CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC AMGM

BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM
BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM
(AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của
Geometric mean)
I. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức AM – GM
1. Dạng tổng quát
+ Cho a1, a2, a3 ,..., an là các số thực không âm ta có:
Dạng 1:

a1  a2  ...  an n
� a1a2 ...an
n

a1  a2  ...  an �n n a1a2 ...an

Dạng 2:

n

�a1  a2  ...  an �
Dạng 3:
�
�
�
� �a1a2...an
n
�
�

( Dấu “ = “ xảy ra
a1 = a 2 = … = a n )

+ Cho a1, a2, a3 ,..., an là các số thực dương ta có:
1 1
1
n2


...

�
Dạng 1:
a1 a2
an a1  a2  ...  an
�1 1
1� 2

a

...

a


...

�
�
1
2
n �
��n

a
a
a
�1
2
n �

( Dấu “ = “ xảy ra
a1 = a 2 = … = a n )

Dạng 2:

2. Một số dạng đặc biệt

a



n
Điều kiện

Với n  2
a, b �0

Với n  3
a, b, c �0

Dạng 1

a b

� ab
2

a b c 3
� abc
3

Dạng 2

�a  b �
�
� �ab
�2 �

�a  b  c �
�
� �abc
� 3
�

Dạng 3

1 1
4
 �
a b a b

1 1 1
9
  �

a b c a bc

2

Điều kiện
Dạng 4
Dạng 5
Dạng 6

3

a, b  0

a, b, c  0

1 1�
��4
�a b �
1
1 �1 1 �
� � �
a  b 4 �a b �

 a  b �
�

x2 y 2  x  y 

�
a

b
ab

2

Với x, y và a, b > 0
Dấu “=” �

x y

a b

1 1 1�
 ��9
�a b 9 �
1
1 �1 1 1 �
� �  �
a  b  c 9 �a b c �

 a  b  c �
�

x2 y 2 z 2  x  y  z 


�
a
b
c

abc

2

Với x, y , z và a, b, c >
0

1


Dấu “=” �
……..
Đẳng thức xảy
ra

x y z
 
a b c

……….

……………

a=b

a=b=c

3. Một số bất đẳng thức (Bổ đề) được suy ra từ bất đẳng
thức AM-GM



 



2





+ a2  b2 �2ab; 2 a2  b2 � a  b ; 2 a  b � a  b
+ a 2  b 2  c 2 �ab  bc  ca
2
+ 3  a 2  b2  c 2  � a  b  c  �3  ab  bc  ca 



 



2





+ 3 a4  b4  c4 � ab  bc  ca �3abc a  b  c

II. Áp dụng giải một số bài toán dạng 6:
1. Bài toán xuất phát: Cho a, b là hai số bất kì và x, y là hai số dương.
2
2
 x  y
Chứng minh rằng: x  y �
a
b
ab

2

(1)

Chứng minh:
* Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
bx 2  a  b   ay 2  a  b  �ab  x  y  � abx 2  b 2 x 2  a 2 y 2  aby 2 �abx 2  2abxy  aby 2
2

x y
2
�  bx  ay  �0 (BĐT đúng với x, y và a, b > 0). Dấu “=” � 
a b
2
2
x2 y 2 z 2  x  y 
z2  x  y  z 
* Mở rộng BĐT (1) ta được:
(2)
  �

 �
a
b
c
ab
c
a bc
x y z
Dấu “=” �  
a b c
2
2
2
2
2
2
2
x  y
z  t
x  y  z t


Hoặc: x  y  z  t �
(3)

�
a
b
c d
ab

cd
a b c d
x y z t
Dấu “=” �   
a b c d

……………………………………………………………………………
2. Vận dụng các bổ đề trên ta xét một số bài toán bất đẳng thức:
Bài toán 1: Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn: a + b + c + d = 1;
CMR:

1 1 1 1
   16
a b c d

Chứng minh:
2
2
2
2
1  1  1  1
16
Áp dụng (3) ta được: 1  1  1  1  1  1  1  1 �

 16
a b c d a b c d a b c d
1
2

(đpcm)

