Chuyên đề bất đẳng thức Cô si

CHUYÊN ĐỀ: “BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI”.

1.Bất đẳng thức Côsi (Cauchy)
a. Bất đẳng thức Côsi:
a+b
≥ ab
*Cho hai số thực không âm a,b. Khi đó ta có: 2
.Dấu “=” xảy ra khi a=b

*(Dạng tổng quát).Cho n số thực không âm a1 , a 2 ,..., a n .Khi đó ta có:
a1 + a 2 + ... + a n n
≥ a1 .a 2 .... a n
n
Dấu “=” xảy ra khi a1 = a 2 = ... = a n .

Chứng minh:
-Với n=2 bất đẳng thức hiển nhiên đúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1=a2.
- Giả sử bất đẳng thức đúng đến n=k, tức là ∀a1 , a2 ,..., ak ≥ 0 ta có:
a1 + a 2 + ... + a k k
≥ a1 .a 2 .... a k
k
, dấu bằng xảy ra khi a1 = a 2 = ... = a k .

-Xét khi n=k+1.Với ∀a1 , a 2 ,..., a k +1 ≥ 0 ta có:
S k +1 =

a1 + a2 + ... + ak + ak +1
=
k +1

k.

Theo giả thiết quy nạp, suy ra

a1 + a2 + ... + ak
+ ak +1
k
k +1

S k +1 ≥

(1)

k .k a1. a 2 ... a k + a k +1
k +1

(2)

Dấu “=” trong (2) xảy ra (theo giả thiết quy nạp) khi a1 = a 2 = ... = a k
Đặt a1 .a 2 ... a k = α
Từ (3) ta có

k ( k +1)

S k +1 −

k +1

và a k +1 = β
a1 .a 2 ... a k +1

k +1

khi đó (2) dạng

S k +1 ≥

k .α k +1 + β k +1
k +1

k .α k +1 + β k +1
≥
−α kβ
k +1

(3)
(4)

[

k .α k +1 + β k +1 − kα k β − α k β
1
VP( 4 ) =
=
. k .α k .( α − β ) − β α k − β k
k +1
k +1
Dễ dàng thấy rằng:

(

)]

2
(
α −β)
=
.[α k −1 + α k − 2 ( α + β ) + α k −3 (α 2 + αβ + β 2 ) + ... + (α k −1 + α k − 2 β + ... + β k −1 ) ]

k +1

VP( 4 ) ≥ 0 ⇒ S k +1 ≥ k +1 a1 .a 2 ... a k +1
Do α , β ≥ 0 nên suy ra
. Do đó bất đẳng thức Côsi cũng

đúng với n=k+1.Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra bất đẳng thức Côsi đúng ∀n ∈ N


a1 = a 2 = ... a k
⇔ a1 = a 2 ... = a k = a k +1

α
=
β

Dấu bằng xảy ra khi
.
b. Ví dụ .

Ví dụ 1.Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương thì:

a.

( a + b ) 

1 1
+ ÷≥ 4
a
b


b.

( a + b + c ) 

1 1 1
+ + ÷≥ 9
a
b c


Giải. a) Áp dụng BĐT Côsi, ta có:

a + b ≥ 2 ab (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b).

1 1
1
1 1
+ ≥2
=
a b

ab (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b )
Do đó:

( a + b ) 

1 1
1
+ ÷ ≥ 2 ab .2
=4
ab
a b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b
b) Áp dụng BĐT Côsi, ta có:

a + b + c ≥ 3 3 abc (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c).

1 1 1
1
1 1 1
+ + ≥ 33
= =
a b c
abc (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c )
Do đó:

( a + b + c ) 

1 1 1 3
1

+ + ÷≥ 3 abc .3 3
=9
a
b
c
abc



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c
c. Một số lưu ý khi biến đổi.
Nói chung, ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Côsi như ví dụ trên mà
thường biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Côsi.
Khi biến đổi, ta thường sử dụng những số hạng của một vế cộng thêm các số hạng thích
hợp và sử dụng bất đẳng thức Côsi. Khi biến đổi, ta lưu ý một số nhận xét sau:
Nhận xét 1. Số chiều của BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng của bậc cao nhất.
Ví dụ 2 . Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a3 + b3 + c3 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?


Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phải có bậc cao nhất là 3, nên ta sẽ sử dụng bất đẳng
3
3
3
2
thức Côsi cho 3 số không âm. Chẳng hạn, số hạng ab sẽ ứng với bộ ba số a , b , b . Cứ

như vậy, ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

a3 + b3 + b3 ≥ 3ab 2 ; b 3 + c 3 + c 3 ≥ 3bc 3 ; c 3 + a 3 + a 3 ≥ 3ca 2
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

3 ( a 3 + b3 + c 3 ) ≥ 3( ab 2 + bc 2 + ca 2 )
⇔ a 3 + b3 + c3 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2

a = b

b = c ⇔ a = b = c
c = a
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
Nhận xét 2. Bậc của số hạng cần thêm vào để sử dụng bất đẳng thức Cauchy bằng
bậc của số hạng cần mô tả.
Ví dụ 3. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a 3 b3 c 3
+ + ≥ ab + bc + ca
b
c a
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phải không
chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêm các số hạng vào bên trái của bất đẳng
thức. Bậc của số hạng cần mô tả là hai, nên bậc của số hạng thêm vào cũng là hai. Chẳng

a3
hạn, số hạng b có chứa mẫu là b, nên số hạng thêm vào phải chứa nhân tử b. Bậc của số

a3
+ ab ≥ 2a 2

hạng là 2, nên ta cộng thêm vào ab. b
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

a3
b3
c3
+ ab ≥ 2a 2
+ bc ≥ 2b 2 ; + ca ≥ 2c 2
b
a
; c
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

a 3 b3 c 3
+ + + ab + bc + ca ≥ 2 ( a 2 + b 2 + c 2 )
b c a
(1)


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c
2
2
2
Lại có, a + b + c ≥ ab + bc + ca (2)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . Từ (1) và (2) suy ra:

a3 b3 c3
+ + + ab + bc + ca ≥ 2 ( ab + bc + ca )
b

c a
3
a b3 c3
⇔ + + ≥ ab + bc + ca
b
c a
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
Nhận xét 3. Khi bậc không bằng nhau số hạng cộng thêm có thể là hằng số.
Ví dụ 4 . Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1 , chứng minh

a 3 + b3 + c3 ≥
rằng:

1
3 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
a=b=c=

1
3

Phân tích: Cho a = b = c thay vào điều kiện ta tính được
Sử dụng bất đẳng thức Côsi với n = 3 cộng với số hạng hằng số, số hạng chứa biến
thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh.
Chẳng hạn, với số hạng ab trong điều kiện xác định, ta sử dụng các số hạng

a 3 , b3 ,

1
3 3 : Ta có:

a 3 + b3 +

1
3 3

≥ 3 3 a 3b3

1

= ab 3

3 3

Giải. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

a 3 + b3 +

1
3 3

≥ ab 3; b3 + c 3 +

1
3 3

≥ bc 3; c 3 + a 3 +

1
3 3

≥ ca 3

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

1
≥ 3 ( ab + bc + ca ) = 3
3
2
1
⇒ 2 ( a 3 + b3 + c 3 ) ≥
⇒ a 3 + b3 + c 3 ≥
3
3
2 ( a 3 + b3 + c 3 ) +

a=b=c =

1
3.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
Nhận xét 4. Ta cần để ý đến trường hợp đẳng thức xảy ra với a = b = c của bất
đẳng thức để thêm hệ số cho thích hợp.
Ví dụ 5. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:


a3
b3
c3
1

+
+
≥ ( a + b + c)
b( b + c) c( c + a) a ( a + b) 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Cho a = b = c thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng minh,

chẳng hạn số hạng

a3
b( b + c)

a
ta thu được 2 . Mặt khác, số hạng này lại có mẫu chứa nhân

b b+c
,
tử b, b + c . Do đó, ta sẽ thêm vào các số hạng 2 4 và sử dụng
bất đẳng thức Côsi với n = 3:

a3
b b+c
a3
b b+c 3
+ +
≥ 33
. .
= a
b( b + c) 2
4

b( b + c) 2 4
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

2a 3 = b 2 ( b + c )
a3
b b+c
= =
⇔
⇔ a =b=c
b( b + c) 2
4
b = c
Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

a3
b b+c
a3
b b+c 3
+ +
≥ 33
. .
= a
b( b + c) 2
4
b( b + c) 2 4
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

2a 3 = b 2 ( b + c )
a3
b b+c
= =
⇔
⇔ a=b=c
b( b + c) 2
4
b
=
c

b
c c+a 3
c
a a+b 3
+ +
≥ b;
+ +
≥ c
c( c + a) 2
4
2 a ( a + b) 2
4
2
3

3

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

a3
b3
c3
3
+
+
+ a + b + c ≥ ( a + b + c)
b( b + c) c ( c + a) a ( a + b)
2
a3
b3
c3
1
⇔
+
+
≥ ( a + b + c)
b( b + c) c( c + a) a ( a + b) 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Tương tự, ta có:


Nhận xét 5. Ta sử dụng bất đẳng thức Côsi kết hợp với một số bất đẳng thức phụ
Ví dụ 6. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a5
b5
c5

+ 2 + 2 ≥ a 2 + b2 + c 2
2
bc
ca
ab
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

a5
a5 2
2
3
+ c + ab ≥ 3
.c .ab = 3a 2
2
2
bc
bc
a5
= c 2 = ab ⇔ a = b = c
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: bc
Tương tự, ta có:

b5
+ a 2 + bc ≥ 3b2
2
ca
(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c )
c5

+ b 2 + ca ≥ 3c 2
2
ab
(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c )
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

a5
b5
c5
+ 2 + 2 + a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca ≥ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 )
2
bc
ca
ab
5
5
a
b
c5
⇔ 2 + 2 + 2 ≥ a 2 + b 2 + c 2 + ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca )
bc
ca
ab
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức phụ: a + b + c ≥ ab + bc + ca . Ta có:

a5

b5
c5
+ 2 + 2 ≥ a 2 + b2 + c 2
2
bc
ca
ab
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c
Nhận xét 6. Đặt ẩn phụ trước khi biến đổi giúp ta đưa một số bất đẳng thức về các bất
đẳng thức đơn giản.

c2
b
a b c + 2 + 2 ≥ ac + ab + 1
b
ac
Ví dụ 7. Với các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
.
3 2

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải.

Chia cả hai vế cho bc > 0 , ta được:

a 3b +

c

1
a 1 a
+
≥
+ +
b3 ac 3 b bc c


a = x, b =
Đặt

1
1
,c=
y
z bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

x3 y 3 z 3
+
+ ≥ xy + yz + zx
y
z
x
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x= y=z⇔a=

1 1
=

b c

Nhận xét 7. Sử dụng hằng đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Côsi.
Ví dụ 8. Với a, b, c dương, chứng minh rằng:

a3
b3
c3
a+b+c
+ 2
+ 2
≥
2
2
2
2
a + ab + b b + bc + c
c + ca + a
3
Giải. Đặt

P=

a3
b3
c3
+
+
a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2

b3
c3
a3
Q= 2
+
+
a + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2 . Ta có:
a 3 − b3
b3 − c 3
c3 − a3
P −Q = 2
+
+
a + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2
= a −b+b−c+c−a = 0
⇒ 2P = P + Q =

a 3 + b3
b3 + c 3
c3 + a3
+
+
a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2

Mặt khác, ta có:

a 2 + b 2 ≥ ab ⇔ 3 ( a 2 + b 2 − ab ) ≥ a 2 + b 2 + ab
a 2 + b 2 − ab 1
a 3 + b3
a+b

⇔ 2
≥ ⇔ 2
≥
2
2
a + b + ab 3
a + ab + b
3
b3 + c 3
b+c
c3 + a 3
c+a
≥
; 2
≥
2
2
2
3 c + a + ca
3
Chứng minh tương tự, ta được: b + c + bc
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên , ta được:

2P =

a 3 + b3
b3 + c 3
c3 + a3
a+b+c
a+b+c

+
+
≥
2.
⇔
P
≥
a 2 + ab + b2 b2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2
3
3

Nhận xét 8. Khi biến đổi ta điều chỉnh các hệ số sao cho khử được hết các số hạng
không có mặt trong bất đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 9. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:


a3
b3
c2
b
+
+
≥a+
b( c + a) c ( a + b) b + c
2

. Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

a3
b c+a 3
b3
c a+b 3
c2
b+c
+ +
≥ a;
+ +
≥ b;
+
≥c
b( c + a) 2
4
2 c ( a + b) 2
4
2 b+c
4
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta có:

a3
b3
c2
a
3
3
+
+
+ +b+c≥ a+ b+c
b( c + a) c ( a + b) b + c 2

2
2
a3
b3
c2
b
⇔
+
+
≥a+
b( c + a) c ( a + b) b + c
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c
d. Ví dụ tương tự:
Ví dụ 10. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a 4b 4 + b 4c 4 + c 4 a 4 ≥ abc ( a 2b3 + b 2c 3 + c 2a 3 )
Ví dụ 11. Với các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3 , chứng minh rằng:

a 3 + b3 + c 3 ≥ 3
Ví dụ 12. Với các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3abc , chứng minh rằng:

a 4b 4 + b 4c 4 + c 4 a 4 ≥ 3a 4b 4c 4
Hướng dẫn:

1
1
4
+ 4 +1 +1 ≥
4

a
b
ab

Ví dụ 13. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a3
b3
c3
a+b+c
+
+
≥
b ( c + 2a ) c ( a + 2b ) a ( b + 2c )
3
Ví dụ 14 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a 6 b6 c 6 a 4 b 4 c 4
+ + ≥ + +
b3 c 3 a 3 c
a b
Ví dụ 15. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a3
2b3
128c3
+
+
≥ a + 2b + 4c
b ( 2b + a ) c ( 2c + b ) a ( a + 4c )

Hướng dẫn: BĐT cần chứng minh tương đương với

a3
( 2b )
( 4c ) ≥ 1 a + 2b + 4c
+
+
(
)
( 2b ) ( 2b + a ) ( 4c ) ( 4c + 2b ) a ( a + 4c ) 2
3

3

Áp dụng Ví dụ 10 ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 16. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a 8 b8 c 8
+ 4 + 4 ≥ ab3 + bc3 + ca3
4
b c
a

Hướng dẫn:

a 8 b 8 c 8 a 4b 2 b 4 c 2 c 4 a 2
+ 4 + 4 ≥ 2 + 2 + 2 ≥ ab3 + bc3 + ca 3
4

b
c
a
c
a
b

Ví dụ 17. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a 4 b 4 2ca 2
+ 2+
+ 4b 2c 2 ≥ 8abc
2
b
c
b
a 4 b 4 2ca 2
2a 2b 2ca 2
2 2
+ 2+
+ 4b c ≥
+
+ 4b 2c 2 ≥ 4a 2 + 4b 2c 2 ≥ 8abc
2
c
b
c
b
HD: b
Ví dụ 18. Với các số dương a, b, c chứng minh rằng:

a
b
c
+
+
>2
b+c
c+a
a+b
a + b + c ≥ 2 a( b + c) ⇔
HD :

2
1
2a
a
≤
⇔
≤
a+b+c
a+b+c
b+c
a( b + c)

Chứng minh tương tự, ta thu được:

a
b
c

+
+
≥2
b+c
c+a
a+b

Dấu đẳng thức không thể xảy ra nên ta có:

a
b
c
+
+
>2
b+c
c+a
a+b

Ví dụ 19. Với các số dương a, b, c sao cho ab + bc + ca ≥ 3 , chứng minh rằng:

a + 3 + b + 3 + c + 3 ≤ 2 ( a 2 + b2 + c2 )
Hướng dẫn:

( a + 3) + 4 ≥ 4

a+3 ⇔ a+3≤

a+7
4

a+3 + b+3+ c+3 ≤

Chứng minh tương tự, ta thu được:

a + b + c + 21
4
;

a2 + 1
a≤
2
a + b + c + 21 a 2 + b 2 + c 2 + 45
≤
4
8
Chứng minh tương tự, ta thu được:
a 2 + b 2 + c 2 + 45
2
2
2
a + b + c ≥ ab + bc + ca ≥ 3 ⇒
≤ 2 ( a2 + b2 + c 2 )
8
2. Ứng dụng của bất đẳng thức Côsi
a.Chứng minh bất đẳng thức.
Ví dụ 20: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
a
b

c
+
+
≥ 3
2b + 2c − a
2c + 2a − b
2a + 2b − c

(Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)
Lời giải:

Ta có:

a
a. 3
a. 3
=
≥
2b + 2c − a
3a.( 2b + 2c − a ) a + b + c

. Dấu “=” xảy ra khi 2a=b+c.

Tương tự ta có:
b
b. 3
b. 3
=
≥
2c + 2a − b

3b.( 2c + 2a − b ) a + b + c

. Dấu “=” xảy ra khi 2b=a+c.

c
c. 3
c. 3
=
≥
2a + 2b − c
3c.( 2a + 2b − c ) a + b + c

. Dấu “=” xảy ra khi 2c=a+b.

Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được:
a
b
c
+
+
≥ 3
2b + 2c − a
2c + 2a − b
2a + 2b − c
.Dấu “=” xảy ra khi a= b= c.

Ví dụ 21. Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

( 2a + 2b − c )
a + b + 4c

3

( 2b + 2c − a )
+
b + c + 4a

3

( 2c + 2a − b )
+
c + a + 4b

3

≥

9 2
a + b2 + c 2 )
(
2

Giải. Đặt x = 2a + 2b − c, y = 2b + 2c − a, z = 2c + 2a − b
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên x, y, z dương. Ta có:


x2 + y 2 + z 2 = 9 ( a2 + b2 + c2 )
y + z = a + b + 4c
z + x = b + c + 4a
x + y = c + a + 4b

Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

x3
y3
x3
x2 + y 2 + z 2
+
+
≥
y+z z+x x+ y
2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

x( y + z)
y ( z + x)
z( x + y)
x3
y3
z3
2
2
+
≥x ;
+
≥y ;
+
≥ z2
y+z
4
y+z

4
x+ y
4

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên , ta được:

x3
y3
x3
xy + yz + zx
+
+
+
≥ x2 + y2 + z 2
y+z z+x x+ y
2
x3
y3
x3
xy + yz + zx
⇔
+
+
≥ x2 + y2 + z 2 −
y+z z+x x+ y
2
2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức x + y + z ≥ xy + yz + zx , ta được:

x3
y3
x3
x2 + y 2 + z 2
+
+
≥
y+z z+x x+ y
2
b.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
1
1
1
+
+
=2
Ví dụ 22 : Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a + 1 b + 1 c + 1
.

Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của P=a.b.c
Lời giải:
=

1
1
1
1  
1 


= 2−
−
= 1 −
 + 1 −

b + 1 c + 1  b + 1  c + 1
Ta có: a + 1

b
c
bc
+
≥ 2.
( b + 1)( c + 1) .Dấu “=” xảy ra khi b=c
b +1 c +1

1
≥ 2.
b
+
1
Tương tự ta có:
1
≥ 2.
c +1

ac
( a + 1)( c + 1) .Dấu “=” xảy ra khi a=c

ab

( a + 1)( b + 1) .Dấu “=” xảy ra khi a=b

Nhân ba bất đẳng thức trên vế với vế ta được


1
≥ 8.
( a + 1)( b + 1)( c + 1)

a 2 .b 2 .c 2

( a + 1) 2 .( b + 1) 2 .( c + 1) 2

1
abc
1
≥ 8.
⇒ abc ≤
( a + 1)( b + 1)( c + 1)
8.
hay ( a + 1)( b + 1)( c + 1)

Vậy

P = abc ≤

1
1
8 . Dấu “=” xảy ra khi a=b=c= 2 .

c. Giải phương trình.
8
2
8
8
Ví dụ 23: Giải phương trình: 1 − x + 1 + x + 1 − x = 3 .

Lời giải:
ĐK: − 1 ≤ x ≤ 1 .Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 8 số không âm ta có:
8

1 − x = 8 (1 − x ).1.1.1.1.1.1.1 ≤

(1 − x ) + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8 − x
8

8 .

Dấu “=” xảy ra khi x=0.
8

1 + x = 8 (1 + x ).1.1.1.1.1.1.1 ≤

(1 + x ) + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8 + x
8

8 .

Dấu “=” xảy ra khi x=0.
8

1 − x 2 = 8 (1 − x )(1 + x ).1.1.1.1.1.1 ≤

( 1 − x ) + (1 + x ) + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1
8

.Dấu “=” xảy ra khi x=0.
Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế ta được
8

1− x + 8 1+ x + 8 1− x2 ≤

8− x 8+ x
+
+1 = 3
8
8

Dấu “=” xảy ra khi x=0.Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=0.
d. So sánh.
Ví dụ 24: Một hình vuông và một tam giác có cùng diện tích thì hình nào có chu vi
lớn hơn? Giải thích?
Lời giải:
Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác, ha là đường cao ứng với cạnh a, m là cạnh của
2
hình vuông. Khi đó ta có: a.ha = 2m , b ≥ ha , c ≥ ha ⇒ b + c ≥ 2.ha .
Cosi

Do đó:

a + b + c ≥ a + 2.ha ≥ 2. 2a.ha = 2. 4m 2 = 4m

.Dấu “=” xảy ra khi a=2b=2c=2ha

(Vô lý).
Do đó: a + b + c > 4m hay tam giác có chu vi lớn hơn.
e. Một hệ quả của bất đẳng thức Côsi


Với x,y >0 ta có:

1 1
4
+ ≥
a) x y x + y ;

1
4
≥
xy ( x + y ) 2
b)

Dấu “=” trong các bất đẳng thức trên xảy ra khi x=y.
1 1 1
+ + =8
x
y z
Ví dụ 25: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn:
.
1

1
1
+
+
≤2
2
x
+
y
+
z
x
+
2
y
+
z
x
+
y
+
2
z
Chứng minh rằng:

Lời giải:
1
1
1 1
1  1 2 1 1

 ≤ . + + 
=
≤ .
+
2
x
+
y
+
z
(
x
+
y
)
+
(
x
+
z
)
4
x
+
y
x
+
z

 16  x y z  .

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z
1
1 1 2 1
≤ . + + 
Tương tự ta có: x + 2 y + z 16  x y z  . Dấu “=” xảy ra khi x=y=z.
1
1 1 1 2
≤ . + + 
x + y + 2 z 16  x y z  . Dấu “=” xảy ra khi x=y=z.

Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
1
1
1
1 1 1 1 1
+
+
≤ . + +  = .8 = 2
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 4  x y z  4
.

Dấu “=” xảy ra khi

x= y=z=

3
8.

f. Một số ví dụ có cách giải tương tự
Ví dụ 26: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:
a2
b2
c2
a+b+c
+
+
≥
2
a) b + c c + a a + b
a3 b3 c3 a 2 b2 c 2
+ 2 + 2 ≥
+
+
2
b
c
a
c
a
b) b

Ví dụ 27: Cho a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S =a+

1
a2

Ví dụ 28: Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 29: Cho a, b > 0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S=

a+b
ab

+

S = ab +
ab
a+b

1
ab


Ví dụ 30: Cho Cho a, b, c > 0 và
S = a2 +

a+b+c ≤

3
2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1
1
1
+ b2 + 2 + c2 + 2

2
b
c
a

3. MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
a. Kỹ thuật Côsi ngược dấu:
Ví dụ 31: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=3.
a
b
c
3
+
+
≥
2
2
2
2.
Chứng minh rằng: 1 + b 1 + c 1 + a

Phân tích: Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các mẫu số thì ta có:
a
b
c
a
b
c
1 a b c 3
+

+
≤
+
+
= . + +  ≥
2
2
2
2b 2c 2a 2  b c a  2 ?
1+ b
1+ c
1+ a

Như vậy ta sẽ được một bất đẳng thức đổi chiều, và do đó ta không có được điều phải
chứng minh.
Tuy nhiên, thử biến đổi một chút biểu thức đã cho ta thấy:
a
ab 2 Cosi
ab 2
ab
=
a
−
≥
a
−
=a−
2
2
2b

2 , thật may mắn vì đến đây ta được một bất đẳng thức
1+ b
1+ b

cùng chiều. Làm tương tự cho các biểu thức còn lại rồi cộng chúng lại ta được điều phải
chứng minh
Lời giải :
a
ab 2 Cosi
ab 2
ab
=
a
−
≥
a
−
=a−
2
2
2b
2
1+ b
Ta có: 1 + b
b
bc 2 Cosi
bc 2
bc
=
b

−
≥
b
−
=b−
2
2
2c
2
1+ c
Tương tự ta có 1 + c
c
ca 2 Cosi
ca 2
ac
=c−
≥ c−
=c−
2
2
2a
2
1+ a
1+ a

Cộng các bất đẳng thức trên với nhau vế với vế ta được:
a
b
c
 ab + bc + ac 

+
+
≥ ( a + b + c) − 

2
2
2
2
1+ b
1+ c
1+ a



1
1
2
ab + bc + ac ≤ .( a + b + c ) = .9 = 3
3
3
Mặt khác ta có:
a
b
c
3 3
+
+
≥ 3− =
2
2

2
2 2
Từ đó suy ra 1 + b 1 + c 1 + a


Nhận xét: Như vậy ta thấy rằng qua một phép biến đổi ta đã đưa biểu thức mà ta muốn
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho mẫu từ biểu thức mang dấu dương thành biểu thức mang
dấu âm, từ đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi cho mẫu mà vẫn được
các bất đẳng thức cùng chiều. Đó chính là kỹ thuật Côsi ngược dấu.
b. Kĩ thuật chọn điểm rơi:
Ví dụ 32:
Cho a,b là hai số dương có tích bằng 1.Chứng minh rằng

a+b+

1
5
≥
a+b 2

Phân tích:
a = b > 0
⇔ a = b =1

a
.
b
=
1


Ta dự đoán dấu bằng trong bất đẳng thức đã cho xảy ra khi
a + b 2
 α =α
2 1
⇒ = ⇔α =4
 1
1
α 2

=
a
+
b
2

Với a=b=1 ta có sơ đồ điểm rơi:
.Từ đó ta có lời giải:

Lời giải:
Ta có:

a+b+

1
a+b
1
3.( a + b )
=
+
+

≥ 2.
a+b
4
a+b
4

( a + b) ⋅
4

1
3.2 ab
3 5
+
= 1+ =
a+b
4
2 2

a = b > 0
⇔ a = b =1

a
.
b
=
1

Dấu “=” xảy ra khi
.

c. Kĩ thuật đồng bậc:
Ví dụ 33:
2
2
2
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 .

a3
b3
c3
1
+
+
≥
Chứng minh rằng: b + 2c c + 2a a + 2b 3
2
2
2
Phân tích: Vì vế trái là một biểu thức có bậc 2 nên ta sử dụng giả thiết a + b + c = 1 để

đưa bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức đồng bậc 2:
a3
b3
c3
a2 + b2 + c2
+
+
≥
b + 2c c + 2a a + 2b
3

. Khi đó biểu thức cộng thêm cũng phải là một biểu

thức bậc 2.
9a 3
9a 3
+ a ( b + 2c ) ≥ 2
.a.( b + 2c ) = 6a 2
b
+
2
c
b
+
2
c
Giải Áp dụng bất dẳng thức Côsi ta có:


9b 3
9b 3
+ b( c + 2 a ) ≥ 2
.b.( c + 2a ) = 6b 2
c + 2a
Tương tự ta có: c + 2a
9c 3
9c 3
+ c( a + 2b ) ≥ 2
.c.( a + 2b ) = 6c 2
a + 2b
a + 2b

Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được:
 a3
b3
c3 
2
2
2
9
+
+
÷+ 3. ( ab + bc + ac ) ≥ 6 ( a + b + c )
b
+
2
c
c
+
2
a
a
+
2
b


≥ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 3. ( ab + bc + ac )

Do ( a

2

+ b2 + c2 )

 a3
b3
c3 
 ≥ 3 a 2 + b 2 + c 2
9
+
+
b
+
2
c
c
+
2
a
a
+
2
b
≥ .( ab + bc + ac ) .Suy ra: 


(

)

 a3
b3
c3  a 2 + b2 + c 2 1
1

 ≥
+
+
=
a=b=c=
b
+
2
c
c
+
2
a
a
+
2
b
3
3

3
Hay 
.Dấu “=” xảy ra khi