phép biến hình và một số ứng dụng trong toán THPT

Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình
Mục lục

Tên Mục
Trang
Chơng I : Cơ sở lý luận
2
Mở đầu phép biến hình
2
Các phép biến hìnha
3
Nhìn chung phép dời hình
3
Phép biến hình đồng nhất
3
Phép tịnh tiến
3
Phép đối xứng qua tâm
5
Phép đối xứng trục
10
Phép quay
13
Các phép biến hình đồng dạng
14
Phép đồng dạng
14

Phép vị tự
17
Kết hợp các phép biến đổi
19
Sơ đồ mối liên hệ giữa các phép biến hình
21
Chơng II : Thực hành - Vận dụng
22
Phép tịnh tiến
22
Phép đối xứng qua tâm
24
Phép đối xứng trục
27
Phép quay
29
Phép vị tự
32
Phép đồng dạng
33
Một số câu hỏi trắc nghiệm
34
Tài liệu tham khảo.
- Sách giáo khoa hình học nâng cao + cơ bản lớp 11.
- Sách bài tập hình học nâng cao + cơ bản lớp 11.
- Phơng pháp giải toán hình học 11.
- Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Toán THPT - Phép biến hình
trong mặt phẳng của Đỗ Thanh Sơn.
- Sách giáo trình môn Hình học cao cấp hệ đào tạo GVTHCS của
Văn Nh Cơng (chủ biên).

- Một số tài liệu su tầm trên Internet.

Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

-1-


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

Chơng I : cơ sở lý luận

A.

Mở đầu về phép biến hình .
I. Phép biến hình.

1.1

. Định nghĩa .
Trong đại số ta biết một khái niệm quan trọng : khái niệm Hàm
số đợc phát biểu : Nếu có một quy tắc để với mỗi số x R thì
quy tắc đó gọi là một hàm số xác định trên tập số thực R.
Nếu trong mệnh đề trên tathay số thực bằng điểm thuộc mặt
phẳng thì ta đợc khái niệm về phép biến hình trong mặt phẳng .
Cụ thể là : Nếu có một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt
phẳng, xác định đợc một điểm duy nhất M thuộc mặt phẳng ấy

thì quy tắc đó gọi là một phép biến hình ( trong mặt phẳng).
Vậy ta có thể suy ra định nghĩa phép biến hình :
Định nghĩa : Phép biến hình (trong mặt phẳng ) là một quy tắc
để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định một điểm duy
nhất M thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M gọi là ảnh của điểm M qua
phép biến hình đó.
1.2 Các ví dụ.
Ví dụ 1 : Cho đờng thẳng d. Với mỗi điểm M, ta xác định M là
hình chiếu (vuông góc) của M trên d (hình 1) thì ta đợc một phép
biến hình.
Phép biến hình gọi là phép chiếu (vuông góc) lên đờng
thẳng
M

d
M'
Hinh 1

Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

-2-


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

Ví dụ 2 : Cho véc tơ u , với mỗi điểm M ta xác định điểm M theo quy
tắc = (hình 2)
M

u

M

Nh vậy, ta cũng có một phép biến hình. Phép biến hình đó gọi là

phép tịnh tiến theo véctơ u .
Ví dụ 3 : Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M trùng với M thì ta cũng
đợc một phép biến hình. Phép biến hình đó gọi là phép đồng nhất.
1.3
Kí hiệu và thuật ngữ.
Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F và điểm M là
ảnh của điểm M qua phép biến hình F thì ta viết M = F(M), hoặc
F(M) =M. Khi đó, ta còn nói phép biến hình F biến điểm M thành
điểm M.
Với mỗi hình H, ta gọi hình H gồm các điểm M = F(M), trong
đó M H, là ảnh của H qua phép biến hình F, và biết H = F(M).

B.Các phép biến hình .
I. Phép dời hình

1.1 Định nghĩa :
Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng
cách giữa hai điểm bất kì.
1.2

Định lý - tính chất.
a. Định lý : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba
điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó,
biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam
giác bằng nó, biến đờng tròn thành đờng tròn có cùng bán kính,
biến góc thành góc bằng nó.
b. Tính chất: Nếu phép dời hình f có ba điểm bất động không
thẳng hàng, thì f là một phép đồng nhất.
Chứng minh : Ta kí hiệu
1.3
Nhóm các phép biến hình dời hình.
1.3.1
Phép đồng nhất.
1.3.1.1 Định nghĩa.
Phép đồng nhất là một phép biến hình đặc
biệt, nó biến mọi điểm M thành chính điểm M. Phép
đồng nhất thờng đợc kí hiệu là Id với mọi điểm M
thuộc mặt phẳng P, Id(M) = M.
F:P P
Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

-3-


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

M M
Thì f = Id
1.3.2
Phép tịnh tiến.
1.3.2.1 Định nghĩa .
Phép tịnh tiến theo vectơ là một phép biến
hình biến điểm M thành điểm M sao cho =
Phép tịnh tiến theo vectơ u thờng đợc kí hiệu là T hoặc

T u . Vectơ đợc gọi là vectơ tịnh tiến.
Phép tịnh tiến đợc xác định khi biết vec tơ tịnh
tiến.

