc đã luôn dương với mọi x nên việc giải phương trình coi như hoàn tất.
Các bước phân tích để có được cách nhóm trên sẽ được giới thiệu rõ ở các bài sau. Dưới đây là
cách thông dụng khi giải bài toán này, đó chính là đưa về hệ phương trình đối xứng, một cách
giải quan trọng dùng để xử lý các bài phương trình có bậc hai vế là nghịch đảo của nhau.
Cách 3. Phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng

(x + 1)
3
− 2 = 3
3
√
3x + 5.
Đặt
3
√
3x + 5 = y + 1 thì ta có (y + 1)
3
= 3x + 5. Từ đây và từ phương trình ở trên, ta có hệ

(x + 1)
3
= 3y + 5
(y + 1)
3
= 3x + 5
Trừ vế theo vế các phương trình, ta được
(x − y)

(x + 1)
2
+ (x + 1)(y + 1) + (y + 1)
2
+ 3

= 0 ⇔ x = y
(Do biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi x, y ∈ R). Thay y = x ngược trở lại vào

hệ, ta được phương trình tương ứng là
(x + 1)
3
= 3x + 5.
Giải ra và thử lại, ta cũng được các nghiệm x = 1 và x = −2.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
(a) (x + 3)
√
2x
2
+ 1 = x
2
+ x + 3; (b) (x + 3)
√
x
2
+ 5 = 2x
2
+ 3x + 1.
Lời giải. (a) Dễ thấy x = −3 không là nghiệm của phương trình nên ta chỉ cần xét x = −3
là đủ. Khi đó, phương trình đã cho có thể được viết lại dưới dạng
√
2x
2
+ 1 =
x
2
+ x + 3
x + 3
⇔

√
2x
2
+ 1 − 1 =
x
2
x + 3
⇔
2x
2
√
2x
2
+ 1 + 1
=
x
2
x + 3
⇔


x = 0
2
√
2x
2
+ 1 + 1
=
1
x + 3

Từ đây ta suy ra x = 0 là một nghiệm của phương trình đã cho. Xét phương trình còn lại, ta
thấy phương trình này tương đương với
√
2x
2
+ 1 + 1 = 2x + 6 ⇔
√
2x
2
+ 1 = 2x + 5 ⇔



x  −
5
2
2x
2
+ 1 = 4x
2
+ 25 + 20x
⇔



x  −
5
2
x
2

+ 10x + 12 = 0
⇔



x  −
5
2
x = −5 +
√
13 ∨ x = −5 −
√
13
⇔ x = −5 +
√
13.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = −5 +
√
13.

Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 7
(b) Tương tự bài trên, ta thấy x = −3 không là nghiệm của phương trình. Xét x = −3, ta có
phương trình tương đương
√
x
2
+ 5 =
2x
2
+ 3x + 1

x + 3
⇔
√
x
2
+ 5 − 3 =
2x
2
+ 3x + 1
x + 3
− 3
⇔
x
2
− 4
√
x
2
+ 5 + 3
=
2(x
2
− 4)
x + 3
⇔


x
2
− 4 = 0

1
√
x
2
+ 5 + 3
=
2
x + 3
Nếu x
2
− 4 = 0 thì ta có x = ±2 và hai giá trị này thỏa mãn phương trình đã cho. Còn với
x
2
− 4 = 0 thì từ biến đổi trên, ta có
1
√
x
2
+ 5 + 3
=
2
x + 3
⇔ x + 3 = 2
√
x
2
+ 5 + 6 ⇔ x − 3 = 2
√
x
2

+ 5
⇔

x  3
x
2
+ 9 − 6x = 4(x
2
+ 5)
⇔

x  3
3x
2
+ 6x + 11 = 0
Rõ ràng không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ này. Và như thế, ta đi đến kết luận phương
trình đã cho có hai nghiệm là x = −2 và x = 2.
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
(a)
√
x − 1 +
√
x + 3 + 2

(x − 1)(x
2
− 3x + 5) = 4 − 2x;
(b)
√
x − 1 −

√
x + 3 + 2

(x − 1)(x
2
− 3x + 5) = −2x;
(c)
√
x − 1 +
√
x + 3 + 2

(x − 1)(x
2
− 3x + 5) = 2x.
Lời giải. (a) Điều kiện: x  1. Với điều kiện này, ta dễ thấy:
• V T 
√
x + 3  2 và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1.
• V P  2 và đẳng thức cũng xảy ra khi và chỉ khi x = 1.
Do vậy, để có thể xảy ra trường hợp V T = V P như đã nêu ở đề bài thì ta phải có V T = V P = 2,
tức x = 1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.
(b) Điều kiện: x  1. Ta nhẩm được x = 1 là nghiệm của phương trình và điều này gợi cho ta
nghĩ đến việc biến đổi phương trình như sau
√
x − 1 −
√
x + 3 + 2

(x − 1)(x

2
− 3x + 5) = −2x
⇔
√
x − 1 + 2

(x − 1)(x
2
− 3x + 5) =
√
x + 3 − 2x
⇔
√
x − 1 + 2

(x − 1)(x
2
− 3x + 5) = −
(x − 1)(4x + 3)
√
x + 3 + 2x
.
Ta thấy rằng với x  1 thì vế trái của phương trình trên là một đại lượng không âm, trong
khi đó vế phải luôn mang giá trị  0. Do đó, để có thể xảy ra được dấu đẳng thức như trên
thì cả hai đại lượng này phải đồng thời bằng 0, tức là x = 1. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất
của phương trình đã cho.

