Nghiệm nhớt liên tục của phương trình Hamilton - Jacobi

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ
N®I 2 KHOA TOÁN

PHAN VĂN L®C

NGHIfiM NHéT LIÊN TUC CUA
PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON JACOBI

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C
Chuyên ngành: Toán Giái tích

Ngưèi hưéng dan
khoa hoc TS.
TRAN VĂN BANG

Hà N®i - 2011


LèI CÃM ƠN
Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Tran Văn Bang Ngưòi thay đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn
thành bài khoá lu¾n cúa mình. Đong thòi em xin chân thành cám ơn
các thay cô trong to Giái tích và các thay cô trong khoa Toán - Trưòng
Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Ban chú nhi¾m khoa Toán đã tao đieu
ki¾n cho em hoàn thành tot bài khoá lu¾n này.
Trong khuôn kho có han cúa m®t bài khoá lu¾n, do đieu ki¾n
thòi gian, do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa
hoc cho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh. Vì
v¾y, em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa các thay cô và các
ban.
Em xin chân thành cám ơn !
Hà N®i, tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Phan Văn L®c


LèI CAM ĐOAN
Khoá lu¾n này là ket quá cúa bán thân em trong quá trình hoc
t¾p và nghiên cúu. Bên canh đó em đưoc sn quan tâm cúa các thay cô
giáo trong khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn hưóng dan t¾n tình cúa TS.
Tran Văn Bang.
Trong khi nghiên cúu hoàn thành bán khoá lu¾n này em đã tham
kháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo.
Em xin khang đ%nh ket quá cúa đe tài “Nghi¾m nhát liên tnc cúa
phương trình Hamilton-Jacobi” không có sn trùng l¾p vói ket quá cúa
các đe tài khác.

Hà N®i, tháng 05 năm 2011
Sinh viên

Phan Văn L®c


Mnc lnc
Mé đau.................................................................................................1
Chương 1. Nghi¾m nhét cúa phương trình HamiltonJacobi . .
3
1.1. Đ%nh nghĩa và các tính chat cơ bán.......................................3
1.2. M®t so phép toán và tính chat nâng cao cúa nghi¾m nhót12
1.3. Hàm marginal.........................................................................21
Chương 2. Tính duy nhat và tính chính quy cúa

nghi¾m nhét

27

2.1. Tính duy nhat và sn so sánh nghi¾m...................................27
2.2. Tính chính quy cúa nghi¾m nhót.........................................40
2.2.1. Tính liên tnc Lipschitz cúa nghi¾m nhót...............................40
2.2.2. Tính núa lõm............................................................................46

Ket lu¾n..........................................................................................51
Tài li¾u tham kháo...................................................................52


Me ĐAU

1.Lý do chon đe tài
Khi xét m®t bài toán cúa phương trình đao hàm riêng ta thưòng
g¾p nhung khá năng khác nhau ve nghi¾m cúa nó. Ta nói m®t bài
toán cúa phương trình đao hàm riêng là đ¾t chính neu nghi¾m nó
thóa mãn cá ba đieu ki¾n: ton tai nghi¾m cúa bài toán, nghi¾m này là
duy nhat, nghi¾m phn thu®c liên tnc vào các du ki¾n cúa bài toán.
M®t cách tn nhiên, ta đòi hói nghi¾m cúa phương trình đao hàm riêng
cap k
F(x, u, Du, ...., Dku) = 0,

∀x ∈ Ω ⊂ RN

là m®t hàm k lan khá vi liên tnc. Nghi¾m vói đ® trơn như the đưoc
goi là nghi¾m co đien. Nhưng thnc te, nhung phương trình đao hàm
riêng có nghi¾m co đien là rat ít. Vì v¾y đòi hói phái đưa ra m®t

khái ni¾m “nghi¾m suy r®ng” thích hop (nghi¾m không can khá vi
đen cap k, th¾m chí không liên tnc).
M®t trong nhung loai nghi¾m suy r®ng có ý nghĩa rat quan
trong đó là “nghi¾m nhót”. Khái ni¾m “nghi¾m nhót” đưoc M. G.
Gandall và P.
L. Lions đưa ra vào nhung năm đau cúa th¾p ký 80, đã mó ra m®t
hưóng nghiên cúu hi¾u quá trong vi¾c nghiên cúu phương trình đao
hàm riêng phi tuyen cap 1, cap 2, trong đó có phương trình HamiltonJacobi. Thay vì bu®c nghi¾m u phái thóa mãn phương trình và khá
vi đen cap k , các tác giá chí đòi hói nghi¾m liên tnc, thóa mãn các bat
1


đang thúc vi phân thông qua “hàm thú” đú trơn ho¾c qua các khái
ni¾m trên vi phân, dưói

2


vi phân.
Dưói góc đ® m®t sinh viên sư pham chuyên ngành Toán và trong
khuôn kho cúa bài khoá lu¾n tot nghi¾p, đong thòi đưoc sn hưóng
dan nhi¾t tình cúa thay Tran Văn Bang tôi đã chon đe tài
“Nghi¾m nhát liên tnc cúa phương trình Hamilton - Jacobi”.

