Chuong 3 phuong phap toa do trong mat phang

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
§1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. LÝ THUYẾT
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
r
Vectơ ur ≠ 0 đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆
nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.
r
r
Nhận xét: – Nếu u là một VTCP của ∆ thì ku (k ≠ 0)
cũng là một VTCP của ∆.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác
định nếu biết một điểm và một VTCP.
2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
r
Vectơ nr ≠ 0 đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆
nếu giá của nó vuông góc với ∆.
r
r
Nhận xét: – Nếu n là một VTPT của ∆ thì kn (k ≠ 0)
cũng là một VTPT của ∆.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác
định nếu biết một điểm và một VTPT.
r
r
– Nếu u là một VTCP và n là một VTPT
r r
của ∆ thì u ⊥ n .
3. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP
r

u = (u1; u2 ) .
Phương trình tham số của ∆:

 x = x0 + tu1

 y = y0 + tu2

(1) ( t là tham số).
Nhận xét: – M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R:

 x = x0 + tu1

 y = y0 + tu2

.

– Gọi k là hệ số góc của ∆ thì:
·
+ k = tanα,
với α = xAv
,α≠
900 .
u2

+k= u ,
1

với u1 ≠ 0 .

4. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP
r
u = (u1; u2 ) .

r
n = ( a; b )

– Nếu ∆ đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT
thì phương trình của ∆ là:
a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0

Các trường hợp đặc biệt:
• ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương
trình của ∆:

x y
+ = 1 .(phương
a b

trình đường thẳng theo

đoạn chắn) .
• ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: Phương trình
của ∆: y − y0 = k ( x − x0 ) (phương trình đường thẳng
theo hệ số góc)
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1 y + c1 = 0 và ∆2:
a2 x + b2 y + c2 = 0 .
Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ
phương trình:

a1x + b1 y + c1 = 0

a2 x + b2 y + c2 = 0

(1)
a

b

⇔ a1 ≠ b1 (nếu
2
2

• ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có một nghiệm
a2 , b2 ≠ 0 )
a

b

c

• ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm⇔ a1 = b1 ≠ c1 (nếu
2
2
2
a2 , b2 , c2 ≠ 0 )
• ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm

a

b

c

⇔ a1 = b1 = c1 (nếu
2
2
2

a2 , b2 , c2 ≠ 0 )

7. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
r
∆1: a1x + b1 y + c1 = 0 (có VTPT n1 = ( a1; b1 ) ) và
r
∆2: a2 x + b2 y + c2 = 0 (có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) ).

r r
 r r
khi (n1, n2 ) ≤ 900
· , ∆ ) = (n1, n2 )
(∆
 0 r r
1 2
r r
0
180 − ( n1, n2 ) khi (n1, n2 ) > 90
r r
a1b1 + a2b2

· , ∆ ) = cos(n·r , nr ) = n1.n2 =
cos(∆
r r
1 2
1 2
2
n1 . n2
a1 + b12 . a22 + b22

Chú ý: • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0 .
• Cho ∆1: y = k1x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì:
+ ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2
+ ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1. k2 = –1.
8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và điểm
M 0 ( x0 ; y0 ) .
d (M 0 , ∆) =

ax0 + by0 + c
a 2 + b2

• Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Phương trình chính tắc của ∆:
Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 và hai điểm
M ( xM ; yM ), N ( xN ; y N ) ∉ ∆ .
(2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0).
- M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0
Chú ý: Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường
.

thẳng không có phương trình
chính tắc.
-M,
N
nằm khác phía đối với ∆
5. Phương trình tổng quát của đường thẳng
⇔ (axM + byM + c)(axN + by N + c ) < 0 .
PT ax + by + c = 0 với a 2 + b2 ≠ 0 đgl phương trình tổng
• Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi
quát của đường thẳng.
hai đường thẳng
Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax + by + c = 0 thì ∆
Cho
hai đường thẳng ∆ 1: a1x + b1 y + c1 = 0 và
có:
r
a
∆
:
2 x + b2 y + c2 = 0 cắt nhau.
2
VTPT là n = (a; b) và VTCP
r
r
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo
u = ( −b; a ) hoặc u = (b; −a ) .
x − x0 y − y0
=
u1
u2

1


bởi hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 là:
a1x + b1 y + c1
a12 + b12

=±

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC biết A(1;4), B(3;2), C(7;3). Lập
phương trình tổng quát của các đường thẳng chứa đường
cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác.

a2 x + b2 y + c2
a22 + b22

B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng
Phương pháp: muốn viết phương trình tham số của đường
thẳng ∆ cần tìm 2 yếu tố:
r
 Véc tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là u (u1; u2 )
 Tìm điểm M 0 ( x0 ; y0 ) thuộc ∆
Chú ý:
r
 Nếu ∆ có hệ số góc k thì chọn u (1; k )
r uuuu
r
 Biết hai điểm M, N thuộc ∆ thì chọn u = MN

r
r
 Nếu ∆ có véc tơ pháp tuyến n(a; b) thì chọn u (b; −a)
Ví dụ 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆
trong các trường hợp sau:
∆ đi qua hai điểm A(1;-4), B(-3;5)
a)
∆ đi qua điểm M(1;-2) và có véc tơ pháp
b) r
tuyến n(4; −3)
Ví dụ 2: Cho biết trung điểm 3 cạnh AB, BC, CA của một
tam giác lần lượt là M(3;-2), N(-1;1), P(5;2). Hãy lập
phương trình tham số của các đường thẳng chứa 3 cạnh của
tam giác đó.
Ví dụ 3: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong
các trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(3;-5) và có hệ số góc k=-3.
b) d đi qua điểm N(0;-4) và song song với đường

Dạng 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng m và n lần lượt có phương
trình tổng quát là: (m) : 2 x − y − 5 = 0 , (n) : x − 3 y − 10 = 0
a) Tìm giao điểm của m và n
b) Tính góc giữa m và n
Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng cho
bởi phương trình sau đây:
a) (d1) : 2 x − 5 y + 1 = 0; (d 2 ) : x + 6 y + 2 = 0
b) (d3 ) : 6 x + 3 y + 5 = 0; ( d 4 ) : 2 x + y − 5 = 0
c)

 x = −6 + 10t
( d5 ) : 4 x + 5 y − 6 = 0; (d 6 ) : 
 y = 6 − 8t

Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Ví dụ 1: Trong mp Oxy cho hai điểm M(2;5) và N(5;1). Lập
phương trình đường thẳng đi qua điểm M sao cho khoảng
cách từ điểm N đến đường thẳng đó bằng 3.
Ví dụ 2:
Dạng 5: Phương trình đường phân giác
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng ∆1, ∆ 2 lần lượt có phương
trình ∆1 : 2 x − y − 2 = 0; ∆ 2 : 2 x + 4 y − 7 = 0 . Hãy lập phương trình
các đường phân giác của các góc hợp thành bởi các đường
thẳng đó.
Ví dụ 2: Trong mp tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(6;-3), B(-4;3), C(9;2). Viết phương trình đường thẳng d
·
chứa phân giác của góc BAC
( 3 cách)
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 x = −1 + 2t
thẳng ∆ có phương trình  y = 10 − t
Bài 1: Cho đường thẳng d: x-2y+2=0 và điểm M(1;4). Tìm

tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua d.
Bài 2: Trong mp Oxy cho đường thẳng d có phương trình
Dạng2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
tổng quát 3x+4y-12=0.
Phương pháp: muốn viết phương trình tổng quát của
a) Xác định tọa độ các giao điểm A, B của d lần lượt
đường thẳng ∆ cần tìm 2 yếu tố:

với trục Ox, Oy.
r
 Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là n(a; b)
b) Tính tọa độ hình chiều H của gốc O trên d
 Tìm điểm M 0 ( x0 ; y0 ) thuộc ∆
c) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d
Áp dụng công thức a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 sau đó chuyển về
qua gốc O.
Bài 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC biết phương trình
dạng ax + by + c = 0
các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt là: BC: x-3y-6=0;
Nhận xét:
CA: x+y-6=0; AB: 3x+y-8=0
 Nếu đường thẳng ∆ song song hoặc trùng với
a) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác.
ax
+
by
+
c
=
0
đường d có phương trình
thì ∆ có
b) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B. Tính
phương trình tổng quát ax + by + c ' = 0 và lúc đó ta
diện tích tam giác đó.
cần tìm c’
c) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao BH
 Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với đường d có

của tam giác ABC và tìm tọa độ chân đường cao H.
phương trình ax + by + c = 0 thì ∆ có phương trình
Bài
4:
Lập
phương trình đường thẳng đối xứng với đường
tổng quát bx − ay + c '' = 0 và lúc đó ta cần tìm c”.
thẳng
d:
x-2y-5=0
qua A(2;1)
 Có thể chuyển phương trình tham số sang phương
Bài
5:
Ba
trung
điểm
của 3 cạnh của một tam giác là
trình tổng quát bằng cách khử tham số như sau:
M1 (2;1), M 2 (5;3), M 3 (3; −4) . Tìm phương trình 3 cạnh của tam
 x = x0 + tu1
x − x0 y − y0
⇔
=
⇔ u2 ( x − x0 ) − u1( y − y0 ) = 0 giác.

y
=
y
+

tu
u1
u2
0
2

Bài 6 : Lập phương trình đường thẳng qua P(6;4) và tạo với
Ví dụ 1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d
hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2.
trong mỗi trường hợp sau:
Bài 7: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ sao
a) dr đi qua điểm A(2;-3) và có véc tơ pháp tuyến
cho
n(1; −2)
a) ∆ song song với đường thẳng d1 có phương trình
b) dr đi qua điểm B(4;-2) và có véc tơ pháp tuyến
3x-4y+2=0 và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B
u (4; −3)
sao cho AB=5.

2


b) Đường ∆ đi qua điểm I(3;1) và cắt các trục Ox, Oy
lần lượt tại C và D để cho tam giác CDE cân tại E
với E(2;-2)
Bài 8: Lập phương trình đường thẳng ∆ qua Q(2;3) và cắt
hai tia Ox ,Oy tại hai điểm M, N ( ≠ O) sao cho OM+ON nhỏ
nhất.
Bài 9: Cho M(2;3), viết phương trình đường thẳng qua M

cắt hai tia Ox ,Oy tại hai điểm hai điểm A, B sao cho tam
giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
Bài 10: Cho P(-2;3). Tìm phương trình đường thẳng qua P
và cách dều hai điểm A(5;-1), B(3;7).
Bài 11: Lập phương trình đường thẳng qua P(1;-2) và cách
Q(-1;1) một khoảng d =

5
5

.

Bài 12: Cho hai điểm A(0;5), B(4;1). Tìm trên ∆ : x4y+7=0 điểm C sao cho ∆ ABC cân tại C.
Bài 13: Cho ∆ : 2x+y-1=0. Tìm trên ∆ những điểm có
khoảng cách đến d: 4x+3y-10=0 bằng 2.
Bài 14: Trong mp Oxy cho hai đường thẳng ∆, ∆ ' lần lượt có
phương trình: ∆ : x + 2 y − 6 = 0; ∆ ' : x − 3 y + 9 = 0
a) Tính góc giữa ∆, ∆ '
b) Tính khoảng cách từ điểm M(5;3) đến ∆, ∆ '
c) Viết phương trình các đường phân giác của các góc
hợp bởi ∆, ∆ ' .
Bài 15: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua
điểm A(0;1) và tạo với đường thẳng ∆ : x+2y+3=0 một góc
ϕ = 45o .
Bài 16:
a) (CĐKTKT-2004) Lập phương trình đường thẳng
qua A(1;1) và tạo với đường thẳng d: 2x+3y+1=0
một góc 45o.
b) Lập phương trình đường thẳng qua A(-2;0) và tạo

Bài 22: Trong mp với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy xét
tam giác ABC với phương trình đường thẳng AB là x-2y+7=
0, các đường trung tuyến kẻ từ A, B lần lượt có phương trình
là x+y-5 =0 và 2x+y-11= 0. Hãy tính diện tích của tam giác
ABC và lập phương trình của hai đường thẳng AC, BC.
Bài 23:(KB-2004). Cho A(1;1), B(4;-3). Tìm C thuộc
đường thẳng d: x-2y-1=0 sao cho khoảng cách từ C đến AB
bằng 6 .
Bài 24: Cho A(1;2), B(2;5). Điểm M di động trên d: x-2y2=0 .
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
a) MA+MB
uuur uuur
b) MA + MB
2.Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của MA − MB
Bài 25: cho đường thẳng ∆ m : (m − 2) x + (m − 1) y + 2m − 1 = 0 và
hai điểm A(2;3), B(1;0).
a) Chứng minh ∆ m luôn qua một điểm cố định với mọi
m.
b) Xác định m để ∆ m có ít nhất một điểm chung với
đoạn AB.
c) Tìm m để khoảng cách từ A đến ∆ m lớn nhất.

Ghi chú:
 1. Nguyễn Mộng Hy:
 2. Trần Thành Minh:
§2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
A. LÝ THUYẾT
1. Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R:
( x − a ) 2 + ( y − b)2 = R 2 .

