phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình toán tử không chỉnh loại hammerstein

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐÀO THỊ TUYẾT
PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LIÊN TỤC CHO PHƯƠNG
TRÌNH TOÁN TỬ KHÔNG CHỈNH LOẠI HAMMERSTEIN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐÀO THỊ TUYẾT
PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LIÊN TỤC CHO PHƯƠNG
TRÌNH TOÁN TỬ KHÔNG CHỈNH LOẠI HAMMERSTEIN
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cảm ơn 1
Lời nói đầu 2
Một số ký hiệu và chữ viết tắt 3
1 Một số khái niệm cơ bản 5
1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Phương trình toán tử loại Hammerstein . . . . . . . . . . . 16

2 Phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình toán tử
loại Hammerstein 19
2.1 Hiệu chỉnh liên tục cho bài toán không chỉnh với toán tử
đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Hiệu chỉnh liên tục vô hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Hiệu chỉnh liên tục với xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . 25
Kết luận 32
Tài liệu tham khảo 33
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được trình bày dưới sự hướng dẫn tận tình và sự chỉ bảo
nghiêm khắc của thầy giáo GS. TS Nguyễn Bường. Tôi xin gửi lời cảm ơn
chân thành và sâu sắc nhất đến thầy.
Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo TS. Nguyễn
Thị Thu Thủy cùng các thầy giáo cô giáo tham gia giảng dạy khóa học
cao học 2010 - 2012, những người đã đem tâm huyết và sự nhiệt tình để
giảng dạy và trang bị cho tôi nhiều kiến thức cơ sở.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng
Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên đã tạo
điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp cao học toán K4B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản
thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được
sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.
Hải Phòng, tháng 07 năm 2012.
Tác giả
Đào Thị Tuyết

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
LỜI NÓI ĐẦU
Cho H là một không gian Hilbert với chuẩn và tích vô hướng được ký
hiệu tương ứng bởi . và x
∗
, x. Cho F
i
, i = 1, 2, là các toán tử phi tuyến
đơn điệu và liên tục trên H.
Nội dung chủ yếu ở đây là nghiên cứu phương pháp ổn định để tìm
nghiệm xấp xỉ cho phương trình toán tử Hammerstein có dạng:
x + F
2
F
1
(x) = f, f ∈ R(I + F
2
F
1
), (1.1)
dựa trên việc xây dựng một hệ phương trình vi phân bậc một, ở đây I là
toán tử đơn vị và R(A) ký hiệu là ảnh của A. Sau đó, phương pháp này
được xét liên kết với quá trình xấp xỉ hữu hạn chiều của H. Lưu ý rằng
tập nghiệm của (1.1), ký hiệu bởi S
0
, là một tập đóng và lồi (xem [7]).
Thông thường, thay cho F
i
, i = 1, 2, và f ta chỉ biết được các xấp xỉ F

h
i
và f
δ
thỏa mãn:


F
h
1
(x) − F
1
(x)


 hg (x) ,


F
h
2
(x) − F
2
(x)


 hg (x) ∀x ∈ H,
f
δ
− f  δ

ở đây g(t) là một hàm thực không âm, không giảm và giới nội (đưa một
tập giới nội lên một tập giới nội). Nếu không có thêm điều kiện bổ xung
lên F
i
như là tính đơn điệu mạnh, phương trình (1.1) là bài toán đặt không
chỉnh.
Thật vậy, xét bài toán sau với H = E
2
, không gian Ơcơlit, và
F
1
=

1 −1
1 0

, F
2
=

0 −1
1 1

, x = (x
1
, x
2
) .
Dễ dàng kiểm tra được F
1

x, x = x
2
1
≥ 0, và F
2
x, x = x
2
2
≥ 0 ∀x ∈
E
2
. Có nghĩa là F
i
, i = 1, 2, có tính đơn điệu. Phương trình (1.1) có dạng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
0x
1
= f
1
, 2x
1
= f
2
với f = (f
1
, f
2
). Rõ ràng, hệ phương trình trên có
nghiệm duy nhất f = (0, f

2
) với f
2
bất kỳ. Khi f
δ
= (f
δ
1
, f
2
) với f
δ
1
= 0
phương trình không có nghiệm. Vì vậy, (1.1) là một bài toán đặt không
chỉnh.
Để giải (1.1) ta phải dùng phương pháp ổn định. Một trong các phương
pháp ổn định là dựa trên việc giải phương trình
x + F
h
2,α
F
h
1,α
(x) = f
δ
(1.2)
(xem[7], [11]), ở đây F
h
i,α

= F
h
i
+ αI, α > 0 là một tham số hiệu chỉnh.
Với mỗi α > 0, phương trình (1.2) có nghiệm duy nhất x
h,δ
α
, và dãy {x
h,δ
α
}
hội tụ đến nghiệm x
0
thỏa mãn
x
0

2
+ x
∗
0

2
= min
x∈S
0

x
2
+ F

1
(x)
2

, x
∗
0
= F
1
(x
0
), (1.3)
khi (h + δ)/α, α → 0. Hơn thế nữa, nghiệm x
h,δ
α
này, với mỗi α > 0 cố
định, phụ thuộc liên tục vào F
h
i
, i = 1, 2 và f
δ
. Mới đây, việc sử dụng
phương trình vi phân để hiệu chỉnh bài toán không chỉnh được nghiên
cứu rộng rãi (xem [1], [18] và các tài liệu dẫn), vì khi rời rạc phương
trình vi phân ta thu được nhiều phương pháp lặp khác nhau. Tư tưởng
đó được áp dụng trong phương pháp này để tìm nghiệm cho phương trình
toán tử loại Hammerstein (1.1). Chúng ta tìm một hàm khả vi mạnh
u(t) : [t
0
, +∞) → H, t

