CHINH PHỤC CÁC CÂU VẬN DỤNG CAO VỀ MINMAX SỐ PHỨC

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC.
NỘI DUNG LIVE – TRỢ GIÚP KÌ THI 2018.
Tài liệu có sử dụng nguồn đề từ các trường trên toàn quốc và của quý thầy cô trong nhóm Vận
Dụng Cao.
Kỹ năng:
 Phương pháp đại số.
 Phương pháp hình học.
 Phương pháp bđt modun.
 Phương pháp casio.
Một số tính chất cần nhớ.
1. Môđun của số phức:


 Số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM

được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b 2
 Tính chất


 z  a 2  b 2  zz  OM

 z  0, z   , z  0  z  0

 z.z '  z . z '



z
z


,  z '  0  z  z '  z  z '  z  z '
z' z'

 kz  k . z , k  
2

2

 Chú ý: z 2  a 2  b 2  2abi  ( a2  b 2 )2  4a 2 b2  a 2  b 2  z  z  z.z .
Lưu ý:
 z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0 


z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0  .



z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0 



z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0 



z1  z2  z1  z2  2 z1  z2



z  z z  z

2



2

2

2

2

2



z  

2.Một số quỹ tích nên nhớ
Biểu thức liên hệ x , y

Quỹ tích điểm M

ax  by  c  0 (1)

(1)Đường thẳng :ax  by  c  0

z  a  bi  z  c  di (2)

(2) Đường trung trực đoạn AB



với A  a , b  , B  c , d 
2

 x  a   y  b



2

 R 2 hoặc

Đường tròn tâm I  a; b  , bán kính R

2

 R2 hoặc

Hình tròn tâm I  a; b  , bán kính R

z  a  bi  R
2

 x  a   y  b

1

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404

z  a  bi  R
2

2

Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường
tròn đồn tâm I  a; b  , bán kính lần lượt là

r 2   x  a    y  b   R 2 hoặc

r  z  a  bi  R

r, R
Parabol

 y  ax 2  bx  c
c  0

2
 x  ay  by  c
2

 x  a   y  c 

1 Elip

2

 1  1 hoặc

b2
d2
z  a1  b1i  z  a2  b2 i  2a
2

 x  a   y  c 
b2

d2

 2  Elip nếu 2a  AB , A  a , b  , B  a , b 
1

1

2

2

Đoạn AB nếu 2a  AB
Hypebol

2

1

Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  z , tìm z



Min

. Khi đó ta có





 Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A a; b




1
1 2 2
 z Min  2 z0  2 a  b
 
z  a  b i

2 2
TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Tìm z min . Ta có



 Quỹ tích điểm M x; y



biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với

A  a; b  ,B  c;d 


z Min  d  O , AB  

a2  b2  c 2  d2
2

2

 a  c  b  d

2

Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về
dạng cơ bản.
Ví dụ 1:
 Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Khi đó ta biến đổi
z  a  bi  z  c  di  z  a  bi  z  c  di .

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  z  c  di . Khi đó ta biến đổi

2

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
 a  bi
c  di
iz  a  bi  iz  c  di  z 
 z
 z  b  ai  z  d  ci .
i
i
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.





TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  0 z  z 0  R . Tìm z
, z Min . Ta có
Max









 Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I a; b bán kính R
2
2
z

 Max  OI  R  a  b  R  z0  R
 
2
2
 z Min  OI  R  a  b  R  z0  R

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  R  z 

a  bi R
 (Chia hai vế cho i )
i
i

 z  b  ai  R
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  z  a  bi  R (Lấy liên hợp 2 vế)
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

 c  di  z  a  bi  R  z  cadibi
Hay viết gọn z 0 z  z1  R  z 



R
R

c  di
c 2  d2

z1
R

(Chia cả hai vế cho z 0 )
z0
z0

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.





TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  c  z  c  2a , a  c Khi đó ta có





 Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là Elip:

y2
x2

1
a2 a2  c2

z
 Max  a
 

2
2
 z Min  a  c
TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  z1  z  z 2  2a
Thỏa mãn 2a  z1  z 2 .
Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ).
Ta có





Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z  z1  z  z 2  2a , z1  z 2  2a và z1 , z 2  c,  ci ). Tìm
Max, Min của P  z  z 0 .

3


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404

 z1  z 2  2c

Đặt 

2
2
2
 b  a  c

Nếu z 0 

z1  z 2
0
2

PMax  a
(dạng chính tắc)

P

b
 Min


z1  z 2
a
 z0 
2
Nếu 
z  z  k  z  z 
1
0
2
 0


z1  z 2
a
PMax  z 0 
2



P  z  z 1  z 2  a
0
 Min
2



z1  z 2
a
 z0 
2
Nếu 
z  z  k  z  z 
1
0
2
 0
Nếu z 0  z1  z 0  z 2

PMax  z 0 

z1  z 2
a
2

PMin  z 0 

z1  z 2

b
2

PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT.
Dạng 1: Sử dụng tính chất của modun – bđt đại số.
Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp
Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học.
Xem hướng dẫn trên lớp.
Dạng 3: Tả phí lù.
Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh
Câu 1:

(TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z  2  i . Tìm số

phức có môđun nhỏ nhất?
A. z  1  2i .