8 Lê Phúc Lữ
(c) Điều kiện: x  1. Biến đổi tương tự như trên, ta được
√

x − 1 + 2

(x − 1)(x
2
− 3x + 5) =
(x − 1)(4x + 3)
√
x + 3 + 2x
⇔
√
x − 1

1 + 2
√
x
2
− 3x + 5 −
√
x − 1(4x + 3)
√
x + 3 + 2x

= 0
⇔



√
x − 1 = 0
1 + 2

√
x
2
− 3x + 5 =
√
x − 1(4x + 3)
√
x + 3 + 2x
Đến đây, bằng cách giải phương trình thứ nhất, ta tìm được một nghiệm là x = 1. Xét tiếp
phương trình thứ hai, ta thấy
1 + 2
√
x
2
− 3x + 5 = 1 +

2 [x
2
+ (x − 3)
2
+ 1] > 1 +
√
2x
2
> 1 + x.
Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM thì x = (x − 1) + 1  2
√
x − 1. Do vậy, ta có
√
x − 1(4x + 3)

√
x + 3 + 2x

√
x − 1(4x + 3)
2x

x
2
· (4x + 3)
2x
=
4x + 3
4
< x + 1 < 1 + 2
√
x
2
− 3x + 5.
Điều này chứng tỏ phương trình 1 + 2
√
x
2
− 3x + 5 =
√
x−1(4x+3)
√
x+3+2x
vô nghiệm. Và như thế, ta đi
đến kết luận x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
(a) 3

2 +
√
x − 2

= 2x +
√
x + 6; (Đề thi Học viện Kỹ thuật Quân sự, 2000)
(b)
√
3x + 1 −
√
6 − x + 3x
2
− 14x − 8 = 0. (Đề thi Đại học khối B, 2010)
Lời giải. (a) Điều kiện: x  2. Ta có phương trình đã cho tương đương với
2(x − 3) +

√
x + 6 − 3
√
x − 2

= 0 ⇔ 2(x − 3) +
(x + 6) − 9(x − 2)
√
x + 6 + 3
√

x − 2
= 0
⇔ (x − 3)

1 −
4
√
x + 6 + 3
√
x − 2

= 0 ⇔

x = 3
√
x + 6 + 3
√
x − 2 = 4
Xét phương trình
√
x + 6 + 3
√
x − 2 = 4. Bình phương hai vế để khử căn, ta được
10x − 12 + 6

(x + 6)(x − 2) = 16 ⇔ 3

(x + 6)(x − 2) = 14 − 5x
⇔




2  x 
14
5
9(x + 6)(x − 2) = (14 − 5x)
2
⇔



2  x 
14
5
x
2
− 11x + 19 = 0
⇔





2  x 
14
5
x =
11 − 3
√
5

2
∨ x =
11 + 3
√
5
2
⇔ x =
11 − 3
√
5
2
.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là T =

11−3
√
5
2
, 3

.

Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 9
(b) Điều kiện: −
1
3
 x  6. Phương trình đã cho tương đương với

√
3x + 1 − 4


−

√
6 − x − 1

+ 3x
2
− 14x − 5 = 0
⇔
3(x − 5)
√
3x + 1 + 4
+
x − 5
√
6 − x + 1
+ (3x + 1)(x − 5) = 0
⇔


x = 5
3
√
3x + 1 + 4
+
1
√
6 − x + 1
+ 3x + 1 = 0

Dễ thấy
3
√
3x + 1 + 4
+
1
√
6 − x + 1
+ 3x + 1 > 0, ∀x ∈

−
1
3
, 6

nên trường hợp thứ hai không thể xảy ra. Từ đây ta suy ra phương trình đã cho chỉ có một
nghiệm duy nhất là x = 5.
Ví dụ 8. Giải các phương trình và bất phương trình sau:
(a)
3
√
2x + 2 +
3
√
2x + 1 =
3
√
2x
2
+

3
√
2x
2
+ 1;
(b)
√
3 − x +
√
2 + x = x
3
+ x
2
− 4x − 4 + |x| + |x − 1|;
(c) 2

x
2
+ x + 1
x + 4
+ x
2
− 4 
2
√
x
2
+ 1
.
Lời giải. (a) Ta thấy rằng ở hai vế đều có dạng hàm số f(t) =

3
√
t +
3
√
t + 1 nên có thể dùng
tính đơn điệu của hàm số để giải dễ dàng. Ở đây, ta dùng phương pháp nhân liên hợp nhằm
làm xuất hiện nhân tử chung ở hai vế. Trước hết, ta viết lại phương trình dưới dạng

3
√
2x
2
+ 1 −
3
√
2x + 2

+

3
√
2x
2
−
3
√
2x + 1

= 0.

Bằng cách nhân các lượng liên hợp tương ứng, ta có
3
√
2x
2
+ 1 −
3
√
2x + 2 =
2x
2
− 2x − 1
3

(2x
2
+ 1)
2
+
3

(2x
2
+ 1)(2x + 2) +
3

(2x + 2)
2
=
2x

2
− 2x − 1
A
và
3
√
2x
2
−
3
√
2x + 1 =
2x
2
− 2x − 1
3

(2x
2
)
2
+
3

2x
2
(2x + 1) +
3

(2x + 1)

2
=
2x
2
− 2x − 1
B
.
Do đó, phương trình đã cho tương đương với
(2x
2
− 2x − 1)

1
A
+
1
B

= 0.
Tuy nhiên, do A, B > 0 nên từ đây ta có
2x
2
− 2x − 1 = 0 ⇔ x =
1 −
√
3
2
∨ x =
1 +
√

3
2
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =
1−
√
3
2
và x =
1+
√
3
2
.