0
≥ 0, là nghiệm của phương trình vi phân nào đó
sao cho
lim
t→+∞
u(t) = x
0
. (1.4)
Trong phần 2, chúng ta nghiên cứu một hệ phương trình vi phân với nghiệm
u(t), u
∗
(t) ở đây u(t) thỏa mãn (1.4). Xấp xỉ hữu hạn chiều u
n
(t) cho u(t)
thỏa mãn
lim
n,t→+∞
u
n
(t) = x
0
,
được xét trong chương 2.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản. Các vấn đề liên quan đến
đề tài và bài toán đặt không chỉnh được trình bày trong chương này.
Chương 2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình
toán tử loại Hammerstein. Hiệu chỉnh liên tục vô hạn chiều và phương
pháp hiệu chỉnh liên tục với xấp xỉ hữu hạn chiều cũng được trình bày

trong chương này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Không gian Hilbert thực ký hiệu là H
Không gian Banach thực ký hiệu là X
Không gian liên hợp của X ký hiệu là X
∗
Tập rỗng ký hiệu là φ
Với mọi x ký hiệu là ∀x
infimum của tập {F (x) : x ∈ X} ký hiệu là inf
x∈X
F (x)
Ánh xạ đơn vị ký hiệu là I
Tập các số thực ký hiệu là R
Miền xác định của toán tử A ký hiệu là D(A)
Ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu là A
T
Toán tử liên hợp của A ký hiệu là A
∗
Dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x ký hiệu là x
n
→ x
x := y tức là x được định nghĩa bằng y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Chương 1
Một số khái niệm cơ bản

Chương này trình bày một số vấn đề cơ bản như khái niệm về không
gian Hilbert, toán tử đơn điệu; bài toán đặt không chỉnh và khái niệm về
phương trình toán tử loại Hammerstein.
1.1 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.
Không gian định chuẩn thực là một không gian tuyến tính thực X trong
đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số x gọi là chuẩn của x, thỏa
mãn các điều kiện sau:
1. x > 0, ∀x = 0, x = 0 ⇔ x = 0;
2. x + y  x + y , ∀x, y ∈ X;
3. αx = |α| . x , ∀x ∈ X, α ∈ R.
Định nghĩa 1.2. Cặp (H, , ) trong đó H là một không gian tuyến tính
và
,  : H × H → R
(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều kiện :
1. x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = 0 ⇔ x = 0;
2. x, y = y, x , ∀x, y ∈ H;
3. λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
4. x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H,
được gọi là không gian tiền Hilbert.
Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1. L
2
[a,b]
là không gian các hàm bình phương khả tích trên [a,b]
với f ∈ L
2

[a,b]
sao cho
b

a
f
2
(x) dx < +∞ là một không gian Hilbert với tích
vô hướng
f, g =
b

a
f (x) g (x) dx
và chuẩn
f
L
2
[a,b]
=


b

a
f
2
(x)dx



1
2
.
1.2 Toán tử đơn điệu
Cho X là không gian Banach thực, A : D (A) → X
∗
là một toán tử với
miền xác định D(A) = X và miền ảnh (A) nằm trong X
∗
Định nghĩa 1.3. Toán tử A được gọi là
a)Đơn điệu, nếu A (x) − A (y) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D (A)
b)Đơn điệu chặt nếu dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y
c)Đơn điệu đều, nếu tồn tại một hàm không âm δ (t), không giảm với
t  0, δ (0) = 0 và
A (x) − A (y) , x − y ≥ δ (x − y) , ∀x, y ∈ D (A) ;
Nếu δ (t) = c
A
t
2
với c
A
là một hằng số dương thì A là một toán tử đơn
điệu mạnh.
Định nghĩa 1.4. Toán tử A là đơn điệu nếu
x
∗
− y
∗
, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x
∗

∈ A (x) , y
∗
∈ A (y)
Tập Gr (A) được gọi là đơn điệu nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức trên.
Nếu Gr (A) không chứa thực sự được trong một tập đơn điệu nào khác
trong X × X
∗
thì toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu cực đại.
Toán tử A được gọi là nửa đơn điệu, nếu tồn tại một toán tử compact C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
sao cho A + C là một toán tử đơn điệu.
Toán tử A được gọi là toán tử bức nếu
lim
x→+∞
A (x) , x / x = +∞
Một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu là ánh xạ đối ngẫu U
s
, s  2.
Ánh xạ này tồn tại trong mọi không gian Banach X. Khi s = 2 thì U
s
thông thường được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của
không gian X. Đối với không gian l
p
, 1 < p < +∞, U (x) = x
2−p
l
p
z, ở
đây x = (x

1
, x
2
, , x
n
, , ) và z =

|x
1
|
p−2
x
1
, |x
2
|
p−2
x
2
,

∈ l
p/(p−1)
.
Còn đối với không gian L
p
(Ω), với Ω là một tập đo được của không gian
R
n
và chuẩn .

