Toán lớp 10 ôn thi học kì II cực hay

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ SỐ 2.
Câu 1: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b + c = 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
1
A. cosB+cosC=2cosA; B. sinB+sinC=2sinA. C.sinB+sinC= sin A ; D. sinB+cosC=2sinA.
2
Lời giải.
Theo định lý sin thì a 2R sin A;b 2R sin B;c 2R sin C
Do đó b c 2a
2Rsin B 2Rsin C 2.2 Rsin A sin B sin C 2sin A. Chọn B.
Câu 2. Cho tam giác ABC có cosB bằng biểu thức nào sau đây?
b2 c 2 a 2
A.
B. 1 sin2 B
C. cos(A + C).
2bc
Dùng định lý hàm số cosin chọn D.

D.

a2

c 2 b2
2ac

Câu 3: Tam giác ABC có a =8;c=3 ; B 600 . Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu ?
A. 49
B. 97
C.7
D. 61
Lời giải.
a 2 c2 2accos B 82 33 2.8.3.cos600 47 b

Theo định lý cosin tacos b2

7. Chọn C.

Câu 4: Trong các giá trị sau, giá trị nào không là nghiệm của BPT 2x+1>x-2?
A. x = -4/3
B. x = -6
C. x = - 2
D. x =-1
Lời giải.
Ta có 2x+1>x-2
x > -3. Chọn B.
cosx
Câu 5: Đơn giản biểu thức T tan x
1 s inx
1
1
A.
B.
C. cosx
D. sinx
sin x
cos x
Lời giải.
Ta có T

s inx
cos x

cosx

1 s inx

s inx+sin 2 x cos2 x
cos x(1 s inx)

s inx+1
cos x(1 s inx)

Câu 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn có bán kính R và
biết nó là góc tù?
A. 1050 .
B. 1500 .
C. 120 0 .
Lời giải.

1
. Chọn B
cos x
AB

R; AC

R 2 . Tính góc A

D. 1350 .


A
B
R

R 2
O
C

Vì AB = R nên tam giác OAB đều cạnh R

1

C

2

AOB 300 .

AC
BC
Áp dụng định lý sin ta có AB
sin C sin B sin A
R
R 2
2
sin B
B 450
A 1050 . Chọn A
0
sin 30
sin B
2
Câu 7:
A. ( 3; )

B. ( ;3)
C. ( ; 3)
D. (3; )
Chọn B.
Câu 8: Tam giác với ba cạnh là 6; 8; 10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu ?
B. 4 2

A. 5

C. 5 2

D. 6

Lời giải.
a b c
12
2
S
p( p a)( p b)( p c)
12(12 6)(12 8)(12 10)
abc
abc 6.8.10 5 . Chọn A.
R
Lại có S
4R
4S
4.24
Câu 9: Một người quan sát đứng cách một cái
tháp 15m, nhìn thẳng cái tháp dưới góc
63 0 và được phân tích như trong hình bên.

Tính chiều cao của tháp gần số nào sau đây nhất:
A. 20m
B.69m
C. 15m
D.16m
Lời giải.
Ta có P

24

C

48°
A

15°

H

B

Ở đây AH = 15. Độ cao của tháp là BC
Ta có BC

BH

HC

AH. tan150

AH. tan 48 0 15(tan15 0

tan 48 0 )

20, 7 . Chọn A


Câu 10: Biết sina + cosa =

1
2

3
A.
4
Lời giải.

B.

Ta có (sin a cos a)2

1

5
4

3
4

C.

sin2 a 2sin a.cos a cos2 a

4
1

1 sin 2a

D.

1
2

1
4

3

sin 2a

4

.Chọn C

4

Câu 11: Phương trình x 2
A. m ( 2;1)

2(m 1)x 9m 5

B. m ( 2;6)

0 có hai nghiệm âm phân biệt khi
5
m (6;
C. m ( ;1) (6; )
9
D.

)

Lời giải.
m2

' 0
P 0
S 0

PT có hai nghiệm âm phân biệt
m 6
m 1

5

5
9

m

9
m

1

m

2m 1 9m

5 0

9m 5 0
2(m 1) 0

m2 7m 6 0
9m 5 0
m 1 0

m 1
. Chọn C
6

Câu 12 Tam giác ABC có ba cạnh thỏa mãn hệ thức: a 2 b2 c2 bc . Góc A bằng bao nhiêu ?
A. 1500
B.1200
C.600
D.300
Lời giải.
Theo định lý hàm số cosin ta có: a2 b2 c2 2bc cos A
1

A 1200 . Chọn A
2 cos A 1
cos A
Do đó b2 c2 2bc cos A b2 c 2 bc
2
Câu 13. Elip có tiêu cự bằng 8 và
A. 1 x

2

9
Lời giải.

y2
25

Ta có

2c 8
c 4
a 5

Ta có b2

a2

c
a

4

có phương trình chính tắc là:
5

2
B. 1 x

y2
25 16

c 4
c 4
a 5
c2

25

y2
9

D. 1 x

25 16 9 . Vậy elip có PT:

x2

y2

25

9

1 . Chọn C.

1 là:
C. 1 x 1

2

16

c 4
a 5

Câu 14: Nghiệm của bất phương trình 2x 3
A. 1 x 2
B. 1 x 2
Lời giải.

2
C. 1 x

D. 1 x 3

y2
25


Ta có 2x

3 1

1 2x 3 1

2 2x

1 x 2 . Chọn A

4

Câu 15: PTTS của đường thẳng đi qua A(3;4) và có vectơ chỉ phương u
x 3 3t
x 3 3t
x 3 2t
A.
B.
C.
y
2 4t
y 4 2t
y 4 3t
Lời giải.
Chú ý: PTTS của đường thẳng qua M (x0 ; y0 ) và có VTCP u

D.

(a;b) có PT:

x 3 6t
y

2 4t

x

x0

at

y

y0 bt

Chọn B.
Câu 16: Cho tam thức f(x) = (m -4)x2 + 2mx – 2. Khi đó f(x) ≤ 0 x R khi
m
4
4
A. m
B.-4 < m < 2
C.
2 m

4

m 2

D. -4 ≤ m ≤ 2

Lời giải.

Ycbt

m 4 0

m

4

2m 0
2 0

m

0

m 4 0

m 4
4 m

' m2

2(m 4) 0

(VN )
4 m

2 . Chọn D.

2

Câu 17: Trong điều kiện xác định. Khẳng định nào sau đây sai?
1
1
cos2
1 B. tan
A. sin2
cot
1 C. 1 tan2
D. 1 cot2
2
cos
sin2
Câu 18: Công thức tính khoảng cách từ điểm M 0 (x 0 ; y0 ) đến đường thẳng :ax+by+c=0?
ax0 by0 c
ax0 by0 c
A. d (M0 , )
B. d (M 0 , )
a b
a b
ax0 by0 c
ax0 by0 c
C. d (M 0 , )
. d (M0 , )
D
2
2
a b
a 2 b2
Câu 19: Trong các công thức sau, công thức nào đúng?

A. sin2a = cos2a – sin2a B. sin2a = sina+cosa C. sin2a = 2sina
Câu 20: Cho đường thẳng d có phương trình

D. sin2a = 2sinacosa

x 1 2t
y 3t

u

A. u (-2;3)
B. u (3;2)
C. u (1;3)
Câu 21: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
A. cos(
)
cos B. tan( )
tan C. sin

D. u (-2;0)
D. cos(

cos

Câu 22: Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C); x 2
A. I (2; 3); R 4
B. I ( 2;33); R 4
C. I (2; 3); R 16

2

)
2

y 3
16
D. I ( 2;3); R 16

Câu 23: Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A. sin(a + b) = sina.cosb - cos.sinb
B. sin(a – b) = sina.cosb + cosa.sinb
C. cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
D. cos(a + b) = cosa.cosb + sina.sinb
Câu 24: Tập nghiệm của hệ bất phương trình

x2

3x 2
x

2

1 0

0

là:

cos

A. [1; 2] B.
Lời giải.
1 x 2
Hệ BPT
1 x 1

1;1]

C. {1} D. [
x 1. Chọn C.

2
Câu 25: Cho tam thức bậc hai f (x) ax bx c(a 0) có
b 2 4ac 0 . Gọi x1, x2 (x1
hai nghiệm phân biệt của f(x). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số hệ số a khi x1 x x2 .
A. Nếu
0 thì f(x) luôn dương với mọi x
.
B. Nếu
0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số hệ số a, khi x x1 hoặc x x2 .
C. Nếu
0 thì f(x) luôn âm với mọi x
.
D. Nếu
2
1
Câu 26: Điều kiện xác định của bất phương trình:
là :

x 1 x
x 0
x 0
A.
B. x≠0
C. x≠1
D.
x 1
x 1
Lời giải.

x 1 . Chọn D.
x 0
4
, với
Câu 27: Cho cos
5
2
9
3
A.
B.
4
16
Lời giải.

x2 ) là

BPT xác đinh

Ta có sin2
Vì
2

1 cos2
nên sin

1

C.

4
5

2

9
25
3

0. Do đó sin

3
4

sin
.

tan

5

D.

3
5
sin

3

cos

4

3
4

. Chọn C

Câu 28: Một đường tròn có bán kính 20cm. Tìm độ dài của cung tròn có số đo

.
4

A. 900(cm)
Lời giải.

C. 80π (cm)

B. 90(cm)

Áp dụng công thức l

R

20.

5
4

D. 5π(cm)

. Chọn D

Câu 29: Cho 2 điểm A(1 ;
A. 4
Lời giải.

B. 5

Gọi I là trung điểm AB

C. 7
I (2; 1)và AB

(2; 6)

D. 8
2(1;3)

Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I và nhận n
1(x 2) 3( y 1) 0

Câu 30:
A. u(5; 2)

x 3y 1 0

.a+ b = 4. Chọn A

B. u(2;5)

(1; 3) làm VTPT nên có PT:

C. u( 5; 2)

u của
D. u( 5; 2)


Câu 31: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có ∆ = b2 - 4ac; f(x)>0 với x R khi và chỉ khi:
a 0
a 0
a 0
a 0
D.
A.
B.
C.
0

0
0
0
1
với 0
3

Câu 32: Cho sin
A.

1
6
Lời giải.

1
.
2

cos 2

1 sin 2

Vì 0
Ta có cos

B.

1

1

3

3

C.

6 3.

2
3

2

cos .cos

2
3

cos

3

sin .sin

6

bằng:
D.

3.

6

6

1

.

2

6
3

6

0 do đó cos

nên cos

3

. Khi đó giá trị của cos
2

3

3

61

3 2

1 3
3 2

6
6

1
. Chon. A.
2

Câu 33:Điểm M(1; -2) thuộc miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây ?
A. x + 2y - 3 ≤ 0
B. 2x + y + 3 < 0
C. 3x - 2y - 7 > 0
D. -x + 7y + 5 ≥ 0
Câu 34: Bất phương trình x 2 2(m 1)x 4m 8 0
m khi :
C. m ( 2;7)
A. m [ 1;7]
B. m ( 1;7)
Lời giải.
BPT x2 2(m 1)x 4m 8 0 vô nghiệm
x2
(m 1)2

(4m 8)

0

m2

6m 7

0

1 m

D. m ( 1;

)

7 . Chọn B.

Câu 35: Một cơ sở chế biến dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất tối thiểu 140kg chất A và
tối thiểu 9kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng, có thể chiết xuất được 20kg chất
A và 0,6kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng, có thể chiết suất được 10kg chất A
và 1,5kg chất B. Hỏi cơ sở trên cần ít nhất bao nhiêu tiền để mua đủ số nguyên liệu chế biến theo dự
định, biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và
không quá 9 tấn nguyên liệu loại II ?
A. 34 triệu đồng.
B. 28 triệu đồng.
C. 32 triệu đồng.
D. 39 triệu đồng.
Giải: Nếu sử dụng x tấn nguyên liệu loại I và y tấn nguyên liệu loại II thì theo giả thiết, có thể chiết
xuất được (20x + 10y) kg chất A và (0,6x + 1,5y) kg chất B.
Theo giả thiết, x và y phải thỏa mãn các điều kiện:
0 ≤ x ≤ 10 và 0 ≤ y ≤ 9; 20x + 10y ≥ 140 hay 2x + y ≥ 14; 0,6x + 1,5y ≥ 9 hay 2x + 5y ≥ 30.
Tổng số tiền mua nguyên liệu là T = 4x + 3y.

Bài toán trở thành: Tìm các số x và y thỏa mãn hệ bất phương trình

sao cho T = 4x + 3y có giá trị nhỏ nhất.


Miền nghiệm của hệ (III) là miền tứ giác ABCD, kể cả biên.
Ta thừa nhận rằng biểu thức T = 4x + 3y có giá trị nhỏ nhất và giá trị ấy đạt được tại một trong các
đỉnh của tứ giác ABCD. Bằng cách tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D rồi so sánh các giá trị tương ứng
của T, ta được giá trị nhỏ nhất là T = 32 tại điểm A(5; 4).
Câu 36:Với giá trị nào của m thì pt: (m

x1, x2 và

có hai nghiệm
C. m

B.1

D. m

Lời giải.
m 1 0
Ycbt

2

' (m 2)
x1 x2 x1x2
m 1

2m 6
m1

(m 3)(m 1) 0
1

m 1
1 0
2(m 2)
m1

m 3
1
m1

m 1
0

1 m 3

1 m 3 . Chọn B.

Câu 37: Hệ bất phương trình x 2m 2
có nghiệm khi
4x 5 2x 7
A. m = -4
B..m > -4
C. m < -4
Lời giải.
x 2m 2

Ta có x 2m 2
4x 5 2x 7
x
6
Hệ trên có nghiệm
2m 2
6
m

D. m

R

4 . Chọn C.

Câu 38 Với m < 4 khi đó bất phương trình mx + 8 4x + 2m có tập nghiệm là:
A. [2;+ )
B.[-2;+ )
C. (- ;2]
D. (- ;-2]
Lời giải.
BPT
(m 4)x 2m 8 (*)
2m 8 2 . Chọn C
x
Với m 4 m 4 0. Khi đó BPT (*)
m 4
Câu 39: Cho đường cong (Cm) có phương trình: x2 + y2 – 2mx + 2(m -1)y + 1 = 0. (Cm) là phương
trình của một đường tròn khi

Lời giải.
a m
(m 1)
Ta có b
c 1
Để (Cm) là đường tròn thì
a2 b2 c 0

m2

(m 1)

2

m 1

2m2

1 0

2m 0

Chọn A

m 0

3 0
Câu 40: Tính bán kính đường tròn có tâm I(-1;4) và tiếp xúc với đường thẳng : 3x y
A. -2

B. 4
C. 3
D. 2
Lời giải.
Câu 41: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(3;-2) và song song với đường thẳng : 3x–y+1=0
A. 3x – y +11 = 0
B.3x – y -11 = 0
C. x -3y + 6 = 0
D. x +y +6 = 0
Lời giải.
PT đường thẳng cầntìm có dạng: 3(x 3) 1( y 2) 0 3x y 11 0 . Chọn B
x
1 3t
.
Câu 42. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng : x + 2y – 6 = 0 và ’:
y t

A.

B.
6

C.
4

D.
3

2

Lời giải.
: x + 2y – 6 = 0
PTTQ của ’: x 3y 1 0
Gọi làgocs giữa hai đường thẳng và ’
1.1 2.( 3)
5
1
Ta có cos
450 . Chọn B
1 4 1 9 5 2
2
Câu 43: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 – 4x -2y + 3 = 0 tại điểm A(1;0)
A. x + y - 1 = 0
B.x = 2
C. -2x -2y + 1 = 0
D. x -y -2 = 0
Lời giải.
Đường tròn (C) có tâm I(2;1)
Tiếp tuyến với (C) tại A(1;0) là đường thẳng qua A và nhận AI (1;1) làm VTPT nên có PT:
1(x 1) 1( y 0) 0
x y 1 0 . Chọn A
c
Câu 44. Một elip (E) có mỗi đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dươi một góc vuông. Xác định .
a
c 1
c
1
c
c
A.

B.
C.
D.
2
2
a
2
a 2
a
a
Lời giải.
Ta có B(0;b) là đỉnh trên trục nhỏ và F1( c; 0); F2 (c; 0) là hai tiêu điểm
Ta có BF1

( c; b); BF2

(c; b)

Do tam giác BF1F2 vuông tại B nên
2

Ta có a

b2

c2

a2

b2

c2

BF1.BF2

0

c2
a2

1

2c 2

Câu 45. Tìm tập xác định của hàm số y

;2
A.
Lời giải.

4;

.

B. (

;2

2

c2 b 2
c
a

1
2

0

b c

. Chọn B

x1
x 2 x2 5x 4

4;

)\1.

C.

;2

4;

.

D. 2; 4 .

x 1

Hàm số xác định

x 2 x2

0 (*)
5x 4

Ta có x – 1 = 0
x=1
x -2= 0
x=2
x2 5x 4 0

x 1
x

4

Xét dấu:

Tập cá định S

((

x
VT(*)
;2) (4;

1
+ || +
)) \ 1 . Chọn B

2
||

4
|| +

-

2

Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn C : x 2
thẳng d : x 3y 9 0 . Tìm điểm M d sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến
tròn C ( A, B là các tiếp điểm) để MAB vuông.
A. M 6;1 .
Lời giải.
(C) có tâm I(2;-1); R

B. M 3;2 .

C. M 0;3 .

y 1

2

5 và đường

MA, MB đến đường

D. M

3;4 .

5

A
I
M
B

Theo giả thiết thì AMBI là hình vuông cạnh R
5 2
10
IM
Vì M thuộc d nên M (9 3a; a)

5

10
IM 2 10
(9 3a 2)2 (a 1)2
Ta có IM
10a2 40a 40 0
a 2
M (3; 2) . Chọn B.

10

ABC biết A

Câu 47: Viết phương trình đường trung tuyến BM của
A. 5x 3y 6 0 . B. 3x
Lời giải.
Gọi M là trung điểm của AC

5y

0 .C. x

10

M(

3
2

VTPT của BM là n (5; 3)
PT đường MB: 5(x 0) 3( y 2) 0

;

1
2

)

3y

MB

6

3 5
( ; )
2 2

0.

1
2

5x 3y 6 0 . Chọn A.

D. 3x
(3;5)

1; 2 ,B
y

2

0;2 ,C
0.

2;1 .

Câu 48: Viết phương trình đường cao AH của

ABC biết A 1; 3 ,B

A. 4x 3y 13 0 .
B. 3x 4y 15 0 . C. 3x 4y 9
Lời giải.
Ta có BC ( 3; 4) là VTPT của AH
PT đường AH: 3(x 1) 4( y 3) 0 3x 4y 9 0 . Chọn C.
Câu 49: Biết tập nghiệm của bất phương trình (x
S a2 b 2
A. S 20
B. S 16
Lời giải.
x2

BPT

5x 4 5 x2

4; 1 .

1; 5 ,C
0 . D. 4x

3y

1)(x 4) 5 x2 5x 28 là S

C. S

5

0.

(a;b) . Tính

D. S 97

2

5x 28

2

x 5x 28,t 0
x2 5x 28 x2 5x t2 28
Ta có t
t2 5t 24 0
BPT trở thành t2 28 4 5t
x2 5x 28 8
Đối chiếu với t > 0 ta được: 0
x2 5x 36 0
9 x 4
2
2
S a b 81 16 97 . Chon D.
ĐẶt t

2

Câu 50. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y
A. 8.
Lời giải.
Hàm số xác định với moi x

B. 9.
mx2

m 0
4m 0
27 0
m

m

2

2

8
5x 28 64 vì x2 5x 28 0 x

x 1

có tập xác định là
mx 4mx m 27
C. Vô số.
D. 10.

2

?

0, x

0

3m
2

m 27

x

m

m 0

0
' 4m

4mx

3 t

0

m 0
0 m 9

27m 0

0 m 9 . Chon B

m(m 27) 0
--------------------------

Câu 51. Tìm số giá trị nguyên của a

[ 100;100]để bất ptrình

nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [-2;4].
A. 90.
B. 91.
Lời giải.
1
(18 a 2x x2 )
BPT
8 2x x2
4
2
Đặt t
8 2x x ,

1
(4 x)(2 x)

C.100.

8 2x x2
9 (1 2x x2 )
9 (x 1)2 3 . ĐK: 0 t 3
1
(18 a t 2 8) t 2 4t 10 a
BPT trở thành t
4
Ycbt
BPT t2 4t 10 a nghiệm đúng với mọi 0 t 3
Xét parabol y t 2 4t 10 có đỉnh I(2; 6)
BBT
t
0
2
3
y
10
7
Ta có: t

6

4

D. 110.

(18 a 2x x2 )


Vậy giá trị cầntìm là: a 10 . Chọn B.

Câu 52: Xác định vecto pháp tuyến của đường thẳng đi qua M(-1;3) và cắt hai trục
Ox,Oy lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của AB.
B. n (3; 1)
C. n ( 1; 3)
Lời giải.
Giả sử A(a;0), B(0;b)
a 0
2
a
2
Vì M là trung điểm AB nên
0 b 6
b 6
A(-2;0), B(0;6)
x y
PT đường AB:
1 3x y 6 0
VTPT là n
(3; 1). Chọn B
2 6
Câu 53: Cho hai điểm A(1;-2), B(2;1). Gọi M (a;b) là điểm M trên đường thẳng x9a2 3b 1
y+1=0 sao cho MA+MB nhỏ nhất. Tính S
A. S
2
B. S
1
C. S 1
D. S 3
Lời giải.
B

A

d
H

M

A'

Nhận thấy A, B cùng phía đối với đường thẳng d:x –y +1=0
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d
PT đường AA’ là: 1(x 1) 1( y 2) 0
x y 1 0
Gọi H là giao điểm của d và AA’ thì tọa độ H là nghiệm của hệ PT:
x
1
x y 1 0
H(-1;0)
x y 1 0
y 0
Vì H là trung điểm AA’ nên A’(-3;2)
Ta có A ' B (5; 1)
VTPT cùa đường thẳng A’B là n (1; 5)
PT đường A’B là: 1(x 2) 5( y 1) 0
x 5y 7 0
Tọa độ điểm M cần tìm là giao điểm của d và BA’ là nghiệm của hệ PT:
x 1
x 5y 7 0
14
1

4
3
2
M(;)
3.
1
S 9.a 3b 1 9.
x y 1 0
9
3
4
33
y
3

--------------------Hết-----------------------

1 . Chọn B