1 2
B. z    i .
5 5

1 2
 i.
5 5
Hướng dẫn giải

C. z 

D. z  1  2i .

Chọn C.
Cách 1: Phương pháp tự luận
Giả sử z  x  yi  x , y   
2

2

z  3i  z  2  i  x   y  3  i   x  2    y  1  i  x 2   y  3    x  2    y  1 

2

 6 y  9  4x  4  2 y  1  4 x  8 y  4  0  x  2 y  1  0  x  2 y  1
2


2 1
5
z  x  y   2 y  1  y  5 y  4 y  1  5  y    
5 5
5

2

2

Suy ra z min 

2

2

2

5
2
1
khi y    x 
5
5
5
4


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
1 2
 i.
5 5
Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm
Giả sử z  x  yi  x , y   

Vậy z 

2

2

z  3i  z  2  i  x   y  3  i   x  2    y  1  i  x 2   y  3    x  2    y  1 

2

 6 y  9  4x  4  2 y  1  4 x  8 y  4  0  x  2 y  1  0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  3i  z  2  i là đường thẳng

d : x  2y  1  0 .
Phương án A: z  1  2i có điểm biểu diễn  1;  2   d nên loại A.
1 2
 1 2
Phương án B: z    i có điểm biểu diễn   ;   d nên loại B.
5 5
 5 5
Phương án D: z  1  2i có điểm biểu diễn  1; 2   d nên loại B.
1 2
1 2
 i có điểm biểu diễn  ;    d
5 5
5 5
(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng thì ta tiếp tục so sánh modun, và
nên thay luôn z vào dữ kiện ban đầu chứ không nên biến đổi)
Cách 3: Tính nhanh.
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình  : x  2 y  1  0 .

Phương án C: z 

Vậy z min  d  O ,   

1
2

2



5
5

1 2
Cách 4: Công thức tính nhanh.
BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z . Tìm z min ?

1
1 2 2
 z Min  2 z0  2 a  b

z  a  b i

2 2
BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Tìm z min ?
z Min 

Câu 2:

a2  b2  c 2  d2
2

2

 a  c  b  d

2

(LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị

lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M  m bằng
A. 4  7 .

B. 4  7 .

C. 7.
Hướng dẫn giải

D. 4  5.

Chọn B.
Cách 1 : Đại số
Gọi z  x  yi với x; y   .
5


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Ta có 8  z  3  z  3  z  3  z  3  2 z  z  4 .
Do đó M  max z  4 .
Mà z  3  z  3  8  x  3  yi  x  3  yi  8 

 x  3

2

 y2 

 x  3

2

 y2  8 .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
8  1.

 x  3

2

 y 2  1.

 x  3





2

 y2 

1

2



2
2
 12  x  3   y 2   x  3   y 2 







 8  2 2 x 2  2 y 2  18  2 2 x 2  2 y 2  18  64
 x2  y 2  7  x2  y 2  7  z  7 .
Do đó M  min z  7 .
Vậy M  m  4  7 .
Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)
  F1  3; 0  , F2  0, 3 




x2 y 2
8


Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elip

 1  a   4

16 7
2



 b  a 2  c 2  4 2  3 2  7 



 z
a4
Max
Do vậy 
 M m  4 7
 z Min  b  7
Cách 3: Tổng quát
Cho số phức z thỏa mãn z  c  z  c  2 a ,  a  c  ta luôn có .
 Tập hợp điểm biểu diễn z là Elip

y2
x2

1
a2 a2  c 2

z
 Max  a
 
2
2
 z Min  a  c
Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của
z  1  i là

A. 13  2 .

B. 4 .

C. 6 .
Hướng dẫn giải

D. 13  1 .

Chọn D
Cách 1: Gọi z  x  yi ta có z  2  3i  x  yi  2  3i  x  2   y  3  i .
2

2

Theo giả thiết  x  2    y  3   1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường
tròn tâm I  2; 3  bán kính R  1 .

M2

Ta có z  1  i  x  yi  1  i  x  1   1  y  i 
Gọi M  x; y  và H  1;1 thì HM 

2

2

 x  1    y  1

 x  1    y  1

2

.

2

.

M1

I

H

6


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường
tròn.
 x  2  3t
Phương trình HI : 
, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn:
y

3

2

t


9t 2  4t 2  1  t  



3
2 
3
2 
nên M  2 
;3
;3
,M2
.
13
13
13 
13
13 



1

Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM  13  1 .
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của w  z  1  i





Ta có z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  1  i  3  2i  1  w  3  2i  1 (Đường tròn tâm

I  3, 2  , R  1 )
Vậy w Max  OI  R  32  2 2  1  1  13
Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  R  0 , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn số
phức z là đường tròn I  a , b  , bk  R ) và
2
2
z
 Max  OI  R  a  b  R

2
2
 z Min  OI  R  a  b  R


Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z  a  bi  z  a  bi
Câu 4:

(BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A 

2z  i
. Mệnh đề nào sau
2  iz

đây đúng?
A. A  1 .

B. A  1 .

C. A  1 .

D. A  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1: Đặt Có a  a  bi ,  a , b     a 2  b 2  1 (do z  1 )
2 a   2 b  1 i
4 a 2   2b  1 
2z  i
A 


2
2  iz
2  b  ai
 2  b   a2

Ta chứng minh

Thật vậy ta có

4 a 2   2b  1

2

1.

2

 2  b   a2

4 a 2   2 b  1

 2  b

2

a

2

2

2
2

2

 1  4 a 2   2b  1   2  b   a 2  a 2  b 2  1

Dấu “=” xảy ra khi a2  b2  1 .
Vậy A  1 .
Cách 2 : Trắc nghiệm
7

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
1
z 1
2z  i
Chọn
 2 34
 A 1
1 A 
2  iz
z
1
2
17
Câu 5:

Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  1 
A. 5.

B. 4.

C. 6.
Hướng dẫn giải
5i
5i
5
Cách 1: Ta có: A  1 
1
 1   6. Khi z  i  A  6.
z
z

z

5i
.
z

D. 8.

 Chọn đáp án C.
Cách 2: A  1 

z  5i
5i

 z  5i
z
z

Theo bài z  1  z  5i  5i  1  z  5i Max  52  1  6
Câu 6:

Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất M max và giá trị nhỏ nhất M min của biểu

thức M  z 2  z  1  z 3  1 .
A. M max  5; M min  1.

