Đáp án Toán Chuyên Trần Phú 0910

Sở giáo dục và đào tạo thi vào lớp 10 thpt chuyên
hải phòng Năm học 2009-2010
đáp án và biểu điểm chấm môn Toán
Bài đáp án điểm
Bài 1
( )
( ) ( )
3
3
3
4 2 3 3 3 1 3
5 2 17 5 38 2
5 2 17 5 38 2
x
+ +
= =
+
+

( ) ( )
3
1 1
1
1 2
17 5 38 17 5 38 2
= = =

+
Vậy P = (x
2
+ x + 1)

2009
= (1-1+1)
2009
= 1
0.25
0.5
0.25
Bài 2
Theo gt: x
3
= x
1
+1, x
4
= x
2
+1.
Theo Vi ét:
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
2
1 2
1 2
(1)
(2)
(3) 1 1
(4) 1 1
x x b

x x c
x x b
x x bc
+ =


=


+ + + =


+ + =

Từ (1) và (3) ta có : b
2
+ b 2 = 0 b = 1; b = -2
Từ (4) : x
1
x
2
+ x
1
+ x
2
+ 1 = bc . Do đó c b + 1 = bc (5)
*/ Với b = 1, (5) luôn đúng, phơng trình x
2
+ bx + c = 0 trở thành
x

2
+ x + c = 0, có nghiệm nếu có = 1 4c 0 c
1
4
.
*/ Với b = -2, thay vào (5) đợc c = -1, phơng trình x
2
+ bx + c = 0 trở thành x
2

2x - 1 = 0, có nghiệm
1 2
.
Kết luận: b = 1, c
1
4
; b = -2, c = -1.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 3 1/ (0,5 điểm). Theo BĐT co si cho 3 số dơng :

3
3a b c abc+ +
;
3
1 1 1 1

3
a b c
abc
+ + =
Từ đó suy ra:
( )
1 1 1
9a b c
a b c

+ + + +
ữ

. Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c
2/ (1,5 điểm)
Ta có ab + bc + ca a
2
+ b
2
+ c
2

ab + bc + ca
( )
2
2007
3 669
3
a b c
ab bc ca

+ +

+ +
(*)
Do 1/ có:
( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2 9a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca

+ + + + + + +
ữ
+ + + + + +

2 2 2 2
1 2 9
1
( )a b c ab bc ca a b c
+
+ + + + + +
. Kết hợp với (*)

2 2 2
1 2009
670
a b c ab bc ca
+
+ + + +

. Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c = 1
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.5
Bài 4
1/ Ta có :

ã ã
ã
ã ã
ã
ã
ã ã
0
1
( )
2
180
2 2
BOP BAO ABO A B
C A B
PNC
= + = +
+
= =
Suy ra:
ã

ã
BOP PNC=
Tứ giác BOPN nội tiếp
Chứng minh tơng tự tứ giác AOQM nội tiếp.
Do tứ giác AOQM nội tiếp nên
ã
ã
0
90AQO AMO= =
Do tứ giác BOPN nội tiếp nên
ã
ã
0
90BPO BNO= =
Từ đó:
ã
ã
0
90AQB APB= =
Tứ giác AQPB nội tiếp.
2/ (Do tam giác AQB vuông tại Q có QE là trung tuyến nên QE = EB = EA
ã ã
ã
ã
1
2
EQB EBQ B QBC = = =
QE song song với BC.
Lại có EF là đờng trung bình của tam giác ABC nên EF song song với BC.
Suy ra Q,E,F thẳng hàng.

3/
MOP
đồng dạng
COB
(g-g)
MP OM OP
a OC OB
= =
NOQ đồng dạng COA (g-g)
NQ ON OM
b OC OC
= =
POQ đồng dạng BOA (g-g)
PQ OP OM
c OB OC
= =
Từ đó suy ra:
OM MP NQ PQ MP NQ PQ
OC a b c a b c
+ +
= = = =
+ +
0.5
0.25
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25

0.25
Bài 5
1/ (1,0 điểm) 3
x
- y
3
= 1 3
x
= (y + 1)(y
2
y + 1) .
Suy ra tồn tại m, n sao cho :
2
1 3 3 1
1 3 9 3.3 3 3
m m
n m m n
y y
y y
m n x m n x

+ = =

+ = + =


+ = + =

Nếu m = 0 thì y = 0 suy ra x = 0
Nếu m > 0 thì:

(9 3.3 3) 3
(9 3.3 3)
m m
m m
+
+
M
M
3 3
9 3
n
n






M
M
1
9
n


=



Suy ra 9

m
3.3
m
+ 3 = 3 3
m
(3
m
3) = 0 m = 1 y = 2, x = 2
Thử lại hai nghiệm (0; 0) và (2; 2) đều thoả mãn bài toán.
Vậy phơng trình có hai nghiệm (0; 0) và (2; 2)
2/ (1,0 điểm)
Ta tô màu các ô vuông của bảng bởi hai màu đen trắng xen kẽ nh bàn cờ vua.
Lúc đầu tổng số sỏi ở các ô đen bằng 1005 x 2009 là một số lẻ.
Nhận xét rằng sau mỗi phép thực hiện thao tác T, tổng số sỏi ở các ô đen không
thay đổi tính chẵn lẻ, do đó sau mỗi thao tác ổng số sỏi ở các ô đen luôn là một số
lẻ. Vậy không thể chuyển tất cả viên sỏi trên bảng ô vuông về cùng một ô sau một
số hữu hạn phép thực hiện thao tác T.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5