Phương Pháp Tìm Chữ Số Tận Cùng Của Một Số Tự Nhiên Dưới Dạng Lũy Thừa Và Một Số Dạng Toán Về Lũy Thừa Trong Chương Trình Toán 6

www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

A/. Đặt Vấn Đề:
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Là Giáo Viên dạy học môn toán, chúng ta mới thật sự thấy được tầm quan
trọng toán học, nó rất đa dạng và phong phú, thuộc nhiều lĩnh vực nghiên cứu
khoa học cho các ngành nghề. Bất cứ ngành nào nghề nào cũng đòi hỏi phải có
sự tính toán. Muốn tính toán giỏi ta phải học tốt môn toán, từ những con số, rồi
thực hiện các phép tính đơn giản cho đến các phép tính khó.v.v. Vì vậy ta phải
xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện. Bên
cạnh phải giáo dục cho học sinh có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để
đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Muốn giải quyết nhiệm vụ quan trọng này,
trước hết Thầy, Cô giáo chúng ta ai cũng phải xây dựng cho mình một phương
pháp dạy thật tốt và thường xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp
với từng nội dung, điều kiện giảng dạy vào các đối tượng tham gia học tập, nhằm
tạo tiền đề vững chắc, lâu bền trong việc tiếp nhận tri thức, nề nếp và thái độ học
tập của các em ở nhà trường.
Để giúp học sinh học tốt môn toán, ngoài việc truyền thụ kiến thức cơ bản
theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục & đào tạo ban hành cho các trường
học phổ thông ( Kể cả ba cấp ), giáo viên cũng như học sinh cần phải nghiên cứu
thật nhiều các tài liệu, sách báo, băng hình,.... có liên quan đến môn toán để bổ
sung các dạng kiến thức mới, phương pháp giải mới, Giúp học sinh học dễ hiểu,
dễ tiếp thu bài nhằm tạo được sân chơi thân thiện, từ đó các em mới tích cực tham
gia các hoạt động học tập, rồi có ý tưởng tự nghiên cứu sáng tạo cho việc học và
giải toán được thuận lợi hơn. Theo nhà khoa học Lep-Nitx đã nói: “Một phương
pháp được coi là tốt, nếu như ngay từ đầu ta có thể thấy trước và sau đó có thể
khẳng định được rằng theo phương pháp đó ta sẽ đạt tới đích”. Với mỗi bài toán

Trang: 1

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

ta cũng có thể giải được, chỉ cần bắt chước theo những chuẩn mực đúng đắn và
thường xuyên thực hành.
Là người giáo viên, chúng ta cần phải nghiên cứu, tham khảo thật nhiều các
loại sách, báo, đề tài nghiệp vụ sư phạm, phương pháp giải một số dạng
toán.v.v...có liên quan đến lĩnh vực toán học để kịp thời nắm bắt và vận dụng vào
trong thực tế giảng dạy. Tuy nhiên trong suốt qúa trình giảng dạy cho thấy việc
vận dụng kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, sách nâng cao đối với những bài
toán như “Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên viết dưới dạng lũy thừa” có
bậc thấp thì học sinh dễ tìm ra, còn những lũy thừa ở dạng bậc cao thì học sinh vô
cùng lúng túng, khó giải. Chính vì vậy mà Tôi cố nghiên cứu và tìm ra được
phương pháp giải đơn giản đối với số tự nhiên dạng

an. Ngoài ra Tôi mạnh dạng

đưa ra “ Một số dạng toán về lũy thừa trong chương trình toán 6 ” và phương
pháp giải, chúng được đúc kết qua kinh nghiệm thực tế giảng dạy về môn số học
của Tôi. Các bài toán về lũy thừa thật là đa dạng, phong phú và hấp dẫn, thế
nhưng không ít Học sinh khi làm loại toán này thường chưa phân được dạng nên
chưa có phương pháp giải phù hợp, dẫn đến bế tắc hoặc có những cách giải còn
phức tạp, chưa tối ưu. Chính vì vậy mà vấn đề Tôi đưa ra là đề giúp cho các em
giải quyết được phần nào khó khăn mà các em vấp phải.
B. NỘI DUNG

KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ VÍ DỤ
Phần 1:

Phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
n

dạng: a với: a

 0 và a 1, n  N.

( Gọi tắt là phương pháp H )

1.

