CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI MAX MIN số PHỨC

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

TRỌN BỘ PHƯƠNG PHÁP MAX MIN SỐ PHỨC
Tổng hợp và biên soạn: Trần Hoài Thanh –THPT Khúc Thừa Dụ, Ninh Giang, Hải Dương.

FB:

/>CASIO TRẮC NGHIỆM

/>
HỌC CASIO FREE TẠI:

/>
Group: THỦ THUẬT CASIO THPT

/>
I. LÝ THUYẾT BỔ TRỢ
Phương pháp và bài tập được tổng hợp từ nhiều nguồn của các thầy cô trên mọi miền
tổ quốc nên xin được không ghi nguồn, là tài liệu chung cho cộng đồng !
Điểm biểu diễn số phức có dạng
z + ... = z + ...
z + ... = z + ...

=> Là đường thẳng.
z + ... = k

=> Là đường tròn.

z + ... ± z + ... = k

=> Có thể là elip, parabol, hypebol, đường thẳng…

Bất đẳng thức tam giác
•
•
•
•

z1 + z2 ≤ z1 + z2 ,
z1 - z2 ≤ z1 + z2 ,

dấu "=" khi

z1 + z2 ≤ z1 - z2 ,
z1 - z2 ≤ z1 - z2 ,

dấu "=" khi

 z1 = kz2

dấu "=" khi

dấu "=" khi

 z1 = kz2

Bất đẳng thức khác
A +B
2

BĐT Cauchy:

2

( A + B)
≥
2

với k ≤ 0. Dùng cho BĐT vecto

 z1 = kz2

 z1 = kz2

2

tìm min

với k ≥ 0. Dùng cho BĐT Mincopxki:

với k ≤ 0.

với k ≥ 0.


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
BĐT Bunhia Copski:

a +x + b +y ≥
2

BĐT vecto

+) Nếu
+) Nếu

2

2

2

z − z1 + z − z2 = k

z1 − z2 > k
z1 − z2 = k

≤ ( A2 + B 2 ) ( x 2 + y 2 )

( a + b)

a2 + x2 + b2 + y 2 ≥

BĐT Mincopxki:

Chú ý:

( Ax + By )

2

. Ta tính

( a − b)

2

z1 − z2

2

tìm max

+ ( x + y)

+ ( x − y)

2

tìm min.Dấu = xảy ra khi

2

tìm min. Dấu = xảy ra khi

:

=> Không tồn tại quỹ tích
=> Phương trình đường thẳng

Đặt y =ax+b; cho y tìm x và lập hệ tìm a; b

+) Nếu
z=

Đặt

z1 − z2 < k

=> Phương trình elip

z0
z +z
+ 1 2
2
z1 − z2

Sau đó nhân 2 vế với

=>

z0
z0
z +z
z +z
+ 1 2 − z1 +
+ 1 2 − z2 = k
2
2
z1 − z2
z1 − z2

z1 − z2

đưa về elip.

Bài toán:
Chú ý: +)

...

Bấm Shift hyp

+)

z

: Shift 2 2

MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH CHO HỌC SINH
CÓ TRÍ NHỚ SIÊU PHÀM 
Dạng 1: k là số cho trước. Tìm

Pmax/min

Loại 1:
z + A = k ⇒ z + a + bi = k ⇔ ( x + a ) + ( y + b ) i = k ⇔ ( x + a ) + ( y + b ) = k 2
2

2

a x

=
b y

a x
=
b y


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
P = z + B = z + c + di ⇔ P = ( x + c ) + ( y + d ) i ⇔ P 2 = ( x + c ) + ( y + d )
2

Đặt

2

 A = a + bi

 B = c + di

I1 ( − a; −b ) ; I 2 ( −c; −d )

⇒ I1 I 2 =

( a − c)

2

+ ( b − d ) = ( a − c ) + ( b − d ) i = ( a + bi ) − ( c + di ) = A − B
2

Ta có:
Pmax = I1I 2 + k = A − B + k

Pmin = I1 I 2 − k = A − B − k

Tương tự :

Z+A =k

P= z+B

Hỏi

(có tâm đối xứng với

I2

qua trục hoành)

→ Pmax/min = A − B ± k

Loại 2 :
Az + B = k

⇔ z+

P1 = Cz + D

Đặt

⇔

B
k
=
A
A

Hỏi :

P1
D
= z+
C
C

hoặc

P2 = C z + D

⇔

P2
D
P
D
= z+
⇔ 2 = z + ÷
c

c
c
c

B
D
= a + bi; = c + di
A
C

Tương tự trên ta có


 B D k 
 P1Max / Min = c  − ± ÷
A÷

 A C


 B D k 

P
=
c
 − ÷± ÷
 2 Max / Min
 A C A ÷





GIẢI MAX MIN SỐ PHỨC CHỈ 2 DÒNG.(CÁI NÀY DỄ NHỚ THÔI)
z − a − bi = c ⇔ z − (a + bi ) = c ⇒ −c + a + bi ≤ z ≤ c + a + bi


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Tọa độ z làm cho

z max ; z min

lần lượt là :

z max .(a + bi) z min .(a + bi)
;
a + bi
a + bi

Dạng 2:
z+a + z−a = k

Tổng quát :

k 2 − 4 z2
2 z1

với

;

−k + k 2 + 4
;
2

k
2

z1 = a + bi; z2 = c + di

Max z =

Max z =

Max z =

;

2

Dạng 3: Cho a>0 . Tìm Max, min
Min z =

2

2

=>

z1 z + z2 + z1 z − z2 = k

Min z =

Ta có :

Min z =

k2 − 4 a

z

;

z = x + yi

k
2 z1

z+

biết z thỏa mãn

k + k2 + 4
2

1
=a
z


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

PHÂN DẠNG MAX MIN SỐ PHỨC
Dù đã rất cố gắng, sử dụng nhiều nguồn tài liệu tham khảo, song vẫn còn nhiều thiếu sót, rất
mong quý thầy cô và các em học sinh bổ sung thêm các cách làm hay và độc đáo để cùng
chung sức giải quyết dạng toán này nhé. Xin chân thành cảm ơn !
Tài liệu nêu các cách giải tự luận là chính, kĩ thuật casio thì dựa vào dữ kiện đề bài ta có thể
thử bằng lệnh CALC hoặc ở đây thầy chủ yếu nêu ra CASIO bằng pp lượng giác hóa và sử
dụng khi xác định được dữ kiện là tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn và elip.
Vì tài liệu mang hướng tổng quát nên chưa có thời gian giải chi tiết cho từng bài tập, mong
quý thầy cô và các em học sinh thông cảm, hoặc gửi bài về group THỦ THUẬT CASIO
THPT để được giải đáp.
GV nên đưa ra 4 phương án trắc nghiệm để có cách thử casio hợp lý cho từng dạng toán !
Dạng 1 :
z

Cho số phức

thỏa mãn

z − ( a + bi ) = c

nhất, giá trị lớn nhất của P với

,

( c > 0)

, tìm giá trị nhỏ

P = z + z3 ; z + z3 ; z3 .z + z4

PHÂN TÍCH
Cách 1:
z − ( a + bi ) = c, ( c > 0 ) ⇒
I ( a; b )

và bán kính

Tập hợp các điểm

M

biểu diễn số phức

z

là đường tròn có tâm

R = c.

Biểu diễn P là 1 điểm M nào đó, dựa vào hình vẽ xác định max min cho thích hợp.
Ví dụ P =

Khi đó :

tức là đường tròn tâm O:

max z = OM 2 = OI + R

min z = OM 1 = OI − R
z =OM

→ 

Ví dụ P =

Khi đó :

z

z +i

tức là đường tròn tâm H (0;-1)

 max z + i = HI + R

min z + i = HI − R
z = HM
→ 


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Cách 2:
PP bất đẳng thức tam giác cực nhanh chỉ 2 dòng mà thầy đã hướng dẫn trên youtube,
có đủ các biến thể của dạng này.
/>z − a − bi = c ⇔ z − (a + bi ) = c ⇒ −c + a + bi ≤ z ≤ c + a + bi

Tọa độ z làm cho
Ví dụ : Cho

z max ; z min

z − 4 + 3i = 3

Áp dụng công thức:
Ta có:

lần lượt là :

z max .(a + bi ) z min .(a + bi )
;
a + bi
a + bi

.

, Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?

z − a − bi = c ⇔ z − (a + bi ) = c ⇒ −c + a + bi ≤ z ≤ c + a + bi

z − 4 + 3i = 3 ⇔ z − (4 − 3i ) = 3 ⇔ −3 + 4 − 3i ≤ z ≤ 3 + 4 − 3i ⇔ 2 ≤ z ≤ 8

Cách tìm số phức:
C1: Tìm Số phức z có module nhỏ nhất là:
10 + 3b

 z − 4 + 3i = 3 ( a − 4 ) 2 + (b + 3)2 = 9
 −8a + 6b + 25 = 5  4a − 3b = 10
a =
⇔
⇔ 2
⇔ 2

⇔
4

2
2
2
2
=2
a + b = 4
a + b = 4
 a + b = 4
a 2 + b 2 = 4
 z

2

6
8
 10 + 3b 
2
2
⇒
÷ + b = 4 ⇔ 25b + 60b + 36 = 0 ⇔ b = − ; a =
5
5
 4 

z=

z min .(a + bi )

C2: Số phức z có module nhỏ nhất là:

a + bi

z=

Tương tự: Số phức z có module lớn nhất là:

=

2(4 − 3i ) 8 6
= − i
5
5 5

z max .(a + bi )
a + bi

=

8(4 − 3i) 32 24
=
− i
5
5
5

Cách 3: PP lượng giác hóa
(Độ chính xác ko tuyệt đối, có sai số nhưng vẫn chấp nhận được)

Vì tọa độ điểm biểu diễn là đường tròn nên đưa về dạng

X 2 +Y2 =1

(Có thể sử dụng trong trường hợp tọa độ điểm biểu diễn là elip)
Đặt X = cosa; Y=sina


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Khi đó P biểu diễn theo cosa và sina

Sử dụng MODE 7 khảo sát với START =0; END=2
↓

(Chú ý dùng lệnh Shift Mode
Ví dụ : Cho

z − 4 + 3i = 3

π

; STEP=

π
12

5 1)

, Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?
2

2

2
2
 x−4  y +3
z − 4 + 3i = 3 ⇔ ( x − 4 ) + ( y + 3) = 9 ⇔ 
÷ +
÷ =1
 3   3 

Đặt

 x = 4 + 3cos α
x−4
y+3
= cos α ;
= sin α => 
3
3
 y = −3 + 3sin α

Ta có

( 4 + 3cos α )

z = x2 + y2 =

2

+ ( −3 + 3sin α )

SHIFT MODE 4 -> SHIFT MODE
Nhập

f ( x) =

↓

5 1 ->MODE 7

( 4 + 3cos ( X ) ) + ( −3 + 3sin ( X ) )
2

START =0; END=2
Đọc bảng => Max

π

≈

; STEP=
8; min

≈

2

2

π
12

2

BÀI TẬP:
Bài 1: : Cho

z − 6 + 8i = 2

Bài 2: Cho z thỏa mãn:
Tìm số phức z sao cho
Bài 3: Cho z thỏa mãn:
Bài 4: Cho z thỏa mãn:

, Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?
z − 2 − 4i = 5

z +1

đạt GTLN; GTNN?

z − 1 + 2i = 5

z − 2 − 3i = 1


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Bài 5: Cho z thỏa mãn
Bài 6: Cho z thỏa mãn

1+ i
z + 2 =1
1− i

zmin ; zmax

; Tìm số phức

( 1 + i ) z − 2i + 1 = 1

. Tìm z để

( 2 + i) z − i +1

đạt GTLN; GTNN

Dạng 2 :
Cho số phức
với

z

z − ( a + bi ) = c

thỏa mãn

P = z + z3 + z + z4

2

hoặc P chứa

,

( c > 0)

, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P

3

z ; z ...

(sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ)

Cách 1: PP lượng giác hóa
Vì tọa độ điểm biểu diễn là đường tròn nên đưa về dạng

X 2 +Y2 =1

(Có thể sử dụng trong trường hợp tọa độ điểm biểu diễn là elip)
Đặt X = cosa; Y=sina
Khi đó P biểu diễn theo cosa và sina

Sử dụng MODE 7 khảo sát với START =0; END=2
(Chú ý dùng lệnh Shift Mode

↓

π

; STEP=

π
12

5 – 1)

Cách 2: Sử dụng pp BĐT
BĐT Bunhia Copski:

BĐT vecto

2

a2 + x2 + b2 + y 2 ≥

Ví dụ: Cho số phức
Ta có:

2

≤ ( A2 + B 2 ) ( x 2 + y 2 )

( a + b)

a +x + b +y ≥
2

BĐT Mincopxki:

( Ax + By )

z

2

2

( a − b)

thỏa mãn

2

2

+ ( x + y)

+ ( x − y)

z −1 = 2

tìm max
2

tìm min.Dấu = xảy ra khi

2

tìm min. Dấu = xảy ra khi

. Tìm GTLN của

a x
=
b y

T = z +i + z −2−i

.

a x
=
b y


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
rr
2
2
2
2
z + i = z − 1 + 1 + i = z − 1 + 1 + i + 2uv

(1)

rr
2
2

2
2
z − 2 − i = z − 1 − 1 − i = z − 1 + 1 + i − 2uv

r r
u, v

(2). Với

z −1

biểu diễn

1+ i

và

.

Cộng (1) với (2) ta được:
2

2

2

z + i + z − 2 − i = 2 z −1 + 4 = 8

(không đổi).

Áp dụng đẳng thức BNC:

(

T2 = ( z +i + z − 2−i ) ≤ 2 z +i + z −2−i
2

2

2

) = 16 ⇒ T ≤ 4

VD2:
z1 ; z2

Với 2 số phức

thỏa mãn

5+3 5

A.
B.
GIẢI:
CÁCH 1: Ta có:
2

2

z1 + z2 = 8 + 6i

2 26

(

C.

2

z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + z2

2

A +B

2

( A + B)
≥
2

2
2

⇒ z1 + z2

2

1

(z
≥

1

+ z2

)

2

2

2

≤ ( A2 + B 2 ) ( x 2 + y 2 ) ⇒ ( z1 + z2

)

2

2

+ z2

(z
⇒ 52 ≥

(

.Tính GTLN của
D.

1

CÁCH 2:
Ta có:
ÁP dụng BĐT Bunhia Copski:

( Ax + By )

4 6

) ⇔ 100 + 4 = 2 ( z

Lại có: Áp dụng BĐT Cauchy:
2

và

z1 − z 2 = 2

2

2

34 + 3 2

) ⇔ 52 = ( z

1

+ z2
2

≤ 2 z1 + z2

2

)

2

2

+ z2

2

)

⇒ 104 ≥ ( z1 + z2

) = z +z
1

P = z1 + z2

2

2

)

2

⇒ z1 + z2 ≤ 2 26

2

+ z1 − z2 = 104 ⇒ z1 + z2 ≤ 2 26

Bài tập:

Bài 1: Cho số phức

z thỏa mãn

Bài 2: Cho số phức z thoả mãn
P = z +1 + 2 z −1

z − 1 − 2i = 2

z =1

. Tìm GTLN của

T = z + z − 3 − 6i

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Dạng 3 : Cho

z +a = z +b

Tìm Max, min P với

P = z + z3 ; z + z 3 ; z 3 . z + z 4

z + ... = z + ...
z + ... = z + ...

Phân tích :
Ví dụ: Cho
A.

=> Là đường thẳng
z − 2 − 4i = z − 2i

z = −1 + i

B.

z = −2 + 2i

C.

z = 2 + 2i

D.

z = 3 + 2i

z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ x + y = 4 => y = 4 − x

Cách 1: Đưa về dạng đường thẳng
=> z = x 2 + y 2 = x 2 + ( 4 − x )

z min

Tìm z để

2

Đến đây dùng MODE 5-3 giải pt bậc 2 để tìm ra min

z

=> z=x+yi=2+2i

Cách 2 : PP hình học :
Đưa về dạng đường thẳng

z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ x + y = 4 => y = 4 − x

( ∆)

z min = d ( O; ∆ )

Khi đó

Cách 3 : Khi có đáp án trắc nghiệm
MODE 2 đưa về số phức
Nhập

z − 2 − 4i − z − 2i

CALC thử đáp án, ưu tiên đáp án có

z min

trước. Nếu kết quả trả về 0 thì nhận

Bài tập
z + i + 1 = z − 3 + 4i

Bài 1 :Cho z thỏa
Bài 2 : Cho z thỏa
Bài 3 : Cho z thỏa

Tìm z có môđun min
z − 2 − 3i = z − i

Tìm z có

z + 2 + 2i

z 2 − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i ) ( z + 3i − 1)

min

Tìm min

z − 2 + 2i


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Bài 4 : Trong các số phức z thỏa mãn

2z + z = z − i

, tìm số phức có phần thực không

z −1

âm sao cho
z=

A.

Dạ

đạt giá trị lớn nhất.

6 i
+
4 2

ng 4: Cho

z=

B.
z +a = z +b

i
2

z=

C.

Tìm Max, min P với

3 i
+
4 8

z=

D.

6 i
+
8 8

P = z + z1 + z + z2

Cách 1:
+) Bước 1: Khai triển

z+a = z+b

đưa về dạng đường thẳng

+) Bước 2 : Từ P ta tìm tọa độ điểm A ; B và xét vị trí tương đối của A ;B với d
+) Khi đó z là M thỏa mãn P min :

Cách 2:
Áp dụng
BĐT Bunhia Copski:

BĐT Mincopxki:

( Ax + By )

≤ ( A2 + B 2 ) ( x 2 + y 2 )

a2 + x2 + b2 + y 2 ≥

Cách 3: CASIO MODE 7
Bài tập:

2

( a + b)

2

nếu tìm max

+ ( x + y)

2

nếu tìm min.


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Bài 1: Cho z thỏa

z −1 + i = z + 1 − i

Tìm z để

z − 2 + i = z − 3i

Bài 2 : Cho z thỏa
Bài 3 : : Cho z thỏa
Bài 4 : : Cho z thỏa

. Tìm z để
z − 1 − 3i = z + 1 + i

z −1 = z + i

Dạng 5: Trong số phức
nhất của P với

z

z −i + z −2

min

min

z −1 − i − z +1

. Tìm z để

. Tìm z để

thỏa mãn

z − 1 − 5i + z + 2 + i

max

z − 2−i − z +3+i

max

z − z1 + z − z2 = k , ( k > 0 )

.Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn

P = z + z3 ; z + z 3 ; z 3 . z + z 4

PHÂN TÍCH
Chú ý:
z − z1 + z − z2 = k

Ta tính
+) Nếu
+) Nếu

z1 − z2

:

z1 − z2 > k

z1 − z2 = k

=> Không tồn tại quỹ tích
=> Phương trình đường thẳng

Đặt y =ax+b; cho y tìm x và lập hệ tìm a; b
+) Nếu
Ví dụ:

z1 − z2 < k

=> Phương trình elip

Cho z − i + z − 3 + 3i = 6.

Tính max min của P=

z − 6 + 7i

Cách 1: PP hình học
Gọi A và B là điểm biểu diễn
Khi đó MA + MB = k

z1; z2

và M là điểm biểu diễn

z

; C là điểm biểu diễn

z3

trong P


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Nếu MA+MB=AB thì điểm biểu diễn là đường thẳng
Nếu MA+MB > AB thì điểm biểu diễn là elip
Khi đó ta vẽ hình biểu diễn các điểm A,B,C trên mặt Oxy và xác định M trong các trường
hợp là đường thẳng hoặc elip sao cho MC ngắn nhất hoặc lớn nhất.
Giải:
Gọi A(0;1);B(3;-3);C(6;-7);M(x;y)
Khi đó MA+MB=6; Tìm max min của MC
Ta thấy MA+MB>AB => Elip (Vẽ hơi xấu :v)

Trong đó I là trung điểm AB
Với a=6/2=3;c=IA=5/2
Khi đó
MC min khi MC= B’C=BC-BB’=BC-(a-c)=5-1/2=4,5
MC max khi MC=A’C=AC+AA’=AC+(a-c)=10+1/2=10,5
Cách 2: CASIO

Gán A=

Nhập

z1 + z2
2

; B=

z1 − z2
2

 X − A
X − A ∠ arg 
÷
 B 

CALC: X=

−i

B  ≠

; Ta thấy

nên điểm biểu diễn là elip

(Phép quay đưa về elip chính tắc)