L
p
(Ω)
, 1 < p < +∞, ánh xạ U có dạng
U (ϕ) = ϕ
2−p
L
p
(Ω)
|ϕ (t)|
p−2
ϕ (t) , t ∈ Ω.
Ánh xạ đối ngẫu chính là toán tử đơn vị I trong không gian H.
U
s
hoặc U là một toán tử đơn điệu chặt và có tính chất bức. Trong một
số trường hợp không gian L
p
(Ω), U
s
còn có tính chất đơn điệu đều và liên
tục theo Holder, vì
U
s
(x) − U
s
(y) , x − y  m
U
x − y
s

, m
U
> 0,
U
s
(x) − U
s
(y)  c (r) x − y
ϑ
, 0 < ϑ  1, (1.5)
ở đây c(r) là một hàm dương tăng dần của r = max {x , y}. Nếu
X = L
2
(Ω), là một không gian Hilbert, thì U
s
= I, s = 2, m
U
= 1, ϑ = 1
và c(R) = 1. Với p = 2 thì đối với các không gian l
p
, L
p
, W
m
p
, p > 1, ta có
1 < p < 2 : s = 2, m
U
= p − 1, c (p) = p2
2p−1

e
p
L
p−1
,
e = max {2
p
, 2p} , 1 < L < 3.18, ϑ = p − 1;
2 < p : s = p, m
U
= 2
2−p
/p, c (p) = 2
p
p
p−2
{p [p − 1 + max {p, L}]}
−1
, ϑ = 1
Phiếm hàm ϕ (x) với x ∈ X được gọi là lồi, nếu
ϕ

x + y
2


1
2
[ϕ (x) + ϕ (y)] , x, y ∈ X.
Phiếm hàm ϕ (x) với x ∈ X được gọi là lồi đều, nếu một hàm δ (t) với tính

chất ở trên sao cho
ϕ

x + y
2


1
2
[ϕ (x) + ϕ (y)] −
1
4
δ (x − y) , x, y ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Định nghĩa 1.5. Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X
∗
là không
gian liên hợp của X.
Tập D ⊂ X được gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ D và mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta
đều có
λx + (1 − λ) y ∈ D
Cho D ⊂ X là tập lồi và khác rỗng ϕ : D → R ∪ {±∞}. Hàm ϕ được gọi
là
(i) lồi trên D nếu ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ (λx + (1 − λ) y) ≤ λϕ (x) + (1 − λ) ϕ (y) ;
(ii) lồi chặt trên D nếu ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ (0, 1) , x = y ta có
ϕ (λx + (1 − λ) y) < λϕ (x) + (1 − λ) ϕ (y) ;
(iii) lồi mạnh trên D nếu ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ (0, 1) , x = y tồn tại τ ∈ R, τ > 0
ta có

ϕ (λx + (1 − λ) y) ≤ λϕ (x) + (1 − λ) ϕ (y) −
1
2
λ (1 − λ) τ x − y
2
Định nghĩa 1.6. Miền hữu hiệu của hàm ϕ kí hiệu là domϕ và được định
nghĩa như sau:
domϕ = {x ∈ D : ϕ (x) < +∞} .
Định nghĩa 1.7. Hàm ϕ được gọi là chính thường nếu domϕ = φ và
ϕ (x) > −∞, ∀x ∈ D.
Định nghĩa 1.8. Hàm chính thường ϕ : X → R được gọi là khả vi Fréchet
(khả vi mạnh) ∀x ∈ X, nếu tồn tại toán tử tuyến tính A : X → X
∗
sao
cho
ϕ (x + y) − ϕ (x) = A (x) , y + ω (x, y)
và
lim
y→0
ω (x, y)
y
= 0,
trong đó x, y ∈ X. Khi đó A (x) , y được gọi là vi phân Fréchet và
A (x) = ϕ

(x) được gọi là đạo hàm Fréchet của hàm ϕ tại x.
Định nghĩa 1.9. Giả sử A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach
X vào không gian Banach Y. Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại
x ∈ X nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y sao cho
A (x + h) = A (x) + T, h + O (h) , h → 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
với mọi h thuộc lân cận của điểm không. Nếu T tồn tại thì nó được gọi là
đạo hàm Fréchet của A tại x và kí hiệu là
A

(x) = T.
Đặc biệt nếu A là hàm F tức là F : X → R định nghĩa tương tự, hàm F
được gọi là khả vi Fréchet tại x
0
∈ X nếu tồn tại ξ ∈ X
∗
sao cho
F (x
0
+ h) = F (x
0
) + ξ, h + O (h) , h → 0
ξ = F

(x
0
)
Ví dụ 1.2. Tìm đạo hàm Fréchet của
F (x) =
1
3
Ax, x , ∀x ∈ X,
ở đây A : X → X là toán tử tuyến tính, liên tục, tự liên hợp.
Giải

F : X → R
F (x + h) − F(x) =
1
3
A(x + h), x + h −
1
3
Ax, x
=
1
3
Ah, h +
1
3
Ax, h +
1
3
Ah, x
=
1
3
Ax, h +
1
3
h, Ax +
1
3
Ah, h
=
2