T u : M M
=
Chú ý khi = thì phép tịnh tiến thành phép
đồng nhất.
1.3.2.2 Định lý, tính chất.
a. Định lý 1 : Nếu phép tinh tiến biến hai điểm M và N
lần lợt thành hai điểm M và N thì MN = MN.
Chứng minh :
Giả sử phép tịnh tiến theo u biến 2 điểm M, N lần lợt
thành hai điểm M, N ta có:

T u (M) = M
T u (N) = N
Vì = , = nên =
MNNM là hình bình hành MN = MN
Ngời ta diễn tả tính chất trên của phép tịnh tiến là :

Phép tịnh tiến không làm thay dổi khoảng cách giữa
hai điểm bất kì.
b. Định lý 2 : Phép tịnh tiến ba điểm thẳng hàng
thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi
thứ tự ba điểm đó.
Chứng minh :
Giả sử phép tịnh tiến ba điểm A, B, C thành ba điểm
A, B, C . Theo định lý 1, ta có:
AB = AB ; BC = BC và AC = AC.
Nếu A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C thì :
AB + BC = AC.
Do đó ta cũng có : AB + BC = AC ; tức là A, B, C
thẳng hàng, trong đó B nằm giữa A và C.
Từ định lý trên ta có hệ quả sau đây.
c. Hệ quả : Phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thằng bằng nó, biến tam giác thành tam
Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

-4-


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

giác bằng nó, biến đờng tròn thành đờng tròn thành
đờng trong có cùng bán kính, biến góc thành góc
bằng nó.

d. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho phép tịnh
tiến theo vectơ u.
y
Biết tọa độ của (a,b )
Giả sử điểm M(x,y) biến thành điểm M (x,y)
Khi đó ta có
x = x + a
y = y + b
Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép
tịnh tiến theo vectơ
(a ;b) .
1.3.3
Phép đối xứng qua tâm.
1.3.3.1 Định nghĩa :
Cho trớc đểm O. Phép biến đổi Z O biến O thành O
và biến
một điểm M khác O thành điểm M sao cho +
= đợc gọi là phép đối xứng qua tâm. Điểm O đợc gọi là
tâm của phép đối xứng hoặc là tâm đối xứng.
Cho hình F. Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc F trong
phép biến đổi Z O lập thành một hình F đợc gọi là ảnh của
hình F trong phép đối xứng qua tâm O. Nếu F trùng với F,
thì ta nói F là hình có tâm đối xứng.
1.3.3.2 Định lý - Tính chất :
a. Tính chất 1 : Phép biến đổi Z O có một điểm bất động
duy nhất.
Chứng minh : Nếu O là một điểm bất động thứ 2 của Z O ,
nghĩa là :
Z O : O O = -

= O O.
b. Tính chất 2 : Nếu A và B là ảnh của hai điểm A và B
trong phép biến đổi
Z O , thì = - .

Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

-5-


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

A'
B

O

A

B'

Chứng minh : Theo định nghĩa ta có :
= - và = Suy ra :
= - =- + =-( - )=- .
=> ĐPCM.
c. Tính chất 3 : Phép biến đổi Z O là phép biến đổi 1 1.

Chứng minh: Thật vậy, nếu điểm A là ảnh của các điểm
A và B trong phép
biến đổi Z O , thì ta có = - và
= - suy ra =
A B .
Tính chất 3 cho ta thấy phép biến đổi Z O có phép biến đổi
ngợc và phép biến đổi ngợc chính là Z O .
d. Tính chất 4: Phép biến đổi Z O biến ba điểm thẳng
hàng thành ba điểm thẳng hàng.
Chứng minh :
Giả sử A, B, C là ảnh của các điểm A, B, C trong phép biến
đổi Z.
Theo tính chất 2 ta có = - , = - . Vì A, B, C thẳng hàng
nên cùng phơng k sao cho = =
cùng phơng . Điều đó chứng tỏ A, B, C thẳng hàng.
e . hệ quả : Phép biến đổi Z O biến :
i) Đờng thẳng d thành đờng thẳng d và d// d hoặc d
d.

ii) Tia Sx thành tia Sx ngợc chiều nhau.
iii) Đoạn EF thành đoạn EF và EF = EF.
iv) Góc thành góc và và = .
v) Đờng tròn ( I , R) thành đờng tròn (I, R).
Chứng minh ;
ii)
Lấy trên d hai điểm A và B phân biệt. Gọi A và B
là ảnh của A và B trong phép biến đổi Z O .

Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

-6-


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình
A

C

B

d

d'
B'

C'

A'

Nếu C là điểm bất kì thuộc d và C là ảnh của C trong
phép biến đổi Z O , thì A, B , C thẳng hàng. Điều đó
chứng tỏ C thuộc đờng thẳng AB hay thuộc d.
Đảo lại, nếu C thuộc đờng thẳng AB, thì ta chọn
điểm C là ảnh của C trong phép biến đổi Z O . Vì A,B
là ảnh của A , B trong phép biến đổi đó, nên C thuộc
đờng thẳng AB hay C thuộc d. Nh vậy, tồn tại điểm C

trên d sao cho C là ảnh của C. Nếu A không thuộc d,
thì d//d. Nếu A thuộc d, thì d d.
ii)
S

A

B

B'

S'

A'

Lấy trên tia Sx điểm A và ta xác định . Phép biến
đổi Z O biến

S S , A A
và = - . Nếu B là điểm bất kì
thuộc Sx, tì tồn tại số m > 0 sao cho = . Gọi B là ảnh
của B, khi đó
=- =- =
Điều đó chứng tỏ B, A cùng phía với S. Điểm B thuộc tia
SA.
Đảo lại, nếu B thuộc tia SA, thì phép đối xứng Z O
biến S S ,
A A. B B. Lập luận tơng tự ta suy ra B thuộc tia Sx.
Nh vậy tồn tại trên tia Sx điểm B nhận B là ảnh.
iii)Chứng minh tơng tự nh trờng hợp tia.

iv) Lấy trên hai cạnh góc xSy các điểm A và B (khác S).
gọi A, B , S là ảnh của A, B, S trong phép biến đổi Z O .

Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

-7-


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình
y

x

S'

B
A
O

A'
S

y'

B'

x'

Khi đó ta có = - , = - , = - .
Vậy SAB = SAB suy ra = .
Theo hệ quả trên là ảnh của SA và SB. Đó là điều cần
chứng minh.
v)
M
R
I

O
I'
R'
M'

Nếu M là điểm bất kì thuộc (I ; R) và M là ảnh của M
trong phép biến
đổi Z O , thì = -
= =R
không đổi. Chứng tỏ M thuộc ( I ; R).
Đảo lại nếu M là điểm thuộc (I;R) thì ảnh M và I thuộc
M và I trong phép biến đổi Z O thỏa mãn điều kiện
IM = IM = R. Điều đó chứng tỏ tồn tại điểm M thuộc
(I;R) nhận M là ảnh.
f. Tính chất 5: Tích của ba phép đối xứng tâm với ba
tâm đối xứng phân biệt là một phép đối xứng tâm.
O1
B

A

O2

O
C

Chứng minh:
Gọi A, B, C là tâm đối xứng của các phép biến
đổi Z A , Z B , Z C và đặt Z = Z A . Z B . Z C .

Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

-8-


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

Trớc hết ta cần chứng minh rằng Z có một điểm
bất động duy nhất. Thật vậy, gọi O là điểm bất động
của Z. Theo định nghĩa ta có.
Z A : O O1
và = - ;
Z B : O 1 O 2 và = - ;
ZC : O 2 O
và

=- ;
Từ các kết quả trên ta suy ra = + . Hệ thức chứng
tỏ O là điểm bất động duy nhất của Z.
Ta cần chứng minh rằng Z là một phép đối xứng
tâm O. Giả sử M là một điểm bất kì và M là ảnh của M
trong phép biến đổi Z. Ta cần chỉ ra rằng OM = OM.
Thật vậy, ta có .
Z A : M M 1 , O O 1 và = (1)


Z B : M 1 M 2 , O 1 O 2 và = - (2)
Z c : M 2 M, O 2 O và = - (3)
Từ các kết quả (1),(2),(3) ta suy ra = Tóm lại phép biến đổi Z là phép đối xứng tâm O, trong đó
O đợc xác định bởi hệ thức (*)
1.3.3.3 Phép đối xứng qua tâm trong hệ tọa độ Đề Các.
y

y

M(x 0 ; y 0 )
M(x, y)

M(x 0 ; y 0 )

x
O
x
M(x, y)
Giả sử Z o là phép đối xứng tâm O. Ta chọn hệ toạn độ
Oxy sao cho O là gốc tọa độ. Nh vậy, với điểm M(x 0 ; y 0 )

bất kì trong hệ tọa độ đó, ảnh của M của M trong phép
biến đổi Z o có tọa độ là ( - x 0 ;- y 0 ).
Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

-9-


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

Nếu tâm đối xứng P là điểm khác gốc và có tọa độ là
(a,b), thì với điểm M (x 0 ; y 0 ) tọa độ ảnh của điểm đó
trong phép biến đổi Z o đợc xác định bởi hệ phơng trình
sau :
x = 2a - x 0
y = 2b - y 0
trong đó (x, y) là tọa độ ảnh.
1.3.3.4 Những hình ảnh thể hiện phép đối xứng
tâm .

A I
B
a) Cỏc ch cỏi H, N, O, I l hỡnh cú tõm i xng.
b) Cỏc hỡnh t giỏc cú trc i xng nh: hỡnh ch nht, hỡnh
vuụng, hỡnh thoi, hỡnh bỡnh hnh,
1.3.3.5 Tâm đối xứng của một hình
Định nghĩa : Điểm I đợc gọi là tâm đối xứng của hình H

nếu qua phép đối xứng tâm I biến H thành chính nó. Khi
đó ta gọi H là hình có tâm đối xứng.
1.3.4
Phép đối xứng trục
1.3.4.1 Định nghĩa :
Cho đờng thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M không
thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M thuộc d thành M
sao cho d là đờng trung trực của đoạn thẳng MM đợc gọi là
phép đối xứng qua đờng thẳng d hay phép đối xứng trục d.
M

M

O

M'

Đờng thẳng d đợc gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn
giản lad trục đối xứng.
Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

- 10 -


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

Phép đối xứng trục d thờng đợc kí hiệu Đ d .
Đờng thẳng d đợc gọi là trục đối xứng của hình H nếu Đ d
biến H thành chính nó. Khi đó H đợc gọi là hình có trục đối
xứng.
1.3.4.2 Tính chất :
a. Tính chất 1 : Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách
giữa hai điểm bất kì.
Chứng minh :
Trọng hệ trục Oxy; chọn õ làm trục đối xứng.
Các điểm A(x 1 , y 1 ); B(x 2 , y 2 ) . Gọi A(x 1 , y 1 );B(x 2 , y 2 )
lần lợt là ảnh qua phép đối xứng trục Ox.
y
B
A
O
A
B
Ta có :

x1 = x1
y1 = y1


A(x 1 , - y 1 ).

x2 = - x2
B(x 2 ,- y 2 )
y2 = - y2
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 )
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ) = (x 2 - x 1 ; - y 2 + y 1 )

=
đpcm
b. Tính chất 2 : Phép đối xứng trục biến đờng thẳng
thành đờng thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
bằng nó, biến tam giác thánh tam giác bằng nó, biến đờng
tròn thành đờng tròn có cùng bán kính

Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

- 11 -


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

hình 1

hình 2
O

r

d

O'

r'

hình 3

1.3.4.3 Biểu thức tọa độ.
- Chọn hệ tọa đọ Oxy sao cho trục Oy trùng với đờng thẳng
d. Với mỗi điểm M = (x , y). Gọi M = Đ d và M = (x,y)
Thì biểu thức trên đợc gọi là biểu thức tọa độ của phép đối
xứng qua trục Oy.
x = - x
y
y = - y
d

Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

- 12 -


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình
M

M

X
O
- Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với đờng

thẳng d. Với mỗi điểm M(x,y).
Thì biểu thức trên đợc gọi là biểu thức tọa độ của phép đối
xứng qua trục Ox.
y
M
O
x

M
1.3.4.4 Trục đối xứng của một hình
Định nghĩa : Đờng thẳng d đợc gọi là trục đối xứng của
hình H nếu Đ biến H thành chính nó. Khi đó H đợc gọi là
hình có trục đối xứng.
Ví dụ : mỗi hình sau có trục đối xứng.

H W

1.3.5
Phép quay
1.3.5.1 Định nghĩa :
Cho điểm O cố định và một góc lợng giác
ánh xạ F : P P đợc gọi là phép quay tâm O với góc quay
nếu f biến điểm M M sao cho :
+ OM = OM
+ (OM,OM) = với (OM,OM) là kí hiệu chỉ góc lợng giác có
tia đầu là OM tia cuối là OM.
Điểm O đợc gọi là tâm quay.
đợc gọi là góc quay
Kí hiệu quay tâm O góc quay là : Q ( O , ) .
Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

- 13 -


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

O

O

Quay theo chiều âm
chiều dơng

quay theo

Chú ý : Với k Z
+ Phép quay Q (O , 2 k ) là phép đồng nhất.
+ Phép quay Q (O , 2 k 1) là phép đối xứng tâm O.
1.3.5.2 Tính chất.
a. Tính chất 1 : Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai
điểm bất kì.
Chứng minh : Giả sử ta có phép quay Q và hai điểm M,N tùy
ý.
Phép quay Q biến điểm M thành điểm M và biến điểm N
thành điểm N
Ta phải chứng minh: MN = MN.

Xét các góc lợng giác ( IM,IN) và (IM,IN)
Ta có : (IM, IN) = (IM,IM)+ (IM,IN)
Mà (IM,IM) = (IN,IN) =
(IM,IN) = (IN,IN) + (IM,IN)
= (IM, IN) + (IN,IN)
= (IM, IN)
Vậy IMN = IMN vì : IM = IM
IN = IN
(IM,IN) = (IM,IN)
MN = MN
b. Tính chất 2 : Phép quay biến đờng thẳng thành đờng
thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nhau, tam
giác thành tam giác bằng nó, đờng tròn thành đờng tròn
có cùng bán kính với nó.\
* Chú ý :
Giả sử phép quay tâm I góc biến đờng thẳng d thành
đờng thẳng d. Khi đó :

