Những nội dung cơ bản của phép tính vi phân trong giải tích toán học

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Trong Toán học,
giải tích chiếm một vị trí vô cùng quan trọng. Các kết quả nghiên cứu được
trong giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực của Toán học mà còn áp
dụng trong các ngành khoa học khác như vật lý, hoá học, thiên văn học…
Để có các kiến thức về giải tích một cách có hệ thống và khoa học thì
việc nắm vững và hiểu sâu sắc các kiến thức cơ bản ban đầu của giải tích:
“Phép tính vi phân” là điều cần thiết và quan trọng. Vì những lý do trên tôi
lựa chọn đề tài khóa luận: “Những nội dung cơ bản của phép tính vi phân
trong giải tích toán học”. Hi vọng đề tài nghiên cứu này sẽ góp một phần hữu
ích trong việc tìm hiểu khám phá các kiến thức về giải tích.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về giải tích, đặc biệt là những nội dung cơ bản của phép tính vi phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu theo đề cương nghiên cứu đã đề ra nhằm đạt được mục
đích nghiên cứu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Đối tượng: Phép tính vi phân trong giải tích toán học.
Phạm vi nghiên cứu: Những kiến thức trong giải tích toán học.

Nguyễn Thị Hồng Thắm

1

Lớp K33C - Toán

5. Phương pháp nghiên cứu.
Khoá luận được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp
nghiên cứu: nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp…
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Nghiên cứu sâu các nội dung cơ bản của phép tính vi phân sẽ tạo điều
kiện cho chúng ta nghiên cứu các chuyên đề khác của giải tích như phương
trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân, lý thuyết không gian ToPo lý
thuyết giải tích hàm, và các ứng dụng thực tế của nó như tìm giới hạn, tìm cực
trị hàm số, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, phương trình tiếp xúc của
một mặt phẳng cong …
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tư liệu tham khảo phần nội dung của
khóa luận được chia thành 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức cơ sở.
Chương 2: Phép tính vi phân hàm một biến.
Chương 3: Phép tính vi phân trên Rn .


NỘI DUNG
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1. Một tập X được gọi là một không gian tuyến tính nếu:
a) Ứng với mỗi cặp phần tử x, y của X ta có theo một quy tắc nào đó
một phần tử của X , goị là tổng của x và y được kí hiệu là x y , ứng với
mỗi phần tử x của X và mỗi số thực ta có theo một quy tắc nào đó , mỗi
phần tử của X gọi là tích của x và và được kí hiệu x .
b) Các quy tắc nói trên thỏa mãn 8 điều kiện sau đây:
1) x y

2) (x

y

y)

x.
z

x ( y z).

3) 0 :x 0 0 x.
4) x X , ( x) X :x
5) 1.x x.
6) (x)
( )x.
7) (

0.

( x) ( x).

).
x
8) (x

( x)

y)

x

y.

Định nghĩa 1.2. Ta gọi không gian định chuẩn là không gian tuyến tính
X trên trường K
R hoặc K C ) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số
(K
thực R . Kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
i) (
x

(X) x
0

x

x
ii)(x X )
(
iii)
x, y X
(
)

0.
. KÝ hiÖu phÇn tö kh«ng lµ
K) x
x

y

x.
x

y.


Số x được gọi là chuẩn của vector x . Không gian định chuẩn là X .
Định nghĩa 1.3. Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới
điểm x X , nếu lim x
0. Ký hiệu
n
x
n


lim x
n

n

x hay
xn

x(n

)

Định nghĩa 1.4. Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là dãy

cơ bản, nếu
lim xn

m,n

xm

0.

Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn X là không gian Ba-nach, nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
1.2. Tôpô trong gian định chuẩn
Định nghĩa 1.6. Cho không gian định chuẩn X , . và a

X và số r 0.

Ta gọi:
Tập hợp

B a,r

'

Tập hợp B a, r
:

x X: x a

r là hình cầu mở tâm a bán kính r

x X

r là hình cầu đóng tâm a bán kính r

x a

Định nghĩa 1.7. Cho không gian định chuẩn X , . . Mọi hình cầu mở tâm x
bán kính
r

0 gọi là lân cận của điểm x X .

Định nghĩa 1.8. Cho không gian định chuẩn X , .
Tập A gọi là tập mở trong không gian X , .
x

A

B x,r

và tập hợp A
, nếu:

A .

Tập A gọi là tập đóng trong không gian X , .
x

A

B x,r

X.

A

, nếu:
.

Định lý 1.1. Trong không gian định chuẩn mọi hình cầu mở là tập mở, mọi
hình cầu đóng là tập đóng.
Định lý 1.2. Trong không gian định chuẩn

X , . , tập A X và A

hợp A đóng trong không gian X khi và chỉ khi mọi dãy điểm

, tập


xn
đến điểm x thì x

A hội tụ
A.


Định lý 1.3. Trong không gian định chuẩn

X,. ,

i) Giao của một họ tùy ý các tập đóng là tập đóng, hợp của một họ hữu hạn
tùy ý các tập đóng là tập đóng.
ii) Hợp của một họ tùy ý các tập mở là một tập mở, giao của một họ hữu hạn
các tập mở là một tập mở
Định nghĩa 1.9. Cho không gian định chuẩn X , . và tập A

X . Hợp của
0

A hay

tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A , ký hiệu
là

int A. Giao của tất cả các tập đóng chứa trong A gọi là bao đóng của A và kí
hiệu A hay A .
Định lý 1.4. Trong không gian định chuẩn

X,.

i) Bao đóng của hình cầu mở là hình cầu đóng cùng tâm cùng bán kính.
ii) Phần trong của hình cầu đóng là hình cầu mở cùng tâm cùng bán kính.
Định lý 1.5. Trong không gian định chuẩn

X , . , họ

tất cả các tập mở

trong X lập thành một tôpô trên X .

Định nghĩa 1.10. Cho không gian định chuẩn X , . . Tập K

X gọi là tập

compact trong không gian X , nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K
đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc K .
Tập K gọi là tập compact tương đối trong không gian X , nếu mọi dãy
vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc X .
1.3. Không gian Euclide R

k

k

Định nghĩa 1.11. Cho không gian vector thực k chiều R trong đó
Rk

x

(x1 , x2 ,..., xk ) : x j

R .

Với mỗi vector bất kỳ
x
.: R
x

k

(x1 , x2 ,..., xk
)
k

¡ , Ta xét ánh xạ:

R
k

xi1 ai

x

k
i 1

2

xi .


Khi đó . là một chuẩn (gọi là chuẩn Euclide).
Không gian vector thực k chiều Rk cùng với chuẩn Euclide được gọi là
k
k
không gian định
R , . ( không gian Euclide). Kí hiệu R .
chuẩn
k

R cùng với chuẩn Euclide là không gian Banach
Định lý 1.6. Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Eukleides Rk tương
đương với sự hội tụ theo tọa độ.
Định lý 1.7. Trong không gian định chuẩn k
R ,
chỉ khi A đóng và bị chặn.
tập
1.4. Toán tử tuyến tính.

A

là compac khi và

Rk

Định nghĩa 1.12. Cho hai không gian tuyến tính X ,Y trên trường K
( K là trường số thực R hoặc số phức £ ).Ánh
xạ
xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu :
1) A(x1 x2 ) Ax1 Ax2. ( x1, x2
2) A( x)
A(x) ( x X )(
Để cho gọn ta viết Ax thay
cho

A: X

Y gọi là một ánh

X)

K)

A(x) để chỉ phần tử ứng với x trong ánh xạ A.

Định nghĩa 1.13. Cho X ,Y , Z là ba không gian tuyến tính định chuẩn, A là
một ánh xạ từ X Y vào Z ,biến mỗi cặp x X , y Y thành phần tử
z

A(x, y) Z .Ta nói A là một toán tử song tuyến tính nếu với mỗi y cố định
A(x, y) là một toán tử tuyến tính từ X vào Z và với mỗi x cố định A(x, y) là

một toán tử từ Y vào Z .
Định nghĩa 1.14. Cho một không gian tuyến tính X. Một hàm số

f (x) xác

định trên X và lấy trị là số (thực hay phức, tùy theo X là không gian thực hay
phức) gọi là một phiếm hàm trên X . Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu:
1) f (x1

x2 ) f f(x),
(x1 ) x f (xX2 ),x
, 1, x2 K. X .
2) f ( x)


Như vậy một phiếm hàm trên X chẳng qua là một toán tử tuyến tính từ
X vào R hay £ (tùy theo X là không gian thực hay phức ).

Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
2.1. Đạo hàm và vi phân

R, f
Định nghĩa 2.1. Giả sử U là một tập hợp mở :U
một số gia h khá bé sao cho x
0

R và x0 U .Cho x0
f

fx0

h

fx0

h U . Khi đó số

được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia đối số h tại điểm x . Nếu tỷ số
0
có giới hạn hữu hạn khi
0 thì giới hạn đó gọi
f
f
h
f
h
x0
x0

h

df

h

f '(x)
là đạo hàm của f đối với x tại x0 và được kí hiệu là hoặc
f '(x0 ) lim

h)
h

f (x 0

h 0

fx

0

dx

(x0 )
:
(2.1)

Hàm f được gọi là có đạo hàm trên U nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm
thuộc U . Khi đó hàm số :
f ':U

R
f
'(x)
xa
được gọi là đạo hàm của hàm số f trên U .
Định nghĩa 2.2. Cho tập hợp mở U
gọi là khả vi tại x0

R và hàm số

f :U

R . Hàm f được

U nếu:
f
(x0

h)

f (x0 )

Ah o(h).

(2.2)

Trong đó A R là đại lượng chỉ phụ thuộc x0 và hàm f mà không phụ thuộc
vào h o(h) là vô cùng bé bậc cao hơn h .
,
Khi đó, hàm tuyến tính h a Ah,

h Ah

R được gọi là vi phân của hàm f tại


x0 và ký hiệu là df (x ) : df (x )(h)
0
0
Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc U .
Nếu f ' liên tục trên U thì ta nói f khả vi liên tục trên U hay f thuộc
1
lớp C (U )


Định lý 2.1( Điều kiện cần để hàm khả vi). Hàm f khả vi tại điểm x0 thì liên
tục tại điểm đó.
Chứng minh:
Vì f khả vi tại điểm x0
nên
Từ đây ta
có

lim f x0
h

f x0 h

h

0

fx0

fx0

Ah o h

0

Kết luận: Hàm f khả vi tại điểm x0
Định lý 2.2.
Hàm
hàm tại điểm x0
và
Chứng

f :R

R khả vi tại điểm x0 khi và chỉ khi hàm f có đạo
f '(x0 ).h

df (x0 )

minh:
Giả sử hàm f khả vi
tại

x0 . Ta có
f (x0 h) f (x0 ) Ah
f (x0 h) f (x0 )

A
h

o(h)
o(h)
h

(2.3)

Vì o(h) là vô cùng bé bậc cao hơn so với h nên lim
0 ta được

h

0

cho qua giới hạn khi
h
lim f (x
0
h

Vậy f có đạo hàm tại x0
và
Ngược lại, giả sử tại x0
hàm

h)

f (x0 )

h

0

A

o(h)

0 . Do đó, từ (2.3)

h

A.

f '(x0 ) . Vi phân của f bằng
df (x0 ) f '(x0 ).h

f (x) có đạo hàm hữu hạn f '(x0 ) . Khi đó


lim

h

Điều này có nghĩa
Trong đó

f (x0

f (x0

0

h)
h

h)

h
f (x0 )

(h) là vô cùng bé khi
h
f (x0 h)

f (x0
)

f '(x ).
0

f '(x0 )

(h).

0 . Từ đó:
f (x0 )

f '(x0 )h

(h)h.


Vì lim (h).
h
h
0
h
Vậy f (x0 h)

lim (h) 0. nên
h

(h).h là vô cùng bé bậc cao hơn h

0

f (x0 )

Ah o(h)

Trong đó A là đại lượng chỉ phụ thuộc vào f và
vào h . Vậy f khả vi
tại

x 0 và không phụ thuộc gì

x0 .

Nhận xét:
Nếu h
dạng

dy

x vi phân của hàm khả vi y

df x

f x

x. Nếu f
x

1. x
đó

x . Do

df x

'

dy
dx

f x tại x được viết lại dưới

x thì f ' x

1 khi đó:

f x dx

'

Xét hàm f x với x không là biến độc lập và là hàm của tham số khác
x

x t . Ta có:
df x

dfx t

fx tdt

'

'

'

fx .x t dt

'

fx dx

Vậy vi phân cấp một có tính bất biến.

