Bài giảng động lực học - Chương 4

Chương 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO
4.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN
ĐỘNG
4.1.1 Dao động uốn của dầm
Xét dầm thẳng như hình H.4.1. Tách phân tố xét
cân bằng:
∑
=
0Y

0)( =−
∂
∂
+−+ dxfdx
x
Q
QpdxQ
i
(4.1)
với lực quán tính phân bố
L
x
dx
x
v(x,t)
p(x,t)
EI(x), m(x)
f
I
p(x,t)
Q

M
dx
x
Q
Q
∂
∂
+
dx
x
M
M
∂
∂
+
O
H.4.1. Dao động uốn dầm
dx
t
v
mdxdxf
i
∂
∂
=
2
(4.2)
Thế (4.2) vào (4.1) ta được:
2
2

t
v
mp
x
Q
∂
∂
−=
∂
∂
(4.3)
0=
∑
O
M
bỏ qua vô cùng bé bậc cao của p và f
i
:
0)( =
∂
∂
+−+ dx
x
M
MQdxM
(4.4)
hay
Q
x
M

=
∂
∂
(4.5)
Đạo hàm riêng 2 vế với x dẫn tới:
p
t
v
m
x
M
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
(4.6)
hay
p
t
v
m
x
v
EI

x
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2
)(
(4.7)
trong đó các đại lượng EI và m thay đổi theo x.
Nếu uốn dầm xét đến ảnh hưởng lực dọc:
p
t
v
m
x
v
N
x
v
EI
x

=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
)(
(4.8)
4.1.2 Dao động dọc của thanh
Thanh có các đặc trưng thay đổi, chòu lực kích
động q(x,t). Xét cân bằng lực của phân tố:
0),(
),(
),(
),(
)(),(
2

2
=−






∂
∂
+
−
∂
∂
+
dxtxqdx
x
txN
txN
dx
t
txu
xmtxN
(4.9)
Ta có:
)(
),(
)(),()(),(),( xEA
x
txu

xEAtxxAtxtxN
∂
∂
===
εσ
(4.10)
Thế vào (4.9) ta được:
),(
),(
)(
),(
)(
2
2
txq
x
txu
xEA
xt
txu
xm =






∂
∂
∂

∂
−
∂
∂
(4.11)
4.2 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO
H.4.2. Dao động dọc thanh
L
x
dx
x
u(x,t)
N(0,t)
EA(x), m(x)
N(L,t)
q(x,t)
N(x,t)
dx
x
N
N
∂
∂
+
dx
dx
t
)t,x(u
)x(m
2

2
∂
∂
4.2.1 Dao động uốn tự do của dầm
Xét các đại lượng EI, m = const, p(x,t) = 0.
Phương trình (4.7) trở thành:

0
),(),(
2
2
4
4
=
∂
∂
+
∂
∂
t
txv
m
x
txv
EI
(4.12)
hay:
0),(),( =+ txv
EI
m

txv
IV

(4.13)
Nghiệm chọn dạng phân ly biến số như sau:
)()(),( tYxtxv
φ
=
(4.14)
với
)(x
φ
- hàm dạng,
)(tY
- biên độ.
Thế (4.14) vào (4.13) ta được:
0)()()()( =+ tYx
EI
m
tYx
IV

φφ
(4.15)
Chia hai vế bởi
)()( tYx
φ
, (4.15) trở thành:

0

)(
)(
)(
)(
=+
tY
tY
EI
m
x
x
IV

φ
φ
(4.16)
hay
)(
)(
)(
)(
tY
tY
EI
m
x
x
IV

−=

φ
φ
(4.17)
Phương trình (4.17) chứng tỏ 2 vế không phụ thuộc
vào x và t, tức là bằng một hằng số:
4
)(
)(
)(
)(
a
tY
tY
EI
m
x
x
IV
=−=

φ
φ
(4.18)
Từ đây dẫn tới 2 phương trình vi phân thường:
0)()(
2
=+ tYtY
ω

(4.19a)

0)()(
4
=− xax
IV
φφ
(4.19b)
với
m
EIa
4
2
=
ω
(4.20)
Phương trình (4.19a) có nghiệm:
tBtAtY
ωω
sincos)(
+=
(4.21)
hay biểu diễn theo điều kiện ban đầu
)0(Y
và
)0(Y


thì
t
Y
tYtY

ω
ω
ω
sin
)0(
cos)0()(

+=
(4.22)
Phương trình (4.19b) được giải bằng cách chọn
nghiệm dạng:
sx
Gex =)(
φ
(4.23)
Thế vào (4.19b) dẫn tới:

0)(
44
=−
sx
Geas
(4.24)
Từ đó ta tìm được:
asias ±=±=
4,32,1
,
(4.25)
Nghiệm tổng quát của (4.19b) có dạng:
axaxiaxiax

eGeGeGeGx
4321
)( +++=
−
φ
(4.26)
với G
1
, G
2
, G
3
, G
4
là các hằng số phức.
Phương trình (4.26) có thể viết lại dạng thực cho
các số hạng:
)sinh()cosh()sin()cos()(
4321
axAaxAaxAaxAx
+++=
φ
(4.27)
các hằng số A
i

được tìm từ điều kiện biên của
dầm.
Thí dụ: E18.1, p 379-381.
4.2.2 Dao động dọc tự do của thanh

Xét thanh có đặc trưng EA, m hằng số. Khi q(x,t) =
0 thì phương trình (4.11) có dạng:

0
),(),(
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
txu
EA
t
txu
m
(4.28)
Tách biến:
)()(),( tYxtxu
φ
=
(4.29)
Phương trình (4.28) viết lại dưới dạng:
2
)(

)(
)(
)(
c
tY
tY
EA
m
x
x
II
−==

φ
φ
(4.30)
Từ đó dẫn tới hai phương trình:
0)()(
2
=+ tYtY
ω

(4.31a)
0)()(
2
=+ xcx
II
φφ
(4.31b)
với

m
EAc
2
2
=
ω
(4.32)
Phương trình (4.31a) có nghiệm giống (4.21).
Phương trình (4.31b) có nghiệm như sau:
)sin()cos()(
21
cxCcxCx +=
φ
(4.33)
Thí dụ: E 18.5, p 392-393.
Chú ý: Các mode dao động
)(x
m
φ
và
)(x
n
φ
có
tính trực giao, tức là thoả mãn điều kiện:
0)()()(
0
=
∫
dxxmxx

L
nm
φφ
(4.34)
4.3 PHƯƠNG PHÁP ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC
HỌC (the Dynamic direct Stiffness Method -
DSM)
4.3.1 Ý nghóa
Trong chương 3 đã dùng hàm đa thức Hecmit
để xấp xỉ đường đàn hồi và dẫn tới phương pháp
độ cứng tónh học (Static dirrect Stiffness Method).
Phương pháp này kém chính xác vì hàm dạng
không kể đến lực quán tính.
Trên cơ sở hàm dạng (4.27) là nghiệm chính
xác của dầm khi dao động, có thể dùng để làm
hàm dạng, từ đó dẫn tới phương pháp độ cứng
động lực học, được coi là chính xác. Đặc điểm của
phương pháp này là các hệ số cứng phụ thuộc vào
tần số, phương pháp này hiện nay được dùng trong
bài toán ngược chẩn đoán công trình.