=> c = 5/2; a= 6/2=3

CALC: X= -6+7i => C=

6
2

−15
2

Khi đó MC min = AC=15/2-3=4,5
MC max = CB=15/2+3=10,5


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Cách 3: CASIO ( Sử dụng phương pháp lượng giác hóa, tìm pt elip gán vào cosa; sina) sau
đó dùng MODE 7. Tuy nhiên cách này có vẻ dài hơn cách 2 nên thầy không đề cập tới nữa
Bài tập
z−2 + z+2 =6

z

Bài 1: Cho số phức thỏa mãn
Bài 2: Cho số phức

của

P = 2 z + 1 + 2i

Bài 3:

z

thỏa mãn

z

nhỏ nhất. Hỏi tích

z

z1 z2

thỏa mãn

. Hai số phức

là bao nhiêu A.

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
P = −13

z

z

25

thỏa mãn

P = −5

D.

z.

Khi đó

4 − 7.

−25

z1

C.

z + 4 + z − 4 = 10

, gọi

P = M −m

M,m

và

z2

P = z − 1 − 4i

có môđun

16

D.

−16

lần lượt là giá trị

2

bằng?

P = −4

Bài 6 : (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

B.

. Khi đó, giá trị biểu thức

C.

. Tìm GTLN, GTNN của

z − 3i + iz + 3 = 10

Bài 5: Trong tất cả các số phức

B.

. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

z + 2 − i + z − 4 + 7i = 10

thỏa mãn

Bài 4-Trong các số phức

A.

z − 1 + 3i + z + 2 − i = 8

.

Cho số phức

P = −6

. Tìm GTLN và GTNN của

P = z − 1 + 3i

M +m

z

thỏa mãn

z −3 + z +3 = 8

. Gọi

M

,

m

lần lượt

bằng

4 + 7.

4 + 5.

7.

A.
B.
C.
D.

Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn |z + 3| + |z − 3| = 10. Giá trị nhỏ nhất của |z| là
A. 3

B. 4

Dạng 6: Trong số phức
nhất của P với

z

C. 5

thỏa mãn

P = z + z3 + z + z 4

hoặc một biểu thức Q chứa

Cách 1: Sử dụng PP lượng giác hóa
Cách 2: Sử dụng PP BĐT

z − z1 + z − z2 = k , ( k > 0 )

D. 6
.Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn
z 2 ; z 3 ...


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Bài tập:

z1 , z2

Bài 1: Cho 2 số phức

thỏa mãn

z1 + z2 = 5

z1 − z2 = 3

và

Dạng 7: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z có dạng
khác…

. Tìm GTLN của

z − z1 − z − z2 = k

P = z1 + z2

.

hoặc các dạng

+) Khai triển kiểm tra xem có thuộc dạng đường thẳng hay hyperbol không
Áp dụng:
A − B = C ⇒ A = C 2 + B + 2C B ⇒ 4C 2 B − ( A − B − C ) = 0
2

A + B = C ⇒ A + B + 2 AB = C 2 ⇒ 4AB − ( A + B − C 2 ) = 0
2

Nhập

4C 2 B − ( A − B − C )

2

CALC X =0 => hệ số tự do D
4C 2 B − ( A − B − C ) − D
2

Nhập

CALC X=1 => hệ số của
CALC X = i => hệ số

x2

y2

=> pt hyperbol hoặc elip

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHÁC
Câu 1:

(TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho số phức

mặt phẳng

A.

Oxy

tập hợp điểm biểu diễn số phức

S = 9π

Chọn C.

.

B.

S = 12π

.

z

thỏa mãn điều kiện

w = 2z +1 − i

là hình tròn có diện tích

S = 16π

C.
Hướng dẫn giải

z − 3 + 4i ≤ 2.

.

D.

S = 25π

.

Trong


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
w = 2z +1 − i ⇒ z =

w −1 + i
− 3 + 4i ≤ 2 ⇔ w − 1 + i − 6 + 8i ≤ 4 ⇔ w − 7 + 9i ≤ 4 ( 1)
2

z − 3 + 4i ≤ 2 ⇔

Giả sử

w −1+ i
2

( x, y ∈ ¡ )

w = x + yi

( 1) ⇔ ( x − 7 )

, khi đó

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức
Vậy diện tích cần tìm là
Câu 2:

Cho số phức
A.

z

Câu 3:

2

là hình tròn tâm

I ( 7; − 9 )

thỏa mãn
B.

A = 1+

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4.

6.

C.
Hướng dẫn giải

5i
5i
5
≤ 1+
= 1+ = 6.
z
z
z

Khi

D.

z

z =1

thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất

M max

8.

và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức
M max = 5; M min = 1.

B.

M max = 4; M min = 1.

2

Ta có:

M max = 4; M min = 2.

3

Mặt khác:

1− z3
1− z

+ 1+ z ≥

z = −1⇒ M = 1⇒ M min = 1.

Chọn đáp án A.

M max = 5; M min = 2.

D.
Hướng dẫn giải

M ≤ z + z + 1+ z + 1= 5

M=

⇒

5i
.
z

z = i ⇒ A = 6.

M = z2 + z + 1 + z3 + 1.

C.

r = 4.

Chọn đáp án C.

Cho số phức

A.

, bán kính

S = π .42 = 16π .

Ta có:
⇒

+ ( y + 9 ) ≤ 16

z =1

5.

A = 1+

w

2

3

, khi

1− z3
2

z = 1⇒ M = 5 ⇒ M max = 5.

+

1+ z3

2

≥

1− z3 + 1+ z3
2

= 1,

khi

M min


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Cho số phức

Câu 4:

P=

z

z+ i
z

z ≥ 2

thỏa

. Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

.

A.

3
.
4

B.
P = 1+

Ta có

1.

i
1 3
≤ 1+
≤ .
z
| z| 2

⇒

Câu 5:

i
1 1

≥ 1−
≥ .
z
| z| 2

là , xảy ra khi

z = −2i ; 

giá trị lớn nhất của

P

bằng

3
2

Chọn đáp án A.
z

Gọi

B.

z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡

P = 1+ z + 3 1− z =

Ta có:

Xét hàm số

với

x∈ ( −1;1)

z =1

thỏa mãn

3 15

A.

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

6 5

)

20

C.
Hướng dẫn giải

. Ta có:

( 1+ x)

2

f ′ ( x) =

ta có:

Ta có:

2 20.

+ y2 + 3 ( 1− x) + y2 = 2( 1+ x) + 3 2( 1− x)
2

1
2( 1+ x)

( −1) = 6; f  − 45 ÷ = 2


D.

P = 1+ z + 3 1− z .

z = 1⇒ x2 + y2 = 1⇒ y2 = 1− x2 ⇒ x∈ −
 1;1 .

f ( x) = 2( 1+ x) + 3 2( 1− x) ; x∈ −
 1;1 .

ff( 1) = 2;

Câu 6:

Mặt khác:

D.

z = 2i.

Cho số phức

⇒

1+

1
P  2

Vậy, giá trị nhỏ nhất của
xảy ra khi

2

C. .
Hướng dẫn giải

2
.
3



−

Hàm số liên tục trên

.

−
 1;1

và

3

4
= 0 ⇔ x = − ∈ ( −1;1) .
5
2( 1− x)

20 ⇒ Pmax = 2 20.

Chọn đáp án D.

Cho số phức

z

z = 1.

thỏa mãn

Gọi

M

và

m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

P = z + 1 + z2 − z + 1.

nhỏ nhất của biểu thức

Tính giá trị của

M .m

.


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
A.

13 3
.
4

Gọi

B.

z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡

t = z+1

Đặt

, ta có

39
.
4

)

3 3.

C.
Hướng dẫn giải

. Ta có:

z = 1 ⇔ z.z = 1

0 = z − 1≤ z + 1 ≤ z + 1= 2 ⇒ t ∈ 0;2 .

t2 = ( 1+ z) ( 1+ z ) = 1+ z.z + z + z = 2+ 2x ⇒ x =

Ta có
z2 − z + 1 = z2 − z + z.z = z z − 1+ z =

Suy ra

D.

13
.
4

f ( t ) = t + t − 3 ,t ∈ 0;2 .

t2 − 2
.
2

( 2x − 1)

2

= 2x − 1 = t2 − 3

.

2

Xét hàm số
max f ( t ) =
⇒

13
13 3
; min f ( t ) = 3 ⇒ M .n =
.
4
4

Chọn đáp án A.

Cho số phức

Câu 7:

A.
C.

Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra

z

z2 + 4 = 2 z .

thỏa mãn điều kiện

Khẳng định nào sau đây là đúng?

3−1
3+ 1
≤ z≤

.
6
6

5 − 1≤ z ≤ 5 + 1.

B.
2−1
2+1
≤ z≤
.
3
3

6 − 1≤ z ≤ 6 + 1.

D.
Hướng dẫn giải

u + v ≥ u + v , 

Áp dụng bất đẳng thức

ta được
2

2

2 z + −4 = z + 4 + −4 ≥ z ⇒ z − 2 z − 4 ≤ 0 ⇒ z ≤ 5 + 1.
2

2

2

2 z + z = z2 + 4 + − z2 ≥ 4 ⇒ z + 2 z − 4 ≥ 0 ⇒ z ≥ 5 − 1.
z

Vậy,

nhỏ nhất là

⇒

5 − 1, 

Chọn đáp án B.

khi

z = −i + i 5

z

và

lớn nhất là

5 + 1, 

khi

z = i + i 5.


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Cho

Câu 8:

z1 , z2

là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn

Tính môđun của số phức

z1 , z2

Ta có:
Vậy

. Không mất tính tổng quát ta gọi

b≥ 0.

z1.z2 ∈ ¡

z1
z13
=

∈ ¡ ⇒ z13 ∈ ¡ .
2
2
z2 ( z z )
1 2

, mà

) (

)

z1 = a2 + b2 = 2.

⇒

Chọn đáp án C.

Gọi
3
2

−

3
2

A.

Đặt

D.

5
.
2

b = 0
3
z13 = ( a+ bi ) = a3 − 3ab2 + 3a2b− b3 i ∈ ¡ ⇔ 3a2b− b3 = 0 ⇔  2
⇒ a2 = 1.
2
 3a = b

Câu 9:

Đặt

C.
Hướng dẫn giải

là hai số phức liên hợp của nhau nên

(

z−

)

z1 =

z1 = 2.

z1 − z2 = 2 3 ⇒ 2bi = 2 3 ⇒ b = 3.

Do

Do

B.

z1 = 3.

z1 = a+ bi ⇒ z2 = a− bi ; ( a∈ ¡ ; b∈ ¡

Gọi

và

z1 − z2 = 2 3.

z1.

z1 = 5.

A.

z1
∈¡
z22

z = x + yi  ( x, y ∈ R )

đạt giá trị lớn nhất. Tính tích

9
xy = .
4

xy =

B.

2

−

13
.
2

xy.

xy =

16
.
9

C.

Hướng dẫn giải

Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được

x = 3cost, y = 3sin t.
3

là số phức thỏa mãn hai điều kiện

i

z = x + iy ( x, y ∈ R ) .

P =  z −

2

 π
i = 18− 18sin  t + ÷ ≤ 6.
4
2


3

Dấu bằng xảy ra khi

D.

x2 + y2 = 36.

Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

 π
3π
3 2 3 2
sin  t + ÷ = −1⇒ t = −
⇒ z= −
−
i.
4
2
2
 4

2

z − 2 + z + 2 = 26

9
xy = .
2

và


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
⇒

Chọn đáp án D.

Biết số phức

Câu 10:

2

M = z+ 2 − z− i

z − 3− 4i = 5

z

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

2

z + i = 3 5.

A.

B.
z+ i = 5 2

z + i = 41.

C.

Gọi

z + i.

đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức

z + i = 2 41

và biểu thức

z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡

)

D.
Hướng dẫn giải
z − 3− 4i = 5 ⇔ ( C ) : ( x − 3) + ( y − 4) = 5
2

. Ta có:

2

: tâm

I ( 3;4)

và

R = 5.

Mặt khác:

( )

2
2
2
2
M = z + 2 − z − i = ( x + 2) + y2 −  x2 + ( y − 1)  = 4x + 2y + 3 ⇔ d :4x + 2y + 3− M = 0.



Do số phức

z

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên

⇔ d( I ; d) ≤ R ⇔

23− M
2 5

d

và

( C)

có điểm chung

≤ 5 ⇔ 23− M ≤ 10 ⇔ 13 ≤ M ≤ 33

4x + 2y − 30 = 0
x = 5
⇒ M max = 33 ⇔ 
⇔
⇒ z + i = 5− 4i ⇒ z + i = 41.
2
2
( x − 3) + ( y − 4) = 5  y = −5

⇒

Chọn đáp án D.
( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức

Câu 11:

w = z +1+ i

có môđun lớn nhất. Số phức

A.

2 5

.

B.

3 2

.

z

z

thỏa mãn điều kiện :

có môđun bằng:
C.

6

.

D.

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi

z = x + yi

Ta có:

( x, y ∈ ¡ )

z − 1 + 2i = 5 ⇔

⇒ z − 1 + 2i = ( x − 1) + ( y + 2 ) i

( x − 1)

2

+ ( y + 2 ) = 5 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) = 5
2

z − 1 + 2i = 5

2

2

5 2

.

và


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Suy ra tập hợp điểm
kính

R= 5

Dễ thấy

Theo đề ta có:

O M ( x; y ) ∈ ( C )
x −1 1

biểu diễn số phức

z

thuộc đường tròn

( C)

như hình vẽ:

O ∈( C)

y

M ( x; y )

,

N ( −1; −1) ∈ ( C )

là điểm biểu diễn cho số

z

phức thỏa mãn:

−1 N w = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = ( x + 1) + ( y + 1) i
I −2

⇒ z +1 + i =

Suy ra
Mà
⇔I

z +1+ i

M , N ∈( C)

( x + 1)

2

uuuu
r
2
+ ( y + 1) = MN

đạt giá trị lớn nhất
nên

MN

⇔ MN

lớn nhất khi

MN

lớn nhất
là đường kính đường tròn

MN ⇒ M ( 3; −3) ⇒ z = 3 − 3i ⇒ z = 32 + ( −3) = 3 2
2

là trung điểm

( C)

tâm

I ( 1; −2 )

bán


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Phương pháp đại số
BÀI 1 (Sở GD Long An 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z − 2 − 3i| = 1. Tìm giá trị lớn nhất
của |z|.
1+ 3

2 + 13

13

13 − 1

A.
B.
C.
D.
BÀI 2 (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3). Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết
−2 − 3i
z + 1 = 1.
3− 2i

B. 2

2

C. 1

D. 3

A.
BÀI 3 (THPT Nguyễn Huệ-Huế 2017 L2, Hà Huy Tập-Hà Tĩnh 2017 L2). Cho số phức z
z2 − i = 1

thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của |z|.

A. 2`

5

2 2

2

3+ 3i

1+ 3i

B.
C.
D.
BÀI 4 (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3). Xác định số phức z thỏa mãn
z − 2 − 2i = 2
1+ i

mà |z| đạt giá trị lớn nhất
3+ i

A.
B.
C.
D.
BÀI 5 (THPT Yên Khánh A-Ninh Bình 2017,THPT Kim Liên-Hà Nội 2017). Cho số
phức z thỏa mãn |z − 2 − 3i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z + 1 + i| là
A.

13 − 1

B.

4

C. 4

D.

13 + 1

z 2 + 2z + 2 = z + 1− i

BÀI 6 (THPT Đống Đa-Hà Nội 2017). Cho số phức z thỏa mãn
Biểu thức |z| có giá trị lớn nhất là
B. 2
2 +1
2+ 2
2 −1
A.
C.
D.
BÀI 7 (THPT Hùng Vương-Phú Thọ 2017). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1| = |(1
+ i)z|. Đặt m = |z|, tìm giá trị lớn nhất của m.


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
B. 1
2 +1

2 −1
2
A.
C.
D.
z+

BÀI 8 (THPT Chuyên Lào Cai 2017 L2). Cho số phức z thỏa mãn

4i
=2
z

. Gọi M, m

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z|. Tính M + m?
A. 2

2 5

13

5

B.
C.
D.
BÀI 9 (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3). Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn
 z1 + 3− 4i = 1 


 z2 + 6 − i = 2

Tính tổng Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A. 18

6 2

C.

z1 − z2

.

6

3 2

B.
D.
BÀI 10 (Sở GD Điện Biên 2017,Gia Lộc-Hải Dương 2017 L2). Cho số phức z thỏa mãn |z|
A=

≤ 1. Đặt

2z − 1
2 + iz

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. |A| < 1

B. |A| ≤ 1

C. |A| ≥ 1

D. |A| > 1

BÀI 11 (Sở GD Hải Dương 2017). Cho số phức z thỏa mãn z.

z =1

. Tìm giá trị nhỏ nhất

P = z 3 + 3z + z z + z .

của biểu thức
15
4

3
4

13
4

D.

3

A.

B.
C.
BÀI 12 (Chuyên Ngoại Ngữ-Hà Nội 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức T = |z + 1| + 2|z − 1|
maxT = 2 5

maxT = 2 10

max = 3 5

maxT = 3 2

A.
B.
C.
D.
BÀI 13 (Sở GD Bắc Ninh 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức T = |z + 1| + 3|z − 1|
A.

maxT = 3 10

B.

maxT = 2 10

C.

max = 6

D.

maxT = 4 2


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
BÀI 14 (Chu Văn An-Hà Nội 2017 L2). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

z −1 = 2

. Tìm

giá trị lớn nhất của T = |z + i| + |z − 2 − i|
A.

maxT = 8 2

maxT = 4

B.

C.

max = 4 2

maxT = 8

D.

Phương pháp hình học

BÀI 15 (Sở GD Đà Nẵng 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z − 1 + 2i| = 3. Mô đun lớn nhất
của số phức z là:
15(14 − 6 5)
5

14 + 6 5

A.

15(14 + 6 5)
5

14 − 6 5

C.

D.
B.
BÀI 16 (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc 2017 L3). Cho số phức z thỏa mãn |z−1−2i| = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|
2

B.

1

C.

2

5−1

A.
D.
BÀI 17 (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3). Cho số phức z, w thỏa mãn |z − 1 +
2i| = |z + 5i|, w = iz + 20. Giá trị nhỏ nhất m của |w| là
m=

A.

3 10
2

B.

m = 7 10

m=

C.

10
2

D.

m = 2 10

z+

BÀI 18 (THPT Cổ Loa-Hà Nội 2017 L3). Cho số phức z thỏa mãn

5
3
− i = z + + 2i .
2
2

Biết biểu thức Q = |z − 2 − 4i| + |z − 4 − 6i| đạt giá trị nhỏ nhất tại z = a + bi (a, b ∈ R).
Tính P = a − 4b
A.

P=

P = −2

B.

1333
272

C.

P=

P = −1

D.

691

272

iz +

BÀI 19 (THPT Cao Nguyên-Dăk Lăk 2017). Cho số phức z thỏa mãn
iz +

2
=4
i −1

2
1− i

+

. Gọi M và m lần lượt là Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của |z|. Tính M.m


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
A. Mm = 2
B. Mm = 1
Mm = 2 2
Mm = 2 3
C.
D.
BÀI 20 (Lương Đức Trọng 2017). Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z − i| = 10. Gọi M, m
tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z|. Tính M + m
80
7

35 2
15

50
11

30
7

B.
C.
D.
A.
BÀI 21 (THPT Thăng Long-Hà Nội 2017 L2). Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn
z −2+ z +2 = 4 2

Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M, N là điểm biểu diễn z và z. Tính giá trị

lớn nhất của diện tích tam giác OMN.
A.

1

B.

2

C.

4 2

D.

2 2

BÀI 22 (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2017 L3). Cho
z1 − z2 =

phương trình |6 − 3i + iz| = |2z − 6 − 9i| thỏa mãn

8
5

z1,z2

|. Giá trị lớn nhất của

là

A.

31
5

B.

56
5

C.

4 2

D.

D. LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN
GIẢI BÀI TẬP 1. Ta có
1
  ≥ z − 2 + 3i = z − 13 ⇒ z ≤ 1+ 13

.

Đáp án là A.
GIẢI BÀI TẬP 2. Ta có
1≥

Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 3. Ta có

là hai nghiệm

−2 − 3i
−2 − 3i
z − 1=
. z − 1= z − 1⇒ z ≤ 2.
3− 2i
3− 2i

5

z1 + z2