chuong 4 noi suy va xap xi ham revised compatibility mode

Môn Học :
PHƯƠNG PHÁP SỐ .
GV : Th.S Nguyễn Tấn Phúc.
Bộ môn Cơ Điện Tử.
Email:
Tel : 01267102772.


Môn Học :
PHƯƠNG PHÁP SỐ .
GV : Th.S Nguyễn Tấn Phúc.
Bộ môn Cơ Điện Tử.
Email:
Tel : 01267102772.


Chöông 4 :
NOÄI SUY VAØ
XAÁP XÆ HAØM


NỘI DUNG CHƯƠNG:
I) ĐẶT BÀI TOÁN.
II) NỘI SUY THEO HÀM LAGRANGE
III) NỘI SUY THEO PP NEWTON.
IV) XẤP XĨ THỰC NGHIỆM - PHƯƠNG
PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT


I. ĐẶT BÀI TOÁN :
Để tính giá trò của một hàm liên tục

bất kỳ, ta có thể xấp xỉ hàm bằng một
đa thức, tính giá trò của đa thức từ đó
tính được giá trò gần đúng của hàm.


Xét hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng số
x

xo

x1

x2

...

xn

y

yo

y1

y2

...

yn

Các giá trò xk, k = 0, 1, .., n được sắp theo
thứ tự tăng dần gọi là các điểm nút nội suy.
Các giá trò yk = f(xk) là các giá trò cho trước
của hàm tại xk
Bài toán : xây dựng 1 đa thức pn(x) bậc ≤n
thoả điều kiện pn(xk) = yk, k=0,1,.. n. Đa thức
này gọi là đa thức nội suy của hàm f(x).


II. ĐA THỨC NỘY SUY LAGRANGE:
Cho hàm y = f(x) và bảng số
x

xo

x1

x2

...

xn

y

yo

y1

y2

...

yn

Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f(x)
trên [a,b]=[x0, xn].


Ñaët
n

pn( k ) ( x ) =

∏

( x − xi )

∏

( x k − xi )

i = 0,i ≠ k
n
i = 0,i ≠ k

( x − x 0 )( x − x1 )...( x − x k −1 )( x − x k +1 )...( x − x n )
=
( x k − x 0 )( x k − x1 )...( x k − x k −1 )( x k − x k +1 )...( x k − x n )

Ta coù
1
p ( xi ) = 
0
(k )
n

i=k
i≠k


Đa thức
n

L n ( x ) = ∑ pn( k ) ( x ) y k
k =0

có bậc ≤ n và thỏa điều kiện Ln(xk) = yk
gọi là đa thức nội suy Lagrange của hàm f
Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
x

0

1

3

y

1

-1

2

Xây dựng đa thức nội suy Lagrange và tính gần
đúng f(2).


Giaûi

n=2

( x − 1)( x − 3) 1 2
p ( x) =
= ( x − 4 x + 3)
(0 − 1)(0 − 3) 3
(0)
n

( x − 0)( x − 3)
1 2
p ( x) =
= − ( x − 3x )
(1 − 0)(1 − 3)
2
(1)
n

( x − 0)( x − 1) 1 2
p ( x) =
= (x − x)
(3 − 0)(3 − 1) 6
(2)
n

Ña thöùc noäi suy Lagrange
1 2
1 2
1 2
7 2 19
Ln ( x )= ( x − 4 x + 3) + ( x − 3 x ) + ( x − x ) = x − x + 1
3
2
3
6
6

f(2) ≈ Ln(2) = -2/3


Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
x

-9

-7

-4

y

-1

-4

-9

Tính gần đúng f(-6) theo đa thức Lagrage.

GIẢI

n=2


Vaọy giaự trũ noọi suy laứ -2.


Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
x

0

1

3

4

y

1

1

2

-1

Tính gần đúng giá trò hàm số f tại x=2 bằng
phương pháp Lagrange.