3
Ax, h +
1
3
Ah, h
⇒ F

(x) =
2
3
Ax
Định nghĩa 1.10. Giả sử ϕ là hàm lồi trên X. Phiếm hàm x
∗
∈ X
∗
được
gọi là dưới gradient của hàm ϕ tại x ∈ X nếu
ϕ (x) − ϕ (y)  x
∗
, x − y , ∀y ∈ X.
Tập tất cả các dưới gradient của ϕ tại được gọi là dưới vi phân của ϕ tại
x, kí hiệu là ∂ϕ (x), tức là
∂ϕ (x) = {x
∗
∈ X
∗
: ϕ (y) − ϕ (x)  x
∗
, y − x , ∀y ∈ X} .
Hàm ϕ được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂ϕ (x) = φ Ta có mối liên

quan chặt chẽ giữa tính lồi đều của một phiếm hàm và tính đơn điệu đều
của dưới vi phân của nó như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Nếu ϕ là một phiếm hàm lồi đều xác định trên không gian Banach phản
xạ X thì ∂ϕ là một toán tử đơn điệu đều, nếu D (ϕ) ≡ X thì ∂ϕ còn là
một toán tử h - liên tục tại mọi điểm x ∈ X tức là
lim
t→0
∂ϕ (x + ty) = ∂ϕ (x) , ∀x, y ∈ X.
Đây cũng là khái niệm về tính h- liên tục cho một toán tử A bất kỳ.
Định nghĩa 1.11. Phiếm hàm ϕ (x) xác định trên X được gọi là nửa liên
tục dưới yếu tại điểm x
0
, nếu ∀ {x
n
} : x
n
hội tụ yếu đến x
0
⇒ ϕ (x
0
) 
lim inf ϕ (x
n
). Phiếm hàm ϕ (x) được gọi là nửa liên tục dưới yếu, nếu nó
nửa liên tục dưới yếu tại mọi điểm trong miền xác định.
Trong không gian Hilbert H chuẩn của H cũng được kí hiệu là ., phiếm
hàm ϕ (x) = x
p

, p  2, là một phiếm hàm lồi đều với δ (r) = 2
2−p
r
p
và toán tử J
p
(x) = x
p−2
x là một toán tử đơn điệu đều với δ (r) =

2
2−p
/p

r
p
. Trong không gian L
p
(Ω) ta có phiếm hàm f (x) = x
β
L
p
(Ω)
là lồi đều với δ (r) = 2
2−β
r
β
, nếu: β  p  2, p ∈ (1, 2) và β 
p
(p - 1)

. Khi
đó, ∂f (x) là một toán tử đơn điệu đều.
Cho không gian Sobolev
W
1
p
(Ω) = {v ∈ L
p
(Ω) : D
α
v ∈ L
p
(Ω) , 0  |α  1|}
với chuẩn được xác định bởi
v
1,p=



Ω

|v|
2
+ |D
α
v|
2

p/2
dΩ



1/p
.
Ta xây dựng toán tử
Lv = Gradv, v ∈ W
1
p
(Ω) ,
và phiếm hàm
F (y) = Grady
p
, y ∈ W
1
p
(Ω) .
Khi đó, phiếm hàm H (v) = F (Lv) , v ∈ W
1
p
(Ω), là lồi đều và Gradient
H

∈

W
1
p
(Ω) →

W

1
p
(Ω)

∗

là đơn điệu đều, ở đây
H

(v) = L
∗
F

(Lv) , L
∗
= −Div
với δ (r) =

2
2−β
/

p
β/p

r
β
, β  p  2.
Một dạng khá quan trọng của toán tử đơn điệu đều là toán tử tuyến tính
đơn điệu mạnh được dùng trong việc hiệu chỉnh phương trình với toán tử

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
đơn điệu trong phần sau.
Bổ đề 1.1 (Bổ đề Minty). Nếu tồn tại phần tử x
0
∈ X thỏa mãn bất
đẳng thức
A (x) − f, x − x
0
  0, ∀x ∈ X,
ở đây A là một toán tử h-liên tục từ X vào X
∗
còn f là một phần tử của
X
∗
, thì x
0
là nghiệm của phương trình A(x) = f.
Nếu A là một toán tử đơn điệu, thì điều kiện trên tương đương với
A (x
0
) − f, x − x
0
  0, ∀x ∈ X.
Định lý 1.1. Nếu B là toán tử đơn điệu cực đại từ X vào X
∗
và A là toán
tử đơn điệu, giới nội và h-liên tục với D(A) = X, thì A+B cũng là một
toán tử đơn điệu cực đại từ X vào X
∗

.
Định lý 1.2. Nếu A là toán tử đơn điệu cực đại và bức từ D (A) ⊆ X vào
X
∗
, thì R(A) = X
∗
.
Chú ý 1.1. Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu
tương đương với tính không âm của toán tử.
Ví dụ 1.3. Toán tử tuyến tính A : R
M
→ R
M
được xác định bởi A = B
T
B
với B là một ma trận vuông cấp M, là một toán tử đơn điệu.
Định nghĩa 1.12. Toán tử A được gọi là
1. h-liên tục (hemicontinuous) trên X nếu A(x + ty) hội tụ yếu đến Ax
khi t → 0, ∀x, y ∈ X;
2. d-liên tục(demicontinuous) trên X nếu từ x
n
→ x suy ra Ax
n
hội tụ
yếu đến Ax khi n → ∞
3. liên tục Lipschitz nếu :
∃C > 0 : A (x) − A (y) ≤ C x − y , ∀x, y ∈ X,
liên tục mạnh nếu x
n

hội tụ yếu đến x
0
thì Ax
n
→ Ax
0
;
4. hoàn toàn liên tục trên tập X nếu nó compact trên X.
Ví dụ 1.4. Hàm hai biến ϕ (x, y) = xy
2

x
2
+ y
4

−1
không liên tục, nhưng
liên tục theo từng biến tại (0, 0) do đó nó h-liên tục.
1.3 Bài toán đặt không chỉnh
Định nghĩa 1.13. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không
gian Y. Bài toán ở dạng phương trình toán tử
A (x) = f, (1.6)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu
1. phương trình A (x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;
2. nghiệm này duy nhất;
3. và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán

(1.6) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed).
Định nghĩa 1.14. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian
Y. Bài toán (1.6) được gọi là bài toán đặt không chỉnh nếu nghiệm của nó
không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Chú ý 1.2. Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện ban đầu f, có
là x = (f), được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y) nếu với mỗi
ε > 0, ∃δ (ε) > 0 sao cho từ ρ
Y
(f
1
, f
2
)  δ (ε) cho ta ρ
X
(x
1
, x
2
)  ε, ở
đây
x
i
=  (f
i
) , x
i
∈ X, f
i
∈ Y, i = 1, 2.
Chú ý 1.3. Một bài toán có thể đặt chỉnh trên không gian này nhưng lại

đặt không chỉnh trên không gian khác.
Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.6) dữ kiện ban
đầu ở đây chính là toán tử A và vế phải f. Giả sử toán tử A được cho chính
xác, còn vế phải f (có được do đo đạc) cho bởi f
δ
thỏa mãn ρ
Y
(f, f
δ
)  δ.
Như vậy, với (f
δ
, δ) ta cần phải tìm một phần tử x
δ
∈ X hội tụ đến nghiệm
chính xác x
0
của (1.6) khi δ → 0. Phần tử x
δ
có tính chất như vậy gọi là
nghiệm xấp xỉ bài toán đặt không chỉnh (1.6).
Chú ý 1.4. Gọi x
δ
là nghiệm của (1.6) với f thay bởi f
δ
(giả thiết rằng
nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì f
δ
→ f nhưng với bài toán đặt không
chỉnh thì x

δ
nói chung không hội tụ đến x.
Ví dụ 1.5. Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.6) (vô hạn
chiều) nói chung là bài toán đặt không chỉnh. Thật vậy, giả sử dãy {x
n
}
chỉ hội tụ yếu, không hội tụ mạnh đến x và y
n
= A(x
n
), y = A(x). Khi đó,
do tính liên tục mạnh của A suy ra y
n
→ y và nghiệm của phương trình
A(x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán
tử với toán tử liên tục mạnh. Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) của
toán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó
chứng minh trên không áp dụng được. Và nếu ta xét một toán tử tuyến
tính compact với miền ảnh (A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A
−1
nói
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
chung là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A(x) = f là bài
toán đặt chỉnh.
Ví dụ 1.6. Xét phương trình tích phân Fredholm loại I
b

a

K (x, s) ϕ (s) ds = f
0
(x) , x ∈ [a, b] , (1.7)
ở đây nghiệm là một hàm ϕ (x), vế phải f
0
(x) là một hàm cho trước,
K(x,s) là hạch của tích phân. Giả thiết hạch K(x,s) cùng với
∂K (x, s)
∂x
liên
tục trên hình vuông [a, b] × [a, b]. Ta xét hai trường hợp sau:
• Trường hợp 1
A : C [a, b] → L
2
[a, b]
ϕ (x) → f
0
(x) =
b

a
K (x, s) ϕ (s) ds
Sự thay đổi của vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L
2
[a, b],
tức là khoảng cách giữa hai hàm f
0
(x),f
1
(x) trong L

2
[a, b] được cho
bởi
ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) =


b

a
|f
0
(x) − f
1
(x)|
2
dx


1
2
Giả sử phương trình (1.7) có nghiệm là ϕ
0

(x). Khi đó với vế phải
f
1
(x) = f
0
(x) + N
b

a
K (x, s) sin (ωs) ds
thì phương trình này có nghiệm
ϕ
1
(x) = ϕ
0
(x) + N sin (ωx)
Với N bất kì và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f
0
và f
1
trong
không gian L
2
[a, b] là
ρ
L
2
[a,b]
(f
0

, f
1
) = |N|



b

a


b

a
K (x, s) sin (ωs) ds


2
dx



1
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt
K
max
= max

x∈[a,b],s∈[a,b]
|K (x, s)| ,
ta tính được
ρ
L
2
[a, b] (f
0
, f
1
) ≤ |N|



K
max
1
ω
cos (ωs)


b
a

2
dx

1
2
≤

|N|K
max
c
0
ω
ở đây c
0
là một hằng số dương. Ta chọn N và ω đủ lớn tùy ý nhưng
N/ω lại nhỏ. Trong khi đó
ρ
C[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) = max
x∈[a,b]
|ϕ
0
(x) − ϕ
1
(x)| = |N|
có thể lớn bất kì.
• Trường hợp 2
A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b]
ϕ (x) → f

0
(x) =
b

a
K (x, s)ϕ (s) ds
Tương tự , ta cũng chỉ ra khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ
0
, ϕ
1
trong
không gian L
2
[a, b] có thể lớn bất kì. Thật vậy ,
ρ
L
2
[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) =


b

a
|ϕ
0

(x) − ϕ
1
(x)|
2
dx


1
2
= |N|


b

a
sin
2
(ωx) dx


1
2
= |N|

b − a
2
−
1
2ω
sin (ω (b − a)) cos (ω (b + a))