2.Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
Tìm hieu nghi¾m nhót liên tnc cúa phương trình Hamiltol-Jacobi.

3.Đoi tưeng và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu nghi¾m nhót liên tnc cúa lóp phương trình HamiltonJacobi bao gom các khái ni¾m, các tính chat cúa nó.

4.Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu tài li¾u tham kháo.
Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các khái ni¾m, tính chat.

5.Cau trúc khóa lu¾n
Ngoài mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo,
khoá lu¾n gom 2 chương:
Chương 1. Nghi¾m nhót liên tnc cúa phương trình HamiltonJacobi. Chương 2. Tính duy nhat và tính chính quy cúa nghi¾m
nhót.


Chương 1

Nghi¾m nhét cúa
phương trình
Hamilton-Jacobi
1.1. Đ%nh nghĩa và các tính chat cơ
bán
Trong mnc này ta se trình bày hai đ%nh nghĩa tương đương cúa
nghi¾m nhót cúa phương trình Hamiltol-Jacobi và nghiên cúu moi
quan h¾ cúa chúng dna vào nguyên lý so sánh nghi¾m và moi quan
h¾ vói khái ni¾m nghi¾m co đien cúa phương trình HamiltonJacobi (viet tat (HJ)). Cho phương trình Hamilton-Jacobi dang:
F(x, u(x), Du(x)) = 0 x ∈ Ω.

(HJ)


Trong đó Ω là m®t t¾p mó cúa Rn và hàm Hamilton F(x, r, p) là
m®t hàm liên tnc lay giá tr% thnc trên Ω × R × Rn.

Đ%nh nghĩa 1.1. M®t hàm u ∈ C(Ω) là m®t nghi¾m nhót dưói cúa
phương
trình Hamilton-Jacobi neu vói moi ϕ ∈ C1(Ω) thì :
F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0

(1.1)

tai bat kỳ điem cnc đai đ%a phương x0 ∈ Ω cúa hàm u − ϕ. Tương tn
m®t

hàm u ∈ C(Ω) là m®t nghi¾m nhót trên cúa phương trình

Hamilton-Jacobi neu vói moi ϕ ∈ C1(Ω) thì :
F(x1, u(x1), Dϕ(x1)) ≥ 0

(1.2)

tai bat kỳ điem cnc tieu đ%a phương x1 ∈ Ω cúa hàm u − ϕ. Cuoi
cùng u là nghi¾m nhót neu nó vùa là nghi¾m nhót trên vùa là nghi¾m
nhót dưói. Hàm ϕ(x) đưoc goi là hàm thú.
Chúng ta còn biet rang m®t cách chính xác đ%nh nghĩa trên còn
đưoc áp dnng cho phương trình Hamilton-Jacobi tien hóa có dang:
ut (t, y) + F(t, y, u(t, y), Dyu(t, y)) = 0, (t, y) ∈ [0, T ] × D.
Th¾t v¾y, phương trình trên có the đưoc đưa ve phương trình (HJ)
bang cách đ¾t :
x = (t, y) ∈ Ω = [0, T ] × D ⊆ Rn+1 , F˜ (x, r, p) = qn+1 + F(x, r,
p1 , ...., qN ).
vói q = (q1 , ..., qN, qN+1) ∈ Rn+1.
Nh¾n xét 1.1. Trong đ%nh nghĩa nghi¾m nhót dưói ta luôn có

the giá sú rang x0 là điem cnc đai đ%a phương ng¾t cúa hàm u − ϕ
2

(neu không ta có the thay ϕ(x) bói ϕ(x) + |x − x0 | ). Hơn nua do
(1.1) chí phn thu®c vào giá tr% cúa Dϕ tai x0, nên không mat tính
tong quát ta có the giá sú rang