+ Nếu 0 < <
thì góc giữa d và d bằng
2

Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

- 14 -


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình
+ Nếu


< < thì góc giữa d và d bằng ( - ).
2

II . Phép biến hình đồng dạng
2.1 Phép đồng dạng.
2.1.1 Định nghĩa : Cho số k > 0 . ánh xạ f : P P đợc gọi là phép
đồng dạng tỉ số k nếu nó biến hai điểm M và N tùy ý thành hai điểm
M= f(M) và N = f(N) sao cho khoảng cách của chúng thỏa mãn hệ thức
MN = kMN.
Theo định nghĩa phép đẳng cự là phép đồng dạng tỷ số k = 1,
còn phép vị tự tâm O tỉ số k là phép đồng dạng tỷ số k.
Nh vậy ta có:
- Tích hai phép đồng dạng với tỷ số k và k là phép đồng
dạng với tỷ số k.k.
- Đảo ngợc của phép đồng dạng tỷ số k là phép đồng dạng
tỷ số .
- Tập hợp các phép của P là thành một nhóm, gọi là nhóm
đồng dạng của P, kí hiệu là Đ d (P).
Ví dụ : Chứng tỏ rằng phép vị tự tâm O tỷ số k của P là một phép
đồng dạng của P với tỷ số k .
Trả lời .
Trong P phép vị tự tâm O tỷ số k là một phép biến hình biến mỗi
điểm M thuộc thành điểm
M sao cho =
Từ đó suy ra = k .

Vậy phép vị tự tâm O tỷ số k là một phép đồng dạng của P với tỷ số k.
2.1.1 Phân tích một phép đồng dạng.
Định lý : Mọi phép đồng phép dạng đều đều đợc phân tích thành
tích của một phép vị tự và một phép đẳng cự ( hoặc tích của một
phép đẳng cự với một phép vị tự)
Chứng minh :
Giả sử f : P P là phép đồng dạng tỷ số k > 0
Ta lấy một điểm O nào đó và gọi V là phép vị tự tâm O với tỷ số k.
Phép đảo ngợc V của
V là một phép vị tự tâm O tỷ số khi đó
tích Đ = f. V là phép đồng dạng tỷ số 1 nên là phép đẳng cự.
Vậy f. V = D hay f = V.D
Vậy f là tích của phép vị tự V và phép đẳng cự Đ .
Tơng tự tích Đ = f. V là một phép đẳng cự nên f = Đ.V
2.1.2 Tính chất của một phép đồng dạng.
a. Định lý 1: Phép đồng dạng là một phép afin.
Qua một phép đồng dạng ảnh của đờng thẳng là đờng thẳng, ảnh
của tia là tia, ảnh của đoạn thẳng là đoạn thẳng, ảnh của một góc là
Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

- 15 -


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

góc có cùng số đo, ảnh của một tam giác là tam giác đồng dạng với nó,

ảnh của đờng tròn là đờng tròn.
Ví dụ : Trong (P) CMR : đờng trung tuyến, đờng cao, đờng phân giác,
đờng trung trực của tam giác là các khái niệm đồng dạng.
Trả lời :
- Đờng trung tuyến là khái niệm đồng dạng vì phép đồng
dạng biến đờng thẳng thành đờng thẳng và bảo toàn
trung điểm của đoạn thẳng.
- Đờng cao là một khái niệm đồng dạng vì phép đồng dạng
bảo toàn đờng thẳng và bảo toàn góc.
- Đờng phân giác là một khái niệm đồng dạng vì phép
đồng dạng bảo toàn đờng thẳng và bảo toàn góc.
- Đờng trung trực là khái niệm đồng dạng vì phép đồng
dạng bảo toàn góc và bảo toàn trung điểm của đoạn
thẳng.
b. Định lý 2: Nếu A, B là ảnh của hai điểm A, B trong phép đồng
dạng V ( hoặc V ), thì AB = k AB .
Chứng minh :
Ta chứng minh cho trờng hợp V. a xét hai điểm A,B bất kì . Kí hiệu A 1
,B 1 là ảnh của A, B trong phép biến đổi F, ta có A 1 B 1 = AB.
Phép biến đổi H ( 0,k ) biến A 1 A , B 1 B, do đó = và AB = k A 1
B1
Từ các kết quả trên ta suy ra AB = k A 1 B 1 .
2.1.3 Biểu thức tọa độ :
Trong mặt phẳng Ơ-clit P đã cho mục tiêu trực chuẩn (O, , )
xét phép đồng dạng f : P P với tỷ số k > 0, k = 1. Ta đã biết f = Đ.V
trong đó V là phép vị tự tâm O với tỷ số k, còn Đ là phép đẳng cự .
Nếu qua phép vị tự ảnh của điểm M (x,y) là điểm M 1 (x 1 ,y 1 ) thì :
x 1 = kx
y 1 = ky
Nếu qua phép đẳng cự Đ ảnh của điểm M 1 (x 1 ,y 1 ) là điểm M (x,y)

thì :
x = ax 1 + cy 1 + p
y = bx 1 + dy 1 + q
Trong đó ma trận A =

a c
là ma trận trực giao, tức là A t .A = I hơn
b d

nữa DetA = 1 hoặc DetA = -1.
Nh vậy, biểu thức tọa độ của phép đồng dạng f đối với mục tiêu đã cho
là:

Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

- 16 -


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình
x = kax + kcy + p
y = kbx + kby + q

2.1.4 Phép đồng dạng thuận, phép đồng dạng nghịch.
2.1.4.1 Định nghĩa .
- Phép đồng dạng gọi là đồng dạng thuận nếu ma trận của
nó (đối với mục tiêu

trực chuẩn) có định thức dơng : Det(kA) = k
- Phép đồng dạng gọi là đồng dạng nghịch nếu ma trận có
định thức âm : Det
(kA) = - k . (k > 0)
Chú ý : Theo kết quả trên ta có : Phép đồng dạng thuận là
tích của một phép vị tự và một phép dời hình. (hoặc tích của một
phép dời hình và một phép vị tự). Phép đồng dạng nghịch là tích của
một phép vị tự và một phép phản chiếu (hoặc tích của một phép
phản chiếu hoặc một phép vị tự).
2.1.5 Phân tích một phép đồng dạng
a. Định lý 1 : Mọi phép đồng dạng thuận f với tỷ số k > 0, k = 1(tức f
không phải là một phép dời hình) đều phận tích đợc thành tích của
một phép vị tự tâm O tỉ số k và một phép có tâm quay trung với tâm
O của phép vị tự (hoặc tích của một phép quay có tâm O và một
phép vị tự tỉ số k, tâm trùng với tâm O của phép quay) Tích hai phép
đó đợc gọi là dạng chính tắc của phép đồng dạng thuận f.
Chứng minh :
Giả sử f là một phép đồng dạng thuận tỷ số k > 0, k 1. Gọi O là điểm
bất động của
f : f(O) = O ta có thể phân tích f = D.V, trong đó V là phép vị tự tâm
O tỷ số k, còn D là phép dời. Vì V(O) = O nên D (O) = O, vậy phép dời
D có điểm bất động O nên nó là phép quay tâm O. Hiển nhiên trong
trờng hợp này D.V = V.D.
b.Định lý 2 : Mọi phép đồng dạng nghịch f với tỷ số k > 0, k = 1(tức f
không phải phép phàn chiếu), đều phân tích đợc thành tích của một
phép vị tự tâm O tỷ số k và một phép đối xứng trục có trục d là đờng
thẳng đi qua tâm O của phép vị tự (hoặc tích của một phép đối
xứng trục d và một phép vị tự tâm O tỷ số k, có tâm nằm trên trục d
của phép đối xứng. Tích 2 phép đó đợc gọi là chính tắc của phép
đồng dạng nghịch (với k>0, k 1)).

Chứng minh : Giả sử f là phép đồng dạng nghịch với tỷ số k 1. Gọi O
là điểm bất động của f : f(O) = O. Ta có thể phân tích f = Đ.V, trong
đó V là phép vị tự tâm O tỉ số k, còn Đ là phép phản chiếu. Vì V(O)
= O nên O cùng là điểm bất động của phép phàn chiếu Đ. Suy ra Đ là
phép đối xứng trục đi qua O . Hiển nhiên Đ.V = V.Đ.
2.1.6
Nhóm đồng dạng và hình học của nhóm đồng dạng.
2.1.6.1 Hai hình đồng dạng
Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

- 17 -


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

Định nghĩa : Hình H đợc gọi là tơng đơng đồng dạng hay
đồng dạng với hình H nếu tồn tại một phép đồng dạng f biến H thành
H
Vì Đ (P) là một nhóm nên:
i)
Mọi hình H đều đồng dạng với chinh nó.
ii)
Nếu hình H đồng dạng với hình H thì hình H đồng
dạng với hình H.
iii) Hai hình cùng đồng dạng với hình thứ ba thì đồng dạng
với nhau.

a. Bất biến đồng dạng.
Định nghĩa :
+ Một tính chất của hình H đợc gọi là tính chất đồng
dạng nếu mọi hình đồng dạng với H đều có tính chất
đó.
+ Một khái niệm đợc gọi là khái niệm đồng dạng nếu nó
không thay đổi qua bất kì phép đồng dạng nào.
+ Các tính chất đồng dạng và các khái niệm đồng dạng
đợc gọi chung là các bất biến của nhóm đồng dạng hay
bất biến đồng dạng.
2.1.6.2 Hình học của nhóm đồng dạng .
Định nghĩa : Môn học nghiên cứu các bất biến đồng dạng gọi là
hình học của nhóm đồng dạng (hay hình học đồng dạng). Ta cũng gọi
tập hợp tất cả các bất biến đồng dạng là hình học đồng dạng.