Dễ dàng nhận thấy rằng hai số N và ω có thể chọn sao cho ρ
L
2
[a,b]
(f
0
f
1
)
rất nhỏ nhưng ρ
L
2
[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) lại rất lớn.
Ví dụ 1.7. Xét bài toán cực tiểu hàm ϕ (y) = y trên đoạn thẳng y =
λ
0
x + y
0
nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng 0xy. Ở đây λ
0
và y
0
là những số cho trước và y
0
> 0. Giả sử λ

0
= 0 và thay cho λ
0
ta có
λ
δ
: |λ
δ
− λ
0
| < δ. Ta xét các trường hợp:
• Trường hợp 1: λ
δ
> 0. Ta có λ
δ
= λ
1
= λ
0
+
δ
2
. Trong trường hợp này,
thay cho đường thẳng y = y
0
ta có đường thẳng d
1
: y = λ
1
x + y

0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Giá trị cực tiểu của phiếm hàm ϕ (y) trên một phần của d
1
nằm trong
vùng {x  0, y  0} đạt được tại điểm (0, y
0
). Điều đó có nghĩa là khi
x = 0 thì ϕ (0) = y
0
.
• Trường hợp 2: λ
δ
< 0. Ta có λ
δ
= λ
2
= λ
0
−
δ
2
. Trong trường hợp này,
thay cho đường thẳng y = y
0
ta có đường thẳng d
2
: y = λ

2
x + y
0
. Do
λ
δ
< 0 cho nên đường thẳng d
2
cắt trục 0x tại một điểm x
2
(δ) nào đó.
Giá trị cực tiểu của phiếm hàm ϕ (y) trên một phần của d
2
nằm trong
vùng {x  0, y  0} đạt được tại điểm x
2
(δ), 0 tức là tại x = x
2
(δ) ta
có ϕ (x
2
(δ)) = 0.
Như vậy với |λ
1
− λ
2
| < δ ta có





min
λ
1
ϕ (y) − min
λ
2
ϕ (y)




= |y
0
− 0| = y
0
> 0,
ở đây y
0
có thể lớn tùy ý, bài toán này không ổn định.
Ví dụ 1.8. Xét phương trình toán tử A(x) = f với A là một ma trận
vuông cấp M = 5 được xác định bởi







1 1 1 1 1

1 1.0001 1 1 1
1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1.0001







và vế phải
f =

5 5.0001 5.0001 5.0001 5.0001

T
∈ R
5
.
Khi đó phương trình có duy nhất nghiệm
x =

1 1 1 1 1

T
∈ R
5
.
Nếu

A = A
h
1
=







1 1 1 1 1
1 1.0001 1 1 1
1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1







và
f =

5 5.0001 5.0001 5.0001 5

T
∈ R

5
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
thì phương trình có vô số nghiệm.
Nếu
A = A
h
2
=







1 1 1 1 1
1 1.0001 1 1 1
1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1







và

f =

5.0001 5.0001 5.0001 5.0001 5.0001

T
∈ R
5
.
thì phương trình vô nghiệm.
Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số trong phương trình ban đầu đã kéo
theo những thay đổi đáng kể của nghiệm.
Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán A(x) = f, nên người
ta thường có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Ta sẽ sử dụng
nghiệm x
0
có x
∗
− chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x
0
∈ X thỏa
mãn
A(x
0
) = f,
và
x
0
− x
∗
 = min {x − x

∗
 : A (x) = f} .
Bằng cách chọn x
∗
, ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ.
1.4 Phương trình toán tử loại Hammerstein
Xét bài toán kỹ thuật dẫn đến phương trình:
x + F
2
F
1
(x) = f. (1.1)
Bài toán. Xét một hệ thống phi tuyến có mối quan hệ ngược được mô tả
bởi hình vẽ sau
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
ở đây u
i
là dữ liệu vào, y
i
là dữ liệu ra còn A
i
là các toán tử, nói chung, là
phi tuyến (có thể đa trị) trong không gian Hilbert H (xem [19]). Một hệ
thống có mối quan hệ ngược như vậy thường được xác định bởi một cặp
toán tử A
i
, i = 1, 2. Cho nên ta thường gọi hệ thống có quan hệ ngược
[A
1

, A
2
].
Định nghĩa 1.15. Một cặp (e
1
, e
2
) được gọi là nghiệm của hệ thống có
mối quan hệ ngược [A
1
, A
2
], nếu tồn tại y
1
∈ A
1
e
1
và y
2
∈ A
2
e
2
sao cho
e
1
= u
1
− y

2
, e
2
= u
2
+ y
1
.
Hệ thống có mối quan hệ thường được gọi là
• giải được, nếu với mỗi cặp (u
1
, u
2
) ∈ H
2
= H × H tồn tại ít nhất một
cặp (e
1
, e
2
) ∈ H
2
ứng với (u
1
, u
2
),
• không đa nghĩa, nếu mỗi nghiệm được xác định một cách duy nhất,
• một hệ thống chuẩn, nếu [A
1

, A
2
] giải được và không đa nghĩa.
Để tìm hiểu tính giải được cũng như tính không đa nghĩa, người ta đưa
vào một ánh xạ: với mỗi a ∈ H, ta xác định một ánh xạ
M
a
(x) = x + A
2
(a + A
1
(x)) .
Định lý 1.3. (xem [19]). Hệ [A
1
, A
2
] giải được khi và chỉ khi M
a
= H,
với mỗi a ∈ H.
Nếu F
i
, i = 1, 2 được xác định như sau: F
2
(x) = A
2
(x) và F
a
1
(x) =

a + A
1
(x), thì theo định lý trên, hệ giải được khi và chỉ khi ảnh của toán
tử Hammerstein  (I + F
2
F
a
1
) = H với mỗi a ∈ H. Nếu A
2
là một toán tử
tuyến tính, thì với mỗi cặp (u
1
, u
2
) ∈ H
2
nghiệm (e
1
, e
2
) ∈ H
2
được xác
định bởi
(e
1
, e
2
) =


