Hướng dẫn chấm toán 9 năm học 07-08

Sở GD&ĐT Nghệ
An
Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007-2008
Hớng dẫn chấm và biểu điểm đề chính thức
Môn: toán lớp 9 - bảng B
Nội dung Điểm
Bài
1
4,0
a,
2.0
abc
+ +


+ +



M
M
100a 10b c 11 (2)
a b c 11 (3)
c chẵn (4)
Gọi số cần tìm là (a, b, c N; a, b, c 9, a 0) (1)
Theo bài ra ta có:
0,5
MM
Từ (2) , (3) 101a + 11b + 2c 11 2(a + c) 11
mà 1 a+ c 18 và (2; 11) = 1 a + c = 11

0,5
Từ (3) , (5) b = 0 0,5
do c chẵn và a + c = 11 (a; c) = (9; 2), (7;4), (5; 6), (3; 8)
Vậy các số cần tìm là 902; 704; 506; 308
0,5
b 2,0
3 3
7 50 7 50 + +
Đặt X = X
3
= 14 3X
0.5
X
3
+ 3X 4 = 0 (X-2)(X
2
+ 2X + 7) = 0 0.5
Do: X
2
+ 2X + 7 >0 X-2 = 0 X=2 0.5
3 3
7 50 7 50 + +
3 3
7 50 7 50 + +
Nên: =2 hay là số tự nhiên
0.5
Bài
2:
4.0
a

2.0
1
x
4

2
2
4x 5x 1 a, (a 0)
2 x x 1 b, (b 0)

+ + =

+ =

2 2
2 2
4x 5x 1 a
4x 4x 4 b
+ + =


+ =

Điều kiện xác định: {x -1 hoặc }
Đặt
0.5
2
4x 4x 4
+
3

a
2
b
2
= a - b (a-b)(a+b-1) =0 Do b = b
a + b 1 > 0 a b =0
0.5
1
x
3
=
Từ a b =0 9x 3 = 0
0.5
1
x
3
=
1
x
3
=
Với thoả mãn bài ra, nên nghiệm phơng trình là:
0.5
b
2.0
Từ phơng trình xy 2x 3y = -6 (x - 3)(y 2) =0
do y > 2 x 3 =0 x= 3
0.5
{
2 2

y z 20
yz 8
+ =
=
{
2
(y z) 4
yz 8
+ =
=
{
y z 2
yz 8
+ =
=
Thay x = 3 vào các phơng trình đầu và phơng trình thứ 2 của hệ ta đợc

0.5
{
y 4
z 2
=
=
Với y + z =-2 mà yz = -8 y=2 hoặc y =-4 (loại)
Với y + z =2 mà yz = -8 do đó x = 3
0.5
Vậy nghiệm của hệ phuơng trình là: (x,y,z) = (3, 4, -2) 0.5
Bài
3
4.0

a
2.0
Với x, y là 2 số bất kỳ ta luôn có (x + y)
2
2(x
2
+ y
2
) 0.5
2
1
2
Nên a, b 0 và a
2
+ b
2
=1 (a+b)
2
2 a+b (dấu = khi a=b=)
0.5
Mặt khác (a+b)
2
= a
2
+ b
2
+2ab = 1+ 2ab a + b 1 0.5
2
Vậy ta luôn có 1 a+b
0.5

b
2.0
1 2(a b) 4ab
+ + +
2
1
2
1
2
Xét P
2
= 2 + 2(a +b) +2
do a+b , ab (a
2
+ b
2
) ab
0.5
2
1 2 2 2+ +
2
2
(1 2)
+
2
Nên P
2
2+ 2+2 P
2
2+ 2+2

P
2
4 + 4
0.5
1 2
+
P 2 dấu = xẩy ra khi a =b =
Vậy giá trị lớn nhất của P là 2
0.5
1
2
1 2
+
1 2
+
3
Mặt khác ta cũng có a + b 1 và ab 0 nên P
2
2 + 2 + 2
P
2
4 + 2
0,5
3
3
P 1 + , dấu = xảy ra khi ( a = 0, b = 1) hoặc ( a = 1, b = 0). Vậy giá trị nhỏ
nhất của P là 1 +
0,5
Bài
4

3,0
1 1 1
x y z

Xét tích
(x 1) (y - 1)(z 1) = xyz xy yz zx + x + y + z 1
= x + y + z -
0,5