B. M max  5; M min  2.

C. M max  4; Mmin  1.

D. M max  4; Mmin  2.
Hướng dẫn giải

2

3

Ta có: M  z  z  1  z  1  5 , khi z  1  M  5  M max  5.
Mặt khác: M 

1  z3
1 z

3

 1 z 

1  z3
2



1  z3
2



1  z 3  1  z3
2

 1, khi

z  1  M  1  M min  1.

 Chọn đáp án A.
Câu 7:

Cho số phức z thỏa z  2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P 
3
A. .
4

B. 1.

C. 2 .

zi
.
z

2
D. .
3

Hướng dẫn giải
i
1 3
i
1
1

Ta có P  1   1 
 . Mặt khác: 1   1 
 .
z
| z| 2
z
| z| 2
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là

1
3
, xảy ra khi z  2i ; giá trị lớn nhất của P bằng
xảy ra khi
2
2

z  2 i.

Câu 8:

 Chọn đáp án A.
Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2i.
A.

26  6 17 .

B.

26  6 17 .

C.

26  8 17 .

D.

26  4 17 .
8


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y     z  2i  x   y  2  i . Ta có:
2

2

z  1  2 i  3   x  1   y  2   9 .
Đặt x  1  3 sin t; y  2  3cos t; t   0; 2  .
2

2

2

 z  2i   1  3 sin t    4  3 cos t   26  6  sin t  4 cos t   26  6 17 sin  t    ;      .
 26  6 17  z  2i  26  6 17  z  2i max  26  6 17  3  17

 Chọn đáp án A.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2i.

Ta có z  1  2i  3   z  2i   1  4i  3  z Max  12  4 2  3  3  17 (đáp án A)
Câu 9:

Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z .
A. 3 15

B. 6 5

C. 20
Hướng dẫn giải

D. 2 20.

Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y    . Ta có: z  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2  x  
 1;1 .
2

Xét hàm số f  x  

2

 1  x   y  3  1  x   y  2 1  x   3 2 1  x  .
2  1  x   3 2 1  x  ; x  
 1;1 . Hàm số liên tục trên 
 1;1

Ta có: P  1  z  3 1  z 

x   1;1 ta có: f   x  

1
2 1  x 



2

2

và với

3

4
 0  x     1;1 .
5
2 1  x 

 4
Ta có: f  1  2; f  1  6; f     2 20  Pmax  2 20.
 5
 Chọn đáp án D.
Cách 2: (Casio)
 x  sin t
Từ z  1 , đặt z  x  yi  
Thay vào P rồi dùng mode 7 ra đáp án D
y

cos
t


Cách 3: Hình học (Xem video live của thầy)
Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính giá trị của M .m .
A.

13 3
.
4

B.

39
.
4

C. 3 3.

D.

13
.
4

Hướng dẫn giải
Gọi z  x  yi ;  x  ; y    . Ta có: z  1  z.z  1
Đặt t  z  1 , ta có 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0; 2  .
Ta có t 2   1  z  1  z   1  z.z  z  z  2  2 x  x 

t2  2

.
2

9


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404

 2 x  1

Suy ra z 2  z  1  z 2  z  z.z  z z  1  z 

2

 2x  1  t 2  3 .

Xét hàm số f  t   t  t 2  3 , t   0; 2  . Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra

13
13 3
; min f  t   3  M .n 
.
4
4
 Chọn đáp án A.
max f  t  

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2  4  2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

3 1
3 1
 z
.
6
6

B. 5  1  z  5  1.

2 1
2 1
 z
.
3
3
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v , ta được

C. 6  1  z  6  1.

D.

2

2

2 z  4  z 2  4  4  z  z  2 z  4  0  z  5  1.
2

2

2 z  z  z 2  4   z 2  4  z  2 z  4  0  z  5  1.

Vậy, z nhỏ nhất là

5  1, khi z  i  i 5 và z lớn nhất là

5  1, khi z  i  i 5.

 Chọn đáp án B.
Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
A.

9 4 5.

B.

11  4 5

C. 6  4 5
Hướng dẫn giải

D.
2

56 5
2

Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y    . Ta có: z  1  2i  2   x  1   y  2   4.
Đặt x  1  2 sin t ; y  2  2 cos t ; t   0; 2  .

2

2

2

Lúc đó: z   1  2 sin t    2  2 cos t   9   4 sin t  8 cos t   9  4 2  8 2 sin  t    ;     
2
 z  9  4 5 sin  t     z    9  4 5 ; 9  4 5 



 zmax  9  4 5 đạt được khi z 

5  2 5 10  4 5

i.
5
5

 Chọn đáp án A.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
Ta có z  1  2i  2  z Max  12  2 2  2  2  5  9  4 5
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn  1  i  z  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
A. 4 5

B. 3 5.

C. 3.
Hướng dẫn giải

D. 3  5

Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y    .

10


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Ta có:

 1  i  z  6  2i 

10  1  i  . z 

2
2
6  2 i
 10  z  2  4i  5   x  2    y  4   5. Đặt
1 i

x  2  5 sin t ; y  4  5 cos t ; t   0; 2  .
Lúc đó:
2



2

z  2  5 sin t

  4 

5 cos t



2



2



 4 5   8 5 

 25  4 5 sin t  8 5 cos t  25 

2

sin  t    ;     

2
 z  25  20 sin  t     z   5; 3 5 



 zmax  3 5 đạt được khi z  3  6i.
 Chọn đáp án B.

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn  1  i  z  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
Ta có  1  i  z  6  2i  10  z 

6  2i
10

 z  2  4i  5
1i
1i

 z Max  2 2  4 2  5  3 5
Câu 14: Gọi z  x  yi  x , y    là số phức thỏa mãn hai điều kiện
z

3
2



3
2

2

2

z  2  z  2  26 và

i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.

