ĐÁP án TOÁN CHUYÊN lần 1 2018

TRUNG TÂM DẠY – HỌC
C THÊM

ĐÁP ÁN THI THỬ TUYỂN
N SINH VÀO LỚP
L
10 LẦN 1 – 2018

PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

MÔN: TOÁN (Ch
huyên)
∗∗∗∗

Bài 1 (2 điểm)
a) 1 điểm

( a − b − c ) 

1 1 1
a c a b b c
− −  = 3− + + +  + +  = 2
a b c
c a b a c b

⇒P=

a c a b b c
+ + + − +  = 3− 2 =1
c a b a c b

0,5 đ

b) 1 điểm
Chứng minh f ( x ) + f (1 − x ) = −1

0, 5 đ

Áp dụng ta được :
S = −1009 + f (1) = −1009 + ( −1) = −1008

0, 5 đ

Bài 2 ( 2 điểm)
a) 0, 75 điểm

Ta có: S AMN ≥ SMNC ⇒ AN ≥ NC
S AMN ≥ S MNB ⇒ AM ≥ BM

Do đó: 3 ( AM + AN ) = AM + AN + 2 ( AM + AN )
≥ AM + AN + 2 ( BM + CN )
= ( AM + BM ) + ( AN + CN ) + ( BM + CN )

= AB + AC + BM + CN > BC + BM + CN
1

0,5 đ


⇒

AM + AN
1
≥
BM + BC + CN 3

0, 75 đ.

b) 1, 25 điểm
Có b < 3 và a < 2 < c .
9 = ab + bc + ca = b( a + c) + ac = b( 6 – b) + ac nên ( b – 3)2 = ac > 0 ⟹a > 0
Do 0 = 9 − ( ab + bc + ca ) = 9 + a 2 − 2a ( b + c ) − ( a − b )( a − c )
= 9 + a 2 − 2a ( 6 − a ) − ( a − b )( a − c )
= 3 ( a − 1)( a − 3) − ( a − b )( a − c )
⇒ 3 ( a − 1)( a − 3) = ( a − b )( a − c )

Tương tự 3 ( b − 1)( b − 3) = ( b − a )( b − c )
3 ( c − 1)( c − 3) = ( c − a )( c − b )
( a − b )( a − c ) > 0 ⇒ ( a − 1)( a − 3) > 0

a < b < c ⇒ ( b − a )( b − c ) < 0 ⇒ ( b − 1)( b − 3) < 0

( c − a )( c − b ) > 0 ⇒ ( c − 1)( c − 3) > 0

a < 2 ⇒ a − 3 < 0 ⇒ a −1 < 0 ⇒ a < 1

( b − 1)( b − 3) < 0 ⇒ 1 < b < 3

0, 25đ

0,25 đ

c > 2 và ( c − 1)( c − 3) > 0 ⇒ c > 3

0,25 đ

Do đó : a < 1 < b < 3 < c
Mặc khác 0 = 9 − ab − bc − ca = 4 − c ( a + b ) − 1 − ab + ( a + b + c )
= 4 − c ( 6 − c ) + c − (1 + ab − a − b )
= ( c − 1)( c − 4 ) − ( a − 1)( b − 1)
⇒ ( c − 1)( c − 4 ) = ( a − 1)( b − 1) < 0 ⇒ c < 4

0,25 đ

Vậy a <1< b < 3 < c < 4 .

Bài 3 (2 điểm)
a) 1 điểm
2

0,25 đ.


Giả sử x 2 + y 2 − x = 2kxy với k ∈
⇔ y 2 − 2kxy + x 2 − x = 0

(

)

Phương trình có nghiệm nguyên ⇔ ∆ ' = k 2 x 2 − x 2 − x là số chính phương..

=x

1

0, 25 đ

1

x và ( k 2 − 1) x + 1 nguyên tố cùng nhau nên để ∆ ' là số chính phương thì x và ( k 2 − 1) x + 1 phải đồng

thời là số chính phương, do đó x là số chính phương.

0, 75 đ

b) 1 điểm
3

3

A = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ( x1 + x2 ) + 2 = n 3 − 3n + 2

Vì 2n + 1 là số lẻ nên A chia hếtt cho 2n + 1 khi và chỉ khi
3

2

2n + 1| 8n3 − 24n + 16 = ( 2n + 1) − 3 ( 2n + 1) − 9 ( 2n + 1) + 27

⇒ 2n + 1| 27

Vì n lớn nhất nên 2n + 1 = 27 ⇒ n = 13
Thử lại, nhận n = 13

0, 5đ

0,25đ.

Bài 4 (2,5 điểm).

3

0, 25đ


a) 1 điểm
Các điểm N, A, E, M, H, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH nên.

Do đó MN là trung trực của EF

0, 5 đ

hay MN qua trung điểm S của EF.
=

∆ABP∽ ∆BQP ⟹
Do đó

=

=

, tương tự

hay QJ là phân giác

=

nên

0,25 đ

=

0,25 đ

.

b) 0,75 điểm
Giả sử AP cắt EF tại S’
∆AFS’ ∽ ∆ AQB ⇒

FS ' BQ
=
AS ' BA

∆AES’ ∽ ∆AQC ⇒
Mà

ES ' QC
=

AS ' AC

BQ QC
FS ' ES '
=
nên
=
⇒ FS ' = ES ' ⇒ S ' ≡ S
BA AC
AS ' AS '

0,75 đ

Vậy MN, EF, AP đồng qui tại trung điểm của EF.
c) 0,75 điểm
Gọi K là trung điểm của BC.KI là trung trực của EF,MN là trung trực của EF và MN đi qua I nên
M,N, K thẳng hàng hay MN đi qua K cố định.
0,75 đ
Bài 5 1,5 điểm
a) 1, 7, 12, 16, 19, 21, 20, 18, 15, 11, 6.
0, 5 đ
b) di nguyên và di≠ 0∀ ∈ 1,2; 3; … ; 9; 10&.
Do '()* + '(+* < 2'( nên '(+* − '( < '( − '()* hay d1> d2> ….> d10 .
Nếu 1 và – 1 cùng thuộc D = {d1 ; d2 ; ….; d10 } thì tồn tại k sao cho
−1 = '-+* − '- < '- − '-)* = 1 nên '-+* = '-)* : trái với giả thiết

0,25 đ.

Giả sử 1 không thuộc D ( nếu – 1 không thuộc D thì xét a’i = '**)( ∀ ) và M = am :
am = a1 + d1 + d2 + … + ./)* ≥ 1 + 1 + 1 − 1 + ⋯ + 2 = 1 + 2+ . . + 1

và am = a11 – ( ./ + ./+* + …+ d10) ≥ 1 + 1 + 2 + ⋯ + 11 − 1
m ≥ 6 hoặc 11 – m ≥ 6 nên M = am≥ 1 + 2+ . . + 6 = 21
4

0,25 đ .

0,25 đ.

0,25 đ.