chuong 3 he pt tuyen tinh revised

Môn Học:
PHƯƠNG PHÁP SỐ .
GV: Th.S Nguyễn Tấn Phúc.
Bộ Môn Cơ Điện Tử .
Email:

Tel : 0126.7102772.


Môn Học:
PHƯƠNG PHÁP SỐ .
GV: Th.S Nguyễn Tấn Phúc.
Bộ Môn Cơ Điện Tử .
Email:

Tel : 0126.7102772.


CHÖÔNG 3:
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH
TUYEÁN TÍNH


I. ĐẶT BÀI TOÁN :
Hệ phương trình tuyến tính n pt và n ẩn
có dạng
Ax = b
với
 a11 a12
a
a22

21

A = (aij ) =
 ... ...

 a n1 a n 2

... a1n 
... a2 n 

... ... 

... ann 

 x1 
 b1 
x 
b 
x = 2 b= 2
 ... 
 ... 
 
 
 xn 
 bn 


Các phương pháp giải
Phương pháp giải chính xác
Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss-Jordan
Phương pháp nhân tử LU
Phương pháp Cholesky
Phương pháp giải gần đúng
Phương pháp lặp Jacobi
Phương pháp lặp Gauss-Seidel


II. PHƯƠNG PHÁP GAUSS
1. Các dạng ma trận đặc biệt :
a. Ma trận chéo :
 a11
 0
A= 
 ...

 0

0
a 22
...

...
...
...

0

...






a nn 
0
0
...

detA = a11a22 . . . ann ≠ 0 ⇔ aii ≠ 0, ∀i
Pt A*X=B có nghiệm xi = bi/aii


b. Ma traọn tam giaực dửụựi
a11
a
A= 21
...

a n1

0
a 22
...

...
...
...

an2

...






a nn
0
0
...

detA = a11a22 . . . ann 0 aii 0, i
Phửụng trỡnh coự nghieọm:
b1

x1 = a

11

k 1
1
x =
[ bk a kj x j ] , k = 2, n
k

a kk
j =1

c. Ma traọn tam giaực treõn :
a11
0
A=
...

0

...
...
...
...

a12
a 22
...
0

a1 n
a 2 n
...

a nn

detA = a11a22 . . . ann 0 aii 0, i
Phửụng trỡnh coự nghieọm
bn

xn = a

nn

x = 1 [b
k a kk k

n


j = k +1

a kj x j ] , k = 1, n 1


2. Phương pháp Gauss :
Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo
dòng để chuyển ma trận A về ma trân
tam giác trên
Các phép biến đổi sơ cấp theo dòng
hoán chuyển 2 dòng
nhân 1 dòng với 1 số khác 0.
cộng 1 dòng với dòng khác.


Ví dụ : Giải hệ phương trình

Giải

 x1 − x 2 + 2 x 3 − x 4 = − 8

2 x − 2 x + 3x − 3 x = −20
 1
2
3
4

x1 + x 2 + x 3
= −2


x1 − x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 = 4

1
2
[ A / b] = 
1

1
1
h2 ↔h3
0
h4 =h4 /2
→ 
0

0

−1 2 −1 −8  h2 = h2 − 2 h1  1 −1
h3 = h3 − h1
0 0

−2 3 −3 −20 
h4 = h4 − h1

→
1 1 0 −2 
0 2


−1 4 3 4 
0 0
−1 2 −1 −8 
 1 −1
0 2
2 −1 1 6 
h 4= h 4+ h 3

→
0 −1 −1 −4 
0 0


0 1 2 6
0 0

−1 −8 
−1 −1 −4 
−1 1 6 

2 4 12 
2

−1 −8 
−1 1 6 

−1 −1 −4 

0 1 2
2

Giải pt ma trận tam giác trên, ta được nghiệm
x = (-7, 3, 2, 2)t


Giaỷi heọ phửụng trỡnh baống Gauss:

GIAI
1 1 2
1


3 4 4 7
2
1
1 7


h2=h2+3h1
H3=h3-2h1

1 1 1 2

0 1 1 1
0 1

3
3



H3=h3-h2

1 1 1 2


0 1 1 1
0 0

2
4




Giaỷi heọ phửụng trỡnh sau baống phửụng phaựp
gauss :

4 16
6 2 2

12 8 6 10 26
3 13 9 3 19


6 4 1 18 34

GIAI:
6 2

12 8
3 13

6 4

2
4 16

6
10 26
9 3 19

1 18 34

H2=h2-2h1
H3=h3-0.5h1
H4=h4+h1

6 2

0 4
0 12

0 2

4 16

2
2 6
8 1 27

3 14 18
2


6

0
0

0

−2
−4
− 12
2

2
2
8

3

4 16 

2 −6 
1 − 27 

− 14 − 18 

H3=h3-3h2.
H4=h4+0.5h2

6

0
0

0

−2
−4
0

2
2
2

0

4

4 16 

2 −6 
−5 −9 

− 13 − 21 
H4=h4-2h3

6

0
0

0

−2
−4

2
2

0
0

2
0

4 16 


2 −6 
− 5 − 9

− 3 − 3


Baøi taäp veà nhaø S/38.
Sách Thầy Nguyễn Văn Hùng


Kết thúc chương 3.....