Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Bùi Trần Duy Tuấn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (11.01 MB, 321 trang )
H
O
T
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.”
Tài liệu gồm 321 trang bao gồm các chủ đề sau:
Chủ đề 1. Nguyên hàm
Chủ đề 2. Tích Phân
Chủ đề 3. Ứng dụng của Tích Phân
Bố cục của các chủ đề gồm các phần sau:
1. Kiến thức cơ bản cần nắm
2. Các dạng toán và phương pháp giải (kèm theo các bài toán minh họa)
3. Thủ thuật Casio giải nhanh
3. Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có lời giải chi tiết)
Tài liệu được tơi sưu tầm và biên soạn để làm tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT
Quốc gia tham khảo, giúp các em ơn lại kiến thức nhanh chóng và hiệu quả hơn. Trong quá
tình tổng hợp và biên soạn khơng tránh khỏi những sai sót đáng tiếc do số lượng kiến thức và
bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thơng cảm và đóng góp ý kiến để những tài liệu sau của
tơi được chỉnh chu hơn!
Mọi đóng góp và liên hệ về tài liệu xin gửi về:
Facebook: />Gmail:
Truy cập Website: để xem thêm các chuyên đề luyện thi
đại học khác của tôi biên soạn.
Xin chân thành cảm ơn!!!
Quảng Nam – 18.05.2018
Tác giả: Bùi Trần Duy Tuấn
Lời nói đầu
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM ........................................................................................................ 6
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM...................................................................................................................... 6
I. NGUYÊN HÀM................................................................................................................................... 6
II. TÍNH CHẤT ....................................................................................................................................... 6
III. SỰ TỒN TẠI CỦA NGUYÊN HÀM ............................................................................................... 6
IV. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ THƯỜNG GẶP.............................................................. 6
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM VÀ NHỮNG DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP ....... 8
I. TÌM NGUN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
.................................................................................................................................................................. 8
1. Phương pháp chung ......................................................................................................................... 8
2. Một số dạng toán và bài tốn minh họa ............................................................................................ 8
a. Tìm ngun hàm các đa thức, lũy thừa, mũ, các hàm chứa căn ................................................. 8
b. Tìm nguyên hàm của hàm hữu tỉ ............................................................................................ 10
c. Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác...................................................................................... 13
3. Bài tập tự luyện ............................................................................................................................. 15
II. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ................................................... 17
1. Phương pháp đổi biến số dạng 1..................................................................................................... 17
2. Phương pháp đổi biến số dạng 2..................................................................................................... 22
3. Bài tập tự luyện ............................................................................................................................. 24
III. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ................................................. 28
1. Phương pháp ................................................................................................................................. 28
2. Một số bài toán minh họa và các kĩ thuật tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.............. 28
Kỹ thuật chọn hệ số .................................................................................................................. 30
Kỹ thuật tích phân từng phần bằng phương pháp đường chéo .................................................. 31
3. Bài tập tự luyện ............................................................................................................................. 37
IV. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP ........................................... 39
1. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 39
2. Bài tập tự luyện ............................................................................................................................. 42
C. THỦ THUẬT CASIO TÌM NHANH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ .......................................... 43
I. KIẾN THỨC CẦN NẮM .................................................................................................................. 43
II. MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA ĐIỂN HÌNH ........................................................................... 43
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .................................................................................................................. 50
I. ĐỀ BÀI................................................................................................................................................ 50
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ............................................................................... 71
Mục lục
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
CHỦ ĐỀ 2: TÍCH PHÂN ........................................................................................................... 104
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ................................................................................................. 104
I. ĐỊNH NGHĨA ................................................................................................................................. 104
II. TÍCH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN................................................................................................... 104
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN.................................................................................... 105
I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, DÙNG VI PHÂN VÀ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH
PHÂN .................................................................................................................................................. 105
1. Kiến thức và kỹ năng ................................................................................................................... 105
2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 105
3. Bài tập tự luyện ........................................................................................................................... 109
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ......................................................................................................... 110
1. Phương pháp đổi biến số dạng 1................................................................................................... 110
Bài tập tự luyện ...................................................................................................................... 114
2. Phương pháp đổi biến số dạng 2................................................................................................... 117
Bài tập tự luyện ...................................................................................................................... 119
3. Phương pháp đổi biến cho một số hàm đặc biệt............................................................................. 122
Bài tập tự luyện ...................................................................................................................... 125
III. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ................................................................................................. 128