Định lý 2.3(Hàm ngược). Giả sử rằng:
1) Hàm số f : a,b

R liên tục và đơn điệu thực sự trong khoảng a,b .
'

2) f có đạo hàm f x 0
Khi đó hàm ngược g
f
g ' x0

1
f ' x0

Chứng
minh:
Với mọi

0 tại x0

a,b

1

của hàm số f có đạo hàm tại
điểm

.

y

f

c, d , y
a,b

y0

y0

f x0 và


do g cũng là đơn điệu thực sự ta
có x
y0

g y

g

g y
Khi đó y

x0 .
g y0
y0

x x0
fx fx0

1
fx
x

fx0
x0

.


Khi y
ta có:

y0 , do hàm ngược g cũng là hàm kiên tục, ta có x
lim
y

g y0
y

y0

g ' y0

hay

g y

1
f ' x0

y0

h

h)

x0

f x
f x0
x x0

.

Định nghĩa 2.3. Cho hàm số f : x0 , b
lim f (x0

1

lim
x

x0 . Từ đó

R . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

f (x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của f tại
)

h

0

x0 , kí hiệu
là

f (x0 ).

Tương tự, xét hàm số f : a,
x0
lim f (x0

h)

R. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

f (x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của f tại
)

h
x0 , kí hiệu là f ' (x0 ).

h

0

Định lý 2.4.
Hàm

f :U
x0

'

R khả vi tại điểm

trá f (x0 và đạo hàm bên
i
)
phải

'

f (x0 tồn tại
)
và

khi và chỉ khi đạo hàm bên
'

f (x0
)

'

f (x0 )

Chứng minh:
Ta xét hàm

Hàm
x0

:x

f ( x0h)f ( x0 ) , x
h

có giới hạn tại điểm

một phía
,
nên giới hạn

x0

U \ x0

U khi và chỉ khi tại x0 tồn tại các giới hạn
(x0 )

x0 và bằng nhau. Vì

f ' (x0 ),

(x0 )

f ' (x0 )

lim (x)
x

x0

lim f (x
0
x x

Tồn tại hữu hạn khi và chỉ khi

0

h)
h

f (x0
)

f '(x0 )


lim(x)f ' ( x ), f '0(x )

0

R,

lim(x)f ' ( x ), f '0(x )

0

R,

x

x0

x

x0

'

và f (x )

'

f (x ).

0

0

Vậy ta được điều phải chứng minh.
2.2. Đạo hàm và vi phân cấp cao
Định nghĩa 2.4. Cho hàm f :U

R trong đó U là tập mở trong R , f khả

vi trên U . Khi đó có xác định hàm f ' :U

R . Nếu tại x0 U hàm khả vi

thì ta gọi đạo hàm của f ' tại x0 là đạo hàm cấp hai của hàm f tại x0 và kí hiệu
2
d f
.
hay
là f ''
2
dx
x0
Một cách tổng quát, giả sử tồn tại đạo hàm cấp n – 1 của f trên U . Khi
đó có xác định hàm

f

n 1

:U

x0 U thì ta gọi đạo hàm của f

R, x

n 1

f

n 1

x . Nếu
hàm

f

khả vi tại

n 1

tại x là của f tại đạo hàm cấp n x và kí
0

hiệu là

0

n

f

n

x0 hay

d f
dxn

.

Đạo hàm của hàm số f được gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f . Ta
quy ước đạo hàm cấp không của hàm f chính là f
Định nghĩa 2.5. Cho tập hợp mở U
i)
Hàm

f :U

R, f : U

R

R được gọi là khả vi cấp n ( n lần khả vi) trên U nếu nó

có đạo hàm cấp n tại mỗi điểm x U.
ii) Hàm f được gọi là khả vi liên tục cấp n (hay hàm thuộc lớp C

n

U ),


ký hiệu f
C

U nếu nó có đạo hàm liên tục đến cấp n.
n

iii)Hàm f được gọi là khả vi vô hạn trên U hay thuộc lớp C

trên U ,

C U nếu với mọi n hàm f thuộc lớp C trên U .

ký hiệu f

Định lí 2.5. Giả sử các hàm f và g khả vi cấp n trên
khoảng
đó f
và

g

a, b

R khi

f .g cũng khả vi cấp n trên đó và
f
n

(n)

fg(x)

( n)

g

k

Cn f

k

n

x

(x)g

gn x

fx
n k

0

(x)

(n)

f (x)g(x)

1

nf(x)g(x)

k 0

n n 1 2
n
f(x)g(x)
2!

n 1

(2.4)
2

... nf

n 1

(x)g 1 (x)

n

o

g(x)g(x).