Nhận xét: Phương trình x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 , với
 x = 2 + 3t
a 2 + b 2 − c > 0 , là phương trình đường tròn tâm I(–a; –
với đường thẳng  y = − 2t một góc 60o

b), bán kính R = a 2 + b 2 − c .
7
A
(
;3),
B
(1;
2),
C
(
−
4;3)
Bài 17: Cho tam giác ABC với
.Viết
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: tại M ( x0 ; y0 )
4
uuur
( tiếp tuyến qua M nhận IM là véc tơ pháp tuyến) có
phương trình đường phân giác trong của góc A.
dạng: ( x0 − a)( x − x0 ) + ( y0 − b)( y − y0 ) = 0
Bài 18: (KA-2004) Cho tam giác ABC có: A(-6;-3), B(3.
Điều
kiện tiếp xúc: Cho đường tròn (C) có tâm I, bán
4;3), C(9;2).
kính R và đường thẳng ∆.

a) Viết phương trình các cạnh.
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , ∆) = R
b) Viết phương trình đường phân giác trong góc A của
B.
CÁC
DẠNG
TOÁN
tam giác ABC.
Bài 19: Cho hai đường thẳng ∆, ∆ ' có phương trình:
Dạng 1:Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương
 x = 7 − 2t
 x = −5 + 4m
trình đường tròn
∆:
;∆': 
y
=
−
3
+
t
y
=
−
7
+
3
m



Ví dụ 1: Hãy xét xem trong các phương trình bậc hai sau
a) Tìm giao điểm C của ∆, ∆ '
đây, phương trình nào là phương trình đường tròn? Tìm tâm
∆
,
∆
'
và bán kính nếu có:
b) Viết PTTQ của đường thẳng d qua I(2;-3) cắt
tại A, B sao cho I là trung điểm của AB.
a) x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 100 = 0
Bài 20: Trong mp với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho
b) x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 36 = 0
tam giác ABC có đỉnh A(1;0) và hai đường cao vẽ từ hai B,
c) 2 x 2 + 2 y 2 + 4 x − 8 y − 118 = 0
C có phương trình tương ứng là x-2y+1= 0 và 3x+y-1= 0.
Ví dụ 2: Cho phương trình đường bậc hai Cm :
Tính diện tích của tam giác ABC.
Bài 21: (CĐSPVP-2002). Trong mp với hệ toạ độ đề các
x 2 + y 2 + 4mx − 2my + 2m + 3 = 0 (1)
vuông góc Oxy cho tam giác ABC và điểm M(-1;1) là trung
a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường
điểm của AB. Hai cạnh AC và BC theo thứ tự nằm trên hai
tròn?
đường thẳng : 2x+y-2=0 ,và x+3y-3=0.
b) Nếu (1) là phương trình đường tròn, hãy tìm tọa độ
a) Xác định toạ độ ba đỉnh A,B,C của tam giác và viết
tâm và bán kính đường tròn đó theo m.
phương trình đường cao CH.
c) Tìm tập hợp tâm các đường tròn Cm.

b) Tính diện tích của tam giác ABC.
Dạng2: Lập phương trình đường tròn
Phương pháp:

3


 Tìm tọa độ tâm I(a;b) và bán kính R của đường
tròn. Khi đó phương trình đường tròn:

b) Cho A(3;-1). Chứng minh rằng A là điểm ở trong
đường tròn. Viết phương trình đường thẳng d qua A
2
2
2
và cắt (C) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
( x − a ) + ( y − b) = R
c) Cho d’: 3x-4y=0, chứng minh d’ cắt (C). Tính độ
 Giả sử phương trình đường tròn có dạng:
dài dây cung.
x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 (*), tùy điều kiện của bào
Bài 7: Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp
toán đưa về hệ với các ẩn số a,b,c và giải hệ
sau:
phương trình đó tìm a,b,c và thế vào (*).
a) Có bán kính bằng 5, tâm thuộc Ox và qua A(2;4)
Ví dụ 1: Trong mp(Oxy) cho hai điểm A(-2;0), B(0;4). Viết
b) Có tâm I(2;-1) và tiếp xúc ngoài với đường tròn
phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm O, A, B.
( x − 5) 2 + ( y − 3) 2 = 9

Ví dụ 2: Trong mp Oxy, hãy viết phương trình đường tròn
c) Tiếp xúc với hai trục và có tâm nằm trên đường
qua 3 điểm M(1;2), N(5;2), P(1;-2). ( 3 cách )
thẳng ∆ : 2 x − y − 3 = 0
Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
d) Qua A(0;2), B(-1;1) và có tâm trên đường thẳng
Phương pháp:
2x+3y=0
1. Nếu biết tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) của đường tròn (C) khi đó
uuur
e) Qua A(5;3) và tiếp xúc với đường thẳng d:
tiếp tuyến đi qua M nhận IM là véc tơ pháp tuyến có
x+3y+2=0 tại T(1;-1).
dạng: ( x0 − a)( x − x0 ) + ( y0 − b)( y − y0 ) = 0
Bài 8:
2.Nếu ta chưa biết tiếp điểm ta sử dụng điều kiện tiếp xúc:
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , ∆) = R
x 2 + y 2 = 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1
Ví dụ 1: Cho đường tròn x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 20 = 0 và điểm
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn
M(4;2)
x 2 + ( y − 1) 2 = 25 biết tiếp tuyến vuông góc với đường
a) Chứng tỏ rằng điểm M nằm trên đường tròn
thẳng 3x-4y=0.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M.
Bài
9:
Cho
hai đường tròn (C ) : x 2 + y 2 = 1 và

Ví dụ 2: Cho đường tròn (C) có phương trình
(C ') : ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = 4 . Viết phương trình tiếp tuyến chung
x2 + y 2 − 2 x + 4 y = 0
a) Chứng tỏ rằng điểm M(4;7) nằm ngoài đường tròn. của hai đường tròn.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) và Bài 10: Cho (Cm ) : x 2 + y 2 + 2mx − 2(m + 1) y − 2m − 4 = 0
đi qua điểm M.
a) Chứng minh (Cm) là đường tròn với mọi m
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
b) Viết phương trình (Cm) có bán kính nhỏ nhất
Bài 1: Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp
c) Chứng minh có hai đường tròn (Cm) tiếp xúc với
sau:
đường thẳng x+y+5=0.
a) Đi qua các điểm A(-1;3), B(1;-5) và có tâm ở trên
Bài 11: Cho đường tròn (C) x 2 + y 2 − 2 x + 2 y − 3 = 0
trục tung.
a) Tìm độ dài dây cung mà (C) chắn trên trục Ox
b) Qua 3 điểm A(0;6), B(4;0), C(3;0)
b) Tìm độ dài tiếp tuyến vẽ từ A(-2;3) đến đường tròn
c) Qua điểm A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục Ox, Oy
(C)
d) Có tâm là điểm M(-4;2) và tiếp xúc với đường
c)
Tìm tâm và bán kính đường tròn (C’):
thẳng có phương trình 3x+4y-16=0
x 2 + y 2 + 6 x + 6 y + 13 = 0 . Chứng minh (C) và (C’) tiếp
e) Qua hai điểm A(2;3), B(-1;1) và có tâm I(a;b) nằm
trên đường thẳng x-3y-11=0.
xúc ngoài tại T. Viết phương trình tiếp tuyến chung
Bài 2: Trong mp Oxy cho hai điểm A(8;0), B(0;6)