9
A. xy  .
4

16
9
.
D. xy  .
9
2
Hướng dẫn giải
Cách 1: Đặt z  x  iy  x , y    . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x 2  y 2  9.

B. xy 

13
.
2

C. xy 

Đặt x  3 cos t , y  3 sin t. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

P z

3
2



3

 
i  18  18 sin  t    6.
2
 4

 
3
3 2 3 2
Dấu bằng xảy ra khi sin  t    1  t  
z

i.
4
2
2
 4

 Chọn đáp án D.
Câu 15: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức
z  2 i.

A.

B. 3 5.

5

C. 3 2

Hướng dẫn giải

D. 3  2

Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y    .
2

2

Ta có: z  2i  x 2

2

2

 x  2    y  4   x   y  2   x  y  4  0  y  4  x.
  y  2   x   6  x   2 x  12 x  36  2  x  3   18  18

Ta có: z  2  4i  z  2i 

2

2

2

2

2

2

11


 z  2i min

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
 18  3 2 khi z  3  i.

 Chọn đáp án C.
Cách 2: z  2  4i  z  2i   z  2i   2  6i   z  2i   4i  w  2  6i  w  4i
Trong đó w  z  2i (quay về dạng bài toán 1)
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  1  i.
A. 4.

B. 2 2.

C. 2.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y     z  1  i   x  1   y  1 i . Ta có:
2

2

z  1  2 i  9   x  1   y  2   9 .
Đặt x  1  3 sin t; y  2  3cos t; t   0; 2  .
2

2

2

 z  1  i   3 sin t    1  3 cos t   10  6 cos t  2  z  2i  4  z  1  i min  2 , khi
z  1  i.
 Chọn đáp án C.
Cách 2: (Hình học + CT tính nhanh)

Ta có z  1  2i  3   z  1  i   i  3  z  1  i Min 

12  3  2

Câu 17: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
2

z  3  4i  5 và biểu thức

2

M  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z  i.
A. z  i  2 41

B. z  i  3 5.

C. z  i  5 2

D. z  i  41.
Hướng dẫn giải
2

2

Gọi z  x  yi ;  x  ; y    . Ta có: z  3  4i  5   C  :  x  3    y  4   5 : tâm I  3; 4 
và R  5.
Mặt khác:
2
2
2
2
M  z  2  z  i   x  2   y 2   x 2   y  1   4 x  2 y  3  d : 4 x  2 y  3  M  0.


Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và  C  có điểm chung

 

 d  I; d  R 

23  M

 5  23  M  10  13  M  33
2 5
4 x  2 y  30  0
x  5
 Mmax  33  

 z  i  5  4i  z  i  41.
2
2

y


5
x

3

y

4

5






 Chọn đáp án D.
m  i
Câu 18: Cho số phức z 
, m   . Tìm môđun lớn nhất của z.
1  m  m  2i 

A. 1.

B. 0.

C.

1
.
2

D.2.
12


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Hướng dẫn giải
Ta có: z 

m  i
m
i
1
 2
 2
 z
 1  z max  1  z  i; m  0.
2
1  m  m  2i  m  1 m  1
m 1

 Chọn đáp án A.
Câu 19: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ
nhất là:
A.

B.

5 1

5 1

C. 5  2
Hướng dẫn giải

D.

52.

Chọn A.
y
I
1

M
O

1

x

Cách 1: Gọi z  x  yi , x , y   .
Ta có: z  2  2i  1  ( x  2)  ( y  2)i  1  ( x  2)2  ( y  2)2  1
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C ) tâm

I (2; 2) và bán kính R  1 .

2

z  i  x 2   y  1  IM , với I  2; 2  là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn.
Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm
N  0;1  Oy , I  2; 2  với đường tròn (C).

IM min  IN  R  5  1
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ nhất
Ta có z  2  2i  1   z  i   2  i  1  z  i Min 

2 2  12  1  5  1

Câu 20: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i  1  z  i . Tìm số phức z được
biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A  1, 3  .
A. 3  i .

B. 1  3i .

C. 2  3i .
Hướng dẫn giải
Gọi M  x , y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x , y  R 

D. 2  3i .

Gọi E  1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1  2i
Gọi F  0, 1 là điểm biểu diễn số phức i

13

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Ta có : z  2i  1  z  i  ME  MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung
trục EF : x  y  2  0 .
Để MA ngắn nhất khi MA  EF tại M  M  3,1  z  3  i => Đáp án A.
Câu 21: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z  1  2i  5 và
w  z  1  i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:
A. 2 5 .

B. 3 2 .

C.

6.

D. 5 2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi z  x  yi

 x, y   

 z  1  2 i   x  1   y  2  i
2

Suy ra tập hợp điểm

2

2

2

 x  1    y  2   5   x  1   y  2   5
M  x; y  biểu diễn số phức z thuộc đường tròn  C  tâm I  1; 2  bán

Ta có: z  1  2i  5 

kính R  5
Dễ thấy O   C  , N  1; 1   C 
Theo đề ta có:
M  x; y    C  là điểm biểu diễn cho số
phức z thỏa mãn:
w  z  1  i  x  yi  1  i   x  1   y  1 i

2
2
 z  1  i   x  1   y  1  MN
Suy ra z  1  i đạt giá trị lớn nhất  MN lớn nhất
Mà M , N   C  nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn  C 
2

 I là trung điểm MN  M  3; 3   z  3  3i  z  32   3   3 2

Câu 22:

(CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn

nhất của T  z  i  z  2  i .
A. max T  8 2 .

B. max T  4 .

C. max T  4 2 .
Hướng dẫn giải

D. max T  8 .

Chọn B
T  z  i  z  2  i   z  1   1  i    z  1    1  i  .
Đặt w  z  1 . Ta có w  1 và T  w   1  i   w   1  i  .
2

Đặt w  x  y.i . Khi đó w  2  x 2  y 2 .