1. Phương pháp ............................................................................................................................... 128
2. Một số bài toán minh họa và các kĩ thuật tính tích phân từng phần ............................................. 128
3. Bài tập tự luyện ........................................................................................................................... 135
C. TÍNH TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ THƯỜNG GẶP ........................................................ 138
I. HÀM HỮU TỈ .................................................................................................................................. 138
1. Phương pháp ............................................................................................................................... 138
2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 139
3. Bài tập tự luyện ........................................................................................................................... 146
II. HÀM LƯỢNG GIÁC ..................................................................................................................... 148
1. Biến đổi và đổi biến cơ bản đưa về tích phân cơ bản ..................................................................... 148
2. Hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác ........................................................................................... 154
3. Bài tập tự luyện ........................................................................................................................... 157
III. HÀM VÔ TỶ ................................................................................................................................. 160
1. Phương pháp ............................................................................................................................... 160
2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 161
3. Bài tập tự luyện ........................................................................................................................... 166
IV. HÀM CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI .................................................................................................... 168
1. Phương pháp ............................................................................................................................... 168
2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 168
3. Bài tập tự luyện ........................................................................................................................... 171
Mục lục
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
D. THỦ THUẬT CASIO TÍNH NHANH BÀI TỐN TÍCH PHÂN ................................................. 172
I. TÍNH NHANH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH.................................................................................... 172
1. Lệnh tính tích phân ...................................................................................................................... 172
2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 172
II. GIẢI NHANH BÀI TỐN TÍCH PHÂN CHỐNG CASIO........................................................ 176
1. Kiến thức nền tảng ...................................................................................................................... 176
2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 176
E. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................................ 188
I. ĐỀ BÀI.............................................................................................................................................. 188
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ............................................................................. 210
CHỦ ĐỀ 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ................................................................. 243
A. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG............................................. 243
I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM ................................................................................................................ 243
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA................................................................................................ 245
1. Một số bài tốn về tính diện tích giới hạn bởi các đường cho trước .............................................. 245
2. Một số bài tốn về ứng dụng tích phân tính diện tích trong thực tế ............................................. 250
B. TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY ................................................ 255
I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM ................................................................................................................ 255
1. Tính thể tích vật thể ..................................................................................................................... 255
2. Tính thể tích khối trịn xoay ......................................................................................................... 255
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA................................................................................................ 256
1. Một số bài tốn tính thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường cho trước ...... 256
2. Một số bài tốn tính thể tích vật thể và thể tích khối trịn xoay trong thực tế ............................... 259
C. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC LĨNH VỰC KHÁC ........................................... 264
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý.............................................................................................. 264
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA................................................................................................ 264
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................................ 268
I. ĐỀ BÀI.............................................................................................................................................. 268
1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH ...................................................................... 268
2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH ......................................................................... 276
3. ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN ................................................................................ 284
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ............................................................................................... 289
1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH ...................................................................... 289
2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH ......................................................................... 305
3. ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN ................................................................................ 315
Mục lục
Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
Chủ đề 1
NGUYÊN HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
I. NGUYÊN HÀM
1. Định nghĩa:
Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được
gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ' x f x với mọi x K .
2. Định lí:
Giả sử hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K . Khi đó:
1) Với mỗi hằng số C , hàm số F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K .
2) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G x của f x trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho
G x F x C với mọi x K .
Do đó F x C , C là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . Ký hiệu f x dx F x C
Nhận xét: Nếu F x và G x cùng là nguyên hàm của hàm số f x trên K thì:
(i) F x G x , x K (ii) F x G x C , với C là hằng số nào đó
II. TÍNH CHẤT
f x dx f x C • f x dx f x
k. f x dx k f x dx k 0 • f x g x dx f x dx g x dx
1
Cho f x dx F x C . Khi đó: f ax b dx F ax b C a 0
a
III. SỰ TỒN TẠI CỦA NGUYÊN HÀM
Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có ngun hàm trên K .