tại T.
a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 12: Cho đường tròn (C) x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 7 = 0
OAB
a) Điểm M(-1;1) ở trong hay ở ngoài đường tròn? Lập
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
phương trình đường thẳng chứa dây cung qua M và
OAB
có độ dài ngắn nhất.
Bài 3: Trong mp Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
b) Lập phương trình đường thẳng qua O và cắt (C)
x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 6 = 0 và điểm A(1;3)
theo một dây cung có độ dài là 2.
a) Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn.
Bài 13: Lập phương trình đường tròn:
b) Chứng tỏ điểm A ở bên ngoài đường tròn
a) Qua A(1;2) và tiếp xúc với hai trục tọa độ
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua A.
b) Tiếp xúc với hai đường thẳng song song
∆ : 2 x − y − 3 = 0, ∆ ' : 2 x − y + 5 = 0 và có tâm trên Oy
Bài 4: Cho đường thẳng ∆ : 3x − 4 y − 31 = 0 và điểm M(1;-7)
c) Tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 2 x + y − 5 = 0 tại điểm
a) Chứng tỏ điểm M thuộc đường thẳng ∆
T(2;1) và có bán kính bằng 2 5
b) Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng R=5
d) Tiếp xúc với hai đường thẳng
và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm M đã cho.
x − 2 y + 5 = 0, x + 2 y + 1 = 0 và qua gốc O.
Bài 5: Cho họ đường tròn (Cm ) có phương trình
2

2
Bài 14: Cho đường tròn (C) ( x − 2)2 + ( y + 1) 2 = 4
x + y − 2( m + 1) x − 2( m + 2) y + 6m + 7 = 0 ( m là tham số)
a) Tìm trên Oy điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với
a) Tìm tâm và bán kính đường tròn thuộc họ đã cho
(C) và hai tiếp tuyến này vuông góc.
với m=3
b) Tìm trên (C) điểm gần gốc O nhất.
b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn thuộc họ đã cho.
Bài 6: Cho đường tròn (C) x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0
a) Tìm tâm và bán kính của (C)

4


Bài 15: Cho hai đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 1 = 0, và
(C ') : x 2 + y 2 + 4 x + 4 y − 1 = 0 .
a) Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Tìm tọa
độ tiếp điểm T.
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung tại T.
Bài 16: Cho đường tròn ( x − 3)2 + ( y + 2)2 = 9 và điểm M(-3;1)
a) Chứng minh M ở ngoài đường tròn
b) Tính phương tích của M đối với đường tròn và
tính độ dài tiếp tuyến MT.
Bài 17: Cho hai đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0, và
(C ') : x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 3 = 0 . Chứng minh hai đường tròn chỉ
có hai tiếp tuyến chung.
Bài 18: viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

a

e

điểm Fi là: x ± = 0

• Với M ∈ (E) ta có:

MF1
MF2
=
=e
d ( M , ∆1 ) d ( M , ∆ 2 )

(e

< 1)
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xác định yếu tố của elip
Ví dụ 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ
các đỉnh, tâm sai và vẽ elip có phương trình:
a) ( E ) : 9 x 2 + 25 y 2 = 225
b)
x2 y 2
+
=1
4
1

Dạng 2: Lập phương trình chính tắc của Elip
Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của Elip (E) trong mỗi
(C ) : x + y − 2 x − 4 y − 5 = 0,

a) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x+y=0 trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 8
b) Biết tiếp tuyến xuất phát từ điểm A(3;-2)
3
b) Một tiêu điểm là F2 (0; 2) và điểm M (1;2 ) nằm
c) Gọi các tiếp điểm trong câu b) là T1,T2 . Viết phương
5
trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AT1T2 và đường
trên elip.
thẳng qua hai tiếp điểm T1, T2 .
Ví dụ 2: lập phương trình của elip biết
Bài 19: Cho hai đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 2 = 0, và
a) (E) có một đỉnh là (5;0) và tiêu cự là 6
2
2
b) (E) có một đỉnh là (0;3) và qua điểm M(4;1)
(C ') : x + y − 8 x − 4 y + 16 = 0 .
3
2
a) Chứng minh hai đường tròn bằng nhau và cắt nhau;
c) (E) qua hai điểm M (1; ), N (− 2; )
2
2
b) Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của
hai đường tròn;
Dạng 3: Tìm điểm thuộc elip
c) Tìm phương trình tiếp tuyến chung của chúng.
Cần nhớ:
Bài 20: Biện luận theo m vị trí tương đối của đường thẳng
x2 y 2

M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇔ 02 + 02 = 1 ⇔ MF1 + MF2 = 2a

∆ và đường tròn (C):
a
b
a) ∆ : x + 3 y + m = 0,(C ) : ( x − 2)2 + y 2 = 10
c
c
MF1 = a + xM , MF2 = a − xM

2
2
b) ∆ : x − my + m − 4 = 0,(C ) : x + y − 2 x − 4 y + 4 = 0
a
a
§3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP
x2 y 2
+
=1
Ví dụ 1: Cho elip (E):
A. LÝ THUYẾT
6
2
1. Định nghĩa
a)
Tìm trên (E) điểm M có hoành độ bằng 2
b)
Tìm tọa độ giao điểm của (E) và đường
Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c (c > 0).
M ∈ ( E ) ⇔ MF1 + MF2 = 2a (a > c)

thẳng y = x 3 − 2
c)
Tìm trên (E) điểm M sao cho góc
F1, F2: các tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự.
· MF = 90o
2. Phương trình chính tắc của elip
F
1
2
x2 y 2
d)
Tìm trên (E) điểm M sao cho
+
=1
2

2

a2

2

2

b2

F1M − F2 M = 6

2

( a > b > 0, b = a − c )

• Toạ độ các tiêu điểm:
.
• Với M(x; y) ∈ (E), MF1, MF2 đgl các bán kính qua
tiêu điểm của M.
F1 (−c;0), F2 (c;0)

MF1 = a +

c
c
x, MF2 = a − x
a
a

Ví dụ 2: Cho elip ( E ) : x 2 + 4 y 2 = 4 có tiêu điểm F1, F2 . M là
điểm bất kì trên (E)
a) Tìm trên (E) điểm M sao cho F1M = 2 F2 M
b) Chứng minh: F1M .F2 M + OM 2 = a 2 + b 2