(I + A
2
A
1
)
−1
(u
1
− A
2
u
2
) , u
2
+ A
1
(I + A
2
A
1
)
−1
(u
1
− A
2
(u
2
))


.
Rõ ràng, để tìm nghiệm (e
1
, e
2
) ta phải giải phương trình
(I + A
2
A
1
) (e
1
) = u
1
− A
2
u
2
,
để tìm e
1
. Khi đó,
e
2
= u
2
+ A
1
(I + A

2
A
1
)
−1
(u
1
− A
2
(u
2
)) .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Khi A
i
là các toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert H, thì F
i
cũng
là các toán tử đơn điệu trong H. Cho nên, việc nghiên cứu tính giải được
cũng như tìm nghiệm của hệ thống với mối quan hệ ngược hoàn toàn có
thể sử dụng phương trình toán tử Hammerstein:
x + F
2
F
1
(x) = f. (1.1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Chương 2

Phương pháp hiệu chỉnh liên tục
cho phương trình toán tử loại
Hammerstein
Trong chương này chúng tôi trình bày hai vấn đề: Hiệu chỉnh liên tục
cho phương trình với toán tử đơn điệu [12] và cho phương trình toán tử
loại Hammerstein trong không gian Hilbert [6].
2.1 Hiệu chỉnh liên tục cho bài toán không chỉnh với toán tử
đơn điệu
Xét thuật toán hiệu chỉnh liên tục cho bài toán
B (u) − f = 0, f ∈ H (2.1)
A) B là toán tử đơn điệu, phi tuyến, C
2
loc
trong không gian Hilbert thực
H, có nghĩa là sup
u∈B(u
0
,r)


B
(j)
(u)


 M
j
(r) := M
j
, j = 0, 1, 2, ở đây r > 0

là một số bất kỳ, B (u
0
, r) := {u : u − u
0
  r}, B
(j)
(u) là đạo hàm
Fréchet. Tập nghiệm N := {z : B (z) − f = 0} là không rỗng, và y ∈ N là
nghiệm có chuẩn nhỏ nhất.
Như ta đã biết N là một tập đóng lồi nếu B là đơn điệu và h-liên tục,
do đó N ∈ H chứa thành phần có chuẩn nhỏ nhất y:
B (y) − f = 0, y  z , ∀z ∈ N
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Xét bài toán Cauchy:
˙u = Φ (u) , u (0) = u
0
; Φ := −A
−1
ε
[B (u) + εu − f] , (2.2)
ở đây u := u
ε
(t) , A
ε
:= A + εI, A := B

(u), I là toán tử đơn vị, ε > 0
là một số, dấu phẩy là đạo hàm Fréchet , và Φ (u) là hàm Lipschitz địa
phương. Vì vậy bài toán (2.2) có nghiệm địa phương.

Phương pháp hiệu chỉnh liên tục giải bài toán (2.1) thay bằng giải bài
toán (2.2) và chứng minh với u
0
bất kỳ ta có
∃u (t) , ∀t > 0, ∃V
ε
:= u (∞) := lim
t→∞
u (t) , B (V
ε
) + εV
ε
− f = 0, (2.3)
và
lim
ε→0
V
ε
− y = 0. (2.4)
Ta có định lý sau:
Định lý 2.1. Nếu A) thỏa mãn thì (2.3), (2.4) và
lim
ε→0
u
ε
(t
ε
) − y = 0, (2.5)
là đúng (với t
ε

:= −2 log (ε)). Nếu ω
δ
(t) là nghiệm của phương trình
˙ω
δ
= Φ
δ
(ω
δ
) , ω
δ
(0) = u
0
, (2.6)
khi đó ∃t
δ
thỏa mãn
lim
δ→0
ω
δ
(t
δ
) − y = 0, (2.7)
Chứng minh. Đặt B (u) + εu − f := g (t) , u = u
ε
(t). Sử dụng (2.2)
ta có g ˙g = −g
2
, do đó g (t) = g

0
e
−t
, ở đây g
0
:= g (0). Điều này và (2.2)
suy ra  ˙u  g
0
ε
−1
e
−t
, bởi vì


A
−1
ε


 ε
−1
. Như vậy ∃u (∞) := V
ε
theo
nguyên lý Cauchy ta có:
u (t) − V
ε
  g
0

ε
−1
e
−t
, (2.8)
và dẫn đến (2.3) thỏa mãn. Sử dụng t
ε
:= −2 log (ε) và (2.8) ta cũng nhận
được
u (t
ε
) − V
ε
  g
0
ε. (2.9)
Để chứng minh (2.4) sử dụng (2.1) và viết (2.3) như sau:
B (V
ε
) − B (y) + εV
ε
= 0,
và nhân với V
ε
− y, sử dụng tính đơn điệu của B ta nhận được
(V
ε
, V
ε
− y)  0, (2.10)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Suy ra V
ε
  y và V
ε
hội tụ yếu đến υ khi ε → 0, ở đây υ là một thành
phần nào đó. Vì mọi toán tử h-liên và ω là đóng yếu, cho nên V
ε
hội tụ
yếu đến và B (V
ε
) + εV
ε
→ f suy ra B (υ) + ευ = f, và vì bất đẳng thức
V
ε
  y suy ra υ  lim
ε→0
inf V
ε
  y, ta kết luận được rằng υ là
nghiệm của (2.1) có chuẩn nhỏ nhất, như vậy υ = y. Để chứng ming rằng
V
ε
→ y, ở đây ký hiệu → là sự hội tụ mạnh trong H, sử dụng (3.1) ta được
(V
ε
− y, V
ε