IV. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ THƯỜNG GẶP
Nguyên hàm của hàm số
Nguyên hàm của hàm số
sơ cấp
hợp u u x
dx x C
du u C
x 1
x
dx
C 1
1
u 1
u
du
C 1
1
1
x dx ln x C
1
u du ln u C
Trang 6
Nguyên hàm của hàm số hợp
u ax b; a 0
d ax b ax b C
1
1 ax b
ax
b
dx
C 1
a 1
1
1
ax b dx a .ln ax b C
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
1
1
dx C
x
x
2
x dx
x
1
2
x x C
3
e dx e
x
/>1
du C
u
2
2
u du u u C
3
u
C
e du e
ax
C a 0, a 1
ln a
u
u
1
ax b
e
au
C a 0, a 1
ln a
1 1
du .
C
a ax b
1 2
ax b dx . ax b ax b C
a 3
C
2
ax b
1
dx e ax b C
a
sin xdx cos x C
sin udu cos u C
cos xdx sin x C
cos udu sin u C
tan x.dx ln cos x C
tan u.du ln cos u C
cot x.dx ln sin x C
cot u.du ln sin u C
1 a mx n
C
m ln a
1
sin ax b dx a cos ax b C
1
cos ax b dx a sin ax b C
1
tan ax b dx a ln cos ax b C
1
cot ax b dx a ln sin ax b C
1
dx cot x C
sin 2 x
1
sin 2 u du cot u C
sin ax b dx a cot ax b C
1
dx tan x C
cos 2 x
x
a dx
1
x
sin x dx ln tan 2 C
u
a du
1
1
2
u
dx
1
dx
1
sin ax b a ln tg
u
1
1
cos ax b dx a tan ax b C
sin u du ln tan 2 C
x
1
1
2
1
du tan u C
cos 2 u
1
mx n
a dx
ax b
C
2
cos x dx ln tan 2 4 C cos u du ln tan 2 4 C cos ax b a ln tan
ax b
C
2
4
* Một số cơng thức tìm nhanh nguyên hàm của các hàm phức tạp:
1
1
dx 2 ax b C
a
ax b
dx
1
x
arctg C
2
a
a
x
arcsin a dx x arcsin a
dx
1
ax
ln
C
2
2a a x
x
arccos a dx x arccos a
a
2
a
2
dx
2
x a
2
dx
2
a x
2
ln x x 2 a 2 C
arcsin
n
x n xm C
mn
x
x
a2 x2 C
x
x
a2 x2 C
x
x
C
a
x
a
x
a
2
2
x2 C
x2 C
1 a x2 a2
C
x x2 a2 a ln
x
dx
x 2
a
x a ln x x 2 a C
2
2
x
arc cot a dx xarc cot a 2 ln a
1
x
x x2 a2 a arccos a C
x 2 a dx
x m dx
arctan a dx x arctan a 2 ln a
dx
n
Trang 7
a2 x 2 dx
x a2 x2 a2
x
arcsin C
2
2
a
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN THƯỜNG
GẶP
I. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
1. Phương pháp chung
+ Biến đổi các hàm số dưới dấu ngun hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa x.
Lúc này, mỗi biểu thức chứa x là những dạng cơ bản có trong bảng ngun hàm.
+ Áp dụng các cơng thức ngun hàm trong bảng ngun hàm cơ bản để tìm ngun hàm.
2. Một số dạng tốn và bài tốn minh họa
a. Tìm ngun hàm các đa thức, lũy thừa, mũ, các hàm chứa căn
Tổng qt cách tìm ngun hàm:
PP
khai triễn.
Tích của đa thức hoặc lũy thừa
PP
khai triển theo cơng thức mũ.
Tích các hàm mũ
PP
chuyển về lũy thừa.
Chứa căn
Bài tốn 1: Tìm các ngun hàm sau đây:
1
a) 4 x5 2 x 3 x 3 dx
b) x 3 x 2 dx
c)
4x2 x 6
dx
2x
Lời giải:
1
1
3
1
x6
x 2 x
2
1 3
C x 6 2 x 3 x C .
a) 4 x 5 2 x 3 x 3 dx 4 2
1
6
2
3
x 4
1
3
5
b) x 3 x 2 dx
c)
3
x2
x2
6
3 x x 2 x dx 3 x 2 2 x dx 3 2 C x 2 x x 2 C .
5
2
5
2
4x2 x 6
1
3
dx 2 x
dx x 2 x 3 ln x C .
2x
2 x x
Bài tốn 2: Tìm các ngun hàm sau:
9
a) ( x 1)( x 2)dx. b) x x 2 dx. c)
1
dx. .
e 1
2x
Lời giải:
a) Ta có thể lựa chọn hai cách trình bày sau:
Cách 1: Ta biến đổi: ( x 1)( x 2)dx ( x 2 3 x 2)dx
1 3 3 2
x x 2 x C.
3
2
Cách 2: Ta biến đổi: ( x 1)( x 2)dx ( x 1)[( x 1) 1]dx [( x 1)2 ( x 1)]dx
1
1
[( x 1)2 ( x 1)]d( x 1) ( x 1)3 ( x 1)2 C.
3
2
Trang 8
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
b) Sử dụng đồng nhất thức x x 2 2 , ta được:
9
9
10
9
x x 2 [ x 2 2 ] x 2 x 2 2 x 2 .
Khi đó: f ( x)dx x( x 2)9 dx ( x 2)10 2( x 2)9 dx
c) Sử dụng đồng nhất thức 1 e 2 x 1 e 2 x , ta được:
( x 2)11 2( x 2)10
C .
11
10
1
( e 2 x 1) e 2 x
e2x
1
.
e2x 1
e2x 1
e2x 1
e2x
d( e 2 x 1)
Suy ra: f ( x)dx 1 2 x
dx
dx
x ln e 2 x 1 C .
2x
e
1
e
1
a
Chúng ta có thể tổng quát với nguyên hàm: I x ax b dx , với a 0 bằng việc sử dụng đồng
1
1
nhất thức: x = . ax = ax b b .
a
a
Bài tốn 3: Tìm các ngun hàm sau:
e x 3e x
x x 5x dx
2x 1
a) 10 2 x dx . b) x dx . c)
e
d)
ex ex 1
2
dx
2e x
Lời giải:
x
100
C .
ln 100
a) Ta có 10 2 x dx 100 x dx
x
2
x
e
x
x
2x
2 1
2
1
2
e x C .
b) Ta có x dx x dx x dx dx e x dx e x C x
2
e
e
ln
2
1
e
e
e
ln
e
c)
ex
x
3e x
3
3 5
5 xe x dx 2 5e 2 x dx e 2 x C
x 2
x
x
d)
e x ( e x 1)2
e 2 x 2e x 1
1 x
x x 1 2 x
2 x
.
dx
2e x
2e 2 x dx 2 e 21 e dx 2 e 4 e C .
Bài toán 4: Tìm các nguyên hàm sau: a)
1
2x 1 2x 1
dx b)
x
x2 1 x
dx
Lời giải:
a) Ta có:
dx
2x 1 2x 1
b) Ta có:
xdx
x2 1 x
x
2 x 1 2 x 1 dx
2x 1 2x 1
1
1
3
3
1
1
2 2 x 1 2 dx
2 2x 1 2 C
2
x
1
2
x
1
2
6
x 2 1 x dx
2
x 1 x
2
Trang 9
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
1
3
1
1 2
1
2
2
2
2
2
x x 1dx x dx x 1 d( x 1) x dx x 1 x 3 C .
2
3
3
Nhận xét: Để tìm ngun hàm của các hàm số ở ví dụ trên chúng ta đều sử dụng phép nhân liên hợp
2
2
bậc hai, cụ thể: A B có liên hợp là A B và ngược lại.
b. Tìm ngun hàm của hàm hữu tỉ
Bài tốn: Tìm ngun hàm I
Phương pháp giải: Tách
P( x)
dx , với P( x) và Q( x) là các đa thức khơng căn.
Q( x)
P( x)
thành các phân số có thể lấy nguyên hàm theo bảng nguyên hàm.
Q( x)
PP
Chia đa thức.
Nếu bậc của tử số P( x) bậc của mẫu số Q( x)
PP
Xem xét mẫu số và khi đó:
Nếu bậc của tử số P( x) bậc của mẫu số Q( x)
o Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng
tổng của các phân số.
Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:
•
•
1
1
a
c
( ax b) (cx d) ad bc ax b cx d
( Ac Ba)x Ad Bb
mx n
A
B
=
ax b cx d ax b cx d (ax b)(cx d)
Ta được đồng nhất thức mx n Ac Ba x Ad Bb (1)
Ac Ba m
Cách 1: (P/p đồng nhất hệ số): Đồng nhất đẳng thức,ta được:
. Suy ra A , B.
Ad Bb n
b
d
Cách 2: (P/p trị số riêng): Lần lượt thay x ; x vào 2 vế của (1), tìm được A , B.
a
c
mx n
A
B
•
2
2
ax b ax b ax b
•
mx n
2
A
2
B
C
.
cx d ax b
ax b cx d ax b
mx n A cx d B ax b
2
C ax b cx d *
b
d
Tìm A , B, C : Lần lượt thay x ; x ; x 0 vào 2 vế của * .
a
c
1
A
Bx C
2
, với b 2 4ac 0.
2
( x m) ( ax bx c) x m ax bx c
•
1
A
B
C
D
2
2
x a ( x a) x b ( x b) 2
( x a) ( x b)
2
o Nếu mẫu số khơng phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác
bằng phương pháp đổi biến dạng 2 sẽ trình bày ở phần sau).
Trang 10
Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
Bài tốn 5: Tìm các ngun hàm sau đây
a)
x2 2 x 2
11 x
dx b)
dx
x1
2 x 1 3x 2
c)
2 x3 6
dx
x2 2 x 3
Lời giải:
2
a)
x 2x 2
5
1
dx x 3
dx x 2 3 x 5 ln x 1 C
x1
x 1
2
x2 2x 2
5
x3
Nhận xét: Phép biến đổi quyết định trong bài giải trên đây là
thông
x1
x1
qua thực hiện phép chia đa thức x 2 2 x 2 cho đa thức x 1 .
b)
11 x
3
5
3
5
dx
dx ln 2 x 1 ln 3x 2 C .
2
3
2 x 1 3x 2
2 x 1 3x 2
Nhận xét: Phép biến đổi quyết định trong bài giải trên đây là
Ở bài này trước tiên ta viết
Rồi quy đồng vế phải
11 x
3
5
2 x 1 3x 2 2 x 1 3x 2
11 x
A
B
.
2 x 1 3x 2 2 x 1 3x 2
A
B
3 Ax 2 A 2 Bx B 3 A 2 B x 2 A B
2 x 1 3x 2
2x 1 3x 2
2x 1 3x 2
3 A 2 B 1
A 3
Đồng nhất tử thức, tức là cho
ta được
2 A B 11
B 5
11 x
3
5
Viết A , B tìm được vào phép biến đổi đầu tiên, tức là:
.
2 x 1 3x 2 2 x 1 3x 2
c)
2x3 6
14 x 6
14 x 6
dx 2 x 4 2
dx
dx 2 x 4
2
x
1
x
3
x 2x 3
x 2x 3
2
12
2
2x 4
dx x 4 x 2 ln x 1 12 ln x 3 C
x
1
x
3
Nhận xét: Câu c bài này là sự tổng hợp cả hai kỹ thuật giải của câu a và câu b.
Bài tốn 6: Tìm các ngun hàm sau đây:
a)
2x 1
dx
x 6x 9
b)
2
6x 3
dx
x 3x 2
3
Lời giải:
a)
2
2x 1
2x 1
5
5
dx
dx
dx 2 ln x 3
C
2
2
2
x3
x 3 x 3
x 6x 9
x 3
Chú ý: Ta phân tích phân số như sau:
2x 1
x 3
2
2 x 3 5
x 3
2
2 x 3
x 3
2
5
x 3
Trang 11
2
2
5
x 3 x 3 2
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
b)
/>
3
6x 3
6x 3
1
1
x 1
3
dx
dx
dx ln
C .
3
2
2
x 2 x 1
x 1 x 2 x 1
x 3x 2
x 1 x 2
Bài tốn 7: Tìm các ngun hàm sau:
a)
3x2 3x 5
3x 1
dx
b)
3x3 3x 2 dx .
4 x 3 28 x 2 65 x 50
Lời giải:
a) Ta phân tích:
3x 1
3x 1
A
B
C
2
2
2
x 2 2x 5
4 x 28 x 65x 50 2 x 5 x 2 2 x 5
3
2
3 x 1 A x 2 B 2 x 5 C x 2 2 x 5
*
A 13
5
Lần lượt thay x 2; x ; x 0 vào * , ta được B 5
2
C 10
Nên:
3x 1
13
5
10
2
2
4 x 28 x 65x 50 2 x 5 x 2 2 x 5
3
3x 1
13
5
10
3
dx
2x 5 2 x 2 2x 5 dx
2
4 x 28 x 65x 50
13
5 ln x 2 5 ln 2 x 5 .