Dạng 4: Tập hợp điểm là elip
Phương pháp: Để chứng minh tập hợp các điểm M là elip
3. Hình dạng của elip
• (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc có hai cách.
 Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm
toạ độ làm tâm đối xứng.
A
(
−

a
;0),
A
(
a
;0),
B
(0;
−
b
),
B
(0;
b
)
cố định F1, F2 là một hằng số
• Toạ độ các đỉnh: 1
2
1
2
 Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ M đến một
• Độ dài các trục:
trục lớn: A1A2 = 2a ,
điểm cố định F và đến một đường thẳng cố định ∆
B
B
=
2
b
trục nhỏ: 1 2

là một hằng số e<1.
c
• Tâm sai của (E): e =
(0 < e < 1)
Ví dụ 1: Cho hai đường tròn C1( F1; R1 ), C2 ( F2 ; R2 ) . (C1) chứa
a
trong (C2) và F1 ≠ F2 . Gọi M là tâm của đường tròn (C) thay
• Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng
x = ± a, y = ±b (ngoại tiếp elip).
đổi nhưng luôn tiếp xúc ngoài với (C1) và tiếp xúc trong với
(C2). Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.
4. Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao)
• Phương trình các đường chuẩn ∆ i ứng với các tiêu C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

5


3 4
Bài 1: Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường
d) Qua điểm M ( ; ) và F· 1MF2 = 90o
5 5
hợp sau:
2
a) Độ dài trục lớn bằng 6, tiêu cự bằng 4
Bài 11: Cho (E) 4 x + 9 y 2 = 36 .
F
(
−
2;0)
b) Một tiêu điểm là 1

và độ dài trục lớn bằng 10
a) Xác định tiêu điểm, độ dài các trục
3
b) Một đường thẳng thay đổi d: y=x+m. Định m để d
c) Một tiêu điểm là F1(− 3;0) và điểm M (1; ) nằm
2
cắt (E) tại hai điểm P, Q;
trên elip;
c) Tìm tọa độ trung điểm I của PQ. Chứng tỏ I di động
3
trên một đoạn thẳng cố định khi d thay đổi;
d) Elip đi qua điểm M(1;0) và điểm N ( ;1)
d)
Gọi P’ và Q’ lần lượt là đối xứng của P, Q qua gốc
2
2
2
O. Tứ giác PQP’Q’ là hình gì? Định m để nó là
x
y
Bài 2: Qua tiêu điểm của elip 2 + 2 = 1 vẽ đường thẳng
hình thoi.
a
b
2
2
2
2
vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tìm độ Bài 12: Cho hai elip ( E1) : x + 8 y = 16,( E2 ) : 4 x + 9 y = 36 .
dài đoạn AB.

Viết phương trình đường tròn qua các giao điểm của 2 e lip.
x2 y 2
Bài 13: Cho đường tròn tâm F1(−2;0) , bán kính bằng 6 và
Bài 3: Tìm trên elip 2 + 2 = 1 một điểm M sao cho
a
b
điểm F2 (2;0) . M là tâm đường tròn di động qua F2 và tiếp
MF1 = 2 MF2 , trong đó F1, F2 là các tiêu điểm của elip
xúc trong với (F1). Chứng minh m thuộc một elip (E). Viết
2
2
phương trình (E).
x
y
+
= 1 và điểm I(1;2). Viết phương
Bài 4: Cho elip
Bài 14:
16 9
a) Viết phương trình của (E) biết nó có một tiêu điểm
trình đường thẳng đi qua I biết rằng đường thẳng đó cắt elip
là F(-2;0) và khoảng cách từ F đến đỉnh trên trục
tại hai điểm A, B mà I là trung điểm của AB.
nhỏ là 3.
Bài 5: tìm tâm sai của elip trong các trường hợp sau;
b)
Hai đường thẳng d: mx-y=0 và d’:x+my=0 lần lượt
a) Các đỉnh trên trục bé nhìn hai tiêu điểm dưới một
cắt (E) tại M, P và N, Q. Tứ giác MPNQ là hình gì?
góc vuông;

Tính diện tích của nó theo m.
b) Độ dài trục lớn bằng k lấn độ dài trục bé (k>1)
c) Định m để MNPQ là hình vuông.
c) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn tới một đỉnh
Bài 15: Cho elip ( E ) : 5 x 2 + 9 y 2 = 45 có tiêu điểm F1, F2 . M là
nằm trên trục bé bằng tiêu cự.
Bài 6: Cho đoạn AB có độ dài không đổi bằng 3. Điểm
điểm bất kì trên (E).
A(0;a) di động trên trục tung và điểm B(b;0) di động trên
a) Chứng minh: chu vi tam giác F1MF2 không đổi. Tìm
trục hoành. M là điểm chia đoạn AB theo tỉ số -2. Tìm tọa
M để diện tích tam giác F1MF2 bằng 2
độ M, suy ra M di động trên một elip
1
1
b) Tìm M sao cho T = F1M + F2 M + F M + F M lớn nhất
x2
2
1
2
Bài 7: Cho elip ( E ) : + y = 1 . Tìm :
4
Bài 16: Cho đường tròn tâm O, bán kính bằng 2. AB là
a) trên (E) điểm N có tung độ gấp đôi hoành độ
đường kính trên trục Ox. Gọi M, N là hai điểm di động trên
b) trên (E) điểm P sao cho F· 1PF2 = 90o
tiếp tuyến của đường tròn tại A và B, có tung độ là m,n luôn
thỏa mãn điều kiện mn=4.
c) Tọa độ các đỉnh hình hình vuông nội tiếp (E) biết
a) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O);

hình vuông có các cạnh song song với Ox, Oy
b) AN và BM cắt nhau tại I. Chứng minh I di động trên
Bài 8: Cho elip (E) có độ dài trục lớn là 6 và qua điểm
một elip
3 2
M(
; 2)
c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AM và BN.
2
Chứng minh đường tròn đường kính HK qua hai
a) Lập phương trình (E)
tiêu điểm của E.
b) Tính độ dài dây cung của (E) vuông góc với trục
Bài 17: Cho điểm M di động trên ( E ) : 9 x 2 + 16 y 2 = 144 . H và
lớn tại tiêu điểm;
c) Tìm trên (E) điểm M cách tâm O một khoảng là
K là hình chiếu của M trên hai trục. Tìm M để diện tích tứ
26
giác OHMK lớn nhất.
Bài 18: Cho M, N là hai điểm bất kì trên Elip
2
Bài 9: Lập phương trình (E) biết:
( E ) : 4 x 2 + 9 y 2 = 36 và không trùng với các đỉnh. Gọi I là
a) Tiêu cự bằng 4 và khoảng cách từ một đỉnh đến tiêu trung điểm của MN.
điểm là 5;
a) Chứng minh rằng: tích hệ số góc của đường MN và
b) Độ dài trục nhỏ là 4 và một tiêu điểm có tọa độ
đường OI có giá trị không đổi.
(2;0)
b) Viết phương trình đường MN biết I có tọa độ (1;1)

c) Một tiêu điểm là F2 (5;0) và khoảng cách giữa hai
§4. PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOL
đỉnh là 9.
A. LÝ THUYẾT
Bài 10: Lập phương trình (E) biết:
1. Định nghĩa
a) Độ dài trục lớn là 8 và qua điểm (2 2;2) ;
Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c (c > 0).
M ∈ ( H ) ⇔ MF1 − MF2 = 2a
1
5
(a < c)
b) Qua hai điểm P(2 2; ), Q(2; )
3
3
F
F
=
2
c
F1, F2: các tiêu điểm, 1 2
: tiêu cự.
2
2.
Phương
trình
chính
tắc
của
hypebol