10 Lê Phúc Lữ
(b) Điều kiện: −2  x  3. Phương trình đã cho tương đương với

√
3 − x − |x − 1|

+

√
2 + x − |x|

= x
3
+ x
2

− 4x − 4
⇔
−x
2
+ x + 2
√
3 − x + |x − 1|
+
−x
2
+ x + 2
√
2 + x + |x|
= (x + 2)(x + 1)(x − 2)
⇔
(2 − x)(x + 1)
√
3 − x + |x − 1|
+
(2 − x)(x + 1)
√
2 + x + |x|
+ (x + 2)(x + 1)(2 − x) = 0
⇔ (2 − x)(x + 1)

1
√
3 − x + |x − 1|
+
1

√
2 + x + |x|
+ (x + 2)

= 0.
Do
1
√
3−x+|x−1|
+
1
√
2+x+|x|
+ (x + 2) > 0, ∀x ∈ [−2, 3] nên từ trên, ta có
(2 − x)(x + 1) = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = −1 và x = 2.
(c) Điều kiện: x > −4. Bất phương trình đã cho tương đương với
2


x
2
+ x + 1
x + 4
− 1

+ x
2
− 3 
2

√
x
2
+ 1
− 1
⇔ 2 ·
x
2
+x+1
x+4
− 1

x
2
+x+1
x+4
+ 1
+ x
2
− 3 
4
x
2
+1
− 1
2
√
x
2
+1

+ 1
⇔
2 (x
2
− 3)

(x + 4)(x
2
+ x + 1) + x + 4
+ (x
2
− 3) +
x
2
− 3

2 +
√
x
2
+ 1

√
x
2
+ 1
 0.
Và như thế, ta thu được
(x
2

− 3)

2

(x + 4)(x
2
+ x + 1) + x + 4
+ 1 +
1

2 +
√
x
2
+ 1

√
x
2
+ 1

 0.
Dễ thấy biểu thức trong dấu ngoặc thứ hai luôn dương với mọi x > −4, do đó ta có thể viết
lại bất phương trình trên thành
x
2
− 3  0 ⇔ −
√
3  x 
√

3.
Kết hợp với điều kiện xác định x > −4, ta thu được T =

−
√
3,
√
3

là tập nghiệm của bất
phương trình đã cho.
Nhận xét. Với câu (b) của ví dụ này, ta thấy có xuất hiện thêm các đa thức chứa dấu trị
tuyệt đối là |x −1|, |x|. Tưởng chừng điều này sẽ gây khó khăn hơn trong việc giải quyết, vì
phương trình chứa dấu trị tuyệt đối thì thường khó phân tích thành nhân tử. Nhưng nhờ việc
sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, bài toán này đã được giải nhanh chóng và khá nhẹ
nhàng. Khi ấy, ta chỉ cần chuyển các lượng ấy về đúng vị trí và sử dụng phương pháp nhân
lượng liên hợp là đủ.
Cách tiếp cận bằng nhân lượng liên hợp cho phép ta dám biến đổi các biểu thức một cách tự
do hơn, thoải mái hơn, không bị gò bó nhiều quá ở việc lựa chọn biểu thức thật thích hợp hay
đánh giá như trong các cách khác.

Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 11
Dưới đây là một loạt bài toán được tạo ra từ ý tưởng phong phú của phương pháp tiếp cận
bằng lượng liên hợp.
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:
(a)
3
√
x
2

− 1 +
√
x − 3 +
√
x + 1 + x =
x + 3
x
2
− 6
+ 5;
(b)
1
√
x
2
− x + 1
+
√
x + x
2
= x +
1
x
+ 1;
(c)

x + 9
x
2
+ x + 2

+
2
√
x
2
− 3
=
x
2
+ 1
4
;
(d)
1
√
x − 1
+
2
x
2
+
1
2x
=
7
4
.
Lời giải. (a) Điều kiện: x  3. Phương trình đã cho tương đương với

3

√
x
2
− 1 − 2

+
√
x − 3 +

√
x + 1 − 2

+ (x − 3) =
x + 3
x
2
− 6
− 2
⇔
x
2
− 1 − 8
3

(x
2
− 1)
2
+ 2
3

√
x
2
− 1 + 4
+
√
x − 3 +
x + 1 − 4
√
x + 1 + 2
+ (x − 3) =
15 + x − 2x
2
x
2
− 6
⇔
x
2
− 9
3

(x
2
− 1)
2
+ 2
3
√
x

2
− 1 + 4
+
√
x − 3 +
x − 3
√
x + 1 + 2
+ (x − 3) +
(x − 3)(2x + 5)
x
2
− 6
= 0
⇔
√
x − 3


√
x − 3(x + 3)
3

(x
2
− 1)
2
+ 2
3
√

x
2
− 1 + 4
+ 1 +
√
x − 3
√
x + 1 + 2
+
√
x − 3 +
√
x − 3(2x + 5)
x
2
− 6


= 0.
Do x  3 nên biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương và như thế, ta có
√
x − 3 = 0 ⇔ x = 3.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.
(b) Điều kiện: x > 0. Phương trình đã cho tương đương với

1
√
x
2
− x + 1

−
1
x

+

√
x − 1

+ (x
2
− x) = 0 ⇔
1
x
2
−x+1
−
1
x
2
1
√
x
2
−x+1
+
1
x
+
x − 1

√
x + 1
+ x(x − 1) = 0
⇔ (x − 1)

1
x(x
2
− x + 1) + x
2
√
x
2
− x + 1
+
1
√
x + 1
+ x

= 0.
Do x > 0 nên ta có
1
x(x
2
− x + 1) + x
2
√
x
2

− x + 1
+
1
√
x + 1
+ x > 0.
Ta thấy phương trình thứ hai vô nghiệm nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1.