Công thức (2.4) gọi là công thức Leibniz
Từ định nghĩa và các phép toán về đạo hàm cấp cao ta có đạo hàm cấp
cao một số hàm số sơ cấp cơ bản sau:
x

1) (a )

(n)

x (n)

2) (e )
3)

(n)

1
x

4) (x m )( n )
m

(x )

n

x

a ln

n
x

a(a e .
(n)
( 1)n!,

0,
a

1).

x 0.
x( n 1)
m(m
1)...(m n 1)x mmn n.
m(
1)...(m
1) x ,
m
m
n

0 khi m ¢ , n m
n 1
( 1) (n 1)!
(n)
5) (ln x)
, x 0.
n
x
(n)
n
6) (sin x)
sin x
2
7) (cos x)

( n)

¢ , n m


cos x

n

.

2


Định nghĩa 2.6. Cho tập hợp U
f C
U

n

R . Giả sử

d (df ) là vi phân cấp hai của hàm f , kí hiệu là

. Ta gọi biểu
thức

2

R và hàm f :U

2

d f : d f d (df ) .
Ta có: df

f' x
dx,

trong đó dx là hằng số nên

2

f ' x dx 'dx

d f
2

Kí hiệu : dxdx dx ta có d 2 f
''

f

f '' x dxdx

2

x dx .

Tổng quát vi phân cấp n của hàm f là biểu thức d d n
f

n

f

x dx
.

n

, kí hiệu là d n f :

d d n 1f

n

d f
Và d f

1

(2.5)

n

Công thức (2.5) biểu mối quan hệ giữa đạo hàm và vi phân. Cụ thể đạo
hàm
của

f (x) biểu thị qua vi phân như sau
f

( n)

(x)

d n( f )
dxn ,

n N

Từ định nghĩa vi phân cấp cao và công thức Leibniz về đạo hàm cấp cao
ta có các kết quả sau:
i) d
x

n

0,

1 và x là biến độc lập

n
ii) d

n

f

g

dn f

dng


iii) d
n

f .g

n
k 0

C knd k fd n k g

Ở đây f , g là những hàm khả vi cấp n trên U . Công thức xác định bởi
(iii) được gọi là công Leibniz về vi phân cấp cao.


Nhận xét: Hàm f (x) với x không là biến độc lập mà là hàm của tham số
khác x

x(t) . Ta có vi phân cấp một luôn có dạng: df

f '(x)dx .

Xét vi phân cấp hai của f ta có:

2

d f d df

df ' x dx

df ' x dx
f '' x dx2

Vì x không là biến độc lập nên dx
d
(dx)

d2
x

0 . Vì
vậy

d
f

f ' x d dx
f ' x d 2 x.

x '(t)dt không là hằng số nên:
f '' x dx2

2

f ' x d 2x.

(2.6)

Rõ ràng so với (2.5) dạng vi phân cấp hai (2.6) có thêm số hạng f '(x)d 2 x .
Kết luận: Vi phân cấp hai không có tính bất biến như vi phân cấp một.
2.3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân
Định nghĩa 2.7. Cho tập hợp mở U
f đạt cực đại địa phương tại
điểm
f x

fx0

R và hàm số f :U

R . Ta nói hàm

x0 U nếu tồn tại một số
, x (x0

, x0

)

, x0

)

0sao cho

Hàm f đạt cực tiểu địa phương tại x0 U nếu :
f x

fx0

, x (x0

Điểm mà tại đó hàm f đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương
gọi chung là điểm cực trị
Định lý 2.6(Fermat). Cho tập hợp mở U
hàm

R và

f :U

R . Nếu điểm

x0 U là điểm cực trị của hàm f và nếu tồn tại f '(x0 ) th f '(x0 )
ì

0.


Chứng minh: