MỞ RỘNG của MODUN XA ẢNH và MODUN nội xạ

MODUN XẠ ẢNH VÀ MODUN NỘI XẠ
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết môđun là một trong những lý thuyết phong phú phát triển mạnh mẽ
hiện nay và đạt được nhiều kết quả sâu sắc có ý nghĩa.
Như chúng ta đã biết, ngày nay môn Đại số đồng điều đã và đang tràn ngập vào toán
học. Vì vậy, việc học môn này đã trở nên thực sự cần thiết và trở thành môn học bắt
buộc trong chương trình. Khi học môn này, chúng ta được học về môđun trên vành có
đơn vị bất kỳ R, hàm tử Hom, hàm tử tenxơ, nhóm đồng điều, đối đồng điều của các
phức, hàm tử xoắn Torn, hàm tử mở rộng Extn
Khi học về môđun, chúng ta đã làm quen với khái niệm và tính chất môđun xạ
ảnh, môđun nội xạ. Tuy nhiên, vì thời gian có hạn nên trong chương trình học chỉ dừng
lại ở việc nghiên cứu các môđun này ở mức độ cơ bản chưa có tính chất chuyên sâu.
Giả sử khi cho R là vành có đơn vị bất kỳ, M là R-môđun phải xạ ảnh,biểu diễn hữu
hạn thì ta sẽ tính được số chiều của nó, vậy làm cách nào để tính được số chiều? Một
môđun như thế nào được gọi là môđun xạ ảnh, môđun nội xạ biểu diễn hữu hạn? Cho
C là lớp các R-môđun phải,C-tiền bao, -bao,...được định nghĩa ra sao? Hoặc một vài
mô tả của FP-môđun nội xạ là gì?,... Vì thế, để trả lời cho những câu hỏi này, là một
sinh viên chuyên ngành Sư phạm toán, tôi đã chọn môn Đại số đồng điều để nghiên
cứu trong đề tài “MÔĐUN XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN NỘI XẠ”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của tôi khi nghiên cứu đề tài này là nhằm hiểu sâu hơn và tự nâng cao
trình độ chuyên môn của mình, trang bị thêm kiến thức để phục vụ cho quá trình học
tập hiện tại và làm tiền đề, cơ sở cho việc học tập các môn học liên quan. Đồng thời
làm tài liệu tham khảo và giúp các bạn sinh viên hạn chế khó khăn trong việc học tập
môn học này.
3. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu: Mô đun xạ ảnh và Môđun nội xạ
4. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc cái tài liệu về môn lý thuyết môđun, các
luận văn tốt nghiệp về bài môđun xạ ảnh môđun nội xạ của các khóa trước ở trường

Đại học Hà Tĩnh.
+ Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Tham khảo ý kiến của giảng viên hướng
dẫn, và các giảng viên dạy môn cơ sở lý thuyết môđun và vành.


+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân trong
quá trình học tập học phần cơ sở lý thuyết môđun và vành, các bạn sinh viên đã học
bài môđun xạ ảnh, môđun nội xạ của các lớp sư phạm và các lớp khác.
5. Nội dung nghiên cứu
Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo nội dung đề tài gồm có hai
chương.
Chương 1: Các kiến thức cơ sở
Trong chương này, tôi đã hệ thống những kiến thức cơ bản về môđun xạ ảnh môđun
nội xạ nhằm làm cơ sở cho chương 2.
Chương 2: Mở rộng của môđun xạ ảnh và môđun nội xạ
2.1 Môđun xạ ảnh
2.2 Môđun nội xạ
2.3 Mối liên hệ giữa mô đun xạ ảnh và mô đun nội xạ


CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG ĐỀ TÀI

A≤ M :

A là môđun con của môđun M.

A ≤e M :
A⊆ M :

A là môđun con cốt yếu của môđun M.

A là tập hợp con của tập hợp M.

Hom( N , M ) :
tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M.

⊕:

tổng trực tiếp của các môđun

f :N → M
: phép tương ứng từ N đến M.

M N:
môđun thương của M trên N.

ϕ A:

thu hẹp của

N≅M:

ϕ

trên A.

môđun N đẳng cấu với M.


Chương I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I. Môđun xạ ảnh
1. Môđun bé_ Môđun hollow
1.1 Định nghĩa.
a) Cho Mô đun M, mô đun

(⇔X +N =M

X ⊆M

∀N Ø M

gọi là mô đun con bé

thì M = N )

Kí hiệu:
X =M
X ⊆0 M

∀N Ø M

b) M được gọi là hollow nếu

thì
⇒

N=M

Ví dụ: Cho M môđun 1 chuỗi
M là hollow

Chứng minh:
X ØM
X + N = M (N ⊆ M)
Xét
và
Ta có:
X ⊆ N ⇒ X + N = N = M
 N ⊆ X ⇒ X + N = X Ø M ( loai)

1.2 Tính chất
md

A = B⊆ C ⇒ A = C
a)

b)

 A = M
⇒ A= B
 md
⊕
A
⊆
B
M

⊆

X + N ØM

thì


c)

d)

 f :M → N
⇒ f ( A) = N

A = M
B M
md
md
 =
B= M ⇔ A
A (A ⊆ B ⊆ M)
 A = M
∀i = 1, n

Ai = M

⇒ ∑ Ai = M
e)
md

Ai ⊆ Bi (i = 1, n)
n

n

i =1

i =1

⊕ Ai = ⊕ Bi ⇔ Ai = Bi

∀i = 1, n

f)

2. Mô đun xạ ảnh
2.1 Định nghĩa.
Mô đun
cấu

g:A → B

g .h = f

MR

được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu

của những môđun trên

R

f :M → B

, tồn tại một đồng cấu

và mỗi toàn

h :M → A

sao cho

nghĩa là:
M
h

f

A

B
0
g
Mệnh đề: Mọi môđun tự do trên R đều xạ ảnh
Chứng minh: Xét một Môđun tự do tùy ý X trên R sinh ra bởi tập
f :X → B

Giả sử
là một đồng cấu và
những Môđun trên R

g:A → B

là một toàn cấu tùy ý cho trước của

j (s)

Với s bất kì thuộc S, tồn tại một phần tử
một toàn cấu.Sự tương ứng
trên R lên tập hợp

S⊂ X

s → j (s)

S⊂ X

của A với

xác định một hàm

go  j (s) = f (s)

j :S → A

vì g là

vì X là môđun tự do

nên j mở rộng ra thành một đồng cấu duy nhất
S

h:X → A

:


j
h

X
f

A

B
0
g
Gi x l mt phn t tựy ý ca X . Vỡ X c sinh ra bi S nờn x l mt t hp
n

x = i si , ( i Ă , si S) ,i = 1, n
i =1

tuyn tớnh

Ta cú

n
n
n
n

go h(x) = i go h(si ) = i go j(si ) = i ff(si ) = i si = f (x)

i =1
i =1
i =1
i =1


goh= f

Vỡ x l mt phn t bt kỡ ca X nờn suy ra
H qu: Mi mụun l nh ton cu ca mt mụun x nh
2.2 Cỏc nh lớ v mụun x nh

2.2.1. nh lớ 1.

AlaứK _ xaùaỷ
nh
AlaứM _ xaùaỷ
nh



M
nh
K M
M laứ _ xaùaỷ

K

Chng minh:
A l K_ x nh

i: K

Xột phộp nhỳng:

Vi

p1, p2

X

k+ X a k+ X
p1 : K K
X
M
p2 : M
X

g: A M

Ta cn chng minh:

t:

M

l cỏc phộp chiu.

Do A l M_ x nh

Xột

X

g( A) K

sao cho

p2g = if

a A : f (a) = i ( f (a)) = p2 ( g(a)) = g(a) + X
f (a) = k + X (k K) = g(a) + X


⇒ g(a) − K ∈ X
⇒ g(a) = k + x (x∈ X) ⊂ K + X ⊂ K
⇒ g(A) ⊂ K

h: A → K

Đặt:

a a g(a)

⇒ f(a) = g(a) + X = h(a) + X = p1 ( h(a))
⇒ f = p1h
M

Suy ra: A là
f : A→
p: M

K

( )
M

→

K

xạ ảnh

K

L

K

( )

p1 : M → M

M

K

L

K

phép chiếu

K

là phép chiếu
⇒ ∃g: A → M f = p(p1g)
Do A là M_ xạ ảnh
h = p1g: A → M K ⇒ f = ph
Đặt:
2.2.2. Định lí 2. A là M_ xạ ảnh thì toàn cấu
Chứng minh:
Đặt

ker f = X

A = f ( M ) = Im f ≅ M

⇒ α :A → M

X

đẳng cấu.

Vì A là M xạ ảnh nên

ker f

=M

X

∃h: A → M

f :M → A

chẻ ra.


∀a∈ A : α (a) = m+ X = ph(a) = h( a) + X
⇒ h(a) − m∈ X = ker f
⇒ f ( h(a) − m) = 0

⇒ f h(a) − f(m) = 0
α :A → M
X
a a m+ X, f (m) = a
ph = α ⇒ f h(a) = a = idA
Sao cho:
:
Suy ra: toàn cấu chẻ ra.
⇔ A⊆ ⊕ F
2.2.3. Định lí 3. A là môđun xạ ảnh
( Với F tự do)
Chứng minh:
⇒)
A là xạ ảnh.
A≅ F
K
với F tự do
Xét dãy khớp:

i
l
0 → K 
→ F 
→F K → 0
F

⇒
K
Do
xạ ảnh p chẻ ra
⇒F ≅K ⊕F ≅K ⊕A
K
⊕
⇒ A⊂ F
⇐) A ⊂ ⊕ F

Với F tự do
⇒
+) F tự do
F xạ ảnh
⊕
A⊂ F ⇒
+)
F xạ ảnh
II. Môđun nội xạ
2.1 Định nghĩa: Môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu
g: A → B

mỗi đơn cấu

của những R- Môđun tồn tại một đồng cấu
hg=f
Nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:
0
A g B
f

h

Q

f : A→Q

h: B → Q

và

sao cho


Q = ∏ Qi

2.2 Định lí: Nếu

I

thì Q là môđun nội xạ khi và chỉ khi

Qi

nội xạ với

i∈I

Chứng minh:
(⇒)

Giả sử Q là môđun nội xạ
f : A → Qi

g: A → B

i∈I

Giả sử
là một đơn cấu và
là một đồng cấu với
µi :Qi → Q
µi f : A → Qi
Gọi
là phép nhúng chính tắc ta có
là một đồng cấu.
Do Q nội xạ nên tồn tại đồng cấu
0

k: B → Q

A

g

Qi

k

sao cho biểu đồ sau giao hoán:

B

f

µi

Q

nghĩa là

kg = µi f

Bây giờ xét đồng cấu

h = π i ki , π i : Q → Qi

hg = (π i k)g = π i (µi f) = f

Suy ra

Qi

nội xạ

Qi
(⇐)
i∈I
giả sử
là mô dun nội xạ với
Xét biểu đồ giao hoán:
A g

B

Q

hi

0
f

πi
Qi

là phép chiếu chính tắc ta có:


Trong đó g đơn cấu, f đồng cấu

πi

là phép chiếu chính tắc còn

hi

là đồng cấu có

Qi π i f = hg
i
được do tính nội xạ của ,
π i h = hi
h: B → Q
b∈ B
Khi đó tồn tại đồng cấu
sao cho
cụ thể với
h(bi ) = (hi )b, ∀ i ∈ I

Ta khẳng định: f=hg

f (a)i = π i (f(a)) = hi (g(a)) = π i (hg(a)) = hg(a)i

⇒ f (a) = hg(a) ⇒ f = hg
∀a∈ A
Thật vậy
ta có
2.3 Hệ quả: Mọi hạng tử trục tiếp của môđun nội xạ là môđun nội xạ
QR
2.4 Định lí: Đối với môđun
các điều sau tương đương:
(a) Q nội xạ
ϕ :Q → B
imϕ
(b) Mỗi đơn cấu

là chẻ ra (nghĩa là
là hạng tử trực tiếp trong Q)
α :A → B
(c ) Đối với mỗi đơn cấu
, ánh xạ
Hom(a, I Q ): HomR (B,Q) → HomR (A,Q)
là toàn cấu

Hom ( α , 1Q )

⇔

Chứng minh: (a)
(c) Từ định nghĩa của
suy ra rằng (c) là
một phát biểu tương đương của mệnh đề (a).
β :B → Q
⇒
(a)
(b) Do Q là nội xạ nên tồn tại đồng cấu
sao cho biểu đồ sau
ϕ
giao hoán
0
Q
B

1Q

β

Q

βϕ = 1Q
nghĩa là
(b)

. Bởi vậy,

⇒

ϕ

là chẻ ra.

(a). Xét biểu đồ các đồng cấu môđun
0

A
f

Q

g

B


Q⊕B
trong đó g đơn cấu. Gọi K là môđun con của

(

f (a ), − g (a) )
Đặt

, với mọi

a∈ A

N = ( Q ⊕ B) \ K

gồm tất cả các cặp có dạng

.

ta có các đồng cấu:

β :B→ N

sao cho hình vuông sau giao hoán:
f

g

A

γ :Q → N

và

B

β

γ

Q

N

β (b) = ( 0, b ) , γ (q) = ( q,0 ) .

trong đó

Do g đơn cấu nên

γ

γ

cũng đơn cấu. Khi đó theo giả thiết chẻ ra, tức là tồn tại

νϕ = 1Q

ν :N →Q
đồng cấu

sao cho

h = νβ : B → Q

. Bây giờ đặt

ta có

f = νγ f = νβ g = hg ,
điều này chứng tỏ Q là nội xạ.
Theo định nghĩa, để xác định tính nội xạ của môđun Q ta cần chứng tỏ sự tồn

h :B → Q
tại của đồng cấu

, sao cho f=hg. Định lí sau cho phép hạn chế bớt lớp các

g :A → B
đơn cấu
2.5 Định lí (Tiêu chuẩn Baer). Môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi đối với mỗi
idean phải

U ⊂ RR

và mỗi đồng cấu

f :U → Q

hi = g

đều tồn tại đồng cấu

h: R R → Q

sao cho

trong đó i là phép nhúng U vào R
Chứng minh: Hiển nhiên các điều kiện đã nêu là điều kiện cần cho tính nội xạ
của môđun. Bây giờ ta tiến hành chứng minh điều kiện đủ theo hai bước.
Bước 1: Xét biểu đồ:
α
0
A
B

β


trong đó
cho

Q

α

là đơn cấu. Giả thiết rằng trong B tồn tại môđun con thực sự C của B sao

Im α ⊂ C

γ :C → Q
và tồn tại đồng cấu

khi đó tồn tại môđun
cho

ϕ = γ 1α

C1

sao cho

ϕ = γα

của B, thực sự chứa C và tồn tại đồng cấu

Nếu

γ 1 :C1 → Q

sao

γ1 c = γ .
(và do đó

)

b ∈ B, b ∉ C

Để chứng minh điều khẳng định này ta lấy
Nếu

. Ta sẽ khẳng định rằng

C ∩ bR = 0

C ∩ bR ≠ 0

thì

γ

có thể mở rộng trên

và đặt

C1

C1 = C + bR.

một cách tầm thường.

ta làm như sau. Gọi

U = { u ∈ R bu ∈ C} .

Rõ ràng U là idean phải trong R và ánh xạ

ζ :U → C
u a bu

ξ = γζ ,ξ :U → Q.
là một R-đồng cấu. Đặt

ρ :R → Q
sao cho

ξ = ρ i,

Rheo giả thiết tìm được đòng cấu
ξ

ζ

nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:
U

C
i

Bây giờ ta định nghĩa

Tương ứng
thì
Từ đó

γ1

γ 1 : C1 → Q

Q
ρ

R
bởi quy tắc

γ 1 :C + bR → Q
c + br a γ (c ) + ρ (r )

.là một ánh xạ. Thật vậy, nếu có

c + br = c '+ br ', c, c ' ∈ C , r , r ' ∈ R
c − c ' = b( r '− r )∈ C ∩ bR.


r '− r ∈U
⇒ γ .ζ (r − r ') = ρ (r − r ')
⇒ γ (c − c ') = γ ( b( r − r ') ) = γζ ( r '− r ) = ρ ( r − r ')
⇒ γ (c) + ρ ( r ) = γ (c ') + ρ ( r ')

γ, ρ
Do

là những R-đồng cấu nên

Co = Im α

Bước 2: Giả sử
Đặt

γ 0 = ϕα o−1 ,

ta có

ϕ = γ oα

đề Zorn. Cụ thể, giả sử

và

αo

γ1

γ 1 c = λ.
cũng là R-đồng cấu và rõ ràng

là đẳng cấu của A lên

. Bây giờ ta có thể kéo dài

γo

Co

, cảm sinh bởi

α

.

lên B nhờ bước 1 và bổ

(C , γ ),

Γ

là tập tất cả các cặp

trong đó

Co ⊂ C ⊂ B

và

γ :C → Q, γ co = γ o
Tập

Γ≠∅

vì

Bây giờ giả sử

(Co , γ o ) ∈Γ

. Đưa vào

Rõ ràng

Λ

là một dây chuyển trong

Γ

và

(C , γ ) ∈ Λ

với

d a γ (d ), d ∈ C

δ :D → Q
, Hơn nữa, giả sử

(C , γ ) ∈ Λ
trong đó

quan hệ thứ tự

 C ⊂ C1 (1)
(C , γ ) ≤ (C1 , γ 1 ) ⇔ 
γ 1 c = γ (2)

D = ∪C
Co ⊂ D ⊂ B

Γ

. Do (2)

( D, δ )
là cận trên của

Λ

δ

trong

đặt tương ứng

là đồng cấu mở rộng của

Γ

γo

,

. Điều này chứng tỏ

. Bởi vậy theo bổ đè Zorn, trong

( B,ψ )

Γ

tồn tại phần tử

ϕ = ψ .α .

tối đại, và do bước một phần tử tối đại này bằng
. rong đó

Điều này
kết thúc phép chứng minh.
Bài toán nhúng một môđun vào một môđun nội xạ
MR
2.6 Định lí: Mỗi Môđun
đều có thể ánh ạ đơn cấu vào một moodun nội xạ


DZ

2.7 Bổ đề: Môdun

(= nhóm aben) là nội xạ khi và chỉ khi nó chia được

( nghĩa là nD = D với mọi số tự nhiên

n> 0

)

ϕ :D → B

Chứng minh: Điều kiện đủ: Cho

là một đơn cấu của 2 nhóm aben,

trong đó D là nhóm chia được. Ta sẽ chứng tỏ
Do

ϕ

ϕ

đơn cấu nên D đồng cấu với ảnh

quát ta có thể xem D là nhóm con của B và

ϕ

chẻ ra và do đó D là nội xạ.

Im ϕ

. Bơi vậy không làm mất tính tổng

là đơn cấu chính tắc. Gọi

D ∩ U = 0, Γ ≠ ∅
tát cả các nhóm con U của B sao cho
đè Zorn ta thấy rằng trong
Khi đó

Bây giờ ta chứng tỏ
Đối với phần tử tùy ý

Γ

do

U = 0 ∈Γ

Γ

là tập hợp

. Áp dụng bổ

có phần tử tối đại (theo quan hệ bao hàm), chẳng hạn V.

D +V = D ⊕V

B = D ⊕V

b∈ B

.

ta xét idean

I = { x ∈ Z bx ∈ D + V }

I = m¢

Do Z là vành chính nên
con H sinh bởi b thỏa mãn điều kiện

. Hơn nữa

I ≠0

, bởi vì nếu

I =0

thì nhóm

H ∩ (D + V ) = 0
.

H ∩ (D + V ) = 0
Từ đó

, trái vưới tính tối đại của V.

Giả sử
Khi đó

bm = d o + vo

. Do D chia được nên tồn tại

d '∈ D

sao cho

Vo = (b − d ')m.
Ta khẳng định rằng

D ∩ ( V + (b − d ') Z ) = 0

d = v + (b − d ') x
Thật vậy, giả sử
Bởi vậy x=mx’ và do đó

.

là một phần tử thuộc giao. Khi đó

bx = d − v + d ' x ∈ D + V ⇒ x ∈ I

md ' = d o

.


d = v + (b − d ')mx ' = v + vo x '
Do

D ∩V = 0

nên d = 0. Từ tính tối đại của V suy ra

(b − d ') Z ⊂ V ⇒ b − d ' ∈V ⇒ b ∈ D + V .

Như vậy

B = D ⊕V

và ta có điều phải chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử môđun
i
biểu đồ các đồng cấu
mZ
ϕ

Q

QZ

q∈Q

là nội xạ và giả sử

,

0 ≠ m∈Z

. Xét

Z

ψ

trong đó i là phép nhúng chính tắc, còn

ϕ

ϕ (m) = q.
được xác định bởi công thức

ψ :Z → Q
tính nội xạ của Q nên tồn tại đồng cấu

ϕ = ψ .i.

sao cho

q = ϕ (m) = ψ ( m) = ψ (1.m) = ψ (1).m

Do

Ta có

Điều này chứng tỏ Q là nhóm chia được
Giả thiết R là một vành tùy ý
HomZ (R,D)

2.8 Bổ đề: Nếu D là nhóm aben chia được thì
là một R- Moodun
phải nội xạ
Chứng minh:
ϕ : A → HomZ (R,D)
α : A→ B
Giả sử
là một R đơn cấu và
là một R- đồng cấu
tùy ý
ϕ
σ

Xét biểu đồ: A

α
B
Trong đó

σ

HomZ ( R, D )

ψ

D

β
ff→

là đồng cấu nhóm cho bởi

1

Do D là Z- Moodun nội xạ nên tồn tại Z- đồng cấu
ϕ .σ = β .α

Bây giờ xác định

ψ : B → HomZ (R,D)

cho bởi công thức :

ψ (b)(r ) = β (br) ,(b∈ B,r ∈ R)

.

β :B→ D

sao cho


Khi đó rõ ràng đối với phần tử cố định

b∈ B

ta có:

ψ (b) ∈ HomZ (R,D)
ψ (br1)(r) = β (br1r) = ψ (b)(r1r) = (ψ (b)r1)(r)
ψ
Do đó là R đồng cấu
Hơn nữa:
((ψα )a)r ) = β (α (ar)) = βα (ar)
= σϕ (ar) = ϕ (ar)(1) = ϕ (a)(r)

ψα = ϕ

Bởi vậy
2.9 Bổ đề: Mỗi nhóm aben đẳng cấu với nhóm con của một nhóm aben chia
được

{

S = ui i ∈ I

}

Chứng minh: Giả sử A là nhóm aben với hệ sinh
α : A ; ZI / K
Khi đó, ta có đẳng cấu
τ : ZI → QI
τ * : ZI / K → QI / K
Đơn cấu chính tắc
cảm sinh đơn cấu
QI

QI / K

Do Q chia được nên
và cả
cũng chia được
*
τ .α
Bởi vậy
chính là đơn cấu phải tìm


Chương 2: MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN NỘI XẠ
2.1. Mô đun giả - xạ ảnh và mô đun bé - giả - xạ ảnh
2.1.1. Bổ đề
Bổ đề 1: Mô đun N được gọi là M - giả - xạ ảnh nếu với mọi mô đun con A của
α:N →M A

M, bất kỳ toàn cấu
có thể mở rộng tới một đồng cấu
N được gọi là giả - xạ ảnh nếu N là N - giả - xạ ảnh.

β: N → M

. Hơn nữa

Bổ đề 2: Mô đun N được goi là bé - M - giả - xạ ảnh nếu với mọi mô đun con A
của M bất kỳ toàn cấu
β: N → M

α:N → M A

với

ker α << N

có thể mở rộng tới đồng cấu

.

2.1.2. Định lý
Định lý 1: N là xạ ảnh khi và chỉ khi N là M - giả - xạ ảnh với mọi M.
Chứng minh: Hiển nhiên được suy ra từ định nghĩa.
Định lý 2: Mọi tổng trực tiếp của một mô đun M - giả - xạ ảnh cũng là mô đun
M - giả - xạ ảnh.
Chứng minh: Giả sử N là M - giả - xạ ảnh và
của m và

g = f  πA

f :A → M X

, trong đó

g ( a , b ) = f ( a ) , a ∈ A, b ∈ B

Khi đó

f * = g * |A

N =A⊕B

. Cho X là một mô đun con

là một toàn cấu. Xác định toàn cấu
πA

g:A⊕B→M X

với

là phép chiếu tự nhiên của N lên A. Khi đó

. N là M - giả - xạ ảnh khi

g* : A ⊕ B → M

được mở rộng từ g.

là một đồng cấu mở rộng từ f. Vì vậy A là M - giả - xạ ảnh.

Định lý 3: Cho M và N là hai mô đun và
đương:

X = N⊕M

. Các điều kiện sau tương


( i)

N là M - giả - xạ ảnh;

( ii )
Mọi mô đun con A của M với A + M = X và N + A = X, tồn tại một mô đun
con T của A với

T⊕M=X

.

Chứng minh:

( i ) ⇒ ( ii)

Giả sử đã có

f : N → M ( A ∩ M)

định

. Nếu

f ( n) = m + A ∩ M
a1 , a 2 ∈ A

( i)

n∈N

. Nếu

( ii)

và A thỏa mãn các giả thiết của

khi đó tồn tại

n 1 , n 2 ∈ N; n 1 = n 2

m1 , m 2 ∈ M

m ∈ M, a ∈ A

thỏa mãn

n1 = a1 + m1

khi đó

a1 − a 2 = m 2 − m1

và cũng có

n=a+m

. Xác

n 2 = a 2 + m2

và

với

f ( n1 ) = f ( n 2 )

A∩M

mọi
và
. Khi đó
trong
. Do đó
.
Rõ ràng f là một toàn cấu. N là một M - giả - xạ ảnh, f có thể mở rộng tới một đồng
f′: N → M

cấu

sao

N′ = { n − f ′( n ) | n ∈ N}
π  f ′( n ) = f ( n )

Suy ra
có

và

N′ + M = X

( ii) ⇒ ( i )

n =a+m

. Cũng có
Cho

nhiên. Xác định

cho
x ∈ N′

. Cho

f ′( n ) − m ∈ A ∩ M

và

a∈A

x = n − f ′( n )

m∈M

f ′( n ) − n + a ∈ A ∩ M

N′ ∩ M = 0

f :N→N B

. Vậy

. Do đó

. Do đó

N′ ⊕ M = X

N′ ⊆ A

α |N : N → M

với

.

với mọi

Xác
n∈N

định

. Ta có

f ′( n ) + A ∩ M = m + A ∩ M

x∈A

. Vậy

N′ ⊆ A

.

. Từ đó ta

.

là một toàn cấu và

A = { n + m | f ( n ) = − π( m )}

. Khi đó

và

π : M → M ( M ∩ A)

với

, khi đó

với mọi

khi đó tồn tại mô đun con
α( n′ + m ) = m

πf′ = f

π:M → M B

. Điều đó chứng tỏ
X = N′ ⊕ M

là phép chiếu tự

X=N+A

. Xác định

và

X=A+M

α : N′ ⊕ M → M

,

với

là mở rộng của f. Do đó N là M - giả - xạ ảnh.

Định lý 4: Nếu mô đun N là một M - giả - xạ ảnh và B là một hạng tử trực tiếp
của M, khi đó N là B - giả - xạ ảnh.


Chứng minh: Cho
N + A = X′

và

sao cho

X′ = N ⊕ B

. Khi đó ta có

N′ ⊕ M = X

. Khi đó

và

A+B=X

N′ + B = X′

X = N⊕M

và

. Giả sử

N+A=X

A ⊆ X′

sao cho

A + B = X′

. Tồn tại một mô đun con

N′ ⊆ A

. Vậy N là B - giả - xạ ảnh.

Định lý 5: Mọi mô đun giả - xạ ảnh thỏa mãn

D2

.

Chứng minh: Cho A là một hạng tử trực tiếp của M và B là mô đun con của M
M B≅A

với

trong đó
f*

sao cho

πb : M → M B

là toàn cấu và

f :M B→A

là toàn cấu. Xác định

f* :M → A

để

f * = f  πB

M B

là một phép chiếu tự nhiên của M đến

( )

ker f * = B

. Điều đó chứng tỏ

. M là một M - giả - xạ ảnh, A là một M - giả - xạ ảnh.

2.2 Môđun giả nội xạ
2.2.1 Chiều Goldle và CS-Môđun
Cho môđun M, chứng ta định nghĩa các tính chất sau đây của M:
(C1)

Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

(C2 )

Nếu một môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp cuả M thì A
cũng là một hạng tử trực tiếp của M
(C3)

M1, M2

Nếu
là hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn
hạng tử trực tiếp của M

M1 ∩ M2 = 0

thì

M1 ⊕ M2

là một

2.2.1.1 Định nghĩa
(C1)

- Môđun M được gọi là CS- Môđun nếu M thỏa mãn tính chất
M là CS- môđun con đóng của M đều là hạng tử trực tiếp của M
- Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn tính chất

(C1)

và

hay nói cách khác,

(C2 )

- Môđun M được gọi là có chiều đều (chiều Goldie) hữu hạn nếu M không chứa tổng
trực tiếp vô hạn các moodun con khác không. Ngược lại, ta nói M có chiều đều vô hạn


2.2.1.2 Bổ đề
Cho M là R- Môđun. Khi đó:
(1) Hạng tử trực tiếp của M là môđun con đóng trong M
(2) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M
Chứng minh:
(1) Giả sử
Ta có

M = A⊕ B
N∩B= 0
.

N ∩ kerπ = 0 ⇒ π

với

B≤ M

. Lấy

N≤M

π : A⊕ B → A

Gọi

sao cho

A ≤ eN

là phép chiếu. Do

kerπ = B

nên

N

là đơn cấu
Vì thế N đươc nhúng đơn cấu vào A mà
con đóng trong M

(2)
thì

A ≤ eN

. Do vậy

Ta chứng minh: Nếu Môđun con A đóng trong M và mọi

A= N

hay A là môđun

Q ≤ eM

sao cho

A≤ Q

Q / A ≤ eM / A

Thật vậy: lấy

P≤M

sao cho

A≤ P

và

Q / A∩ P / A = 0

. Do

Q ≤ eM

A = Q ∩ P ≤ eP

Suy ra:

A= P

do đó

Q / A ≤ eM / A

. Bây giờ ta chứng minh K đóng trong M.

Lấy K’ là phần bù giao K trong L, L’ là phần bù giao L trong M
Suy ra
Với

L ⊕ L ' ≤ eM

và theo kết quả chứng minh trên thì

(L ⊕ L ') / K ≤ e M / K
(K ⊕ K ') / K ≤ e L/ K

(L ⊕ L ') / L ≤ e M / L

, ta cũng có

và

(K ⊕ K '⊕ L') / K = ((K ⊕ K ') / K) ⊕ (K ⊕ L '/ K ) ≤ e M / K

nên


Lấy

V≤M

sao cho

K ≤ eV

. Khi đó:

(V/ K) ∩ (K ⊕ K '⊕ L') / K = 0

do đó

K ∩ (K '⊕ L ') = 0

V=K

nên

V ∩ (K '⊕ L ') = 0

từ đó suy ra

hay K đóng trong M

2.2.1.3 Hệ quả
Hạng tử trực tiếp của CS- môđun là CS- môđun
Chứng minh: Giả sử M là CS- môđun, P là hạng tử trực tiếp của M tức là
với

Q≤ M

M = P ⊕Q

ta chứng minh P là CS- môđun

Lấy A là môđun con đóng trong P do P đóng trong M nên A đóng trong M
Vì M là CS- môđun nên A là hạng tử trực tiếp của M nghĩa là

M = A⊕ B

với

B≤ M

Theo luật Modular thì

P = P ∩ M = P ∩ (A ⊕ B) = A ⊕ (P∩ B)

Vậy A là hạng tử trực tiếp của P hay P là CS- môđun
2.2.1.4 Bổ đề
Mọi môđun con khác không có chiều đều hữu hạn luôn chứa một môđun con đều.
Chứng minh: Gỉa sử M không chứa Môđun con đều nào, nghĩa là tồn tại các môđun
con khác không

K1,L 1

của M sao cho

nên tồn tại các mô đun khác không
Tương tự đối với

K2

K1 ∩ L 1 = 0

K 2,L 2

của

K1

. Khi đó

sao cho

K1

không là môđun con đều

K2 ∩ L 2 = 0

dẫn đến M chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác

L 1⊕ L 2 ⊕ L 3 ....

không
điều này mâu thuẩn với tính chiều đều hữu hạn của M vậy M
chứa Môđun con đều
2.2.1.5 Mệnh đề
M là CS- môđun và có chiều đều hữu hạn. Khi đó M phân tích thành tổng trực tiếp
hữu hạn các môđun con đều


Chứng minh: bởi M có chiều đều hữu hạn nên trong M tồn tại Môđun con đều
Gọi

X1

Gỉa sử

là bao đóng của
X1

Suy ra :
Ta có:
U1

vậy

U1

.

trong M.

không là môđun con đều

∃A, B ≤ X ,(A,B ≠ 0)

A∩ B = 0

sao cho

(U1 ∩ A) ∩ ( U1 ∩ B) = U1 ∩ (A ∩ B) = 0

X1

U1

Do

. Điều này mâu thuẩn với tính đều của

là môđun đều. Bởi M là CS- môđun và

tử trực tiếp của M tức là

M1 = X2 ⊕ M2

Tương tự đối với
ta có
CS- môđun và có chiều đều hữu hạn
Tiếp tục lí luận như trên ta được
Môđun con đều và

Mn

X1

bao đóng của

U1

nên

X1

là hạng

M = X1 ⊕ M1

Vì M là CS- môđun và có chiều đều hữu hạn nên
đều hữu hạn
M1

U1 ≤ e X, U1 ∩ A ≠ 0, U1 ∩ B ≠ 0

trong đó

M1

X2

cũng là CS- môđun và có chiều

là Môđun con đều và

M = X1 ⊕ X2 ⊕ X3.... ⊕ Xn

trong đó các

M2

cũng là

Xi ,(1,2,...,n)

là

là CS- môđun có chiều đều hữu hạn

Do M có chiều đều hữu hạn nên quá trình dừng lại sau một số hữu hạn bước tức
tồn tại n để
Khi đó

Mn = 0

M = X1 ⊕ X2 ⊕ X3.... ⊕ Xn

với

Xi ,(1,2,...,n)

là các môđun con đều

2.2.1.6 Định nghĩa và kí hiệu
Cho R là vành có đơn vị, và hai tập khác rỗng J và K. Một

A : J × K → R.
R là hàm

Kí hiệu A là một

J×K

J×K

- Ma trận trên

- ma trận trên R. Với mỗi


A( j, k ) = a jk ∈ R.

j, k ∈ J × K ,
đặt

viết

A =  a jk 

Ta gọi

J ×K

( j, k )
là phần tử trên A với chỉ số

. Nếu không có gì nhầm lẫn giữa J và K, thì ta viết

trận chuyển vị của A , kí hiệu

J ' ⊆ J,K ' ⊆ K

a jk

At

, là ma trận dạng

bkj  ,
K×J

trận con của A và kí hiệu:

dòng thứ j và cột thứ k của ma trận A. Tập hợp tất cả các
ta kí hiệu

trong đó

M J ×K (R)

. Ma

J ×K

. Nếu

J '× K '

 a jk 
, a 
{ j} × K  jk  J ×{ k }

. Lấy thì

A =  a jk 
bkj = a jk

là các tập con khác rỗng, thì thu hẹp của A trên

 a jk 
J '× K '

, ta

là một ma

theo thứ tự là

- ma trận trên vành R,

. Ma trận A được gọi là dòng hữu hạn (cột hữu hạn) nếu mỗi dòng

j ∈ J,k ∈ K
của A (mỗi cột của A) có hầu hết các phần tử bằn
hạn. Nếu

J =K

thì ta gọi A là

J ×K

g không trừ một số hữu

- ma trận vuông hay J- vuông

 a jj 
j∈J '
Đường chéo ma trận J- vuông A là tập các phần tử có dạng

A =  a jk  ∈ M J ×K (R)

Giả sử J, K, F là các tập khác rỗng,

,

B = b jk  ∈ M K ×F (R)

Với mỗi

j∈J , f ∈F

∑a b

xét chuỗi

k∈K

ij

ij

nếu A có dòng hữu hajnhoajwc B có cột

∑a b

hữu hạn thì chuỗi trên là tổng hữu hạn và


A =  ∑ aij bij 
 k∈K
 J ×F

k∈K

ij

ij

= cij ∈ R

. Khi đó

J ×F

- ma trận

gọi là tích của hai ma trận A và B.

Nếu A và B có cột hữu hạn (dòng hữu hạn ) thì AB có cột (dòng) hữu hạn.


MJ = ∏ Mj

M (J ) = ⊕ M j

j∈J

Cho J là tập khác rỗng, M là R- môđun trái, kí hiệu
Ta quy ước các phần tử

MJ

,

M (J )

j∈J

và

được viết dưới dạng các vecto cột

- Hệ phương trình tuyến tính trên M dạng AX = B trong đó: A là ma trận có dòng
J ×K

hữu hạn

tức là

( )

A = rjk  ∈ RJ

(

C = ck  ∈ M K

( K)

và

( )

B =  bj  ∈ M J

)

C = ck 

Nếu tồn tại
thỏa mãn AC = B thì ta gọi
là một nghiệm
của hệ phương trình AX = B gọi là giải được nếu nó có nghiệm trên M. Với mỗi
C ∈ MJ

{

}

R(C ) = p∈ R(J) / pt C = 0

tập

gọi là linh hóa tử của C . Dễ dàng kiểm tra được

R(C) ≤ R(J )

Hệ phương trình tuyến tính AX = B được gọi là tương thích mạnh trên M nếu tồn
a∈ M K

R(Aa) ≤ R(B)

R(B) / R(Aa) ≤ e R(J) / R(Aa)

tại phần tử
sao cho
và
Hiển nhiên, nếu hệ AX = B tương thích cốt yếu thì cũng tương thích mạnh
2.2.1.5 Bổ đề

Cho

C = cj  ∈ M J

C

{ c / j∈J }
j

. Kia hiệu
là môđun con của M sinh bởi tập
.
ϕ : R / R(C) → C
ϕ (p+ R(C)) = pt C
Khi đó
xác định bởi
là một đẳng cấu
Chứng minh:
Ta có :
p + R(C) = q+ R(C), p, q∈ R(J )
⇔ p − q∈ R(C)
(J)

⇔ (p− q)t C = 0

t
t
⇔ pC
= qC

⇒ϕ

là ánh xạ và với mọi

x, y∈ R(J) / R(C), x = p + R(C),y = q + R(C); p, q∈ R(J)

thì :
t
t
ϕ (x+ y) = ϕ (p+ q+ R(C)) = (p+ q)t C = pC
+ qC
= ϕ (x) + ϕ (y)
ϕ (xy) = ϕ (rp+ R(C)) = (rp)t C = rpt C = rϕ (x); r ∈ R


ϕ
ϕ
là đồng cấu môđun. Dễ thấy là đơn cấu, đồng thời theo cách xác định của
ϕ
ϕ
nên cũng là toàn cấu. Vậy đẳng cấu.

nên

ϕ

2.2.2 Môđun giả nội xạ
2.2.2.1 Định nghĩa: Cho M, N là các R- Môđun trái. M được gọi là N- giả nội

f :A → M
xạ nếu với mọi môđun con A của N, với mọi đơn cấu

đều mở rộng thành

g :N → M
đồng cấu

. M được gọi là giả nội xạ nếu M là M- giả nội xạ

2.2.2.2 Mệnh đề Cho
Chứng minh. Lấy

A≤ N

X≤A

. Nếu M là N- giả nội xạ thì M là A- giả nọi xạ

f :X →M
và

là đơn cấu. Khi đó, X cũng là

g :N → M
môđun con của N và do M là N- giả nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu

Hiển nhiên

g A :A → N

,

là mở rộng cần tìm. Vậy M là A- giả nội xạ.

2.2.2.3 Mệnh đề Cho M, N là accs môđun và
là tương đương:

X =M ⊕N

. Các điều kiện sau

(1) M là N – giả nội xạ
(2) Với bất lỳ môđun con A của X thỏa mãn
môđun con T của X chứa A sao cho
Chứng minh. (1)

⇒

, tồn tại

M ⊕T = X

(2) Giả sử có (1) và A là môđun thỏa mãn giả thiết (2). Gọi

πM : M ⊕ N → M , πN : M ⊕ N → N
θ :π N ( A) → π M ( A)

A∩ M = A∩ N = 0

như sau:

là các phép chiếu. Ta xác định đồng cấu