2.2 Phép vị tự

2.2.1 Định nghĩa : Cho điểm O và tỉ số k 0. Phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm
M sao cho = k đợc gọi là phép vị tự
tâm O, tỉ số k.
Phép vị tự tâm O, tỉ số k thờng đợc kí hiệu là V
M'

P'

P

M

N

O

Nhận xét :
* Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
* Khi k = 1 phép vị tự là phép đồng nhất.
* Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.
Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

- 18 -

N'


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

* M V (M) M = V (o, (M) .
2.2.2 Tính chất : Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý
theo thứ tự M, N thì theo vectơ = k và = .
Chứng minh:
M'

M

N

O

N'

Gọi O là tâm của phép vị tự tỉ số k.
Theo định nghĩa của phép vị tự ta có :
= và = k
Do đó : = - = k - k = k( - ) = k
MN = k MN.
2.2.3 Tính chất 2 : Phép vị tự tỉ số k :
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn
thứ tự giữa các điểm ấy.
- Biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song hoặc trùng với nó,
biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc
bằng nó.
- Biến đờng tròn bán kính R thành đờng tròn bán kính k R .
A

A'

B

B'

I
C'

C

Chứng minh :
1. Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng mà B nằm giữa A và C, tức là
=m
( với m< 0)
Nếu phép vị tự tỉ số k biến ba điểm A, B, C lần lợt thành A, B,C .
Theo tính chất 1 ta có:
=k ; =k
= k(m ) = m (k ) = m
Tức là ba điểm A,B,C thẳng hàng với B nằm giữa A và C.
2. Giả sử V là phép vị tự tâm O tỉ số k và (I,R) là đờng tròn đã cho.
Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

- 19 -


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

Gọi I là ảnh của I và M là ảnh của M bất kì thì ta có :
IM = k IM
Bởi vậy IM = R IM = k R hay là M (I,R) với R = k R
Đó chính là ảnh của đờng tròn (I,R) qua phép vị tự.
M'
I'

M

O

2.2.4 Xây dung biểu thức tọa độ .
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm vị tự trùng với gốc tọa độ O. Với
mỗi điểm M(x,y) qua phép vị tự tâm O biến điểm M(x,y) thành điểm
M(x , y) sao cho:
=
x - 0 = k( x- 0)
x = kx

y - 0 = k (y- 0)
y = ky
Vậy biểu thức trên đợc gọi là biểu thức tọa độ của phép vị tự V .

KT HP CC PHẫP BIN I
Quỏ trỡnh ỏp dng cỏc phộp bin i liờn tip to nờn mt phộp bin
i tng th c gi l s kt hp cỏc phộp bin i (composing
transformation).
1.1 Kt hp cỏc phộp tnh tin
Nu ta thc hin phộp tnh tin lờn
c P , ri li thc hin tip
mt phộp tnh tin khỏc lờn P, ta c im
. Nh vy, Q l nh
ca phộp bin i kt hp hai phộp tnh tin liờn tip
v
cú ta :

Ta cú :

Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

- 20 -


TiÓu luËn

Trêng C§SP Hµ T©y

phÐp biÕn h×nh

hay :

Vậy kết hợp hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến. Từ đó ta có kết hợp
của nhiều phép tịnh tiến cũng là một phép tịnh tiến.
1.2 Kết hợp các phép quay
Tương tự, ta có tọa độ điểm
phép quay quanh gốc tọa độ

là điểm phát sinh sau khi kết hợp hai
và
là :

Ta có :

hay :
Vậy kết hợp hai phép quay quanh gốc tọa độ là một phép quay quanh
gốc tọa độ. Từ đó dễ dàng suy ra kết hợp của nhiều phép quay quanh
gốc tọa độ cũng là một phép quay quanh gốc tọa độ.
1.3 Phép quay có tâm quay là điểm bất kì

Giả sử tâm quay có tọa độ
, ta có thể xem phép quay quanh tâm I
một góc được kết hợp từ các phép biến đổi cơ sở sau:


Tịnh tiến theo vector tịnh tiến
để dịch chuyển tâm quay về
gốc tọa độ (đưa về trường hợp quay quanh gốc tọa độ).



Quay quanh gốc tọa độ một góc

Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B

.

- 21 -


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình


Tnh tin theo vector tnh tin
ban u.

a tõm quay v li v trớ

Hỡnh Phộp quay quanh tõm l im bt kỡ. i tng trc khi bin
i(a), Sau khi tnh tin v gc ta (b), Sau khi quay gúc (c), Sau khi
tnh tin v tõm quay ban u(d).
Ta cú ma trn ca phộp bin i :

Sơ đồ mối liến hệ giữa các phép biến hình

Phép biến
hình
k=1

Phép dời
hình

Phé
p
tịnh
tiến

Phé
p
đối
xứn
g
trục

Phé
p

qua
y

T o
Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

Q(0,
(2k+1)
)

Q(0,2k )

Phép
đồng
dạng

Phé
p
đối
xứn
g
tâ
m

phép
đồng nhất

Phép vị tự
k = -1

k=1
- 22 -


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

Chơng II thực hành -Vận dụng
I . Phép tịnh tiến.
Bài toán 1: Chứng minh các tính chất toán học.
Ví dụ 1 : Cho hình bình hành ABCD. Từ B và D ta kẻ các tia Bx và Dy
nằm ngoài hình bình hành sao cho hai tia đó cắt nhau tại điểm M
nằm khác phía với A đối với đờng thẳng BD,
bên trong goc chứa
đỉnh C và = .
Chứng minh rằng = và = .
M