• TH đặc biệt : các điểm nút cách đều
với bước h = xk+1 – xk.
Đặt

( x − x0 )
q=
h

(−1) yk
⇒ Ln ( x ) = q(q − 1)...(q − n)∑
k = 0 k !(n − k )!(q − k )
n

n−k

Ví dụ : Cho hàm f và bảng số

x

1.1

1.2

1.3

1.4

y

15

18

19

24

Tính gần đúng
f(1.25)


giaûi
Ta coù

n=3
h = 0.1

x = 1.25
q = (1.25-1.1)/0.1 = 1.5

15
18
19
24
Ln (1.25) = (1.5)(0.5)(−0.5)(−1.5)[−
+
−
+
]
3!(1.5) 2!(0.5) 2!(−0.5) 3!(−1.5)
= 18.375

Vaäy f(1.25) ≈ 18.375


Baứi taọp p.48,thay Huứng.


III. ĐA THỨC NỘY SUY NEWTON:
1. Tỉ sai phân :
Cho hàm y = f(x) xác đònh trên [a,b]=[xo, xn]
và bảng số
x

xo

x1

x2

...

xn

y

yo

y1

y2

...

yn

Đại lượng

f ( xk +1 ) − f ( xk )
f [ xk , xk +1 ] =
xk +1 − xk

gọi là tỉ sai phân cấp 1 của hàm f trên [xk,xk+1]


Tæ sai phaân caáp 2
f [ xk +1 , xk + 2 ] − f [ xk , xk +1 ]

f [ xk , xk +1 , xk + 2 ] =
xk + 2 − xk

Baèng qui naïp ta ñònh nghóa tæ sai phaân caáp p
f [ xk , xk +1 , ... , xk + p ] =

f [ xk +1 , xk + 2 , ... , xk + p ] − f [ xk , xk +1 , ... , xk + p −1 ]
xk + p − xk


Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
x

1.0

1.3

1.6

2.0

y

0.76

0.62

0.46

0.28

Tính các tỉ sai phân
Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân
k

xk

f(xk)

f[xk,xk+1]

f[xk,xk+1,xk+2]

f[xk,xk+1,xk+2,xk+3]

0
1
2
3

1.0
1.3
1.6
2.0

0.76
0.62
0.46
0.28

-0.4667
-0.5333
-0.45

-0.111
0.119

0.23


2. ẹa thửực noọi suy Newton :
Tổ sai phaõn caỏp 1
f ( x0 ) f ( x )
f [x, x0 ] =
x0 x
f ( x ) = y 0 + f [ x , x 0 ]( x x 0 )

Tổ sai phaõn caỏp 2
f [ x0 , x1 ] f [ x , x0 ]
f [ x , x0 , x1 ] =
x1 x
f [ x , x0 ] = f [ x0 , x1 ] + f [ x , x0 , x1 ]( x x1 )

neõn

f ( x ) = y0 + f [ x0 , x1 ]( x x0 ) + f [ x , x0 , x1 ]( x x0 )( x x1 )


Ví dụ : Cho hàm f xác đònh trên [0,1] và bảng số
x

0

y

2

0.3

0.7

2.2599 2.5238

Tính gần đúng bằng phương pháp newton :
f(0.12) ; f(0.9) theo sai phân cấp 2 .

Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân
xk

f(xk)

0

2

f[xk,xk+1]

f[xk,xk+1,xk+2]

0.8663

0.3

2.2599

-0.295
0.6598

0.7

2.5238


Ta coù


Baứi taọp p.50:thay huứng.


IV.BÀI TOÁN XẤP XỈ THỰC NGHIỆM :
Xét bài toán thống kê lượng mưa trong 12 tháng
Thực nghiệm (k=1..12)
xk
yk

1
2
3
4
550 650 540 580

5
6 7 8
610 605 ......

Các giá trò yk được xác đònh bằng thực nghiệm
nên có thể không chính xác. Khi đó việc xây
dựng một đường cong đi qua tất cả các điểm
Mk(xk, yk) cũng không còn chính xác


Bài toán xấp xỉ thực nghiệm : là tìm hàm f(x)
xấp xỉ bảng {(xk,yk)} theo phương pháp bình
phương cực tiểu :
g( f ) = ∑ ( f ( xk ) − yk )2 đạt min

Hàm f tổng quát rất đa dạng. Để đơn giản,
trong thực tế thường ta tìm hàm f theo một
trong các dạng sau :
- f(x) = A + Bx
- f(x) = A+Bx+Cx2
- f(x) = Asinx+Bcosx

- f(x) = AeBx
- f(x) = AxB
…..