u(x0) = ϕ(x0). Đoi vói đ%nh nghĩa nghi¾m nhót trên ta cũng có
nh¾n xét tương tn. Ve m¾t hình hoc thì đieu này có nghĩa rang các
hàm thú trong
đieu ki¾n nghi¾m nhót dưói (1.1) đoi vói u là tiep xúc trên vói đo th% cúa
u. Ta cũng chú ý rang không gian C1(Ω) cúa các hàm thú trong Đ
%nh nghĩa 1.1 có the đưoc thay the bang C∞(Ω).
M¾nh đe sau đây se the hi¾n nhung đ¾c trưng cơ bán cúa nghi¾m
nhót và moi quan h¾ cúa nó vói đ%nh nghĩa nghi¾m co đien.
M¾nh đe 1.1. (a) Neu hàm u ∈ C(Ω) là m®t nghi¾m nhót cúa
(HJ) trong
Ω, thì u là nghi¾m nhót cúa (HJ) trong Ωr , vói moi Ωr ⊂ Ω;
(b) Giá sú hàm u ∈ C(Ω) là m®t nghi¾m co đien cúa (HJ), túc là u
khá vi tai moi điem x ∈ Ω và:
F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) = 0

∀x ∈ Ω.

(1.3)

Khi đó u là nghi¾m nhót cúa (HJ);
(c) Neu hàm u ∈ C1(Ω) là m®t nghi¾m nhót cúa (HJ), thì u là
nghi¾m co đien cúa đó.

Chúng minh. (a) Neu x0 là m®t cnc đai đ%a phương (trên Ωr ) cúa u −
ϕ,
ϕ ∈ C1 (Ωr ) , thì x0 là m®t cnc đai đ%a phương (trên Ω) cúa u − ϕ˜ ,
vói moi
ϕ˜ ∈ C1 (Ωr ) thóa

≡ ϕ trên B¯ (x0 , r), vói r ≥ 0 nào đó. Tù (1.1)

mãn ϕ˜

ta

có
0 ≥ F(x0 , u(x0 ), Dϕ˜ (x0 )) = F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )).


Chúng tó rang u là nghi¾m nhót dưói cúa (HJ) trên Ωr . L¾p lu¾n
tương
tn ta cũng có u là nghi¾m nhót trên cúa (HJ) trên Ωr . V¾y (a) đưoc
chúng minh xong.


(b) Lay ϕ ∈ C1(Ω) bat kỳ. Tù tính khá vi cúa u nên tai điem cnc tieu
ho¾c
cnc đai đ%a phương cúa u − ϕ ta có Du(x) = Dϕ(x). Tù (1.3) ta đưoc
0 = F(x0, u(x0), Dϕ(x0) ≤ 0
neu x0 là m®t điem cnc đai đ%a phương cúa u − ϕ, và
0 = F(x1, u(x1), Dϕ(x1) ≥ 0
neu x1 là m®t điem cnc tieu đ%a phương cúa u − ϕ. Theo Đ%nh
nghĩa 1.1 ta chúng minh đưoc (b).

(c) Neu u ∈ C1(Ω), thì ϕ ≡ u là trưòng hop tam thưòng trong đ%nh
nghĩa
nghi¾m nhót, khi đó vói x bat kỳ ∈ Ω thì vùa là cnc đai vùa là cnc
tieu đ%a phương cúa hàm u − ϕ. Do đó theo (1.1) và (1.2) thì:
F(x, u(x), Du(x)) = 0,

∀x ∈ Ω.

V¾y m¾nh đe đưoc chúng minh xong.

Vì

M¾nh đe (a) cho thay khái ni¾m nghi¾m nhót có tính đ%a phương.

v¾y ta có the lay các hàm thú trong (1.1) và (1.2) thu®c C1(RN )
ho¾c thu®c hình cau bat kỳ đú nhó B(x, r) tâm x ∈ Ω.
Đ%nh nghĩa nghi¾m nhót có liên quan ch¾t che đen hai tính chat
đưoc nêu trong lý thuyet cúa phương trình eliptic - parabolic đó là
nguyên lý cnc đai và nguyên lý so sánh. Vói phương trình (HJ) hai
tính chat này đưoc xây dnng tương úng như sau.
Đ%nh nghĩa 1.2. M®t hàm so u ∈ C(Ω) thóa mãn nguyên lý so
sánh vói các nghi¾m nhót trên trơn ng¾t neu vói moi ϕ ∈ C1(Ω) và
t¾p mó O ∈ Ω,
F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0,

∀x ∈ O, u ≤ ϕ trên ∂ O


thì u ≤ ϕ trong O.
Ta nói rang hàm so u ∈ C(Ω) thóa mãn nguyên lý cnc đai neu vói

moi
ϕ ∈ C1(Ω) và t¾p mó O ∈ Ω có bat đang thúc :
F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0,

∀x ∈ O

thì u − ϕ không the có cnc đai không âm trong O.
De thay rang neu hàm u ∈ C(Ω) thóa mãn nguyên lý cnc đai thì
nó thóa mãn nguyên lý so sánh. Moi quan h¾ giua chúng vói khái
ni¾m nghi¾m nhót dưói cúa phương trình (HJ) se đưoc trình bày ó
m¾nh đe sau đây.
M¾nh đe 1.2. Neu hàm so u ∈ C(Ω) thóa mãn nguyên lý so sánh
thì u là m®t nghi¾m nhót dưói cúa phương trình (HJ). Ngưoc lai,
neu u là m®t nghi¾m nhót dưói cúa phương trình (HJ) và r → F(x,
r, p) là m®t hàm không giám vói moi x, p thì u thóa mãn nguyên lý
cnc đai và nguyên lý so sánh.
Chúng minh. Giá sú u ∈ C(Ω) thóa mãn nguyên lý so sánh, neu u
không phái là nghi¾m nhót dưói cúa phương trình (HJ) thì khi đó
ton tai x0 ∈ Ω, ϕ ∈ C1(Ω) mà x0 là điem cnc đai ng¾t cúa u − ϕ,
(u − ϕ)(x0 ) = 0 và
F(x0, ϕ(x0), Dϕ(x0)) > 0.
Vói n đú lón ta
có

cũng thay
rang:

an := sup
n

∂B(x 0 , 1 )


(u − ϕ) < 0


u− (ϕ + an) ≤ 0 trên ∂ B(xn0 , 1 )
u(x0) − ϕ(x0 ) − an > 0.
Theo nguyên lý so sánh vói moi n ton tai xn ∈ On := B(x0,
n
mãn

1

) thóa

F(xn, ϕ(xn) + an, Dϕ(xn)) ≤ 0
Tù an → 0 và xn → x0 khi n → ∞ thì
F(x0, ϕ(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0
mâu thuan, v¾y u là nghi¾m nhót dưói cúa phương trình (HJ).
Ngưoc lai, cho u là nghi¾m nhót dưói cúa phương trình (HJ) và lay ϕ
∈ C1(Ω) thóa mãn:
F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0 ∀x ∈ O.
Neu u−ϕ d¾t cnc đai đ%a phương tai x0 nào đó ∈ O vói u(x0)
−ϕ(x 0 ) ≥ 0. Khi đó tù giá thiet đơn đi¾u cúa F đan đen mâu thuan:
0 < F(x0, ϕ(x0), Dϕ(x0)) ≤ F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0.
Do đó, u thóa mãn tiêu chuan cnc đai và tiêu chuan so sánh.
Ket quá tương tn cũng đúng vói nghi¾m nhót trên. Khi đó dau
trong các bat đang thúc trong nguyên lý so sánh và nguyên lý cnc đai
đưoc đáo lai, cnc đai không âm đưoc thay the bang cnc tieu không

dương.
M®t đieu can lưu ý là nghi¾m nhót không đưoc báo toàn khi ta đoi
dau cúa phương trình. Th¾t v¾y, vì bat kỳ cnc đai đ%a phương nào cúa
u − ϕ đeu là cnc tieu đ%a phương cúa −u − (−ϕ), nên u là nghi¾m
nhót dưói cúa phương trình (HJ) neu và chí neu v = −u là nghi¾m
nhót trên cúa
phương trình −F(x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω; tương tn u là
nghi¾m


nhót trên cúa phương trình (HJ) neu và chí neu v = −u là nghi¾m
nhót
dưói cúa phương trình −F(x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω. M®t ví dn
cn
the như sau :
Ví dn 1.1. Hàm so u(x) = |x| là m®t nghi¾m nhót cúa phương
trình:
− |ur (x)| + 1 = 0, x ∈ [−1, 1].
Đe kiem tra đieu này ta có: neu x ƒ= 0 là m®t cnc tr% đ%a phương
cúa u − ϕ thì khi đó ur(x) = ϕr (x). Vì v¾y tai nhung điem này
đieu ki¾n nghi¾m nhót trên, nghi¾m nhót dưói đưoc thóa mãn.
Ngoài ra neu 0 là cnc tieu đ%a phương cúa u − ϕ, thì ta tính đưoc |
ϕr(0)| ≤ 1 suy ra đieu ki¾n nghi¾m nhót trên van đúng. Bây giò ta
chúng minh 0 không the là cnc đai đ%a phương cúa u − ϕ vói ϕ ∈
C1([0, 1]). Th¾t v¾y neu 0 là cnc đai đ%a phương cúa u − ϕ thì ta
có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x) trong

m®t lân c¾n cúa 0, hay ϕ(x)

− ϕ(0) ≥ u(x) trong m®t lân c¾n cúa 0, tù đó ta có :

và

ϕr (0) = lim ϕ (x) − ϕ ≥ lim u(x)
(0)
x→0+
=1
x→0+
x
x−0
ϕr (0) = lim ϕ (x) − ϕ ≤ lim
(0)
x→0−
x→0+
x−0

u(x = −1.
)
−

x

Vô lý, v¾y 0 không the là cnc đai đ%a phương cúa u − ϕ.
M¾t khác hàm so u(x) = |x| không phái là nghi¾m nhót cúa
phương trình :
.
.
.ur (x). − 1 = 0,
x ∈ [−1, 1].

Th¾t v¾y đieu ki¾n nghi¾m trên không thóa mãn tai x0 = 0 là điem
cnc tieu đ%a phương cúa |x| − (−x2).


Bây giò ta nêu nên m®t đ%nh nghĩa khác ve nghi¾m nhót cúa
phương trình (HJ) và chúng minh đ%nh nghĩa mói là tương đương vói đ
%nh nghĩa
đưoc nêu trưóc đó. Cho hàm so u ∈ C(Ω) và x ∈ Ω xét các t¾p hop :
D+u(x) :
=

.

.
u(y) − u(x) − p.(y ≤ 0 ,
− x)

N

p∈R :
lim sup

D−u(x) :
=

.

y→x,y∈Ω

|y − x|

.
u(y) − u(x) − p.(y
p ∈ R : lim inf
≥0 .
− x)
y→x,y∈Ω
N

|y − x|
Các t¾p hop trên đưoc goi tương úng là trên vi phân và dưói vi phân
(goi chung là bán vi phân) cúa u tai x.
Nhung bo đe sau đây se mô tá D+u(x) và D−u(x) qua các hàm thú.
Bo đe 1.1. Cho u ∈ C(Ω). Khi đó,
(a) p ∈ D+u(x) neu và chí neu ton tai ϕ ∈ C1(Ω) thóa mãn Dϕ(x) =
p
và u − ϕ đat cnc đai đ%a phương tai x;
(b) p ∈ D−u(x) neu và chí neu ton tai ϕ ∈ C1(Ω) thóa mãn Dϕ(x) =
p
và u − ϕ đat cnc tieu đ%a phương tai x.

Bo đe 1.2. (M®t vài tính chat cúa trên vi phân và dưói vi phân)
(a) D+u(x) và D−u(x) là các t¾p con loi, đóng (có the là t¾p rong) cúa
Rn ;
(b) Neu u khá vi tai x thì {Du(x)} = D+u(x) = D−u(x);


(c)Các t¾p A+ = {x ∈ Ω : D+u(x) ƒ= ∅} và A− = {x ∈ Ω : D−u(x)
ƒ= ∅}

là trù m¾t trong Ω.
Như m®t h¾ quá trnc tiep cúa Bo đe 1.1 ta có đ%nh nghĩa mói ve
nghi¾m nhót tương đương vói Đ%nh nghĩa 1.1 trưóc đó.


Đ%nh nghĩa 1.3. M®t hàm so u ∈ C(Ω) là nghi¾m nhót dưói cúa
phương
trình (HJ) trong Ω neu :
F(x, u(x), p) ≤ 0,

∀x ∈ Ω, ∀p ∈ D+u(x);

(1.4)

là nghi¾m nhót trên cúa phương trình (HJ) trong Ω neu :
F(x, u(x), p) ≥ 0,

∀x ∈ Ω, ∀p ∈ D−u(x).