Theo định nghĩa về lũy thừa ở số học lớp 6 ta được:
Trang: 2

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

an=

a . a . ........ . a
n thừa số

Ta có nhận xét trường hợp khi a = 2
Trong dãy các lũy thừa 21, 22, 23, . . . 2n luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa. Mà
mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
D2-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 2 1; 25; 29; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 2.
D2-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 22; 26; 210;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 4.
D2-3 là tập hợp các lũy thừa có dạng 23; 27; 211; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 8.
D2-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 24; 28; 212; …và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 6.
Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy
D2 = 21, 22, 23, . . . 2n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở

mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4.
Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của

D2-1 = 121;225;3 29; …n Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 2

dãy D2 = 2 , 2 , 2 , . . . 2 như sau:

D2-2 = 22; 26; 210;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4
D2-3 = 23; 27; 211; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 8
D2-4 = 24; 28; 212; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6
Những số có nhiều chữ số như 12n; 22n; 32n; ... đều áp dụng như
trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4

Nếu số dư là 1 thì thuộc D2-1 . nên có chữ số tận cùng là 2
.

Nếu số dư là 2 thì thuộc D2-2 . Nên có chữ số tận cùng là 4

Trang: 3


Nếu số dư là 0 thì thuộc D2-4 . Nên có chữ số tận cùng là 6
www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

Ví dụ1: Tìm chữ số tận cùng của A = 265 ; B = 22003

Giải:
1. Vì 265  2n nên khi ta chia số mũ 65 cho 4 ta được số dư là 1  D2-1
Vậy số 265 có chữ số tận cùng là 2
Hay A có chữ số tận cùng là 2
2. Vì 22003  2n Nên khi ta chia số mũ 2003 cho 4 ta được số dư là 3  D2-3
Vậy B có chữ số tận cùng là 8.
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của số: 3244 ; 109214; 3521001; 1228051.
Giải:
1. Vì 32 = 30 + 2 nên muốn tìm chữ số tận cùng của 3244 ta chỉ việc tìm chữ số tận
cùng của 244 là thỏa mãn ( do những số chẳn chục khi lũy thừa n
lên luôn có chữ số tận cùng bằng 0 ). Do đó khi ta chia 44 cho 4 thì dư bằng 0, mà
số dư vừa tìm được lại thuộc D2-4.
Vậy Số 3244 có chữ số tận cùng là 6.
2. Vì 1092 = 1090 + 2. cách tìm tương tự như bài toán trên.
Muốn tìm chữ số tận cùng của số 109214 ta đi tìm chữ số tận cùng của 214

Do 14 chia cho 4 còn dư là 2, mà số dư này thuộc vào D2-2 nên có chữ số tận cùng
4.
Vậy số 109214 có chữ số tận cùng là 4.
3. Vì số 352 có chữ số tận cùng bằng 2. Nên 3521001 và 21001 có chữ số tận cùng
giống nhau.
Cách tìm: ta tìm số dư của phép chia 1001 cho 4, ta được số dư là 1. Ứng
với số dư này ta có chữ số tận cùng là 2.
Vậy: 3521001 có chữ số tận cùng là 2.
Trang: 4

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

4. Ta thấy số 122 có chữ số tận cùng là 2. nên 1228051 và 28051 có chữ số tận cùng
bằng nhau.
Dựa vào cách tìm ta có số dư của phép chia 8051 cho 4 là 3. Mà ứng với số
dư 3 ta có chữ số tận cùng là 8.
Vậy: 1228051 có chữ số tận cùng là 8.
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 3
Trong dãy các lũy thừa 31, 32, 33, . . . 3n luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa. Mà
mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
D3-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 3 1; 35; 39; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 3.
D3-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 32; 36; 310;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 9.

D3-3 là tập hợp các lũy thừa có dạng 33; 37; 311; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 7.
D3-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 34; 38; 312; …và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 1.
Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy
D3 = 31, 32, 33, . . . 3n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở

1
mỗiDdãy là3một
số lớn
trừ số
là 4.là 3
; 35;cấp
39; số
…cộng
Giácótrịhiệu
mỗi(lũy
Có chữ
sốnhỏ
tận )cùng
3-1 =
Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của
D
32; 36; 310;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 9
dãy D3-23 == 31, 32, 33, . . . 3n như sau:

D3-3 = 33; 37; 311; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 7
D3-4 = 34; 38; 312; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 1

Những số có nhiều chữ số như 13n; 23n; 33n; ... đều áp dụng như trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
.

Nếu số dư là 1 thì thuộc D3-1 . nên có chữ số tận cùng là 3
Nếu số dư là 2 thì thuộc D3-2 . Nên có chữ số tận cùng là 9

Trang: 5


Nếu số dư là 0 thì thuộc D3-4 . Nên có chữ số tận cùng là 1
www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của: 3999 ; 43126; 21535717.
Giải:
* Ta chia số mũ 999 cho 4 ta được số dư là 3, do số dư này thuộc D3-3.
Nên chữ số tận cùng của số 3999 là: 7.
* Vì 43 = 40 + 3, nên chữ số tận cùng của số 43126 lại bằng chữ số tận cùng của
số 3126. Dựa vào cách tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa với cơ số 3
( 126 : 4 = 31 dư 2 ), mà số dư thuộc D3-2.
Vậy: Số 43126 có chữ số tận cùng là 9.
* Ta thấy: số 2153 có chữ số tận cùng là 3, nên số 21535717 và số 35717 có chữ số
tận cùng bằng nhau. Do đó ta có cách tìm chữ số tận cùng như sau:
Ta chia số mũ 5717 cho 4 ta được số dư là 1, ứng với số dư này ta có chữ
số tận cùng là 3.
Vậy: 21535717 có chữ số tận cùng là 3
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 4
Trong dãy các lũy thừa 41, 42, 43, . . . 4n luôn tồn tại hai dãy lũy thừa. Mà

mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:

Trang: 6

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

D4-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 4 1; 43; 45; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 4.
D4-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 4 2; 44; 46;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 6.
Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy
D4 = 41, 42, 43, . . . 4n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở

mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 2.
Điều này cho thấy D4 chỉ tồn tại hai dãy lũy thừa, đó là dãy lũy thừa với số
mũ lẽ và dãy lũy thừa với số mũ chẳn
Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của
dãy D4 = 41, 42, 43, . . . 4n như sau:

D4-1 = 41; 43; 43; …

Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4

D4-2 = 42; 44; 46;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6
Những số có nhiều chữ số như 14n; 24n; 34n; ... đều áp dụng như
trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 2
Nếu số dư là 1 thì thuộc D4-1 . nên có chữ số tận cùng là 4
Nếu số dư là 2 thì thuộc D4-2 . Nên có chữ số tận cùng là 6
Hoặc cũng có thể xác định chữ số tận cùng bằng nhận xét trên số
mũ; Nếu số mũ của lũy thừa mà chẳn thì chữ số tận cùng của số
đó là 6, còn nếu số mũ của lũy thừa là số lẻ thì chữ số tận cùng
của số đó là 4.
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 418 , 487 ,

18942n

Trang: 7

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

Giải: Do Lũy thừa với cơ số 4 cho ta các chữ số tận cùng hoặc 4 hoặc 6. Nếu số
mũ lẻ thì có chữ số tận cùng là 4; còn số mũ chẳn thì cóa chữ số tận cùng là 6.
Vậy:
* Số 418 có chữ số tận cùng là 6 ( vì số mũ là chẳn )
* Số 487 có chữ số tận cùng là 4 ( vì số mũ là lẻ )
* Số 18942n = ( 1890 + 4 )2n

42n có chữ số tận cùng là 6 ( do 2n là số

mũ chẳn ).
Vậy: số 18942n có chữ số tận cùng là 6.
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 5
Khi a = 5 thì 5n ( Với n  N* ) luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 5.
Ví dụ:
1.

53 có chữ số tận cùng bằng 5

2.

5100 có chữ số rận cùng bằng 5

Ta có nhận xét trường hợp khi a = 6
Khi a = 6 Thì 6n ( Với n  N* ) luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 6.
Ví dụ:
1.

61 = 6;

2.

62 = 36;

3.

63 = 216;

4.

64 = 1296

5.

6n = .........6

Ta có nhận xét trường hợp khi a = 7
Trong dãy các lũy thừa 71, 72, 73, . . . 7n luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa. Mà mỗi lũy
thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
Trang: 8

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

D7-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 7 1; 75; 79; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 7.
D7-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 72; 76; 710;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 9.
D7-3 là tập hợp các lũy thừa có dạng 73; 77; 711; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 3.
D7-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 74; 78; 712; …và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 1.

Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy
D7 = 71, 72, 73, . . . 7n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở

mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4.
Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của
dãy D7 = 71, 72, 73, . . . 7n như sau:

D7-1 = 71; 75; 79; …

Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 7

D7-2 = 72; 76; 710;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 9
D7-3 = 73; 77; 711; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 3
D7-4 = 74; 78; 712; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 1
Những số có nhiều chữ số như 17n; 27n; 37n; ... đều áp dụng như
trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
Nếu số dư là 1 thì thuộc D7-1 . nên có chữ số tận cùng là 7
Nếu số dư là 2 thì thuộc D7-2 . Nên có chữ số tận cùng là 9
Nếu số dư là 3 thì thuộc D7-3 . Nên có chữ số tận cùng là 3
.

Nếu số dư là 0 thì thuộc D7-4 . Nên có chữ số tận cùng là 1

Trang: 9


www.huongdanvn.com

PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 71234 ; 72009 ;

8755 ?

Giải:
1.
2.

Ta chia số mũ 1234 cho 4 ta được số dư bằng 2. số dư này thuộc dãy D7-

Nên số 71234 có chữ số tận cùng là 9.

2.

Tương tự: khi ta chia số mũ 2009 cho 4 ta được số dư bằng 1, số dư này

thuộc dãy D7-1. Nên số 72009 có chữ số tận cùng là 7.
3.

Vì 87 = 80 + 7. Do đó việc tìm chữ số tận cùng của 8755 ta chỉ việc tìm

chữ số tận cùng của số 755. Cách tìm ta chia số mũ 55 cho 4, phép chia này có

số dư là 3, số dư này thuộc D7-3. Nên 755 có chữ số tận cùng là 3. Vậy số 8755
có số tận cùng là 3.
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 8
Trong dãy các lũy thừa 81, 82, 83, . . . 8n luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa. Mà

mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
D8-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 8 1; 85; 89; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 8.
D8-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 82; 86; 810;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 4.
D8-3 là tập hợp các lũy thừa có dạng 83; 87; 811; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 2.
D8-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 84; 88; 812; …và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 6.
Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy
D8 = 81, 82, 83, . . . 8n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở

mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4.
Trang: 10

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của
dãy D8 = 81, 82, 83, . . . 8n như sau:

D8-1 = 81; 85; 89; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 8
D8-2 = 82; 86; 810;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4

D8-3 = 83; 87; 811; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 2
D8-4 = 84; 88; 812; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6
Những số có nhiều chữ số như 18n; 28n; 38n; ... đều áp dụng như
trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
Nếu số dư là 1 thì thuộc D8-1 . nên có chữ số tận cùng là 8
Nếu số dư là 2 thì thuộc D8-2 . Nên có chữ số tận cùng là 4
Nếu số dư là 3 thì thuộc D8-3 . Nên có chữ số tận cùng là 2
dưsố
là tận
0 thì
thuộc
. Nên có chữ số tận cùng là 6
Ví dụ:Nếu
Tìmsốchữ
cùng
củaD
các
8-4 số sau
87 ; 850 ; 81101 ; 518400
Giải:
* Tìm chữ số tận cùng của số 87
Ta có: 7 chia 4 dư 3; Số dư này thuộc dãy D8-3. Nên số 87 có chữ số tận cùng là 2.
* Tìm chữ số tận cùng của số 850
Ta có: 50 chia 4 dư 2; mà số dư này thuộc D8-2. Nên số 850 có chữ số tận cùng là 4.
* Tìm chữ số tận cùng của số 81101
Ta có: 1101 chia 4 dư 1; số dư này lại thuộc dãy D8-1 . Nên số 81101 có chữ số tận
cùng là 8.
Trang: 11

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

* Tìm chữ số tận cùng của số 518400
Để tìm chữ số tận cùng của số 518400 ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của số 8400,
Vì: 518 = 510 + 8.
Mà khi ta chia số mũ 400 cho 4 ta được phép chia hết, nên số dư bằng 0
thuộc D8-4 . Do đó số 8400 có chữ số tận cùng là 6, hay số 518400 có chữ số tận cùng
là 6.
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 9
Trong dãy các lũy thừa 91, 92, 93, . . . 9n luôn tồn tại hai dãy lũy thừa. Mà
mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
D9-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 91; 93; 95; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 9.
D9-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 9 2; 94; 96;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 1.
Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy
D9 = 91, 92, 93, . . . 9n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở

mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 2.
Điều này cho thấy D9 chỉ tồn tại hai dãy lũy thừa, đó là dãy lũy thừa với số
mũ lẽ và dãy lũy thừa với số mũ chẳn
Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của

dãy D9 = 91, 92, 93, . . . 9n như sau:

