SKKN: Quan hệ giữa Parabol và đường thẳng

Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập Tự do Hạnh phúc
===***===
Họ và tên giáo viên: Đặng Ngọc Dơng
Tổ: Khoa học Tự nhiên
Đơn vị: Trờng THCS Giao Hà
Năm học: 2007 - 2008
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà
1
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
I/ Đặt vấn đề
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng rất phổ
biến trong chơng trình Đại số 9 và thờng xuyên xuất hiện trong các đề
thi cuối cấp đặc biệt là trong các đề thi tuyển sinh vào các trờng THPT.
Bởi sự đa dạng và thú vị, sự tổng hợp của các kiến thức trong cả chơng
trình đại số lớp 9 liên quan tới nó, từ các kiến thức và kĩ năng tính toán
đến việc lập luận chặt chẽ về mối quan hệ giữa hàm số và đồ thị cho tới
sự vận dụng linh hoạt các kiến thức của hệ thức Vi-ét hay sự lồng ghép
vào việc vận dụng các phơng pháp giải phơng trình, hệ phơng trình
v.v
Chính vì những ứng dụng thực tế trên về quan hệ giữa Parabol và
đờng thẳng, trong quá trình dạy học tôi đã đúc rút đợc một vài dạng
toán cơ bản và điển hình về mối quan hệ này. Sau đây xin giới thiệu
cùng các đồng nghiệp để chúng ta cùng tham khảo và trao đổi.
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà
2
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
II/ Giải quyết vấn đề
Trớc hết, chúng ta hãy cùng nhau nhắc tới các kiến thức cơ bản th-
ờng xuyên sử dụng sau:

Cho Parabol y=a'x
2
(P) và đờng thẳng y = ax + b (d)
Khi đó:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol y=a'x
2
(P) và đờng thẳng
y=ax + b (d) là nghiệm của phơng trình:
a'x
2
= ax + b
<=> a'x
2
ax b = 0 (*)
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) không có điểm chung khi và chỉ
khi phơng trình (*) vô nghiệm.
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng một điểm chung (tiếp
xúc nhau) khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm kép và hoành
độ của tiếp điểm chính là nghiệm kép của phơng trình đó.
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng hai điểm chung khi và
chỉ khi phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu các dạng toán cơ bản của
mối quan hệ này:
Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng.
Ví dụ 1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng
thẳng (d) y = x + 6
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x

2
với đờng thẳng (d)
y = x + 6 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= x + 6
x
2
x 6 = 0
= b
2
4ac
= (1)
2
4.1.( 6)
= 1 + 24
= 25
D = 5
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà
3
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
1
1 5
3
2 2
b
x
a
- + D +

= = =
2
1 5
2
2 2
b
x
a
- - D -
= = = -
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 3 và 2
Ví dụ 2: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng
thẳng (d) y = 5x + 4
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (d)
y = 5x + 4 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 5x + 4
x
2
5x + 4 = 0
Vì a + b + c = 1 + (5) + 4 = 0 nên x
1
= 1; x
2

= 4
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 1 và 4
Dạng 2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng.
Ví dụ 3: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P)
=
2
1
2
y x
và đờng
thẳng (d): y = 3x 4
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P)
=
2
1
2
y x
và đờng thẳng (d):
y = 3x 4 là nghiệm của phơng trình:
2
2
1
3 4
2
6 8 0
x x
x x
= -
- + =

' = b'
2
ac
= (3)
2
1.8
= 9 8
= 1
'D = 1
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà
4
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
1
' ' 3 1
4
1
b
x
a
- + D +
= = =
2
' ' 3 1
2
1
b
x
a
- - D -

= = =
Thay x
1
= 4 vào ta đợc y
1
= 8
Thay x
2
= 2 vào ta đợc y
2
= 2
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là: (4; 8); (2; 2)
Ví dụ 4: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P)
=
2
1
3
y x
và đờng
thẳng (a): y = 2x 3
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P)
=
2
1
3
y x
và đờng thẳng (a):
y = 2x 3 là nghiệm của phơng trình:
2

2
1
2 3
3
6 9 0
x x
x x
= -
- + =
' = b'
2
ac
= (3)
2
1.9
= 9 9
= 0
Phơng trình có nghiệm kép:
1 2
' 3
3
1
b
x x
a
-
= = = =
Thay x = 3 vào ta đợc y = 3
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (a) là: (3; 3)
Dạng 3: Chứng minh về vị trí tơng đối giữa Parabol và đờng

thẳng.
Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng Parabol (P)
= -
2
4y x
luôn tiếp xúc với đờng
thẳng (d): y = 4mx + m
2
khi m thay đổi.
Giải
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà
5
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = 4x
2
với đờng thẳng
(d) y = 4mx + m
2
là nghiệm của phơng trình:
4x
2
= 4mx + m
2
4x
2
+ 4mx + m
2
= 0
= b
2

4ac
= (4m)
2
4.4.m
2
= 16m
2
16m
2
= 0 m
Phơng trình có nghiệm kép. Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với đ-
ờng thẳng (d) y = 4mx + m
2
khi m thay đổi.
Ví dụ 6: Chứng tỏ rằng Parabol (P)
=
2
y x
luôn có điểm chung với
đờng thẳng (d): y = 2(m 1)x 2m + 3 khi m thay đổi.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (d)
y = 2(m 1)x 2m + 3 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 2(m 1)x 2m + 3
x
2

2(m 1)x + 2m 3 = 0
' = b'
2
ac
= [(m 1)]
2
(2m 3)
= m
2
2m +1 2m + 3
= m
2
4m +4
= (m 2)
2
0 m
Phơng trình luôn có nghiệm. Do đó Parabol (P) luôn luôn có điểm
chung với đờng thẳng (d): y = 2(m 1)x 2m + 3 khi m thay đổi.
Dạng 4: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm trong mặt
phẳng toạ độ giữa Parabol và đờng thẳng.
Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng Parabol (P)
=
2
3y x
cắt đờng thẳng (d): y =
5x 2 tại hai điểm nằm cùng một phía đối với trục tung.
Giải
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà
6