1
Dấu “=” xảy ra � a  b  c  d  .
4

Bài toán 2: CMR với  số thực a, b, c > 0 thì

2

a
b
c
3


�
bc ca ab 2


Chứng minh:

 a  b  c
a
b
c
a2
b2
c2






�
Ta có:
b  c c  a a  b a  b  c  b  c  a  c  a  b  2  ab  bc  ca 
2

Mà  a  b  c  �3  ab  bc  ca  �
2

 a  b  c

2

ab  bc  ca

�3 .

 a  b  c
a
b
c
a2
b2
c2
3






�
�
Do đó:
b  c c  a a  b a  b  c  b  c  a  c  a  b  2  ab  bc  ca  2
2

Dấu “=” xảy ra � a  b  c .
* Ta có thể mở rộng bài toán như sau: Cho các số thực dương a, b, c, p, q.
Chứng minh rằng:

(đpcm).

a
b
c
3


�
pb  qc pc  qa pa  qb p  q

Bài toán 3: Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:
2a 2
2b 2
c2
1



�  2a  2b  c 
2b  c 2a  c 4a  4b 4

Chứng minh:

2

2

c�
�c � �
ab �
2
2
�
�
�
2� 1
Ta có: a  b  �2 � ��
  2a  2b  c  (đpcm)
c
c ab
2
a

2
b

c
4

b
a
2
2

Bài toán 4: Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:
a 5 b 5 c5
 
�a 3  b3  c3
bc ca ab

Chứng minh:

  b   c 
2

5
5
5
6
6
6
a3
a
b
c
a
b
c
Ta có:

 





bc ca ab abc bca cab abc
Dễ dàng chứng minh được: a 3  b3  c 3 �3abc
a 5 b5 c 5
 
�a 3  b3  c3
Từ (1) và (2) suy ra:
bc ca ab

3

2

3

abc

2

abc

a
�

3

 b3  c3



2

(1)

3abc

(2)
(đpcm)

Bài toán 5: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh
rằng:
a3
b3
c3
a b c
 2
 2
�
2
2
2
2
3
a  ab  b b  bc  c c  ac  a
Chứng minh:

a3
b3
c3
Ta có: 2



a  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2
a4
b4
c4



a a2  ab  b2
b b2  bc  c2
c c2  ac  a2





a

2



 b2  c2









2

a

2

 b2  c2



2

� 3

a  b3  c3  a2b  ab2  b2c  bc2  a2c  ca2
a  b  c a2  b2  c2







3


Ta cần chứng minh



a2  b2  c2 a  b  c
�
a b c
3

 



Hay 3 a2  b2  c2 � a  b  c

2

Bất đẳng thức cuối cùng là một đánh giá quen thuộc.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c
.
Bài toán 6: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:

2x
2y
2z
1 1 1



�


x6  y 4 y 6  z 4 z 6  x4 x4 y 4 z 4
Chứng minh:

2
 x  1 � 4x (1);
Ta có: 1  1  x  1 �
x 4 y 4 x6 y 4 x6  y 4 x6  y 4
1 1
4y
1 1
4z
 4 � 6 4 (3);
Tương tự: 4  4 � 6
4 (2);
4
y
z
y z
z
x
z x
2

Cộng theo từng vế các BĐT (1); (2); (3) ta có:

2x

2y
2z
1 1 1
 6 4  6 4 � 4  4  4 . Dấu “ = ” xảy ra � x  y  z  1 .
4
x y
y z
z x
x
y
z
6

Dấu “=” xảy ra � a  b  c .
Bài toán 7: Cho a, b, c là các số thực dương.
1

Chứng minh rằng:

a

3



b

8



2a  3c

�



16 2



3 a b c

Chứng minh:
1
3
12
32
16



�
Ta có:
a
b
a 3 b
a3 b
Mà



a3 b

 
2

 1. a  3. 3b



2



1

� a  3 b �2 a  3b . Do đó:





� 1  3 a  3b
a



3
b

�

16
a3 b

8

�

a  3b

Suy ra:
� 22
�
1
3
8
8
8
22


�

 2�

�
a
b

2a  3c
a  3b
2a  3c
2a  3c �
� a  3b
�

32
a  3b  2a  3c

(1). Mà





a  3b  2a  3c



� a  3b  2a  3c �2 3 a  b  c

Từ (1) và (2) suy ra:

1
a



3

b





2



(2).
8
2a  3c

�



16 2



3 a b c

Bài toán 8: Cho các số thực không âm a, b, c sao cho
ab  bc  ca  3.

4



�2 3a  3b  3c

(đpcm)


1
1
1


�1
a2  2 b2  2 c2  2
(Tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán tỉnh Phú Thọ năm 2009 2010)
Chứng minh:
Ta có:
�1
1
1
1
1 � �1
1 � �1
1 � 1
 2
 2
�1 � �  2
� �  2
� �  2
��
2

a 2 b 2 c 2
�2 a  2 � �2 b  2 � �2 c  2 � 2
Chứng minh rằng:

a2
b2
c2
� 2


�1
a  2 b2  2 c2  2
Áp dụng bổ đề (3) ta được:







2



2

a b c
a b c
a2
b2

c2


�

a2  2 b2  2 c2  2 a2  b2  c2  6 a2  b2  c2  2 ab  bc  ca


 a  b  c
 a  b  c



2
2

1



(dpcm)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi a  b  c  1.
Bài toán 9: Cho a, b, c là những số thực dương. Chứng minh rằng:
a2
b2
c2
a b c



�
5
3a2  8b2  14ab
3b2  8c2  14bc
3c2  8a2  14ca
(Chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010)
Chứng minh:



 



2

Ta có: 3a2  8b2  14ab  2a  3b  a  b
Dấu “ = ” xảy ra � a  b .

2





� 2a  3b

2



 14ca � 2c  3a

Chứng minh tương tự ta có: 3b2  8c2  14bc � 2b  3c
3c2  8a2
Từ (1); (2); (3) suy ra:
a2
3a2  8b2  14ab



b2
3b2  8c2  14bc



(1)
2

2

(2)
(3)

c2





3c2  8a2  14ca
2

a b c
a2
b2
c2
a b c
(đpcm)
�


�

2a  3b 2b  3c 2c  3a 5 a  b  c
5





Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c
a,b,c  0
�
Bài toán 10: Cho �
,
abc  1
�

Chứng minh rằng

1
1
1
3
 3
 3
�
a (b  c) b (c  a) c (a  b) 2
3

5


(IMO 1995 – Canada)
Chứng minh:
Đặt a  1 ; b  1 ; c  1 với x, y, z > 0 � xyz  1
y

x

z

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh:

x2
y2
z2
3



�
yz zx x y 2

Áp dụng bổ đề trên ta có:

 x  y  z   x  y  z �33 xyz  3 (do xyz  1 )
x2
y2
z2


�
y  z z  x x  y 2 x  y  z 
2
2
2
2

Dấu “ = ” xảy ra � x  y  z  1 Hay a  b  c  1
3. Vận dụng các bổ đề trên ta xét một số bài toán GTNN, GTLN:
Bài toán 1: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 2.
Tìm GTNN của: P 

x2
y2
z2



yz zx x y

Lời giải:

 x  y  z x  y  z 2
x2
y2
z2


�

  1.
Ta có P 
y  z z  x x  y 2 x  y  z 
2
2
2
Vậy GTNN của P = 1 � x  y  z 
3
2

Bài toán 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn:
4a  9b  16c  49.
1 25 64
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P 

a b
c

Lời giải:





2

2
2
2
2  15  32
Ta có: P  4  9.25  16.64  2  15  32 �
 49
4a 9b
16c
4a 9b 16c 4a  9b  16c

4a  9b  16c  49
�
�
Vậy GTNN của P = 49. Dấu “ = ” xảy ra � �2 15 32


�
�4a 9b 16c
1
5
� a  ;b  ; c  2
2

3

Bài toán 3: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
1
9
của biểu thức: Q  2

2
2
a  b  c ab  bc  ca
Lời giải:
�
�
1
1
1
7



Ta có: Q  � 2
�
2
2
�a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca � ab  bc  ca

 1 1 1
7
9



 c  2 ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c
2

� 2
a  b2

6

2

2



7
ab  bc  ca


9
21
1
2
Q
�

ab

bc


ca
�
a

b

c
2

 . Suy ra:
Mà:
3
a b c
a b c









2

1
3
a
c
Bài toán 4: Cho , b , là các số thực dương thỏa mãn: abc  ab  bc  ca .

Với a + b + c = 1  Q

30. Vậy GTNN của Q = 30 khi a  b  c  .

Lời giải:

1
1
1


a  2b  3c 2a  3b  c 3a  b  2c
1 1 1
1
1
1
Từ abc  ab  bc  ca �    1 . Đặt x  ; y  ; z  thì x  y  z  1
a b c
a
b
c
2
2
2
2
2
2
2
2

x
y
( x  y)
x
y
z
( x  y)
z
( x  y  z)2

�
�   �
 �
Từ BĐT
(*)
a b
ab
a b
c
ab
c
a bc
2
1 2 3 12 22 32  1  2  3
36

Áp dụng (*) ta có: a  2b  3c       �
x y z x 2 y 3z x  2 y  3 z x  2 y  3z
1
x  2 y  3z


(1)
a  2b  3c
36
1
2x  3y  z
1
3x  y  2 z
�
�
Tương tự:
(2);
(3)
2a  3b  c
36
3a  b  2c
36

Tìm giá trị lớn nhất của: K 

Cộng (1), (2), (3) ta được:
K

1
1
1
6( x  y  z ) 1


�


a  2b  3c 2a  3b  c 3a  b  2c
36
6

Vậy giá trị lớn nhất của K 
Dấu “ = ” xảy ra �

1
6

1 2
3
1


và x  y  z  1 � x  y  z 
x 2 y 3z
3
Hay a  b  c  3

Bài toán 5: Cho a, b là các số thực dương, thỏa mãn: a + b = 1
Tìm GTNN của: S 

1
2

2
ab
a b

2

1 2
Ta có: S  2 1 2  2  2 1 2  4 � 2  2 
9
a  b ab a  b 2ab a  b  2ab
2
1  1  1

1
2
1
1
1
hoặc S  2 2   2 2   � 2 2
9
a  b ab a  b ab ab a  b  2ab
2

sai lầm ở đâu ???
Lời giải đúng:

 1  1
1
2
1
1
3
3


 2


�2

2
2
2
2
a  b ab a  b
2ab 2ab a  b  2ab 2ab
2

Ta có: S 

 1  1 
3
 4  6  10
2
2
.
 a  b  2 �a  b �
2

�

�
�
�2 �

Vậy GTNN của S = 10 � a  b 

1
2

7


III. Bài tập vận dụng

x2
y2
z2


Bài 1: Cho x, y, z > 0. Tìm GTNN của: P  2
x  2yz y 2  2zx z 2  2xy
Bài 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a3
b3
c3
1


� a 2  b2  c2
a  2b b  2c c  2a 3





Bài 3: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

2
a3
b3
c3
1


�  a  b  c
b  2c c  2a a  2b 9

3
3
3
a  b  c
Bài 4: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng: a  b  c �
ab bc ca
6

2

Bài 5: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
a
b
c
a b c



�
b2  bc  c2 c2  ca  a2 a2  ab  b2 ab  bc  ca
Bài 6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn : a2  b2  c2  3.
a
b
c


�a  b  c
Chứng minh rằng:
b
c
a

a 3 b3 c 3
Bài 7: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
  �ab  bc  ca
b
c
a
Bài 8: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: x + y = 1;
Tìm GTNN của: P 

1
2
 2
xy x  y 2

Bài 9: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

2a 2
2b2
c2
1


�  2a  2b  c 
2b  c 2a  c 4a  4b 4

Bài 10: Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 3abc.
Chứng minh rằng:

bc
ca
ab
 3
 3
�1
a  c  2b  b  a  2c  c  b  2a 
3

Bài 11: Cho a,b,c > 0 thỏa mãn: ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:

a
b
c


�abc

2a 2  bc 2b2  ca 2c 2  ab

Bài 12: Cho các số dương a, b, c thoả mãn: a  b  c �2017 .
1
2018
Tìm GTNN của biểu thức: P  2

a  b2  c2 ab  bc  ca

8