CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

A. Lý thuyÕt
1. BÊt ®¼ng thøc C«-si cho hai sè kh«ng ©m:
Cho a
1
, a
2
≥ 0 th×
21
21
aa
2
aa
≥
+
. (1)
Chøng minh. Ta cã
(1) ⇔
0aa2aa
2121
≥−+
⇔
( )
0aa
2
21
≥−
. (2)
Do (2) ®óng nªn (1) lu«n ®óng.
DÊu “ = ” cña (1) x¶y ra ⇔ a
1
= a

2
.
2. BÊt ®¼ng thøc C«-si cho ba sè kh«ng ©m:
Cho a
1
, a
2
, a
3
≥ 0 th×
3
321
321
aaa
3
aaa
≥
++
.
Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si cho hai sè kh«ng ©m, ta cã:

2121
aa2aa
≥+
, (3)

3
3213
3
3213

aaaa2aaaa
≥+
, (4)

(
)
4
3 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 4 4a a a a a a a a a a a a a a a+ ≥ =
. (5)
Céng tõng vÕ cña (3), (4), (5), ta ®îc a
1
+ a
2
+ a
3

3
321
aaa3
≥
⇔
3
321
321
aaa
3
aaa
≥

++
. (®pcm)
§¼ng thøc x¶y ra ⇔ (3), (4), (5) ®ång thêi x¶y ra ®¼ng thøc ⇔ a
1
= a
2
= a
3
.

3. BÊt ®¼ng thøc C«-si cho bèn sè kh«ng ©m:
Cho a
1
, a
2
, a
3
, a
4
≥ 0 th×
4
4321
4321
aaaa
4
aaaa
≥
+++
.
Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si cho hai sè kh«ng ©m, ta cã:

3
a
1
+ a
2

21
aa2

,
(5)
a
3
+ a
4

43
aa2

, (6)
2
21
aa(
+
)aa
43

4
4321
aaaa4

.
(7)
Cộng từng vế của (5), (6), (7), ta đợc:
4
4321
4321
aaaa
4
aaaa

+++
.
Đẳng thức xảy ra (5), (6), (7) đồng thời xảy ra đẳng thức a
1
= a
2
= a
3
= a
4
.
Tổng quát : Cho a
1
, a
2
,,a
n
0 , ta luôn có
n
a...aa

n21
+++

n
n21
a...aa
. (*)
Dấu = của (*) xảy ra a
1
= a
2
= = a
n
.
Chú ý: Trong sách giáo khoa Đại số 10 thì bất đẳng thức Cô-si đợc phát biểu cho
hai hoặc ba số dơng, nghĩa là nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si với nhiều hơn ba
số thì ta cần phải chứng minh. Bạn đọc đã biết nếu chỉ áp dụng bất đẳng thức Cô-si
cho hai hoặc ba số thì rất khó khai thác hết cái hay và các ứng dụng rộng của nó.
Nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho trờng hợp hai hoặc ba số mà chứng minh đợc
tơng đối ngắn gọn thì ta trình bày cách đó, còn nếu không ta sẽ áp dụng luôn.
B.Bài tập
Ví dụ 1 . Cho tổng S = a +
3
a
1
( a > 0 ).
+) Ta sẽ biến đổi tổng S thành tổng S
1
có tích không đổi:
S =

33
a
1
3
a
3
a
3
a
a
1
a
+++=+
.
Tổng S
1
=
3
a
1
3
a
3
a
3
a
+++
có tích
27
1

a
1
.
3
a
.
3
a
.
3
a
3
=
.
+) Ta sẽ biến đổi tổng S thành tổng S
2
có tích là
4
)a2(
1
:
4
S =
333
a2
1
a2
1
2
a

2
a
a
1
a
+++=+
.
Tæng S
2
=
33
a2
1
a2
1
2
a
2
a
+++
cã tÝch lµ
3 3 4
1 1 1
. . .
2 2 2 2 (2 )
a a
a a a
=
.
VÝ dô 2. Cho tÝch P = sin

4
x cos
2
x .
+) Ta sÏ biÕn ®æi tÝch P thµnh tÝch P
1
cã tæng kh«ng ®æi :
P = sin
4
x. cos
2
x = 4
xcos.
2
xsin
.
2
xsin
2
22
.
TÝch P
1
=
xcos.
2
xsin
.
2
xsin

2
22
cã tæng

xcosxsinxcos
2
xsin
2
xsin
222
22
+=++
= 1.
+) Ta sÏ biÕn ®æi tÝch P thµnh tÝch P
2
cã tæng lµ 1 + cos
2
x .
P = sin
4
x. cos
2
x .
Ta cã
2 2
2
sin sin
. .2cos
2 2 2
P x x

x
=
.
TÝch P
2
=
xcos2.
2
xsin
.
2
xsin
2
22
cã tæng

xcos1xcos2xsinxcos2
2
xsin
2
xsin
2222
22
+=+=++
.



C¸c BÊt §¼ng Thøc ®¹i sè
5

Bài 1
Cho hai số không âm a và b thoả mãn điều kiện a + b = 5 . Chứng minh:
1) ab
4
25

; 2) a
2
b
27
500

; 3) a
2
b
3

108

.
Giải
1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có:
ab
2
ba

+

ab
2

5

ab
4
25

.
Dấu = xảy ra
2
5
ba
5ba
ba
==



=+
=
.
2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta có:

3
b
2
a
2
a
3
b

2
a
2
a

++

3
2
4
ba
3
ba

+

4
ba
3
5
2
3







a

2
b
27
500

.
Dấu = xảy ra







=
=






=+
=
3
5
b
3
10
a

5ba
b
2
a
.
3) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho năm số không âm, ta có:
6

5
3
b
.
3
b
.
3
b
.
2
a
.
2
a
5
3
b
3
b
3
b

2
a
2
a

++++

2 3
5
5 108
a b a b+



2 3
5
1
108
a b

a
2
b
3
108.
Dấu = xảy ra

=+
=
5ba
3
b
2
a




=
=
3b
2a
.
Bài 2.
Cho ba số không âm a, b, c thoả mãn điều kiện a + b
2
+ c
3
= 11. Chứng minh :
1) a b
2
c
3

27
1331

; 2) abc
6
1086

.
Giải
1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta có:

3
32
32
cab
3
cba

++

3
32
cab
3
11

ab
2
c
3

27

1331

.
Dấu = xảy ra









=
=
=






=++
==
3
32
32
3
11
c

3
11
b
3
11
a
11cba
cba
.
2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 11 số không âm,ta có:
7
2 2 2 3 3
6
...
6 6 3 3 3 2 2
11
a a b b b c c
+ + + + + + +
142 43

{
2 2 2 3 3
11
6
... . . . . .
6 6 3 3 3 2 2
lan
a a b b b c c
≥
⇔

2 3 6 6 6
11
8
11 3.6
a b c a b c+ +
≥
hay 1
11
8
666
6.3
cba
≥
⇔
8666
6.3cba
≤

6
108.6abc
≤⇔
.
DÊu “=” x¶y ra





=
=

=
⇔





=++
==
⇔
3
32
32
2c
3b
6a
11cba
2
c
3
b
6
a
.
Bµi 3. Chøng minh r»ng:
1) Víi a, b ∈
[ ]
0;1
th× (1 – a )(1 – b)( a + b )
27

8
≤
.
2) Víi a ∈ [– 2; 2], b ∈ [
3
1
; 3], c ∈ [0; 4] th×
( )( )( )
[ ]
3
512
3c4b3a2c4b3a2
≤+++−−−
.
Gi¶i
1) Do
[ ]
, 0;1a b ∈
nªn
1 0; 1 0; 0a b a b− ≥ − ≥ + ≥
.
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si cho ba sè kh«ng ©m, ta cã:
( )( )( )
3
3
bab1a1
bab1a1







++−+−
≤+−−

27
8
)ba)(b1)(a1(
≤+−−⇔
.
8
Dấu = xảy ra
3
1
ba
bab1
b1a1
==



+=
=

.
2) Vì
[ ]
2; 2a
,

1
; 3
3
b




và
[ ]
0; 4c
nên:
2
0a

hay
2 4a

,
3
0b

hay 3 1b ,
0c4

hay
0c4

.
Từ đó suy ra 2a + 3b + 4c + 3 0.

Đặt p = ( 2 a)( 3 b)( 4 c )( 2a + 3b + 4c + 3).
Ta có 2 . 3 . 4p = (4 2a ) (9 3b ) (16 4c )( 2a + 3b + 4c + 3).
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bốn số không âm, ta có:
( 4 2a)( 9 3b)( 16 4c)( 2a + 3b + 4c + 3 )

4
4
3c4b3a2c416b39a24






++++++
.
24p 8
4
p
3
512

.
Dấu = xảy ra





+++=

=
=

3c4b3a2a24
c416b39
b39a24





=++++
+=+=
+=

1)12a2()5a2(a4
12a2b37c4
5a2b3









=
=
=

2c
3
1
b
2a
.
9
Bài 4. Cho
x


0;
2


ữ

;
,p q
*
N

. Tìm GTLN của hàm số y =
sin cos
p p
x xì
( ĐHBK HN 1997 ).
Giải. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (p + q) số dơng, ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2
sin sin cos cos
... ... .
sin sin cos cos
... . ...
p q
plan qlan
plan qlan
x x x x
p p q q
x x x x
p q p p q q
+

+ + + + +
ữ
ữ
ữ

ữ
+
ữ
ữ
ữ

1 4 44 2 4 4 43 1 4 44 2 4 4 43
1 44 2 4 43 1 44 2 4 43
.

q
2
p
2
qp
22
q
xcos
.
p
xsin
qp
xcosxsin

+
+
+

qp
2qp
qp
q.p
)xcos.x(sin
)qp(
1

+
+

( )
2
qp
qp
qp
xcos.xsin
)qp(

q.p

+
+

qp
qp
qp
)qp(
q.p
xcos.xsin
+
+

.
Dấu = xảy ra
2 2
2
2 2 2
sin cos
cos
sin cos 1 sin
(0; )
(0; )
2
2
q
x x
x
p q

p q
p
x x x
p q
x
x




=

=
+




+ = =

+

+
=
+
=
qp
p
xsin
qp
q
xcos
.
10
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y =
xcos.xsin
qp
bằng
qp
qp
)qp(
q.p
+
+
,
đạt đợc khi

+
=
+
=
qp
p
xsin
qp
q
xcos
.
Bài 5. Chứng minh rằng
x R
ta luôn có:
1)
324
xsinxcos
+
;
2)
2
2
2002. 1

27 3
x x
x
+ +
+

4

( ĐH An ninh 1997).
Giải
1) Vì
cos 1, sin 1x x
nên







xsinxsin
xcosxcos
2
2
.
Từ đó suy ra 4
2 2
cos sin
cos sin
2 4 2

x x
x x
+ +
.
Ta lại có
xsinxsinxcos2xsinxcos
22222
2
2
1
2
2
1
224
++=+
.
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có:

2
2cos
2
x
+
2 2 2 2 2
sin sin 2cos sin sin
3
1 1 1 1
2 2 3 2 2 2
2 2 2 2
x x x x x

+ ì ì

3
2
)xcosx.(sin2
xsinxcos
2
2
.324
22
22
+
+
= 3
324
xsinxcos
+
.
11
DÊu “=” x¶y ra ⇔







−=
=
=

⇔







=
=
=
1xsinxcos
xsinxsin
xcosxcos
2.
2
1
2
xsinxsin
xcosxcos
22
2
2
xsinxcos
2
2
22
⇔
2
2

2
cos cos
sin sin cos 0 ( )
2
cos 0
x x
x x x x k k
x
π
π

=


= ⇔ = ⇔ = + ∈


=


Z
.
2) Ta cã
2 2 2 2
2 2
2002 1 2002 1 2002 1 2002 1
3
1 1 1
27 3 3 3 3 3
3 3 3

x x x x x x x x
x x
− + + − + + − + + − + +
+ = + × + × + ×
.
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si cho bèn sè d¬ng, ta cã:
2
2 2 2
2002 1
2 2
2002 1 2002 1 2002 1
3
4
1 1 1
27 3 4 3 3 3 3
3 3 3
x x
x x x x x x
x x
− + +
− + + − + + − + +
+ ≥ × × ×
⇔
2 2 2
2
4
2002 1 3 3 6006
27 3 4. 3
x x x x x
x

− + + − +
+ ≥
⇔
4
x60061x2002x
x
3.4327
2
2
≥+
++−
≥ 4.
DÊu “=” x¶y ra ⇔
0x
0x
3.
3
1
3
1x2002x
x3
2
2
=⇔





=

=
++−
.
12
Bài 6. Cho ba số thực dơng x, y, z. Chứng minh rằng

( )
6zyx
x
y
y
z
z
x
z
1
y
1
x
1
1xyz
++++++

+++
. (*)
( Tạp chí Toán học & tuổi trẻ ).
Giải. Xét vế trái (VT) của (*):
VT =
( )
1xyz
+
x
y
y
z
z
x
z
1
y
1
x
1
+++








++

=
z
1
y
1
x
1
x
y
xy
z
x
zx
y
z
yz
+++






++

++








+
.
áp dụng bất đẳng thức Cô-si lần lợt cho hai số dơng, ta có:
z2
y
z
yz
+
; (1)
x2
z
x
zx
+
; (2)
y2
x
y
xy
+
; (3)

2
x
1
x
+
; (4)
2
y
1
y
+
; (5)
2
z
1
z
+
. (6)
Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4), (5) và (6), ta đợc
VT = (xyz +1)
x
y
y
z
z
x
z
1
y

1
x
1
+++








++
6zyx
+++
.
Dễ thấy dấu = của (*) xảy ra
1zyx
===
.
Bài 7. Cho x
+
. Chứng minh rằng:
1)
++
1x3xx
345
0. (1)
2)
02x7x3xx

4567
+++
. (2)
Giải
1) Nếu x = 0 thì (1) luôn đúng.
Nếu x 0, chia cả hai vế của (1) cho x
3
, ta đợc:
3
x
1
xx
3
2
++
. (3)
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có:
13
3
x
1
xx
3
2
++
.
2
3
3
1

x x
x
ì ì
= 3.
Vậy (3) đúng nên (1) đúng.
Dấu = của (1) xảy ra
1x
x
1
x
xx
3
2
=





=
=

.
2) Nếu x = 0 thì (2) luôn đúng.
Nếu x > 0, chia cả hai vế của (2) cho x
4
, ta đợc:

7
x

2
x3xx
4
23
+++
.
(4)
Xét vế trái của (4): VT =
3 2 3 2
4 4 4
2 1 1
3 ( )x x x x x x x x
x x x

+ + + = + + + + + +
ữ

.
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bảy số dơng, ta có :

3 2 3 2
7
4 4 4
2 1 1
3 7 7x x x x x x x x
x x x
+ + + ì ì ì ì ì ì =
.
Vậy (4) đúng nên (2) đúng.
Dấu = của (2) xảy ra

=
==
=

4
2
23
x
1
x
1xxx
xx
.
Bài 8 . Chứng minh rằng:
1) Với a >1 thì

2
5
)1a)(1a(2
27
a
3

+
+
. (1)
14