(1.5)

Đương nhiên, u là nghi¾m nhót cúa phương trình (HJ) neu (1.4) và
(1.5) cùng thóa mãn.
Đ%nh nghĩa trên thì mang tinh than cúa giái tích không trơn hơn
nhưng trong nhieu trưòng hop nó tó ra thu¾n tiên hơn Đ%nh nghĩa 1.1
trưóc đó. Ta sú dnng nó đe chúng minh m®t so tính chat quan trong
cúa nghi¾m nhót. Đau tiên ta đi chúng minh m®t ket quá nham hoàn
chính M¾nh đe 1.2.
M¾nh đe 1.3. (a) Neu u ∈ C(Ω) là m®t nghi¾m nhót cúa phương
trình (HJ) thì :

F(x, u(x), Du(x)) = 0
tai moi điem mà u khá vi.
(b) Neu u là m®t hàm liên tnc Lipschitz đ%a phương và nó là nghi¾m nhót
cúa (HJ) thì :
F(x, u(x), Du(x)) = 0 hau khap nơi trong
Ω.
Chúng minh. Neu u khá vi tai x thì theo Bo đe 1.1(b) {Du(x)} = D+u(x)
=
D− u(x). Do đó theo Đ%nh nghĩa 1.3 thì :
0 ≥ F(x, u(x), Du(x)) ≥ 0,


v¾y (a) đưoc chúng minh xong.
M¾nh đe (b) đưoc suy ra trnc tiep tù đ%nh lý Rademacher ve tính
khá vi hau khap nơi cúa hàm liên tnc Lipschitz.
Nh¾n xét 1.2. Phan (b) cúa M¾nh đe 1.3 the hi¾n rang moi
nghi¾m nhót đeu là nghi¾m tong quát (hàm so u liên tnc Lipschitz đ
%a phương là nghi¾m tong quát neu :
F(x, u(x), Du(x)) = 0 h.k.n trong Ω.
Ngưoc lai nói chung là không đúng: có nhieu nghi¾m tong quát
không phái là nghi¾m nhót. Th¾t v¾y ta xét ví dn sau đe thay đưoc
đieu này:
Ví dn 1.2. Cho hàm u(x) = |x| ta thay u thóa mãn :
. r ..
.u (x) . − 1 = 0

trong [−1, 1] \ {0}
..
.
do đó u là nghi¾m tong quát cúa .ur (x) − 1 = 0, trong [−1, 1]

nhưng nó
.
.
không phái là nghi¾m nhót cúa phương trình trên (theo Ví dn 1.1).

1.2.

M®t so phép toán và tính

chat nâng cao cúa nghi¾m nhét
Trong mnc này ta se trình bày m®t vài tính chat quan trong cúa
nghi¾m nhót và các phép toán cơ bán (đoi bien, đao hàm hàm hop)
đoi vói trên vi phân và dưói vi phân.
Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω). Ta ký hi¾u:
(u ∨ v)(x) = max {u(x), v(x)},


(u ∧ v)(x) = min {u(x), v(x)} .


M¾nh đe 1.4. (Tính on đ%nh cúa nghi¾m nhót)
(a) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) là nghi¾m nhót dưói cúa phương trình
(HJ). Khi đó u ∨ v cũng là m®t nghi¾m nhót dưói cúa phương trình
(HJ).
(b) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) là nghi¾m nhót trên phương trình (HJ) thì
u∧v
cũng là m®t nghi¾m nhót trên cúa phương trình (HJ).
(c) Neu u ∈ C(Ω) là nghi¾m nhót dưói cúa phương trình (HJ) mà u
≥ v vói moi nghi¾m dưói v ∈ C(Ω) cúa phương trình (HJ). Khi đó u
là nghi¾m nhót trên và do dó là nghi¾m nhót cúa phương trình

(HJ).
Chúng minh. Cho x0 là điem cnc đai đ%a phương cúa u ∨ v − ϕ vói ϕ
∈ C1(Ω). Không mat tính tong quát ta có the giá sú rang : (u ∨ v)
(x0) = u(x0). Khi đó x0 là điem cnc đai đ%a phương cúa u − ϕ, do đó
F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0.
V¾y ta chúng minh đưoc (a).
Khang đ%nh (b) cũng đưoc chúng minh tương
tn. Đe chúng minh (c) ta giá sú ngưoc lai
rang:
h := F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) < 0,
vói ϕ ∈ C1(Ω) nào đó và x0 ∈ Ω thóa mãn :
u(x0) − ϕ(x0 ) ≤ u(x) − ϕ(x), ∀x ∈ B¯(x0 , δ0),
vói δ > 0 nào đó. Tiep theo ta xét hàm ω ∈ C1(Ω) xác đ%nh bói :
ω(x) = ϕ(x) − |x
2
− x0

vói 0 < δ < δ0. De thay rang :
|


1

2

+ u(x0) − ϕ(x0 ) +

2

δ ,

(u − ω)(x0 ) < (u − ω)(x), ∀x thóa mãn |x − x0 | = δ .

(1.6)