D9-1 = 91; 93; 93; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 9
D9-2 = 92; 94; 96;…

Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 1

Những số có nhiều chữ số như 19n; 29n; 39n; ... đều áp dụng như trên.
Trang: 12

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 2
*Nếu số dư là 1 thì thuộc D9-1 . nên có chữ số tận cùng là 9
*Nếu số dư là 2 thì thuộc D9-2 . Nên có chữ số tận cùng là 1
Hoặc cũng có thể xác định chữ số tận cùng bằng nhận xét trên số mũ; Nếu
số mũ của lũy thừa mà chẳn thì chữ số tận cùng của số đó là 1, còn nếu số mũ của
lũy thừa là số lẻ thì chữ số tận cùng của số đó là 9
Chú ý:
1. Những số chẳn chục như 10; 20; 30; …. Khi nâng lên lũy thừa với số mũ
lớn hơn 0 thì luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 0.
2. Những số dạng: 1; 11; 21; 31; ……khi nâng lên lũy thừa với số mũ bất kỳ
thì luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 1.
3. Các số có chữ số tận cùng là 0;1;5;6 khi nâng lên lũy thừa với số mũ khác 0
cũng có chữ số tận cùng bằng 0;1;5;6.

Phần 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI KHÁC.
99

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của số A = 9 .
Giải: Cách 1: Theo phương pháp (H) số 99 có số mũ lẻ. Nên số này có chữ số tận
99

cùng là 9 cũng là số lẻ. Do đó số 9 có chữ số tận cùng là bằng 9.

Cách 2: Đặt M = 9k, k N.
+ Nếu k chẳn  k = 2m, khi đó:
M = 92m = (81)m = (80+1)m = (10q+1)m = 10t+1 (với m,q,t  N ).
Vậy M có chữ số tận cùng là 1 nếu k chẳn.
+ Nếu k lẻ  k = 2m+1, khi đó:
M = 92m+1 = 92m.9 = (10q+1).9 = 10t+9. ( với m,q,t  N ).
Vậy M có chữ số tận cùng là 9 nếu k lẻ.
99

Ta có: 99 là một số lẻ. Do đó: A = 9 có chữ số tận cùng là 9.
Trang: 13

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

34

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của số B = 2

.

Giải:
Cách 1:
34

Do 2

= 281. Theo phương pháp (H), Ta chia số mũ 81 cho 4 ta có số dư của
34

phép chia bằng 1 Thuộc D2-1. Nên số B = 2

có chữ số tận cùng là 2.

Cách 2:
34

B=2

= 281 = (25)16.2 = (30+2)16.2 = ( m6 ).2 = 10t+2.
34

Vậy: B = 2

có chữ số tận cùng là 2.

Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của số 62002; 71999; 18177.

Giải:
* Theo phương pháp (H). Ta có: 6n luôn có chữ số tận cùng bằng 6.
Nên: số 62002 có chữ số tận cùng bằng 6.
* Cách 1: Theo phương pháp (H), ta chia số mũ 1999 cho 4 được số dư là 3; Số
dư này thuộc D7-3.
Vậy số 71999 có chữ số tận cùng là 3.
Cách 2: Ta có 74 = 2401 tận cùng là 1
Nên: 71999 = (74)496+3 = (2401)496.343 = (…..1). 343 = (........3)
Suy ra: 71999 có chữ số tận cùng là 3.
* Cách 1.
Ta có: 18177 = (10+8)177 theo phương pháp (H) ta chỉ tìm chữ số tận cùng
của 8177, ( vì: 177: 4 dư 1). Nên số 8177 có chữ số tận cùng là 8.

Do đó: 18177 có chữ số tận cùng là 8.
Cách 2: Ta có 184 = n6 có chữ số tận cùng là 6.
Suy ra: 8177 = (184)44.18 = (…..6).18 = (…….8)
Vậy: 8177 có chữ số tận cùng là 8.
Trang: 14

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG DƯ:
I. Cơ sở lý thuyết:
1. Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0, hai số nguyên a và b chia cho m có cùng
số dư, ta nói a đồng dư với b theo mô đun m và viết a b (mod m).

2. Định lý:
Ba mệnh đề sau tương với nhau:
2.1/. a đồng dư với b theo mô đun m;
2.2/. a – b chia hết cho m;
2.3/. Có một số nguyên t sao cho a = b + m.t.

3. Tính chất:
3.1/. a  a (mod m);
3.2/. a  b (mod m)
 a  c (mod m).

b  c (mod m)
3.3/. a  b (mod m)

a  c  b  d (mod m)


c  d (mod m)

a.c  b.d (mod m)

Hệ quả: a + c  b (mod m)  a  b – c (mod m)
a  b (mod m) 

an  bn (mod m)

3.4/. Nếu a  b (mod m); k  ƯC (a,b), (k,m) = 1 Thì

a b
 (mod m).

k k

3.5/. a  b (mod m). với k  z, k > 0 suy ra: ka  kb (mod m).
3.6/. d  ƯC (a,b,m) thì a  b (mod m) suy ra:

a b
m
 (mod
).
k k
d

Trang: 15

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

3.7/. a  b (mod m1) và a  b (mod m2) suy ra a  b (mod m)
M = BCNN ( m1, m2 ).
Hệ quả: ( m1, m2, …….., mn ) = 1 và nguyên tố từng đôi một.
Suy ra: a  b (mod m1), a  b (mod m2), ……..a  b (mod mn)
a  b (mod m1.m2……mn).
II. Bài tập áp dụng:
Tìm chữ số tận cùng của số 19911997, 6195, 19971996
Giải:
*). Ta có: 1991  1 (mod 10) suy ra 19911997  1 (mod 10)

Vậy: 19911997 có chữ số tận cùng là 1.
*). Ta có: 62 = 36  6 (mod 10) suy ra 6n  6 (mod 10)
Với N là số tự nhiên khác 0.
Suy ra: 6195  6 (mod 10).
Vậy chữ số tận cùng của số 6195 là 6.
*). Ta có: 1997  7 (mod 10)  19972  49  9 (mod 10)
Suy ra: 19974  1 (mod 10) Suy ra (19974)409  1 (mod 10)
Suy ra 19971996  1 (mod 10).
Vậy: 19971996 có chữ số tận cùng là 1.
PHƯƠNG PHÁP TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG
CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN.
Phương pháp 1:
Nếu x  N và x = 100 + y; trong đó k,y  N thì hai chữ số tận cùng của x
cũng chính là hai chữ số tận cùng của y. Hiển nhiên là y  x. Như vậy để đơn
giản hơn việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm
hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên y ( nhỏ hơn ).
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việ tìm hai chữ số tận cùng của y càng đơn giản
hơn.

Trang: 16

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

Từ nhận xét trên ta có thể đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của
hai số tự nhiên x = am như sau:

Trường hợp 1:
Nếu a chẳn thì x = am 2m
Gọi n là số tự nhiên sao cho an-1  25
Viết m = pn (p,q  N ), trong đó q là số nhỏ nhất để aq 4 ta có:
x = am = aq (apn-1) + aq. Vì an-1 25
Mặt khác: Do ƯCLN ( 4;25 ) = 1 nên aq ( apn-1 ) 100
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của .
Tiếp theo ta tìm chữ số tận cùng của aq.
Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho an-1 100
Viết m = un + v ( u,v  N, 0  v < n ) Ta có:
X = am = av ( aun-1 ) + av.
Vì:

an-1 100. Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số

tận cùng của av . Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận cùng của av.
Với khoảng hai trường hợp nêu trên là chìa khóa để giải bài toán này là
chúng ta phải tìm được số tự nhiên n; Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ
dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của aq và av.
Phương pháp 2:
Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý đến những số đặc
biệt sau:
-

Các số có chữ số tận cùng bằng: 01; 25; 76. Khi nâng lên lũy thừa

với số mũ khác 0 cũng có hai chữ số tận cùng bằng: 01; 25; 76.
-

Các số 320; (hoặc 815); 74; 512; 992. Có hai chữ số tận cùng là 01.

-

Các số 220; 65; 184; 242; 684; 742. Có hai chữ số tận cùng là 76.

Các bài toán tìm hai chữ số tận cùng của một số tự nhiên.
Trang: 17

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 2999.
Giải:
Ta có: 210 + 1 = 1024 + 1 = 1025  25
Suy ra: 210 + 1  25.
Ta lại có: 21000 – 1 = [(220)50 – 1]  (220 – 1).
Suy ra: 21000 – 1  25.
Do đó: 21000 có hai chữ số tận cùng là 76, vì 21000  4.
Suy ra: 2999 có hai chữ số tận cùng là 88.
Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 78966.
Giải:
Ta có: 74 có hai chữ số tận cùng là 01.
Suy ra: 78966 = (74)2241.72 = (a01)2241. 49 = c01 . 49 = n49 ( Với a,c,n  N)
Vậy: 78966 có hai chữ số tận cùng là 49.
Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của 247561.
Giải:

Ta có: 242 có hai chữ số tận cùng là 76 nên:
Suy ra: 247561 = (242)3765. 24 = (m76)3765. 24 = k76 . 24 = n24.
(Với m,k,n  N)
Vậy: 247561 có hai chữ số tận cùng bằng 24.
Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của 816251.
Giải:
Ta có: 815 có hai chữ số tận cùng là 01.
Nên: 816251 = ( 815 )1250. 81 = (k01)1250.81 = t01.81 = m81. (Với k,t,m  N)
Vậy: 816251 có hai chữ số tận cùng là 81
Bài 5: Tìm hai chữ số tận cùng của 31000.
Giải:

Trang: 18

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

Ta có: 34  19 (mod 100) suy ra 38  192  6 (mod 100).
Suy ra: 310  61.9  49 (mod 100) suy ra 3100  492  1 (mod 100).
Suy ra: 31000  01 (mod 100).
Vậy: 31000 có hai chữ số tận cùng là 01.
Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của 21000.
Giải:
Ta có: 210 = 1024 suy ra: (210)2 = ....76.
Suy ra: 21000 = (....76)50 = ....76.
Vậy : 21000 có hai chữ số tận cùng là 76.

Bài 7: Tìm hai chữ số tận cùng của 262088.
Giải:
Ta có: 264 có hai chữ số tận cùng là 76.
Suy ra: 262088 = (244)522 = ( ....76 )522 = .....76. ( vì số có hai chữ số tận cùng là 76
khi ta lũy thừa bất kỳ với số mũ khác 0 nào thì luôn có hai chữ số tận cùng là 76 )
Vậy: 262088 có hai chữ số tận cùng là 76.
Bài 8: Tìm hai chữ số tận cùng của 71991.
Giải:
Ta có: 74 = 2401; số có hai chữ số tận cùng là 01, khi ta nâng lên lũy thừa nào
khác 0 cũng có hai chữ số tận cùng là 01.
Do: 71991 = ( 74 )497. 73 = ( ....01)497. 343 = (.....01).343 = ....43.
Vậy: 71991 có hai chữ số tận cùng là 43.
Bài 9: Tìm hai chữ số tận cùng của 68194.
Giải:
Ta có: 684 = 21381376. số có hai chữ số tận cùng là 76 và 682 = 4624 số có hai
chữ số tận cùng là 24.
Ta lại có: 68194 = ( 684)48. 682 = (n76)48. 4624 = k76. 4624 = t24.
Vậy: 68194 có hai chữ số tận cùng là 24.
Trang: 19

.


www.huongdanvn.com
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

Phần 3: Một số dạng toán về lũy thừa trong chương trình toán 6
B- NỘI DUNG:
I- Lý thuyết:

Dựa vào một số kiến thức sau:
1) Định nghĩa về lũy thừa.
2) các phép tính về lũy thừa.
3) Chữ số tận cùng của một lũy thừa.
4) Khi nào thì hai lũy thừa bằng nhau.
5) Tính chất của đẳng thức, bất đẳng thức?
6) Tính chất chia hết.
7) Tính chất của những dãy toán có quy luật.
8) Hệ thống ghi số.
II- Bài tập:
1. Viết biểu thức dưới dạng một lũy thừa:
a) Ph©n tÝch c¸c c¬ sè ra thõa sè nguyªn tè.

Tải tài liệu bản đầy đủ tại: />
Tải tài liệu bản đầy đủ tại: />
Tải tài liệu bản đầy đủ tại: />------------------------------------------------------

Tổng Hợp Đề Tài Sáng Kiến Kinh Nghiệm Sư Phạm>>
/>Trang: 20

.