− y)  (y, y − V
ε
) , (2.11)
và sự hội tụ yếu của V
ε
đến y. Ta có (2.4).
Đẳng thức (2.5) suy ra từ (2.4) và (2.9). Thật vậy:
u
ε
(t
ε
) − y  u
ε
(t
ε
) − V
ε
 + V
ε
− y → 0, ε → 0
Bây giờ chứng minh (2.7). Cũng tương tự như trên (2.1)-(2.2), ta có
ω
δ
(t) − W
δ
  g
0
(δ) ε
−1
e

−t
, ω
δ
(t
ε
) − W
δ
  g
0
(δ) ε, (2.12)
ở đây g
0
(δ) := B (u
0
) + εu
0
− f
δ
, và W
δ
:= W
δε
:= ω
δ
(∞) = lim
t→∞
ω
δ
(t).
Trong trường hợp tổng quát, f

δ
không nằm trong ảnh của B, và W
δε
(∞)
không hội tụ khi ε → 0, δ > 0 cố định. Ta có thể sử dụng (2.9) để chứng
minh là tồn tại ε := ε (δ) → 0 khi δ → 0, sao cho (2.7) thỏa mãn. Thật
vậy W
δ
:= W
δε
là nghiệm của phương trình :
B (W
δ
) + εW
δ
− f
δ
= 0. (2.13)
Trừ (2.13) bởi phương trình (2.3), ký hiệu W
δ
− V
ε
:= ψ
δ
:= ψ
δε
,
f
δ
− f := h

δ
, h
δ
  δ, nhận phương trình vừa thu được theo ψ
δ
, và sử
dụng tính đơn điệu của B ta nhận được ε (ψ
δ
, ψ
δ
)  δ ψ
δ
, do đó
W
δ
− V
ε
  δε
−1
. (2.14)
Bây giờ giả thiết rằng:
lim
δ→0
δε
−1
= 0, lim
δ→0
ε (δ) = 0. (2.15)
Chẳng hạn, lấy ε = δ
b

, 0 < b < 1. Nếu (2.15) thỏa mãn, thì
lim
δ→0


W
δ
− V
ε(δ)


= 0. (2.16)
Từ (2.12), (2.14)-(2.16), và (2.4) ta có (2.7).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
2.2 Hiệu chỉnh liên tục vô hạn chiều
Xét hệ phương trình vi phân
du(t)
dt
+ γ(t)

F
h(t)
1
(u(t)) + α(t)u(t) − u
∗
(t)

= θ,
du

∗
(t)
dt
+ γ(t)

F
h(t)
2
(u
∗
(t)) + α(t)u
∗
(t) + u(t) − f(t)

= θ,
u(t
0
) = u
0
, u
∗
(t
0
) = u
∗
0
, t ≥ t
0
≥ 0,
(2.17)

ở đây u
0
, u
∗
0
là hai phần tử cố định trong H, θ là ký hiệu phần tử không
của H, h = h(t), α = lpha(t) > 0, t ≥ 0, α(t) là một hàm lồi, không âm,
khả vi và giảm dần, γ(t) là một hàm không giảm và khả vi sao cho
lim
t→+∞
α(t) = lim
t→+∞
h(t) = 0,
lim
t→+∞
h(t)
α(t)
= lim
t→+∞
α

(t)
α
2
(t)γ(t)
= lim
t→+∞
γ

(t)

α(t)γ
2
(t)
= 0.
(2.18)
Để chứng minh lim
t→+∞
u(t) = x
0
, chúng ta nghiên cứu hệ phương trình
vi phân sau:
dy(t, τ)
dt
+ γ(t)

F
1
(y(t, τ)) + α(τ)y(t, τ) − y
∗
(t, τ)

= θ,
dy
∗
(t, τ)
dt
+ γ(t)

F
2

(y
∗
(t, τ)) + α(τ)y
∗
(t, τ) + y(t, τ) − f

= θ,
y(t
0
, τ) = u
0
, y
∗
(t
0
, τ) = u
∗
0
, ∀t ≥ t
0
(2.19)
phụ thuộc vào tham số τ ≥ t
0
.
Ta có kết quả sau.
Định lý 2.2. Cho các điều kiện sau thỏa mãn: (i) bài toán (2.17) và (2.19)
có nghiệm thuộc lớp C
1
[t
0

, +∞) với mỗi u
0
, u
∗
0
∈ H và u(t), u
∗
(t) ≤
d
1
, d
1
> 0, t ≥ t
0
.
(ii) các hàm α(t), h(t) và γ(t) thỏa mãn các điều kiện nêu ở trên. Khi đó,
lim
τ→+∞
u(τ) = x
0
.
Chứng minh. Đặt
˜r (t, τ) = ˜r
1
(t, τ) + ˜r
2
(t, τ) ,
˜r
1
(t, τ) = y (t, τ ) − x

α
(τ)
2
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên