CHU DE 14 TONG HOP DAO HAM DE

CHỦ ĐỀ 14. ĐẠO HÀM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

 

 Cho hàm số y  f x xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b):

f '( x0 )  lim

x  x0

f ( x )  f ( x0 )
y
= lim
 x  x  x 0 ,  y  f  x 0   x   f  x0 
 x 0  x
x  x0





 

 Nếu hàm số y  f x có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Vi phân
 dy  df ( x )  f ( x ). x
 f ( x0   x )  f ( x0 )  f ( x0 ). x
3. Đạo hàm cấp cao



 f ''( x )   f '( x ) ; f '''( x )   f ''( x ) ; f ( n ) ( x )   f ( n1) ( x ) (n  N, n  4)

4. Quy tắc tính đạo hàm
 C   0

 cu   cu ( c
 u.v.w  

là hằng số)

 x   1

(u  v)  u  v

 u  u.v  v.u
  
v2
v

 u.v   u.v  v.u
yx  yu .ux

u.v.w  v.u.w  w.u.v

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

( x  )   . x  1

 u    .u



1
 1 


 
x2
 x

 x  



x

 sin x   cosx
 cosx    sin x

.u 

u

 

u
2 u

 sin u  u.cosu
 cosu   u.sin u

 tan x   cos1 x  1 tan

2

2

 1

u
 1 

   2
u
 u 

1
2

Đạo hàm của các hàm số hợp(dưới đây u  u  x  )



 tan u  cosu u  u.1 tan u

x

2

2



 cot x    sin1 x   1 cot x 

 cot u   sinu u  u.1 cot u

 e   e

 e   u.e

2

2

x

x

u

 a   a .ln a
x

 log

a

u

1
x
1
x  
x . ln a

x



u

 a   u.a .ln a

x

l n

2

2



u

  u
ln
u


 u

 lo g

a

u  

u
u . ln a

Công thức tính nhanh

GV: HOÀNG AN DINH

Page 1

ĐT: 0913 644 306


 ax  b

 cx  d
 a x 2  b x  c 

 
2
A
x


B
x

C



aB

ad  cb

 
2

c x  d 

 A b  x 2  2 aC  A c  x  b C  B c

Ax

2

 Bx  C



2

6. Phương trình tiếp tuyến
PTTT của đồ thị hm số y  f  x  tại điểm M  x0; y0  : y  f   x0  x – x0  + y0

trong đó:

f   x0  là hệ số góc của tiếp tuyến
M  x0; y0  : là tiếp điểm
x0 : là hoành độ tiếp điểm
y0 : là tung độ tiếp điểm

Cho 2 đường thẳng: d : y  kx  b và D : y  kx  b
k  k
b  b

 d / /D  

 d  D  k.k  1

7. Ý nghĩa của đạo hàm
 Cho một chuyển động có phương trình quãng đường theo thời gian t là s  s t  . Khi đó ta có:
Vận tốc tức thời tại thời điểm t là v  t   s  t 
Gia tốc tức thời tại thời điểm t là a  t   v  t   s  t 
 Xét một dòng điện có điện lượng dịch chuyển qua dây dẫn trong thời điểm t : Q  Q  t  . Khi
đó ta có cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t là I  t   Q  t 
Câu 1:

Câu 2:

4
3
Cho hàm số y  x  2 x  x  2 . Số nghiệm của phương trình y  0 là:
A. 3 .
B. 2 .

C. 1.
D. 0 .

1
3

Cho hàm số y   x 3  4 x 2  5 x  17 . Phương trình y   0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Khi đó tổng

x1  x2 bằng:
A. 8 .
Câu 3:

B. 5 .
2

C. 5 .

D. 8 .

2

Cho hàm số f  x   mx  4 x  m . Tìm tất cả giá trị của tham số m để đạo hàm f   x   0
với x   1; 2  .
A. m  1 .