C

B

M'

A

D

Ta xét phép biến đổi T
biến M M. Khi đó
= = .
Vì = và = nên =
Từ các kết quả trên ta suy ra = và tứ giác AMMD nội tiếp đờng tròn.
Ta có = (so le trong)
= (cùng chắn cung ).
Từ = và = , ta suy ra = đpcm.
Bài toán 2 : Dựng hình
Ví dụ 2 : Dựng hình bình hành cho biết hai cạnh liên tiếp và góc tạo
bởi hai đờng chéo.
- Phân tích. Giả sử ABCD là hình bình hành đã dung có .
Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

- 23 -


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

AB = a , BC = b và (AC,BD) = .
Gọi C là ảnh của B trong phép tịnh tiến T . Trong tam giác ACC ta biết
AC = 2a ; BC= b là trung tuyến kẻ tg C và ACC = . Từ đó ta suy ra
cách dung.
C

D

C'
A

B

- Cách dựng : Dựng AC = 2a, trung điểm B của AC, cung chứa góc
trên dãy AC, cung tròn tâm B, bán kính b.
Gọi C là điểm chung của hai cung tròn đã dung. Dựng D là ảnh của C
trong phép tịnh tiến
T(.
- Biện luận : Bài toán có nghiệm khi hai cung tròn có điểm chung.
Bài toán 3 : Toán cực trị.
Ví dụ 3 : Cho trớc một điểm A, một đờng thẳng d không đi qua A.
Trên d ta đặt một đoạn thẳng BC = a (a là độ dài cho trớc). Tìm vị
trí của đoạn BC để AB + AC nhỏ nhất.
A

A'

d
B

C

A"

Ta thực hiện phép tịnh tiến T , phơng của vectơ song song với d và u
=a
Biến A A ; B C. Khi đó A là điểm cố định khác A và AB = CA.
Rõ ràng AB + AC = CA + CA.
Thực hiện phép đối xứng S biến A A, khi đó A cố định và độ dài
AA = q là một số không đổi.
Ta có CA + CA q.
Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi C là giả điểm của d với AA.
Vậy AB + AC nhỏ
nhất khi C là giao điểm của d và Â, B là
ảnh của C trong phép biến đổi T ( .
Bài toán 4 : Tìm tập hợp điểm.
Ví dụ 4 : Cho một đờng tròn tâm (O), hai điểm cố định A,B và đoạn
thảng CD cố định.
Với mỗi điểm M thuộc đờng tròn (O) ta dung
Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

- 24 -


Tiểu luận

Trờng CĐSP Hà Tây

phép biến hình

điểm M đối xứng với M qua A, dung M
là đỉnh của
một hình bình hành MCD M, dựng điểm M đối xứng với M qua B. Tìm
tập hợp M khi M biến thiên trên đờng tròn.

Giải
Ta kí hiệu Z, Z là các phép đối xứng tâm; T là phép tịnh tiếng theo
vectơ . Từ điều
kiện bài toán suy ra Z. T . Z : M M .
Vậy M là ảnh của M trong phép tịnh tiến. Tập hợp M 3 là một đờng
tròn.
Bài toán 5 Các đại lợng hình học.
Ví dụ 5 : Cho hình bình hành ABCD. Từ B ta kẻ các đờng thẳng BE
CD và BK AD ( E CD , K AD), biết KE = a và BD = b (b > a). Tính
khoảng cách từ B đến trực tâm tam giác BEK .
Giải
Gọi H là trực tâm tam giác BEK. Vì EH BK và EK BH, nên DE = KH và EH
= KD.
B

B'

C

H
A

K

E
D

Phép tịnh tiến T : K D , H E , B B suy ra BH BE. Vì BH
EK.
nên BE KE. Trong tam giác BEK vuông tại E ta có BE = BK - KE.

Mặt khác , BK = BD (tứ giác BBDK là hình chữ nhật), do đó BK = b .
Vậy BE = BH = .
II. Phép đối xứng tâm.
Bài toán 1 : Chứng minh các tính chất hình học.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng một đa giác phẳng không thể có đúng hai
tâm đối xứng.
Giải:
Kí hiệu H là đa giác phẳng và giả sử H có hai tâm đối xứng phân
biệt O và O. Theo định
nghĩa Z : H H và Z : H
H. Ta xét biến đổi Z = Z. ZZ, theo tính chất 5 phép biến đổi Z là
một phép đối xứng qua tâm S, trong đó S đợc xác định bởi
= 2 và Z: H H S,O,O là tâm đối xứng của H. Điều mâu thuẫn
đó đã chứng minh bài toán.
Bài toán 2 : Dựng hình.
Ví dụ 2: Cho đờng tròn (O), một điểm P và một đờng thẳng (d)
không có điểm chung với (O). hãy dựng một hình bình hành có hai
Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B

- 25 -