(1;
)
c) Có tiêu cự là 4 và qua điểm
5

x2

a

6

2

−

y2

b2

=1

( a, b > 0, b 2 = c 2 − a 2 )


F1 (−c;0), F2 (c;0) .
• Toạ độ các tiêu điểm:
MF
,
MF
• Với M(x; y) ∈ (H), 1 2 đgl các bán kính qua

tiêu điểm của M.

Phương pháp: Để chứng minh tập hợp (H) các điểm M là
Hypebol ta có hai cách:
 Cách 1:
• Tìm hai điểm cố định F1, F2.
c
c
MF1 = a + x , MF2 = a − x
a
a
• Chứng minh MF1 − MF2 = 2a (2a < F1F2 ) .
3. Hình dạng của hypebol
Khi đó M di động trên hypebol có hai tiêu
• (H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc
điểm là F1, F2 và có trục thực là 2a
toạ độ làm tâm đối xứng.
 Cách 2:
• Toạ độ các đỉnh: A1(− a;0), A2 (a;0)
o Tìm điểm cố định F và đường thẳng ∆ cố
• Độ dài các trục:
trục thực: 2a, trục ảo: 2b
định ( F ∉ ∆)
• Hypebol gồm hai nhánh: nhánh trái gồm những điểm
MF
o Chứng minh d ( M , ∆) = e > 1 . Khi đó M di
có x ≤ −a , nhánh phải gồm những điểm có x ≥ a
c
động trên hypebol (H) có tiêu điểm F,
• Tâm sai của (H): e =

(e > 1)
a
đường chuẩn ∆ và tâm sai e.
• Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng
Ví dụ 1: Cho điểm A cố định và đường thẳng ∆ cố định
x = ± a , y = ±b .
không đi qua A. M là một điểm di động sao cho với mọi m
b
dương, đường tròn C(M;m) luôn tiếp xúc với ∆ và đường
• Phương trình các đường tiệm cận: y = ± x .
a
tròn C’(M;2m) luôn đi qua A. Hãy chứng tỏ M luôn di động
4. Đường chuẩn của hypebol
trên một hypebol.
• Phương trình các đường chuẩn ∆i ứng với các tiêu
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
a
Bài 1: Cho hai đường tròn ngoài nhau. Tìm quỹ tích tâm
điểm Fi là: x ± = 0
e
các đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
MF1
MF2
Bài 2: Lập phương trình chính tắc của hypebol biết:
=
=e
• Với M ∈ (H) ta có:
(e
d ( M , ∆1 ) d ( M , ∆ 2 )
a) Nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10

2
> 1)
b) Tiêu cự bằng 2 13 , một tiệm cận là y = x
3
B. CÁC DẠNG TOÁN
(
10;6)
c)
Tâm
sai
và
hypebol
qua
điểm
e
=
5
Dạng 1: Xác định yếu tố của hypebol
Bài 3: Trong hệ tọa độ Oxy cho A1(− a;0), A2 (a;0) . Gọi (C) là
Ví dụ 1: Tìm độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ
đường tròn thay đổi đi qua A1, A2 ; MM’ là đường kính của
các đỉnh, phương trình các tiệm cận và vẽ Hypebol có
(C) và luôn song song với Ox. Tìm quỹ tích các điểm M và
phương trình sau:
2
2
M’.
x
y
−

=1
a) 9 x 2 − 16 y 2 = 144
b)
Bài 4: Tìm quỹ tích tâm các đường tròn chắn trên hai trục
4
2
Ox, Oy hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 2a và 2b.
Dạng2: Lập phương trình chính tắc của hypebol
Bài 5: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm
Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của Hypebol (H) cho tùy ý trên hypebol đến hai đường tiệm cận là một số không
biết tiêu cự bằng 20 và một tiệm cận có phương trình 4xđổi.
3y=0.
x2 y 2
Bài 6: Cho Hypebol ( H ) : 2 − 2 = 1 có tiêu điểm F1, F2 ,
Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của hypebol biết:
a
b
a) (H) có độ dài trục thực là 6, tiêu điểm (4;0)
điểm
M
thuộc
(H).
Chứng
minh:
tích các khoảng cách từ M
b) (H) có một đỉnh (5;0), và tiệm cận là y=2x
đến hai tiệm cận có giá trị không đổi.
c) (H) có một tiệm cận là y = − 2 x và qua điểm
x2 y 2
Bài 7: Cho Hypebol ( H ) : − = 1 . Một đường d bất kì có

M (4; 2)
1
2
d) (H) qua hai điểm M (1; 3), N ( − 2; 2 2)
phương trình y=x+m cắt (H) tại M,N và hai tiệm cận tại
4
P,Q. Chứng minh: MP=NQ
e) (H) có tiêu điểm F2 (3;0) và qua điểm (3; )
5
Bài 8: xác định độ dài các trục, tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tiệm
cận và vẽ các hypebol sau;
Dạng 3: Tìm điểm thuộc hypebol
x2 y 2
Cần nhớ:
−
=1
a)
b) 4 x 2 − 9 y 2 = 36
x02

M ( x0 ; y0 ) ∈ ( H ) ⇔



c
c
MF1 = a + xM , MF2 = a − xM
a
a

Ví dụ 1: Cho hypebol ( H ) :

a

2

−

y02



b

2

= 1 ⇔ MF1 − MF2 = 2a

x2 y2
−
=1
9
3

a) Tìm trên (H) điểm M có tung độ bằng 1
b) Tìm trên (H) điểm M sao cho góc F· 1MF2 = 90o
c) Tìm trên (H) điểm M sao cho F1M = 2 F2 M
Dạng 4: Tập hợp điểm là hypebol

4

5

Bài 9: Cho hypebol (H): x 2 −
a)
b)
c)
d)

y2
= 1 . Tìm
4

trên (H):

Điểm M có hoành độ bằng 2
Điểm N cách đều hai trục tọa độ
Điểm P sao cho F· 1PF2 = 90o
Tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H)
biết hình chữ nhật có các cạnh song song với các
trục tọa độ và có diện tích là 8 2
e) Tìm điểm Q sao cho F2Q = 2 F1Q
Bài 10: Cho hypebol (H) có độ dài trục thực là 4 và qua
điểm M ( 5; 2) .

7


a) Lập phương trình (H)
b) Tính độ dài dây cung của (H) vuông góc với trục

thực tại tiêu điểm;
c) Tìm giao điểm của (H) với đường tròn đường kính
F1F2 với F1, F2 là các tiêu điểm của (H).
Bài 11: Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết:
a) Tiêu cự có độ dài là 8 và khoảng cách từ đỉnh trên
trục thực đến tiêu điểm là 1;
b) Độ dài trục ảo là 4 và một tiêu điểm là (3;0)
c) Một tiêu điểm là F2 (5;0) và một tiệm cận là y=2x;
d) Một tiệm cận là y = 3x và qua điểm (3; 15)
e) Một tiêu điểm là (2;0) và qua điểm (3; 2)
Bài 12: Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết
a) (H) qua điểm ( 3;1) và góc F· 1MF2 = 90o
b) Một tiêu điểm có tọa độ (2;0) và khoảng cách từ nó
đến tiệm cận là 1;
c) Một tiêu điểm có tọa độ (3;0) và dây cung qua tiêu
điểm và vuông góc với Ox có độ dài là 5;
d) Một tiệm cận có hệ số góc

2
5

b) Viết phương trình đường tròn qua các giao điểm
của (H) và (E).
Bài 18: Cho hai điểm A1(−2;0), A2 (2;0) . Gọi (I) là đường tròn
di động qua A1, A2 và MM’ là đường kính của (I) cùng
phương với Ox. Chứng minh tập hợp những điểm M, M’ là
một hypebol.
Bài 19: Cho đường tròn tâm O, bán kính 1. Gọi A và A’ là
hai điểm trên đường tròn có hoành độ là -1 và 1. Đường
thẳng di động x=m ( m khác 0, -1;1) cắt đường tròn tại M,

M’ (M có tung độ dương)
a) Tìm tọa độ M và M’;
b) Viết phương trình đường thẳng AM và A’M’. Chứng
minh giao điểm của AM, A’M’ di động trên một
hypebol cố định .
§5. PHƯƠNG TRÌNH PARABOL
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Cho điểm F và đường thẳng ∆ không chứa
F.
( P ) = { M / MF = d ( M , ∆)}

và khoảng cách từ

tiêu điểm đến tiệm cận là 2.
Bài 13: Cho đường tròn tâm I(-6;0) có bán kính bằng 4 và
điểm J(6;0). (M) là đường tròn di động luôn qua J và tiếp
xúc với (I). Chứng minh tập hợp tâm các đường tròn (M) là
một hypebol. Viết phương trình hypebol đó.
Bài 14: Cho Hypebol ( H ) : 9 x 2 − 4 y 2 = 36
a) Xác định tiêu điểm, độ dài các trục và tiệm cận
b) M là điểm tùy ý trên (H). Chứng minh:
( F1M + F2 M ) 2 − 4OM 2 là hằng số.
c) Cho đường thẳng d thay đổi x+y+m=0. Chứng
minh: d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt P,Q .
Tính PQ theo m.
Bài 15: Cho Hypebol ( H ) có một đỉnh có tọa độ (1;0) và
một tiêu điểm ( 5;0)
a) Viết phương trình (H)
b) Định m để hai đường d: mx-y=0 và d’: x+my=0 đều
cắt (H)

c) Gọi M, P và N,Q lần lượt là giao điểm của d và d’
với (H). Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích
của nó khi m = 2
Bài 16: Cho hypebol (H): 5 x 2 − 4 y 2 = 20 và đường thẳng d:
2x-y+m=0
a) Định m để d cắt (H) tại hai điểm M, N phân biệt
b) Tìm tập hợp trung điểm của MN;
c) Gọi P, Q lần lượt là đối xứng của M, N qua O. Định
m để tứ giác MNPQ là hình thoi.
Bài 17: Cho Hypebol ( H ) : x 2 − 3 y 2 = 12
a) Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm, đường tiệm cận của
(H)
b) Tìm trên (H) điểm M sao cho F· 1MF2 = 1200

• F gọi là tiêu điểm, ∆ là đường chuẩn của (P)
• p = d ( F , ∆) : tham số tiêu
2. Phương trình chính tắc của parabol: Với
p
p
F ( ;0), ∆ : x = −
2
2

( p > 0)

M ( x; y ) ∈ ( P ) ⇔ y 2 = 2 px

3. Hình dạng của parabol:
• O là đỉnh của parabol
• (P) có trục đối xứng là Ox

• Dây cung vuông góc với trục đối xứng tại F có độ dài
là 2p. Tính chất này thường dùng để vẽ (P)
• MF = MK =

p
+ xM
2

B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xác định yếu tố của parabol
Ví dụ 1: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn
của các parabol
a) y 2 = 4 x
b) y 2 + 6 x = 0

Dạng2: Lập phương trình chính tắc của parabol
Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của parabol (P) trong
mỗi trường hợp sau:
a) (P) có tiêu điểm là F ( 3;0)
b) (P) có đường chuẩn là x=-3.
Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của parabol (P) biết:
a) Tiêu điểm F(5;0)
b) (P) qua điểm (2;-4)
c) (P) qua điểm M có hoành độ 2 và cách tiêu điểm F
một khoảng bằng 3.
Ví dụ 3: Cho điểm F(4;0). Gọi (M) là đường tròn tâm M di
động nhưng luôn tiếp xúc với trục tung và qua F. Chứng
minh tập hợp những điểm M là một parabol và viết phương
trình của nó.
1

1
c) Tìm M thuộc (H) sao cho T = F1M − F2 M + F M − F M
Dạng 3: Tìm điểm thuộc parabol
2
1
lớn nhất
Ví dụ 1: Cho parabol (P): y 2 = 4 x .
d) Cho điểm M thuộc (H), tính tích các khoảng cách từ
a) Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 4;
M đến hai tiệm cận
b) Tìm trên (P) điểm M khác O sao cho khoảng cách
Bài 17: Cho elip (E) và hypebol (H) biết chúng có cùng tiêu
từ M đến Oy gấp hai lần khoảng cách từ M đến Ox.
điểm F(2;0), tiệm cận của (H) chứa đường chéo của hình
Dạng
4:
Tập hợp điểm là parabol
chữ nhật cơ sở của (E) và hợp với Ox một góc 30o.
a) Viết phương trình chính tắc của (H) và (E)

8


Phương pháp: Để chứng minh tập hợp (P) các điểm M là
parabol ta chứng minh M cách đều một điểm cố định F và
một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F. Khi đó M di
động trên parabol (P). Khi đó M di động trên parabol (P) có
tiêu điểm F và đường chuẩn ∆ .

a) Qua điểm có tung độ là 4 và cách tiêu điểm một

khoảng là 5
b) Qua hai điểm M, N có tung độ là -1;3 và M, N, F
thẳng hàng;
c) Qua điểm M có tung độ là 2 và cách đường chuẩn

( P ) = {M / MF = d ( M , ∆)}

một khoảng là

Ví dụ 1: Cho một điểm A cố định và một đường thẳng d cố
định và không đi qua A. Xét các đường tròn (C) thay đổi có
tâm M, biết rằng (C) luôn đi qua A và (C) luôn tiếp xúc với
d. Hãy chứng tỏ m di động trên một parabol.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng d. Tìm
quỹ tích tâm các đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O) và
tiếp xúc với đường thẳng d tại hai điểm phân biệt.
Bài 2: Viết phương trình của parabol biết:
a) Ox là trục đối xứng và tiêu điểm là F(4;0)
b) Ox là trục đối xứng và tiêu điểm là F(-2;0)
Bài 3: Vẽ parabol x 2 = −8 y
Bài 4: Cho parabol (P) có phương trình y 2 = 8 x
a) Tìm độ dài bán kính qua tiêu điểm ứng với điểm
M(x;y) thuộc (P)
b) Tìm các điểm nằm trên (P) và cách tiêu điểm một
khoảng bằng 5.
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng chứa dây của parabol
y 2 = 4 x và nhận điểm I(3;1) làm trung điểm.
Bài 6: Cho parabol (P): y 2 = 2 x
a) Xác định đường chuẩn và tiêu điểm của (P)

b) Cho đường thẳng ∆ : x − 2 y + 6 = 0 . Tính khoảng cách
ngắn nhất giữa ∆ và (P). Viết tiếp tuyến với (P) tại
A(2;2)
Bài 7: Cho (P): y 2 = 4 x và đường thẳng d luôn qua tiêu

5
2

Bài 11: Cho Parabol ( P) : y 2 = 2 px và AB là dây cung di
động của (P).
a) Biết đường thẳng AB có hệ số góc không đổi là k
khác 0. Chứng minh: trung điểm I của AB di động
trên đường thẳng cố định.
b) Viết phương trình đường AB biết trung điểm của
đoạn AB có tọa độ (2;4)
Bài 12: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x = 0 và đường tròn
(M) di động tâm M luôn tiếp xúc ngoài với (C) và trục Oy
tại hai điểm phân biệt. Chứng minh M di động trên một
parabol cố định và viết phương trình của nó.
Bài 13: Cho đường tròn (O) : x 2 + y 2 = 4 và M là điểm tùy ý
trên (O) có hình chiếu lên Ox là H. Gọi A là điểm trên (O)
có tung độ -2
a) Gọi (x0;y0) là tọa độ của M, viết phương trình OM
và AH;
b) Suy ra giao điểm I của OM và AH di động trên một
parabol.
Bài 14: Cho Parabol ( P) : y 2 = 4 x . Một đường d qua tiêu
điểm F và có hệ số góc k khác 0 cắt (P) tại M,N.
a) Cm tích các khoảng cách từ M, N đến trục Ox có giá
trị không đổi.

b) Tìm k sao cho FM=4FN
c) Chứng minh góc MON luôn tù
Bài 15: Cho Parabol ( P) : y 2 = 8 x
1
điểm F và có hệ số góc là (k ≠ 0) .
a) Xác định tiêu điểm F và đường chuẩn ∆ của (P)
k
b) Một đường thẳng quay quanh tiêu điểm F có hệ số
a) Viết phương trình đường thẳng d và viết phương
góc k khác 0 cắt (P) tại M, N. Chứng minh: tích các
trình tung độ giao điểm của d và (P). Chứng minh d
khoảng cách từ M,N đến trục tung có giá trị không
luôn cắt (P) tại hai điểm M, N và tích khoảng cách
đổi
từ M và N đến trục đối xứng của parabol có giá trị
c)
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M, N trên đường
không đổi.
chuẩn. Tính diện tích hình thang MNKH theo k.
b) Định k để MN=20
c) Gọi H và K là hình chiếu của M, N lên đường chuẩn
∆ . Chứng minh đường tròn đường kính MN luôn
tiếp xúc với đường chuẩn.
Bài 8: Cho parabol (P) y 2 = 8 x .
a) Tìm độ dài dây cung AB của parabol biết hoành độ
của A và B là 1;
b) Tìm trên (P) điểm cách tiêu điểm F một khoảng
bằng 5;
c) Tìm m để đường thẳng d : x + y + m = 0 có với (P)
điểm chung duy nhất.

Bài 9: Cho Parabol ( P) : y 2 = 4 x
a) Tìm trên (P) điểm cách d: 3x-4y+10=0 một khoảng
ngắn nhất.
b) Cho A và B là hai điểm trên (P) có tung độ -2 và 4.
M là điểm trên cung AB có tung độ y với −2 ≤ y ≤ 4 .
Tính diện tích tam giác MAB theo y. Tìm y để diện
tích tam giác MAB nhỏ nhất.
c) Tìm m sao cho đường y=x+m cắt (P) tại hai điểm
M, N và FM=2FN
Bài 10: Lập phương trình chính tắc của parabol:

1
4

Bài 16: Cho Parabol ( P) : y 2 = x

a) Tìm tiêu điểm F và đường chuẩn;
b) Một đường thẳng bất kì qua F có hệ số góc m cắt
(P) tại M, N. Tìm tọa độ trung điểm I của MN. Suy
ra I di động trên một parabol cố định.
Bài 17: Cho Parabol ( P) : y 2 = 2 x . Hai đường thẳng qua O và
vuông góc với nhau có hệ số góc lần lượt là k , −

1
k

( k ≠ 0)

và

cắt P tại M,N.
a) Tìm tọa độ các điểm M, N
b) Chứng minh M, N luôn đi qua một điểm cố định
c) Chứng minh trung điểm của đoạn MN luôn thuộc
một parabol cố định.
Bài 18: Cho Parabol ( P) : y 2 = 4 x và đường thẳng d di động
có phương trình y=m m ≠ 0
a) Xác định tiêu điểm F và đường chuẩn ∆
b) d lần lượt cắt đường chuẩn ∆ , Oy, (P) lần lượt tại
K,H,M. Tìm tọa độ các điểm đó.

9


c) Gọi I là trung điểm của OH . Viết phương trình IM
và chứng tỏ đường thẳng IM cắt (P) tại một điểm
duy nhất.
d) Chứng minh MI ⊥ KF . Suy ra MI là phân giác của
góc KMF.
Bài 19: Trong mp(Oxy), cho A(1;1), A’(1;-1). Gọi M là
điểm di động trên Oy có tung độ là m.
a) Viết phương trình hai đường cao của tam giác
MAA’;
b) Chứng minh trực tâm H của tam giác MAA’ thuộc
một parabol cố định.

10