Câu 4:

4037
.
2019

x 1
. Tính tổng S  f  1  f   2   f   3    f   2018
x
2018
2017
B. S 
.
C. S 
.
D. S  2018 .
2019
2018

Cho hàm số f ( x)  5 x 2  14 x  9 . Tập hợp các giá trị của x để f   x   0 là

7 9
5 5

A.  ;  .
Câu 6:

D. 2  m  1.

Cho hàm số f  x   ln 2017  ln
A. S 

Câu 5:

B. 2  m  1, m  0 . C. m  2 .




7
5

 7
 5

B.  ;  .

C.  1;  .

7
5




D.  ;   .

Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?
A. Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm trái tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
B. Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm phải tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
C. Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm  x0 .
D. Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

GV: HOÀNG AN DINH

Page 2

ĐT: 0913 644 306


Câu 7:

2
Đạo hàm của hàm số f  x   2  3 x bằng biểu thức nào sau đây?

3 x

A.

2  3x
Câu 8:

.

2

2 2  3x

2x2  1

Câu 13:

2

2 x 1

B. f   2  .

Câu 20:

1

D. y  

x 1
2 f  x   xf  2 

x2

2

.

x 1
.

D. f  2   2 f   2  .

C. y 

7
.
( x  3) 2

D. y 

A. y   5 x 4  12 x 2 .

B. y   5 x 4  12 x 2  2 .

C. y   5 x 4 .

D. y   5 x 4  12 x 2  2 x .

Hàm số y 

1
.
( x  3) 2

x 2  2 x có đạo hàm là:

x 1
2

B. y   2 x  2  x 2  2 x .

.

x  2x
x 1
2

D. y 

.

2 x  2x
3
2
Cho f  x   x  2 x  5 , tính f  1 .
B. f  1  2 .

2x  2
x2  2x

5
.
6

Cho hàm số f  x  

8
.
27

B. 

.

C. f  1  4 .

Cho f  x   1  3 x  3 1  2 x , g  x   sin x . Tính giá trị của

5

.
6

1
. Tính f ''  1 .
2x 1
2
B. .
9





3

C. 

D. f  1  1.

f 0
.
g0

C. 0 .

Tính đạo hàm của hàm số y  x 2  x  1
A. 27 .

Câu 19:

.

2

Hàm số y  x 5  4 x 3  2 x có đạo hàm là:

A.

Câu 18:

.

D. y  y '. tan 2 x

C. 2 f   2   f  2  .

2x  1
có đạo hàm là:
x3
4x  5
7
A. y 
.
B. y 
.
2
( x  3) 2
 x  3

A.

Câu 17:

2  3x 2

Hàm số y 

A. f  1  3 .

Câu 16:

3x

D.

x

C. y   1 

.

2

x2

C. y 

Câu 15:

.

2

C. 4 y  y ''  0

Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm tại điểm x0  2 . Tìm lim

A. y 

Câu 14:

2 2  3x

2 x2  1

B. y 

.

A. 0 .

Câu 12:

6 x

C.

B. 4 y  y ''  0

x 1

Câu 11:

.

Hàm số y  x x 2  1 có đạo hàm là
A. y  

Câu 10:

2

Cho hàm số y  sin 2 x . Hãy chọn câu đúng
A. y 2  ( y ') 2  4

Câu 9:

1

B.

8
.
27

D. 1.

D. 

4
.
27

tại điểm x  1 .

B. 27 .

C. 81 .

 
 , hàm số y  2 sin x  2 cos x
 2
cos x
sin x
A. y  
.

sin x
cos x
cos x
sin x
C. y  
.

sin x
cos x
Hàm số y  sin x  3cos x có đạo hàm là:
A. y   cos x  3sin x . B. y   cos x  3sin x .
Với x   0;

D. 81 .

có đạo hàm là ?

1
1
.

sin x
cos x
1
1
D. y  
.

sin x
cos x
B. y  

C. y   cos x  3 .

D. y   2 sin x .

Cho hàm số: f  x   sin 2 x . Tính f ' x .

GV: HOÀNG AN DINH

Page 3

ĐT: 0913 644 306


1
2

B. f '  x   2cos 2 x .

A. f '  x    cos 2 x
Câu 21:

C. f '  x   2sin 2 x .

D. f '  x   cos 2 x .

Câu 22:

Tìm đạo hàm y ' của hàm số y  sin x  cos x .
A. y '  2 cos x .
B. y '  2sin x .
C. y '  sin x  cos x . D. y '  cos x  sin x .
Tính đạo hàm của hàm số y  2 sin 2 x  cos x .
A. y   2 cos 2 x  sin x .
B. y   4 cos 2 x  sin x .
C. y   4 cos 2 x  sin x .
D. y   4 cos 2 x  sin x .

Câu 23:

Tính đạo hàm cấp 2018 của hàm số y  e 2 x .

 2018

 22017  e 2 x .

B. y

 2018

 e2 x .

D. y

A. y
C. y
Câu 24:

xf ( x)  x0 f ( x0 )
.
x  x0
B. I  f ( x0 )  x0 f '( x0 ) .

C. I  f ( x0 )  f '( x0 ) .

D. I  f ( x0 )  f '( x0 ) .

Cho hàm số y 
A. x  1.
.

x 2  1. Nghiệm của phương trình y '. y  2 x  1 là

B. x  1.
C. Vô nghiệm
3

Câu 30:

2

B. 1 .

C. 2 .

Câu 32:

Câu 33:

2  x  3x
tại x0  1 bằng
3
8
7
8
A.  .
B. .
C. .
3
3
3
x 2
Cho hàm số f ( x ) 

. Tính f ( x )?
x 1
1
2
2
A. f ( x ) 
.
B. f ( x ) 
.
C. f ( x ) 
.
2
2
( x  1)
( x  1)
( x  1)2

D.

8
.
3

D. f ( x ) 

1
.
( x  1)2

Nếu f  x   2 x  1 thì f   5 bằng

B.

1
.
6

C.

1
.
3

D.

2
.
3

4 5
x  6 . Số nghiệm của phương trình f ( x)  4 là bao nhiêu?
5
A. 0
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
cos x
 
Tính. f '   . biết f ( x ) 
.
1  sin x

2
1
1
A.  .
B. 0 .
C. 2 .
D. .
2
2
3
2
Cho f  x   x  2 x  5 , tính f '' 1 .
Cho hàm số f ( x) 

A. f '' 1  3.
Câu 34:

D. 3 .

3

Đạo hàm của hàm số y 

A. 3 .
Câu 31:

D. x  2.

Cho hàm số f  x   x  3x  x  1 giá trị f  1 bằng
2

Câu 29:

D. x  R .

A. I  f ( x0 )  x0 f '( x0 ) .

A. 0 .
Câu 28:

 22018  xe2 x .

Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x  x0 là f   x0  .
x  x0

Câu 27:

 2018

C. x   0;   .

B. x  .

Tìm giá trị của biểu thức I  lim

Câu 26:

 22018  e2 x .

Cho hàm số y  x x 2  1 có đạo hàm cấp hai y . Giải bất phương trình y   0 ta được

nghiệm là:
A. x   ;0  .

Câu 25:

 2018

B. f '' 1  2.

C. f '' 1  4.

D. f '' 1  1.

cos x
 
.
 biết f  x  
1  sin x
2

Tính f ' 

GV: HOÀNG AN DINH

Page 4

ĐT: 0913 644 306


1

1
.
C. 0 .
D.  .
2
2
Đạo hàm cấp hai của hàm số y  f  x   x sin x  3 là biểu thức nào trong các biểu thức sau?
B. 

A. 2 .
Câu 35:

Câu 36:
Câu 37:

A. f ''  x   2cos x  x sin x .

B. f ''  x    x sin x .

C. f ''  x   sinx  x cos x .

D. f ''  x   1  cosx .

Tìm đạo hàm của hàm số y  sin 6 x  cos6 x  3sin 2 x cos 2 x .
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
3
Cho f  x   sin ax với a  0. Tính f '  
A. f '    3sin 2  a  .cos  a  .

C. f '    3a sin

Câu 38:

2

 a  . D.

D. 3 .

B. f '    0 .
2

f '     3a.sin  a  .cos  a  .

Đạo hàm của hàm số sau y  4 x 2  3 x  1 là:
A. y  12 x  3 .
C. y  

1

B. y  

8x  3

.

D. y  

2 4 x  3x  1

8x  3

Câu 39:

2 4 x2  3x  1
Cho hàm số f  x   cos 2 x . Tính P  f    .

Câu 40:

A. P  4 .
B. P  0 .
C. P  4 .
Đạo hàm bậc 21 của hàm số f  x   cos  x  a  là



21
A. f    x    cos  x  a   .

.

2

4 x 2  3x  1

.

D. P  1 .




21
B. f    x    sin  x  a   .

Câu 43:

2
2





21
21
C. f    x   cos  x  a   .
D. f    x   sin  x  a   .
2
2


Cho hàm số y  x cos x . Đặt M  y   y và N  2sin x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. M  N .
B. M   N .
C. M  2 N .
D. M  2 N .
Tính đạo hàm của hàm số y  2 sin 2 x  cos x .
A. y   2 cos 2 x  sin x .
B. y   4 cos 2 x  sin x .
C. y   4 cos 2 x  sin x .

D. y   4 cos 2 x  sin x .
Cho hàm số f  x   8  x . Tính f 1  12 f  1 .

Câu 44:

A. 12.
B. 5.
C. 8.
3
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f  x   x  x 2  1 tại điểm x  2 .



Câu 41:
Câu 42:

B. f   2   1 .

A. f (2)  14 .
Câu 45:

Câu 46:
Câu 47:

C. f (2)  10 .

D. f   2   28 .

2x 1
. Phương trình f   x   f   x   0 có nghiệm là:

1 x
1
1
A. x  3 .
B. x  3 .
C. x   .
D. x  .
2
2
3
2
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau y  x  52 x  x  1 tại điểm x  2 ?
A. 81 .
B. 92 .
C. 108 .
D. 216 .
4
Tính đạo hàm của hàm số y   2  3cos 2 x  .
Cho hàm số y  f  x  

3

3

A. y  12  2  3cos 2 x  sin 2 x .

B. y  12  2  3cos 2 x  sin 2 x .

3

3

C. y  24  2  3cos 2 x  sin 2 x .
Câu 48:

D. 3.

D. y  24  2  3cos 2 x  sin 2 x .

Cho hàm số y  sin 2 x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 2y ' y '' 



2cos  2x   .
4


B. 2y  y ''. tan x  0 .

C. 4y  y ''  2.

GV: HOÀNG AN DINH

D. 4y ' y'''  0.

Page 5

ĐT: 0913 644 306

Câu 49:

 
 bằng:
3

2

Cho hàm số y  cos x . Khi đó y (3) 
B. 2 .

A. 2 .
Câu 50:

Cho hàm số f ( x)  sin 3 x. Tính f '( x ) ?
A. f '( x )  2 sin 6 x.
B. f '( x )  3sin 6 x.
x

2 x

Câu 51:

Cho hàm số y  2017e  3e
A. y   3 y   2 y  2017 .
C. y   3 y   2 y  0 .

Câu 52:

Tính đạo hàm của hàm số sau y 
A. y ' 
C. y ' 

Câu 53:

1

C. f '( x )  6 sin 6 x.

D. f '( x )   3sin 6 x.

 sin x  cos x 



. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
B. y   3 y   2 y  3 .
D. y   3 y   2 y  2 .

sin x
sin x  cos x

.

B. y ' 

2

.

D. y ' 

1

Cho hàm số f  x  



Câu 55:

D. 2 3

2

 sin x  cos x 

A. 2 2 .
Câu 54:

C. 2 3

2

1

 sin x  cos x 

2

.

2

.

1

 sin x  cos x 

1 3
x  2 2 x2  8x 1. Tập hợp những giá trị của x để f '  x   0 là
3







B. 2; 2 .



 

C. 4 2 .

D. 2 2 .

sin 2 x  cos 2 x
π
tại điểm x  là
6
sin x.cos x
8
8
16
A.  .
B. .
C.
.
3
3
3
 x

y  f  x   2018ln  e 2018  e  .
Cho
hàm
số
Tính


T  f  1  f   2   ...  f   2017  .
Đạo hàm của hàm số y 

A. T 

2019

. B. T  1009 .
2

C. T 

2017
.
2

D. 
giá

16
.
3

trị

biểu

thức:

D. T  1008 .

Câu 57:

1 2
t  20t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ
2
khi vật bắt đầu chuyển động với s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi

vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t  8 giây bằng bao nhiêu?
A. 12m / s.
B. 40 m / s.
C. 152 m / s.
D. 22 m / s.
Một ô tô chạy với vận tốc 12  m / s  thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển

Câu 58:

động chậm dần đều với vận tốc v (t )  6 t  12  m / s  , trong đó t là khoảng thời gian tính
bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn, ô tô di chuyển
được bao nhiêu mét?
A. 24 m.
B. 0.4 m.
C. 12 m.
D. 6 m.
Một vật dao động điều hòa có phương trình quãng đường phụ thuộc thời gian

Câu 56:

Một vật chuyển động theo quy luật s  

s  A sin t    trong đó A,  ,  là hằng số, t là thời gian. Khi đó biểu thức vận tốc của vật
là?
A. v  A cos t    .
Câu 59:

B. v   A cos t    . C. v  A cos t    .

D. v   A cos t    .

Bạn An tham gia một giải thi chạy, giả sử quãng đường mà bạn chạy được là một hàm số theo
3

2

biến t và có phương trình là S  t   t  3t  11t  m  và thời gian t có đơn vị là giây. Hỏi
trong quá trình chạy vận tốc tức thời nhỏ nhất là:
A. 8  m / s  .
Câu 60:

B. 1 m / s  .

C. 3  m / s  .
3

D. 4  m / s  .
2

Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s  t  3t  5t  2 , trong đó t tính bằng
giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t  3 là:

GV: HOÀNG AN DINH

Page 6

ĐT: 0913 644 306


Câu 61:

Câu 62:

A. 24m / s 2 .
B. 17 m / s 2 .
C. 14 m / s 2 .
D. 12 m / s 2 .
Một chất điểm thực hiện chuyển động thẳng trên trục Ox với vận tốc cho bởi công thức
v  t   3t 2  6t  m /s  ( t là thời gian). Biết rằng tại thời điểm bắt đầu của chuyển động, chất
điểm đang ở vị trí có tọa độ x  2 . Tìm tọa độ của chất điểm sau 1 giây chuyển động.
A. x  9 .
B. x  11 .
C. x  4 .
D. x  6
Cho hai chất điểm A và B cùng bắt đầu chuyển động trên trục Ox từ thời điểm t  0 . Tại
1
thời điểm t , vị trí của chất điểm A được cho bởi x  f  t   6  2t  t 2 và vị trí của chất
2
điểm B được cho bởi x  g  t   4 sin t . Gọi t1 là thời điểm đầu tiên và t2 là thời điểm thứ hai
mà hai chất điểm có vận tốc bằng nhau. Tính theo t1 và t2 độ dài quãng đường mà chất điểm
A đã di chuyển từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 .

A. 4  2  t1  t2  
C. 2  t2  t1  
Câu 63:

1 2 2
t t .
2 1 2





B. 4  2  t1  t2  

1 2 2
t t .
2 2 1





D. 2  t1  t2  

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s 

1 2 2
t t .
2 1 2





1 2 2
t t .
2 1 2





1 4
t  3t 2  , t được tính bằng giây, s

2

được tính bằng m . Vận tốc của chuyển động tại t  4 (giây) bằng:
A. 0 m / s .
B. 200 m / s .
C. 150 m / s .

D. 140 m / s .

2

Câu 64:

 x  1 khi x  0

Cho hàm số f  x   
A. f '  0   0 .

Câu 65:

Câu 66:

2

  x khi x  0
B. f '  0   1 .

có đạo hàm tại điểm x0  0 là?
C. f '  0   2 .

 x2  1 1

khi x  0
Cho hàm số f ( x)  
. Tính f '(0) ?
x
0
khi x  0

1
A. .
B. Không tồn tại.
C. 1.
2
 x 2  1, x  1
Cho hàm số y  f  x   
. Mệnh đề nào sau đây sai?
x 1
 2 x,
A. f ' không có đạo hàm tại x0  1
B. f '  0   2

D. Không tồn tại.

D. 0.

.

C. f ' 1  2

Câu 67:

Câu 68:

3  4  x

4
Cho hàm số f ( x)  
1

 4
1
1
A. .
B.
.
4
16
ax 2  bx  1,
Cho hàm số f ( x)  
ax  b  1.
T  a  2b .
A. T  4 .
B. T  0 .

GV: HOÀNG AN DINH

D. f '  2   4

khi x  0

 

. Khi đó f ' 0 là kết quả nào sau đây?

khi x  0
C.

1
.
32

D. Không tồn tại.

x0
. Khi hàm số có đạo hàm tại x0  0 , hãy tính
x0
C. T  6 .

Page 7

D. T  4 .

ĐT: 0913 644 306