12 Lê Phúc Lữ
(c) Điều kiện: x ∈

−9, −
√
3

∪

√
3, +∞

. Phương trình đã cho tương đương với


x + 9
x
2
+ x + 2
− 1

+


2
√
x
2
− 3
− 1

=
x
2
+ 1
4
− 2 ⇔
x+9
x
2
+x+2
− 1

x+9
x
2
+x+2
+ 1
+
4
x
2
−3

− 1
2
√
x
2
−3
+ 1
=
x
2
− 7
4
⇔
7 − x
2


x+9
x
2
+x+2
+ 1

(x
2
+ x + 2)
+
7 − x
2


2
√
x
2
−3
+ 1

(x
2
− 3)
=
x
2
− 7
4
⇔

7 − x
2



1


x+9
x
2
+x+2
+ 1


(x
2
+ x + 2)
+
1

2
√
x
2
−3
+ 1

(x
2
− 3)
+
1
4


= 0.
Nhận thấy biểu thức trong dấu ngoặc thứ hai luôn dương với mọi x thuộc điều kiện xác định
nên ta chỉ cần xét 7 − x
2
= 0 là đủ. Giải phương trình này, ta tìm được x = ±
√
7. Vậy, tập
nghiệm của phương trình đã cho là T =


−
√
7,
√
7

.
(d) Điều kiện: x > 1. Phương trình đã cho tương đương với

1
√
x − 1
− 1

+

2
x
2
+
1
2x
−
3
4

= 0 ⇔
1
x−1

− 1
1
√
x−1
+ 1
+

2
x
− 1

1
x
+
3
4

= 0
⇔
2 − x
(x − 1)

1
√
x−1
+ 1

+
2 − x
x

·

1
x
+
3
4

= 0
⇔ (2 − x)


1
(x − 1)

1
√
x−1
+ 1

+
1
x

1
x
+
3
4




= 0.
Mặt khác, dễ thấy với x > 1 thì
1
(x − 1)

1
√
x−1
+ 1

+
1
x

1
x
+
3
4

> 0.
Do đó, từ các biến đổi ở trên, ta suy ra
2 − x = 0 ⇔ x = 2.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
Nhận xét. Rõ ràng, các cách biến đổi ở trên có một đặc điểm là ta có quyền nhóm các số
hạng với nhau một cách tùy ý, miễn sao khi trừ vào ta phân tích được các nhân tử như đã dự
đoán là được; như thế thì chỉ trong một phương pháp nhân liên hợp, ta có thể có nhiều cách
giải cho một bài toán. Tuy nhiên, ta cần phải lựa chọn cách nhóm thật thích hợp để tránh dẫn

đến lời giải rắc rối, phức tạp hơn.
Ta sẽ phân tích bài toán sau đây để làm rõ điều này: Giải phương trình:
(3x + 1)
√
x
2
+ 3 = 3x
2
+ 2x + 3.
Bài toán này có dạng giống với các bài toán ở ví dụ 5 đã xét ở trước, vậy ta hãy thử áp dụng
lại cách giải của các ví dụ đó xem sao: Do x = −
1
3
không là nghiệm của phương trình nên ta

Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 13
chỉ cần xét x = −
1
3
là đủ và khi đó, ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho 3x + 1 = 0
để viết lại nó dưới dạng
√
x
2
+ 3 =
3x
2
+ 2x + 3
3x + 1
⇔

√
x
2
+ 3 − 2 =
3x
2
+ 2x + 3
3x + 1
− 2
⇔
x
2
+ 3 − 4
√
x
2
+ 3 + 2
=
3x
2
− 4x + 1
3x + 1
⇔
x
2
− 1
√
x
2
+ 3 + 2

=
(x − 1)(3x − 1)
3x + 1
.
Từ đây, ta dễ thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình. Xét x = 1, khi đó ta có
x + 1
√
x
2
+ 3 + 2
=
3x − 1
3x + 1
⇔
x + 1
3x − 1
=
√
x
2
+ 3 + 2
3x + 1
⇔
x + 1
3x − 1
− 1 =
√
x
2
+ 3 + 2

3x + 1
− 1 ⇔
2(1 − x)
3x − 1
=
√
x
2
+ 3 − (3x − 1)
3x + 1
. (1)
Rõ ràng x = −
1
4
không phải là nghiệm của phương trình này. Xét trường hợp x = −
1
4
, khi ấy
ta có
√
x
2
+ 3 + (3x − 1) = 0. Suy ra
(1) ⇔
1 − x
3x − 1
=
(1 − x)(1 + 4x)
(3x + 1)


√
x
2
+ 3 + 3x − 1

.
Do (3x + 1)
√
x
2
+ 3 = 3x
2
+ 2x + 3 nên ta có
(3x + 1)

√
x
2
+ 3 + 3x − 1

= (3x
2
+ 2x + 3) + (3x + 1)(3x − 1) = 12x
2
+ 2x + 2.
Điều này cho phép ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng
1 − x
3x − 1
=
(1 − x)(1 + 4x)

12x
2
+ 2x + 2
⇔
3(1 − x
2
)
2(3x − 1)(6x
2
+ x + 1)
= 0.
Do x = 1 nên từ đây ta có x = −1. Tuy nhiên, khi thử lại ta thấy x = −1 không thỏa mãn
phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.
Quả thực lời giải trên hết sức dài dòng và phức tạp (vì phải trải qua nhiều biến đổi loằng
ngoằng) đúng không nào các bạn? Nguyên nhân của việc này chính là vì từ ban đầu, ta đã
nhóm các hạng tử không thực sự phù hợp (tuy đã làm xuất hiện hạng lượng x − 1 nhưng lại
không triệt để). Bây giờ, ta hãy cùng xem xét cách giải sau (một hướng đi tốt hơn hẳn): Ta có
√
x
2
+ 3 =
3x
2
+ 2x + 3
3x + 1
⇔
√
x
2
+ 3 − 2x =

3x
2
+ 2x + 3
3x + 1
− 2x.
Đến đây, với chú ý ở các bất đẳng thức 3x
2
+ 2x + 3 = (x + 1)
2
+ 2x
2
+ 2 > 0 và
√
x
2
+ 3 > 0,
từ phương trình đã cho ban đầu, ta suy ra x > −
1
3
. Kết quả này cho thấy
√
x
2
+ 3 + 2x > 0
và như thế, ta có thể viết được phương trình trên dưới dạng
x
2
+ 3 − 4x
2
√

x
2
+ 3 + 2x
=
3x
2
+ 2x + 3 − 6x
2
− 2x
3x + 1
⇔
3(1 − x
2
)
√
x
2
+ 3 + 2x
=
3(1 − x
2
)
3x + 1
.
Lúc này, có hai trường hợp xảy ra là 1 − x
2
= 0 và
1
√
x

2
+3+2x
=
1
3x+1
.
• Trong trường hợp thứ nhất, ta có x = ±1. Kết hợp với điều kiện x > −
1
3
ở trên, ta thu
được nghiệm x = 1.