14


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
T   x  1   y  1  i   x  1    y  1  i
 1.



2

 x  1   y  1

2

 1.

2

 x  1   y  1 

2

 1  1    x  1   y  1    x  1    y  1  
2  2x  2 y  4   4
2

2

2

2

2

2

2

2

Vậy max T  4 .
Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là
A. 13  2 .

B. 4 .

C. 6 .
D. 13  1 .
(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN)
Lời giải
Cách 1: Đặt z  a  bi  a , b    , ta có z  2  3i  1   a  2    b  3  i  1.



2

a  2  b  3

2

2

2

 1  a  2  b  3  1

 

a  2  sin t
Đặt 
(vì    sin 2 t  cos 2 t  1 ). Khi đó z  1  i   a  1   1  b  i .
b  3  cos t
2

2

2

2

 a  1  1  b   xét biểu thức P   a  1  1  b  .
Ta có  a  1   1  b    sin t  3    cos t  2   sin t  6 sin t  9  cos t  4 cos t  4


2

2

2

2

2

2





 sin 2 t  cos 2 t  13  6 sin t  4 cos t
 14  6 sin t  4 cos t  P
2





Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  6 sin t  4 cos t   6 2  4 2 sin 2 t  cos 2 t



2

  6 sin t  4 cos t   52  6 sin t  4 cos t  52  2 13  P  14  2 13.
Vậy z  1  i 

2

 a  1   1  b 

2

 14  2 13 



13  1



2

 13  1. Chọn A.

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i





Ta có z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  1  i  3  2i  1

 z 1 i

Max

 32  2 2  1  13  1

Câu 24: (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2)Cho các
z  2  2i  z  4i , w  iz  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức w là
A.

2
.
2

B. 2 2 .

C. 2 .

số

D.

phức

z, w

thỏa

mãn

3 2
.
2

Lời giải
Cách 1: Đặt z  a  bi  a, b    , khi đó z  2  2i  a  2   b  2  i và z  4i  a   b  4  i .
2

2

2

Nên ta có  a  2    b  2   a 2   b  4   a  b  2  b  2  a

15


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
2

2

Khi đó w  iz  1   a  bi  i  1  1  b  ai  w  a 2   b  1  a 2   a  1 .
2

2

1 1 1
2
2
Dễ thấy a2   a  1  2  a      w 
 min w 
. Chọn A.
2 2 2
2
2

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (dạng 1)
Câu 25:
(ĐỀ THTT LẦN 5 – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10. Giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của z lần lượt là
A. 10 và 4

B. 5 và 4

C. 4 và 3 .

D. 5 và 3 .

Hướng dẫn giải.

Gọi z  x  yi ,  x , y    . Theo giả thiết, ta có z  4  z  4  10.

  x  4   yi   x  4   yi  10 

 x  4

2

 x  4

 y2 

2

 y 2  10



Gọi M  x; y  , F1   4; 0  và F2  4; 0  .
Khi đó    MF1  MF2  10 nên tập hợp các
điểm M  z  là đường elip  E  .
Ta có c  4 ; 2a  10  a  5 và b2  a 2  c 2  9 .
x2 y 2
Do đó, phương trình chính tắc của  E  là

 1.
25 9
Vậy max z  OA  OA '  5 và min z  OB  OB '  3 . Chọn D.
Câu 26: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Biết rằng số phức z  x  yi ,

 x, y    có môđun nhỏ nhất. Tính P  x
A. P  10 .

B. P  8 .

2

 y2 .
C. P  16 .

D. P  26 .

Hướng dẫn giải.
Cách 1: Gọi z  x  yi ,  x , y    . Ta có z  2  4i  z  2i   x  2    y  4  i  x   y  2  i



2

 x  2   y  4

2

2

 x 2   y  2   x 2  4 x  4  y 2  8 y  16  x 2  y 2  4 y  4

 4 x  4 y  16  0  y  4  x .
2

2

Do đó z  x 2  y 2  x 2   4  x   2 x 2  8 x  16  2  x  2   8  2 2 .
Dấu "  " xảy ra  x  2  y  2 . Vậy P  2 2  2 2  8 . Chọn B.
Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (bài tập 1)
Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện
A. max z  1 .

B. max z  2 .

C. max z  2 .

 2  3i
z 1  1.
3  2i
D. max z  3 .

Hướng dẫn giải.
Ta có

 2  3i
1
z  1  1   iz  1  1   i . z 
 1  z   i  1 .
3  2i
i

16

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Vì   i   0  1 nên max z  r1  r2  1  1  2 . Chọn B.
Câu 28: (THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong các số phức z

1  i  z  1  7 i 

thỏa mãn điều kiện

2 . Tìm max z .

A. max z  4 .

B. max z  3 .

C. max z  7 .

D. max z  6 .

Hướng dẫn giải.
Ta có  1  i  z  1  7 i  2  1  i z 

1  7i
 2  z   3  4i   1 .
1 i

Vì  3  4i   0  5 nên max z  r1  r2  1  32  4 2  6 . Chọn D.
Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A 
A. A  1.

B. A  1.

2z  i
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2  iz
C. A  1.
D. A  1.

(THPT CHUYÊN HÀ NAM)
Lời giải
2z  i
 A  2  iz   2 z  i  2 A  Azi  2 z  i
2  iz
2A  i
2A  i
 2 A  i  z  Ai  2   z 
. Mà z  1 
 1  2 A  i  Ai  2
Ai  2
Ai  2

Từ giả thiết, ta có A 

 .

Đặt A  x  yi  x , y    , khi đó    2 x   2 y  1 i   y  2  xi
2

 4 x 2   2 y  1 

 y  2

2

 x 2  4 x 2  4 y 2  4 y  1  x 2  y 2  4 y  4  x 2  y 2  1.

Vậy môđun của A  x 2  y 2  1. Chọn A.
Câu 30:

Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của

P  z1  z2 .
A. P  5  3 5.

B. P  2 26.

C. P  4 6.
D. P  34  3 2.
(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4)
Lời giải
2



2

2

 Bổ đề. Cho hai số phức z1 và z2 , ta luôn có z1  z2  z1  z2  2 z1  z2



 z  z z  z   z  z z  z 



  .

2



2

2

Chứng minh. Sử dụng công thức z1  z2   z1  z2  z1  z2 và z.z  z . Khi đó
2

z1  z2  z1  z2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

 z1 .z1  z1 .z2  z1 .z2  z2 .z2  z1 .z1  z1 .z2  z1 .z2  z2 .z2

 



2

 2 z1 .z1  z2 .z2  2 z1  z 2
2

2

2

  đpcm.
2

 Áp dụng   , ta được z1  z2  z1  z2  4  z1  z2  4 



 3

2

2

 1  z1  z2  1.

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được P  z1  z2  2 z1  z2

2

2

26. Chọn B.

17


Câu 31:

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của

P  z1  z2 .
A. P  5  3 5.

B. P  2 26.

C. P  4 6.
D. P  34  3 2.
(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4)

Lời giải
2



2

2

 Bổ đề. Cho hai số phức z1 và z2 , ta luôn có z1  z2  z1  z2  2 z1  z2


 z  z z  z   z  z z  z 



  .

2



2

2

Chứng minh. Sử dụng công thức z1  z2   z1  z2  z1  z2 và z.z  z . Khi đó
2

z1  z2  z1  z2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

 z1 .z1  z1 .z2  z1 .z2  z2 .z2  z1 .z1  z1 .z2  z1 .z2  z2 .z2

 



2

 2 z1 .z1  z2 .z2  2 z1  z 2
2

2

  đpcm.

2

2

 Áp dụng   , ta được z1  z2  z1  z2  4  z1  z2  4 

 3



2

 1  z1  z2  1.

2

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được P  z1  z2  2 z1  z2

2

2

26. Chọn B.

Câu 32: (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI)Cho số phức z thỏa mãn
z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 .

Tính min| w |, với số phức w  z  2  2i .
3
A. min| w | .
B. min| w | 2 .
2

C. min| w | 1 .

D. min| w |

1
.
2

Lời giải
2

2

2

Ta có z  2 z  5   z  1  4   z  1   2i    z  1  2i  z  1  2i  .
2

 z  1  2i
Khi đó, giả thiết   z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i  z  3i  1  
 z  1  2i  z  3i  1
TH1. Với z  1  2i , ta có w  z  2  2i  1  2i  2  2i   1  w  1.
TH2. Với z  1  2i  z  3i  1

 , đặt z  x  yi  x, y    , ta có
2

2

2

    x  1   y  2  i  x  1   y  3  i   x  1   y  2    x  1    y  3 
1
3
Do đó w  z  2  2i  x  i  2  2i  x  2  i  w 
2
2

2

1
y .
2

9 3
 . Chọn A.
4 2
1
Câu 33: (TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8)Cho số phức z thỏa mãn z   3 . Tổng của giá trị lớn
z

x  2

2



nhất và giá trị nhỏ nhất của z là
A. 3.

B.

5.

C.

13.

D. 5.

Lời giải
18


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
2

1
1

1 
1
Ta có a  z   a 2  z 
  z   z  

z
z
z 
z

2

z 

z2   z 
z

2

1



2

z

2

4



2

2

z  z  z  2 z 1
z

2

.

  a  a2  4 a  a2  4 
4
2
2
.
Khi đó z  z . a2  2  1    z  z   0  z  
;
2
2





Vậy max z 



 a  a2  4
a  a2  4
; min z 

 M  m  a 2  4  13. Chọn C.
2
2

Câu 34: (THPT NHÂN CHÍNH - HÀ NỘI)Xét số phức z thỏa mãn  1  2i  z 
nào sau đây đúng?
3
1
3
A.  z  2 .
B.  z  .
2
2
2

C. z  2 .

D. z 

10
 2  i . Mệnh đề
z

1
.
2

Lời giải

10

10
 2  i   1  2i  z  2  i 
z
z
10
10
 z 2 z i 2i 
 z  2  2 z 1 i 
z
z
2
2
10
Lấy môđun hai vế của   , ta được    z  2  2 z  1 
.
z
Cách 1. Từ giả thiết, ta có  1  2i  z 





 



 



10
 t 2 5t 2  5  10  t 4  t 2  2  0  t  1.
t
1
3
Vậy môđun của số phức z bằng 1   z  .
2
2
Cách 2. Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết ở câu 26) để tìm z .
Đặt t  z , ta có

2

 t  2    2t  1 

2







Cách 3. Đặt z  a  bi  a , b    và c  z , thay vào đẳng thức đã cho thì

 a  bi  10  2  i
10
 2  i   1  2i  c 
a  bi
c2



a 10
b 10
 c  2  2  i  2c  2  1   0


c
c


 a 10

a 10
c  2  2  0
c  2  2
10 a2  b2
2
2
10


c
c
Suy ra 
nên  c  2    1  2c  
 2

4
c

c
2c  b 10  1  0
1  2c  b 10


c
c2
Gt   1  2i  c 



Giải ra ta có c   1 mà c  0 nên c  1 hay z  1 . Do đó



1
3
 z  . Chọn B.
2
2

19


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Câu 35: (THPT CHUYÊN LÀO CAI)Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là
M , M  . Số phức z(4  3i ) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N  . Biết rằng

M , M  , N , N  là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5
A.