14 Lê Phúc Lữ
• Xét trường hợp thứ hai, lúc này ta có
√
x
2
+ 3 + 2x = 3x + 1 ⇔
√
x
2
+ 3 = x + 1 ⇔ x
2
+ 3 = x
2
+ 1 + 2x ⇔ x = 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1.
Ở lời giải thứ nhất, ta đã cộng (−2) vào cả hai vế, làm xuất hiện lượng (x −1) nhưng lời giải
vẫn còn phức tạp về sau. Ở lời giải thứ hai, ta đã cộng (−2x) vào cả hai vế, làm xuất hiện
lượng (x

2
− 1) ở cả hai vế, từ đó thu được lời giải gọn gàng và đẹp đẽ như trên. Đó chính là
sự khác biệt! Ta sẽ xem xét cụ thể ý tưởng trên qua các bài toán dưới đây:
Ví dụ 10. Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình:
x
2
+ x − 1 = (x + 2)
√
x
2
− 2x + 2.
Lời giải. Với phương trình này, ta không gặp được sự may mắn là nó có hai nghiệm vô tỉ và
có thể nhận ra điều này bằng cách sử dụng máy tính. Nếu linh hoạt một chút, ta sẽ nghĩ đến
thừa số chung là một tam thức bậc hai có hai nghiệm x
1
, x
2
. Vấn đề tam thức ở đây là tam
thức nào?
Một điều thú vị là chúng ta có thể làm được điều đó nhờ sử dụng định lý đảo của định lý
Viette. Sử dụng máy tính, ta tính được x
1
+ x
2
= 2, x
1
x
2
= −7 nên thừa số chung mà ta cần
phân tích là tam thức x

2
− 2x − 7 và ta đi đến biến đổi như sau:
x
2
+ x − 1 = (x + 2)
√
x
2
− 2x + 2 ⇔ x
2
− 2x − 7 + (x + 2)

3 −
√
x
2
− 2x + 2

= 0
⇔ x
2
− 2x − 7 +
(x + 2)(x
2
− 2x − 7)
3 +
√
x
2
− 2x + 2

= 0 ⇔


x
2
− 2x − 7 = 0
1 −
x + 2
√
x
2
− 2x + 2 + 3
= 0
⇔


x = 1 ±
√
8

(x − 1)
2
+ 1 = x − 1
Phương trình thứ hai vô nghiệm nên ta suy ra phương trình đã cho có tất cả hai nghiệm là
x = 1 −
√
8 và x = 1 +
√
8.
Nhận xét. Để tạo ra thừa số x

2
− 2x − 7 ngoài cách biến đổi như trên ta còn có cách khác
như sau: Vì x = −2 không là nghiệm nên ta có thể viết phương trình dưới dạng
√
x
2
− 2x + 2 =
x
2
+ x − 1
x + 2
.
Đến đây thì ta có thể biến đổi tương tự như trên. Từ cách này, ta cũng có thể tìm được một ý
tưởng để xác định được các đại lượng các thêm bớt cho từng biểu thức bằng cách dùng tham
số như sau: Trước hết, ta thêm một lượng −(mx + n) vào hai vế và tiến hành nhân lượng liên
hợp vào như bình thường:
√
x
2
− 2x + 2 − (mx + n) =
x
2
+ x − 1
x + 2
− (mx + n)
⇔
x
2
− 2x + 2 − (mx + n)
2

√
x
2
− 2x + 2 + (mx + n)
=
(x
2
+ x − 1) − (x + 2)(mx + n)
x + 2
⇔
(1 − m
2
)x
2
− 2(1 + mn)x − (n
2
− 2)
√
x
2
− 2x + 2 + (mx + n)
=
(1 − m)x
2
− (2m + n − 1)x − (1 + 2n)
x + 2
.

Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 15
Ở đây, ta muốn làm xuất hiện nhân tử chung nên ta sẽ chọn các số m, n sao cho hai tam thức

bậc hai ở hai bên có hệ số tỉ lệ với nhau, tức là
1 − m
2
1 − m
=
2(1 + mn)
2m + n − 1
=
n
2
− 2
2n + 1
.
Giải hệ này ra, ta chọn được m = 0, n = 3. Lúc này, ta có thể thay kết quả ngược trở lại vào
các biến đổi ở trên và hoàn tất lời giải.
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau:
(a)
√
3 − x +
√
2 + x = x
3
+ x
2
− 4x − 1; (b) x
3
+ 6x
2
− 2x + 3 = (5x − 1)
√

x
3
+ 3.
Lời giải. (a) Ta cũng sẽ phân tích để đi đến lời giải bài toán này. Qua một vài phép thử, ta
biết được x = −1, x = 2 là các nghiệm trong những nghiệm của phương trình nêu trên. Ta sẽ
làm xuất hiện lượng (x + 1)(x − 2) bằng cách thêm vào các đa thức f(x), g(x) thích hợp sao
cho phương trình sau khi được viết dưới dạng

√
3 − x − f(x)

+

√
2 + x − g(x)

= x
3
+ x
2
− 4x − 1 −

f(x) + g(x)

sẽ thu được nhân tử này bằng cách nhân lượng liên hợp và phân tích nhân tử.
Ta sẽ tìm f(x) và g(x) thông qua một số điều kiện nhất định. Rõ ràng để được nhân tử bậc
hai thì đa thức đó phải là bậc nhất để khi thêm vào, dùng liên hợp, ta được một tam thức bậc
hai. Hơn nữa, việc sử dụng các đa thức bậc thấp cũng sẽ tiện lợi hơn cho tính toán.
Đặt f (x) = ax + b và g(x) = cx + d. Khi đó, các đa thức này phải nhận cùng một giá trị với
√