1
.
2

B.

2
5

.

C.

1
2

.

D.

4
13

.

Lời giải
 N  4 x  3 y ; 3 x  4 y 
Gọi M  x; y   M '  x;  y  và  4  3i  z  4 x  3 y   3x  4 y  i  
 N '  4 x  3 y ;  3x  4 y 

Dễ thấy MM '  NN ' vì cùng vuông góc với Ox nên để MM ' N ' N là hình chữ nhật.

 MM '  NN '

Khi và chỉ khi  MN  M ' N '  x  y  0  z  x  xi  z  4i  5 
 MN  Ox

2

2

Ta có  x  5    x  4  

2

 x  5   x  4 

2

2
1
1 1
1
2 x  9     z  4i  5 min 
. Chọn C.

2
2 2
2

Câu 36: (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức

T  zi  z2i .
A. max T  8 2.

B. max T  4.

C. max T  4 2.
Lời giải

Đặt z  x  yi  x , y    , ta có z  1  2  x  1  yi  2 

 x  1

2

D. max T  8.

 y2  2

2

  x  1  y 2  2  x 2  2 x  1  y 2  2  x 2  y 2  2 x  1

 

Lại có T  z  i  z  2  i  x   y  1 i  x  2   y  1 i
2

 x 2   y  1 

2

 x  2    y  1

2

 x2  y 2  2 y  1  x2  y 2  4x  2 y  5

Kết hợp với   , ta được T  2 x  2 y  2  6  2 x  2 y  2  x  y   2  2  2  x  y 
Đặt t  x  y , khi đó T  f  t   2t  2  6  2t với t  
 1;1 .
Ta có f '  t  

1
2t  2



1
6  2t

; f '  t   0  t  1  f  t max  f  1  4 . Chọn B.

Câu 37: (ĐHNT HN) Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện z  1  2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

T  zi  z2i
A. max T  8 2 .

B. max T  8 .

C. max T  4 2 .
Hướng dẫn giải

D. max T  4 .

Chọn C
Đặt z  x  yi  x , y    , ta có:

20


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
z  1  2  x  1  yi  2
2

  x  1  y 2  2  x 2  y 2  2 x  1  * 
Lại có: T  z  i  z  2  i  x   y  1 i  x  2   y  1 i
2

 x 2   y  1 

2

 x  2    y  1

2

 x2  y 2  2 y  1  x2  y 2  4 x  2 y  5

Kết hợp với  *  , ta được:

T  2x  2 y  2  6  2x  2 y
Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được

 12  2 x  2 y  2

Vậy max T  4 .

1

2

T



2

 


Câu 38: Cho w  sin   i cos  với 0   

2

6  2x  2 y   4





thỏa mãn w 2  1  2 w .
2

2


Giá trị của P   26 w  3 


2018
2018
A. P  23 .
B. P  23 .
Hướng dẫn giải
Chọn A

2018

là
C. P  232018 i.

D. P  29 2018.

2

Ta có: w 2  1   sin   i cos    1  1  cos 2  i sin 2  w 2  1  2  2 cos 2 .
2 w  sin 2   cos 2   2 .
Từ giả thiết: w 2  1  2 w  cos 2  0   



vì 0    .
4
2

2
2
2
2
2
i
w
i
 w 1 .
2
2
2
2
2018
Vậy P  23 .

w

2

2

Câu 39: Cho các số phức z1  2  i , z2  2  i và số phức z thay đổi thỏa mãn z  z1  z  z2  16. Gọi

M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức M 2  m2 bằng

B. 7 .

A. 15 .
Chọn

C. 11 .
Lời giải

D. 8 .

D.

Gọi M là điểm biểu diễn của z .
Gọi A  2; 1 , B  2;1 . Gọi I  0;1 là trung điểm AB .
2

2

z  z1  z  z2  16  MA 2  MB 2  16

AB2
 16  MI  2
2
Suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I  0;1 bán kính R  2 .
MA 2  MB2  2 MI 2 

21

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
y
M2

I
x

O
M1

Ta lại có : IM  IO  OM  IM  IO  1  OM  3 .
Do đó : z max  3  M  M2

z min  1  M  M1
 M 2  m2  8 .
Bài tương tự
Câu 40: Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  1  i  2 và z2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức

z1  z2 ?
A. m  2  1 .

B. m  2 2 .

D. m  2 2  2 .

C. m  2 .

Lời giải
Chọn

D.
Đặt z1  a  bi; a , b    z2  b  ai

 z1  z2   a  b    b  a  i .
Nên z1  z2 

2

 a  b   b  a

2

 2. z1

Ta lại có 2  z1  1  i  z1  1  i  z1  2

 z1  2  2 . Suy ra z1  z2  2. z1  2 2  2 .
a b

0.
1 1
Vậy m  min z1  z2  2 2  2 .

Dấu "  " xảy ra khi

2



2

Câu 41: Gọi số phức z  x  yi; x , y   thỏa điều kiện z  2  z  2  26 và z  2  5i



lớn nhất.

Tính T  x  y .
A. T  2  5 .
Chọn

B. T  2  5 .

C. T  2  5 .
Lời giải

D. T  2  5 .

A.

Giả sử z  x  yi; x , y  
2

2

2

2

Ta có z  2  z  2  26   x  2   y 2   x  2   y 2  26  x 2  y 2  9 .

22


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C  tâm là gốc tọa độ O , bán kính
R  3.





Ta có z  2  5i 
Vì 2 2 

 5

2

 x  2

2



 y 5





2



 9 nên điểm N 2; 5 thuộc đường tròn  C  .





Gọi M  x; y  là điểm thuộc  C  , khi đó z  2  5i 



Suy ra z  2  5i



 x  2

3



 y 5



2

 MN .



lớn nhất  MN lớn nhất  MN là đường kính của  C   M 2;  5



Vậy z  2  5i .
Câu 42:

Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn phương trình 2 z  i  2  iz , biết z1  z2  1 Tính giá trị của

biểu thức: P  z1  z2 .
A. P 

3
.
2

C. P 

B. P  2 .

2
.
2

D. P  3 .

Lời giải
Chọn D.
2

2

HD: Cách 1. Ta có: 2 z  i  2  iz  2 z  i  2  iz  (2 z  i )(2 z  i )  (2  iz )(2  iz)
y
 4 z.z  2iz  2iz  i 2  4  2iz  2iz  i 2 z.z  3 z.z  3
2

 z.z  1  z  1  z  1  z1  1 và z 2  1

M

M2

2

Chú ý: a.a  a 2  2 z  i  (2 z  i )(2 z  i)  (2 z  i)(2 z  i )
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 , z2 là đường tròn tâm O
bán kính R  1 .
Gọi M1 ( z1 ), M 2 ( z2 )  OM1  OM 2  1
  
Ta có: z1  z2  OM1  OM 2  M 2 M1  1  OM1 M 2 đều
  
Mà z1  z2  OM1  OM 2  OM  OM với M là điểm thỏa

M1

O

x

mãn OM1 MM 2 là hình thoi cạnh 1  OM  3  P  3 .
Cách 2. Đặt z  x  yi ,  x , y    , ta có 2 z  i  2 x  (2 y  1)i và 2  iz  2  y  xi .
 z1  1
Khi đó: 2 z  i  2  iz  4 x 2  (2 y  1)2  ( y  2) 2  x 2  x 2  y 2  1  z  1  
 z2  1
2

2



2

Sử dụng công thức z1  z2  z1  z2  2 z1  z2

2

 z z
1

2
2

 3  z1  z2  3 . Chọn D.

Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2i  4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của z  2  i . Tính giá trị của tổng S  M 2  m 2 .
A. S  82 .

B. S  34 .

C. S  68 .

D. S  36 .

Lời giải

Chọn C.
23


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Cách 1: (Phương pháp hình học)
Đặt số phức z  x  iy , x , y   có điểm biểu diễn hình học là P  x , y  .
Ta có z  1  2i 

2

 x  1   y  2 

2

2

2

 4   x  1   y  2   16 .

Vậy tập hợp điểm P là đường tròn tâm I  1; 2  , bán kính R  4 .
Ta có z  2  i 
Vậy

từ

2

 x  2    y  1
hình

2

 AP , với A  2; 1 .
ta

vẽ

nhận

thấy:

 M  AP  AP  IA  R  3 2  4
max
2
.


m  APmin  AP1  IA  R  3 2  4
2



 

Vậy ta suy ra S  M 2  m2  3 2  4  3 2  4



2

 68 .

Cách 2: (Phương pháp đại số)
Công cụ cơ bản: z1  z2  z1  z2  z1  z2 , với mọi số
phức z1 , z2 . Áp dụng, ta có:

z  2  i   z  1  2i    3  3i   z  1  2i  3  3i  4  3 2  M  4  3 2
z  2  i   z  1  2i    3  3i   z  1  2i  3  3i  3 2  4  m  3 2  4



2

 

Vậy ta có S  M 2  m2  3 2  4  3 2  4



2

 68 .

Câu 44: [Phạm Minh Tuấn – Vted 15] Cho ba số phức z , z1 , z2 thỏa z1  z2  6 và z1  z2  6 2 . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
P  2  z  z1  z  z2   z  z  z1   z  z  z2  .
A. 30 3 .

B. 36 2 .

C. 50 .
Lời giải

D. 50 2 .

Chọn B.
Gọi A , B, M là điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 , z , khi đó từ giả thiết ta suy ra tam giác OAB vuông
cân tại O và bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của P  2 MA.MB  MO.MA  MO.MB .
Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát
Cho tam giác ABC , đặt AB  c , AC  b , BC  a , khi đó ta có
MB.MC MC.MA MA.MB


 1 
bc
ca
ab

Chứng minh: dùng bài toán kinh điển x.MA 2  y. MB 2  z.MC 2 

xyc 2  yza 2  zxb2
xyz



a
b
c
aMB. MC  bMC .MA  cMA.MB
;y 
;z 
khi đó x  y  z 
MA
MB
MC
MA.MB.MC
aMA  bMB  cMC
và xyc 2  yza 2  zxb2  abc
từ đó sử dụng   suy ra hệ thức   .
MA.MB. MC

Đặt x 

24


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Áp dụng bài toán trên ta có P  36 2 , chọn B.

Ta có thể chứng minh bài toán   trên bằng ngôn ngữ số phức.
Gọi tọa độ các điểm A , B, C , M trên mặt phẳng phức là u, v , w , x khi đó a  v  w , b  w  u ,

c  u  v , MA  x  u , MB  x  v , MC  x  w . Khi đó bất đẳng thức   tương đương
xv xw
uv uw




x  w x u
v  w v u



xu xv
wu w v

1

 x  v  x  w    x  w  x  u    x  u  x  v 
 u  v  u  w   v  w  v  u   w  u  w  v 

1

Mặt khác :

 x  v  x  w    x  w  x  u    x  u  x  v    x  v  x  w    x  w  x  u    x  u  x  v 
 u  v  u  w   v  w  v  u   w  u  w  v   u  v  u  w   v  w  v  u   w  u  w  v 
 x  v  x  w    x  w  x  u    x  u  x  v   1 nên suy ra  .

Mà

 u  v  u  w   v  w  v  u   w  u  w  v 
Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P  z  2  i  2 z  2  3i

A.

3.

B. 3 .

C.

2.

D.

4 3
.
3

Lời giải
Chọn B.

25