3 − x và
√
x + 2 khi thay các nghiệm x = −1, x = 2 vào. Và như thế, ta có các hệ sau:

f(−1) = 2
f(2) = 1
⇔

−a + b = 2
2a + b = 1
⇔





a = −
1
3
b =
5
3
⇒ f(x) = −
1
3
(x − 5),

g(−1) = 1
g(2) = 2
⇔


−c + d = 1
2c + d = 2
⇔





c =
1
3
d =
4
3
⇒ g(x) =
1
3
(x + 4).
Vậy là ta đã chọn được f (x) và g(x). Tuy nhiên, khi đến đây thì có một vấn đề phát sinh mà
có lẽ sẽ có nhiều bạn băn khoăn đó là, liệu vế phải x
3
+ x
2
− 4x − 1 −

f(x) + g(x)

có phân
tích được nhân tử (x + 1)(x − 2) hay không? Điều này thì các bạn có thể yên tâm.

Vì x = −1 và x = 2 là các nghiệm của phương trình đã cho nên khi các biểu thức
√
3 − x−f (x)
và
√
2 + x − g(x) đã phân tích được nhân tử (x + 1)(x − 2) rồi thì chắc chắn
x
3
+ x
2
− 4x − 1 −

f(x) + g(x)

cũng sẽ phân tích được nhân tử này. Thật vậy, ta hãy cùng kiểm tra xem nhé. Với f (x) và
g(x) được chọn như trên, ta có
x
3
+ x
2
− 4x − 1 −

f(x) + g(x)

= x
3
+ x
2
− 4x − 1 − 3 = x
3

+ x
2
− 4x − 4
= (x + 1)(x + 2)(x − 2),
đúng là có nhân tử (x + 1)(x − 2) xuất hiện nhé!

16 Lê Phúc Lữ
Lưu ý rằng phần ở trên hoàn toàn có thể thực hiện trong giấy nháp và ta đi đến lời giải như
sau: Điều kiện: −2  x  3. Phương trình đã cho tương đương với

√
3 − x +
1
3
(x − 5)

+

√
2 + x −
1
3
(x + 4)

= x
3
+ x
2
− 4x − 1 − 3
⇔


3
√
3 − x + (x − 5)

+

3
√
2 + x − (x + 4)

= 3(x
3
+ x
2
− 4x − 4)
⇔
9(3 − x) − (x − 5)
2
3
√
3 − x − (x − 5)
+
9(2 + x) − (x + 4)
2
3
√
2 + x + (x + 4)
= 3(x + 1)(x + 2)(x − 2)
⇔

−x
2
+ x + 2
3
√
3 − x − (x − 5)
+
−x
2
+ x + 2
3
√
2 + x + (x + 4)
= 3(x + 1)(x + 2)(x − 2)
⇔
(x + 1)(2 − x)
3
√
3 − x − (x − 5)
+
(x + 1)(2 − x)
3
√
2 + x + (x + 4)
+ 3(x + 1)(x + 2)(2 − x) = 0
⇔ (x + 1)(2 − x)

1
√
3 − x − (x − 5)

+
1
3
√
2 + x + (x + 4)
+ 3(x + 2)

= 0.
Do −2  x  3 nên biểu thức ở trong ngoặc vuông luôn dương, do vậy từ trên ta có
(x + 1)(2 − x) = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = −1 và x = 2.
(b) Điều kiện: x  −
3
√
3. Ta thấy x =
1
5
không là nghiệm của phương trình nên ta có thể biến
đổi như sau (biểu thức thêm vào cũng nhận được từ cách phân tích tương tự như trên):
x
3
+ 6x
2
− 2x + 3 = (5x − 1)
√
x
3
+ 3 ⇔
x
3

+ 6x
2
− 2x + 3
5x − 1
=
√
x
3
+ 3
⇔
x
3
+ 6x
2
− 2x + 3
5x − 1
− 2x =
√
x
3
+ 3 − 2x ⇔
x
3
− 4x
2
+ 3
5x − 1
=
√
x

3
+ 3 − 2x.
Ta xét hai trường hợp:
• Nếu
√
x
3
+ 2 + 2x = 0 thì ta có

x  0
x
3
− 4x
2
+ 3 = 0
⇔

x  0
(x − 1)(x
2
− 3x − 3) = 0
⇔ x =
3 −
√
21
2
.
Thử lại, ta thấy giá trị này thỏa mãn nên đây chính là một nghiệm của phương trình.
• Xét trường hợp
√

x
3
+ 3 + 2x = 0, khi đó ta có phương trình tương đương
x
3
− 4x
2
+ 3
5x − 1
=
x
3
− 4x
2
+ 3
√
x
3
+ 3 + 2x
⇔

x
3
− 4x
2
+ 3 = 0
5x − 1 =
√
x
3

+ 3 + 2x
Phương trình thứ nhất cho ta ba nghiệm là x = 1, x =
3+
√
21
2
và x =
3−
√
21
2
. So sánh với
điều kiện xác định và điều kiện
√
x
3
+ 3 + 2x = 0, ta chỉ nhận x = 1 và x =
3+
√
21
2
.
Phương trình thứ hai tương đương với
√
x
3
+ 3 = 3x − 1 ⇔




x 
1
3
x
3
− 9x
2
+ 6x + 2 = 0
⇔



x 
1
3
(x − 1)(x
2
− 8x − 2) = 0
Giải ra, ta tìm được hai nghiệm là x = 1 và x = 4 + 3
√
2. Thử lại, ta thấy thỏa.

Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 17
Vậy, phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm là x = 1, x =
3−
√
21
2
, x =
3+

√
21
2
và x = 4+3
√
2.
Nhận xét. Ở ví dụ (a), ta thấy rằng có thể làm xuất hiện các nhân tử lần lượt nhưng lời giải
sẽ dài dòng và biểu thức phức tạp có thể ảnh hưởng đến tính chính xác của các kết quả ta tìm
được. Chúng tôi xin trình bày lời giải theo ý tưởng này ra đây để bạn đọc có thể tham khảo
và so sánh: Ta có phương trình tương đương

√
3 − x − 1

+

√
2 + x − 2

= x
3
+ x
2
− 4x − 1 − 3
⇔
2 − x
√
3 − x + 1
+
x − 2

√
2 + x + 2
= (x + 1)(x − 2)(x + 2).
Từ đây ta thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Xét x = 2, khi đó phương trình trên
tương đương với
1
√
3 − x + 1
−
1
√
2 + x + 2
+ (x + 1)(x + 2) = 0
⇔

√
2 + x − 1

−

√
3 − x − 2


√
3 − x + 1

√
2 + x + 2


+ (x + 1)(x + 2) = 0
⇔
(2+x)−1
√
2+x+1
−
(3−x)−4
√
3−x+2

√
3 − x + 1

√
2 + x + 2

+ (x + 1)(x + 2) = 0
⇔ (x + 1)

1
√
2+x+1
+
1
√
3−x+2

√
3 − x + 1


√
2 + x + 2

+ x + 2

= 0.
Vì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi x ∈ [−2, 3] nên từ trên ta suy ra
x + 1 = 0 ⇔ x = −1.
Vậy phương trình có tất cả hai nghiệm là x = −1 và x = 2.
Ta tiếp tục với một số bài khác mà phương trình có nhiều hơn một nghiệm.
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau:
(a)

1 − x
x
=
2x + x
2
1 + x
2
;
(b)
3
√
x + 24 +
√
12 − x = 6;
(c) 2
√
x

2
− 7x + 10 = x +
√
x
2
− 12x + 20.
Lời giải. (a) Điều kiện: 0 < x  1. Dễ thấy phương trình có một nghiệm là x =
1
2
. Điều này
gợi cho ta nghĩ đến việc biến đổi phương trình như sau

1 − x
x
=
2x + x
2
1 + x
2
⇔ (1 + x
2
)
√
1 − x = (2x + x
2
)
√
x
⇔ x
2


√
1 − x −
√
x

+

√
1 − x − 2x
√
x

= 0 ⇔
x
2
(1 − 2x)
√
1 − x +
√
x
+
1 − x − 4x
3
√
1 − x + 2x
√
x
= 0
⇔

x
2
(1 − 2x)
√
1 − x +
√
x
+
(1 − 2x)(2x
2
+ x + 1)
√
1 − x + 2x
√
x
= 0
⇔ (1 − 2x)

x
2
√
1 − x +
√
x
+
2x
2
+ x + 1
√
1 − x + 2x

√
x

= 0.

18 Lê Phúc Lữ
Biểu thức trong dấu ngoặc thứ hai nhận giá trị dương với mọi x ∈ (0, 1] nên từ đây ta suy ra
x =
1
2
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
(b) Điều kiện: x  12. Ta có
3
√
x + 24 +
√
12 − x = 6 ⇔

3
√
x + 24 − 3

+

√
12 − x − 3

= 0
⇔
x − 3

3

(x + 24)
2
+ 3
3
√
x + 24 + 9
+
3 − x
√
12 − x + 3
= 0
⇔



x − 3 = 0
1
3

(x + 24)
2
+ 3
3
√
x + 24 + 9
+
−1
√

12 − x + 3
= 0
Từ phương trình thứ nhất, ta tìm được một nghiệm là x = 3. Bây giờ, xét phương trình thứ
hai, ta có phương trình này tương đương với
3

(x + 24)
2
+ 3
3
√
x + 24 + 9 =
√
12 − x + 3.
Kết hợp với phương trình được cho ở đề bài, ta có
3

(x + 24)
2
+ 3
3
√
x + 24 + 9 =

6 −
3
√
x + 24

+ 3

⇔
3

(x + 24)
2
+ 4
3
√
x + 24 = 0 ⇔ x = −24 ∨ x = −88.
Thử lại, ta thấy thỏa. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = −88, x = −24 và x = 3.
(c) Điều kiện: x  2 ∨ x  10. Đặt a =
√
x
2
− 7x + 10 và b =
√
x
2
− 12x + 20. Khi đó, ta có
2a − b = x.
Bây giờ, bằng kiểm tra trực tiếp, ta thấy phương trình có một nghiệm là x = 1. Do vậy, ta
nghĩ đến việc biến đổi phương trình như sau
2
√
x
2
− 7x + 10 = x +
√
x
2

− 12x + 20
⇔ 2

√
x
2
− 7x + 10 − (x + 1)

=
√
x
2
− 12x + 20 − (x + 2)
⇔
2 [(x
2
− 7x + 10) − (x + 1)
2
]
a + (x + 1)
=
(x
2
− 12x + 20) − (x + 2)
2
b + (x + 2)
⇔
18(1 − x)
a + x + 1
=

16(1 − x)
b + x + 2
⇔


1 − x = 0
9
a + x + 1
=
8
b + x + 2
⇔

x = 1
9(b + x + 2) = 8(a + x + 1)
Xét phương trình thứ hai, thay b = 2a − x vào, ta thu được
9(2a + 2) = 8(a + x + 1) ⇔ 5a = 4x − 5 ⇔ 5
√
x
2
− 7x + 10 = 4x − 5
⇔



x 
5
4
25(x
2

− 7x + 10) = 16x
2
− 40x + 25
⇔



x 
5
4
x
2
− 15x + 25 = 0
⇔ x =
15 ± 5
√
5
2
.
Thử lại, ta thấy chỉ có nghiệm x =
15+5
√
5
2
thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có tất cả hai
nghiệm là x = 1 và x =
15+5
√
5
2

.

Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 19
Nhận xét. Trong các bài trên, ta thấy rằng để giải một phương trình, ta phải biến đổi xong
rồi kết hợp với phương trình ban đầu. Ta chú ý rằng phép biến đổi này là phép biến đổi hệ
quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm để loại đi những nghiệm ngoại lai.
Phương pháp này tuy mạnh nhưng chúng ta cần phải căn cứ vào đặc điểm bài toán để sử dụng.
Có nhiều bài sau khi áp dụng nhiều lần việc nhân liên hợp nhưng biểu thức thu được vẫn còn
có nghiệm trong khi sau mỗi lần biến đổi như thế thì biểu thức phức tạp hơn rất nhiều. Khi
đó, chúng ta nên chú ý và thử sử dụng hướng tiếp cận khác phù hợp hơn. Ta xét ví dụ sau
(Nếu bài toán này giải bằng nhân lượng liên hợp sẽ khá rắc rối, các bạn hãy thử xem!) – bài
toán trong đề thi chọn đội tuyển trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội, 2010:
Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình:
√
3x
3
+ 2x
2
+ 2 +
√
−3x
3
+ x
2
+ 2x − 1 = 2x
2
+ 2x + 2.
Lời giải. Điều kiện:

3x

3
+ 2x
2
+ 2  0
−3x
3
+ x
2
+ 2x − 1  0
. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
√
3x
3
+ 2x
2
+ 2 = 1 ·
√
3x
3
+ 2x
2
+ 2 
1 + (3x
3
+ 2x
2
+ 2)
2
=
3x

3
+ 2x
2
+ 3
2
và
√
−3x
3
+ x
2
+ 2x − 1 = 1 ·
√
−3x
3
+ x
2
+ 2x − 1 
1 + (−3x
3
+ x
2
+ 2x − 1)
2
=
−3x
3
+ x
2
+ 2x

2
.
Từ đó suy ra
√
3x
3
+ 2x
2
+ 2 +
√
−3x
3
+ x
2
+ 2x − 1 
3x
3
+ 2x
2
+ 3
2
+
−3x
3
+ x
2
+ 2x
2
=
3x

2
+ 2x + 3
2

(3x
2
+ 2x + 3) + (x + 1)
2
2
= 2x
2
+ 2x + 2.
Mặt khác, theo yêu cầu của đề bài, ta phải có
√
3x
3
+ 2x
2
+ 2 +
√
−3x
3
+ x
2
+ 2x − 1 = 2x
2
+ 2x + 2,
tức dấu bằng trong bất đẳng thức trên phải đạt được. Điều này xảy ra khi và chỉ khi






3x
3
+ 2x
2
+ 2 = 1
− 3x
3
+ x
2
+ 2x − 1 = 1
(x + 1)
2
= 0
⇔ x = −1.
Thử lại, ta thấy x = −1 thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = −1.
3 Bài tập áp dụng
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
(a)
√
5x − 1 +
3
√
9 − x = 2x
2
+ 3x − 1;
(b)
3

√
x
2
− 2
3
√
x − (x − 4)
√
x − 7 − 3x + 28 = 0.

20 Lê Phúc Lữ
Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
(a) 2
√
x
2
+ 3 −
√
8 + 2x − x
2
= x;
(b) 2x
2
− 3x + 7 = 3
3
√
4x + 4;
(c)
3
√

x
2
− 1 +
√
3x
3
− 2 + 2 = 3x;
(d)
√
x
2
− 9x + 24 −
√
6x
2
− 59x + 149 = 5 − x;
(e)
√
x − 2 +
√
4 − x = 2x
2
− 5x − 1.
Bài tập 3. Giải các phương trình sau:
(a) x
3
− 3x
2
− 8x + 40 = 8
4

√
4x + 4;
(b)
3
√
2 − x +
√
x − 1 = 1;
(c)
4
√
17 − x
8
−
3
√
2x
8
− 1 = 1;
(d) 2x
3
− 2x
2
+ x − 6 = (x − 1)

2x(x
2
− x + 2).
Bài tập 4. Giải các phương trình sau:
(a)

√
x + 1 +
3
√
x + 8 +
4
√
x + 81 =
3
2
(x + 4);
(b)
3
√
x
2
+ 2 + x =
√
3x + 49.
Bài tập 5. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
(a)
√
x − 1 +
3
√
5x − 2 =
5
4
x +
1

2
;
(b)

x +
√
x
2
− 1 =
9
4
(x − 1)

2(x − 1);
(c)

√
x
2
+ 21 =

y −1 + y
2

y
2
+ 21 =
√
x − 1 + x
2

.
(Hệ phương trình chứa căn cũng có thể giải bằng phương pháp dùng lượng liên hợp với những
cách tiếp cận và chú ý tương tự.)
4 Lời kết
Có thể thấy nội dung về phương pháp nhân lượng liên hợp là một phần quan trọng trong các
phương pháp giải phương trình vô tỉ. Nó thực sự là một phát triển của phương pháp phân tích
thành nhân tử và phương trình tích quen thuộc áp dụng với các phương trình đa thức. Bằng
cách áp dụng linh hoạt nó cũng như vận dụng các ý tưởng đã biết để sáng tạo ra các bài toán
mới rồi giải chúng, ta có thể nâng cao được kỹ năng biến đổi và đào sâu thêm một lĩnh vực
tuy không khó nhưng cũng rất thú vị!
Mong rằng với những gì chúng tôi vừa trình bày, bạn đọc sẽ thu được một chút gì đó bổ ích
cho việc học tập và nghiên cứu của các bạn. Ngoài ra, chúng tôi cũng rất mong sẽ nhận được
nhiều ý kiến phản hồi từ các bạn học sinh, các thầy cô giáo để có thể hoàn thiện hơn nữa
chuyên đề này. Mọi trao đổi xin gửi về onluyentoan[at]gmail.com. Xin chân thành cảm ơn.