2 2x 5
b) Ta phân tích:
3x 2 3x 5
3x2 3x 5
A
B
C
3
2
2
x 1 x 2
3x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
2
A x 2 B x 1 x 2 C x 1 3x 2 3 x 5
Với x 1 A
*
11
11
; Với x 2 C
3
9
Với x 0 2 A 2 B C 5 B
16
3x 2 3x 5
11
16
11
. Suy ra: 3
2
9
3 x 3 x 2 3 x 1 9 x 1 9 x 2
11
3x2 3x 5
16
11
dx
3 x 1 2 9 x 1 9 x 2 dx
3x 3 3x 2
11
16
11
ln x 1 ln x 2 C
9
3 x 1 9
Phần tìm nguyên hàm, tính tích phân của hàm hửu tỷ sẽ được trình bày chi tiết và cụ thể hơn ở chủ đề 2 (
Tích Phân ) khi ta đã học hết các phương pháp thì ta sẽ có thêm nhiều cơng cụ để tìm ngun hàm, tích phân
của hàm hữu tỉ.
Trang 12
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
c. Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác
Đối với những bài tốn tìm ngun hàm của các hàm số có chứa các cơng thức lượng giác, các
em phải nắm vững các kiến thức cơng thức cộng, cơng thức nhân đơi, cơng thức nhân ba, cơng
thức biến đổi tổng thành tích, cơng thức biến đổi tích thành tổng, cơng thức hạ bậc,...để đưa hàm
số dưới dấu tích phân thành tổng hiệu các biểu thức có thể lấy nguyên hàm dựa vào bảng
ngun hàm cơ bản.
PP
khai triễn theo cơng thức tích thành tổng.
* Tích lượng giác bậc một của sin và cosin
1
1
sin( a b)x sin( a b)x sin ax.sin bx cos( a b)x cos( a b)x
2
2
1
cos ax.cos bx cos( a b)x cos( a b)x
2
sin ax.cos bx
PP
Hạ bậc:
* Bậc chẵn của sin và cosin
1 cos 2 x
2
1
1
3
sin 4 x cos 4 x 1 sin 2 2 x cos 4 x
2
4
4
sin 2 x
1 cos 2 x
;
2
cos2 x
3
3
5
sin 6 x cos6 x 1 sin 2 2 x cos 4 x
4
8
8
Bài tốn 8: Tìm các ngun hàm sau đây
a) 2 cos x 3 cos 5x dx
b) sin 5 x sin 2 x dx c) sin 3 x cos 5 x dx
Lời giải:
3
a) 2 cos x 3 cos 5 x dx 2 sin x sin 5 x C
5
b) sin 5 x sin 2 x dx
1
11
1
cos 3 x cos 7 x dx sin 3 x sin 7 x C
2
23
7
c) sin 3x cos 5 x dx
1
1 cos 8 x cos 2 x
sin 8 x sin 2 x dx
C.
2
2
8
2
Bài tốn 9: Tìm các ngun hàm sau đây
2
b) 1 2 sin x dx
a) 4 cos 2 x dx
c) sin x cos x sin x dx
Lời giải:
a) Ta có 4 cos 2 x dx 4
2
sin 2 x
1 cos 2 x
C 2 x sin 2 x C.
dx 2 1 cos 2 x dx 2 x
2
2
b) Ta có 1 2 sin x dx 1 4 sin x 4 sin 2 x dx
c)
1 cos 2 x
1 4 sin x 4
dx 3 4 sin x 2 cos 2 x dx
2
3 x 4 cos x sin 2 x C.
sin x cos x sin x dx sin
2
x sin x cos x dx
1 cos 2 x sin 2 x
dx
2
2
Trang 13
1
1
1
x sin 2 x cos 2 x C .
2
2
2
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
Bài tốn 10: Tìm các ngun hàm sau:
a)
1
1
dx b)
dx c) cos 3 xdx d) tan 3 x dx
2
4
2
sin x cos x
4 cos x 4 cos x 1
2
Lời giải:
a) Cách 1: Ta có :
Cách 2: Ta có:
b) Ta có
1
4
1
1
dx
dx 4
dx 4 cot 2 x C 2 cot 2 x C.
2
2
2
sin x cos x
sin 2 x
sin 2 x
2
2
1
sin 2 x co s 2 x
1
1
dx
dx
dx tan x cot x C.
2
2
2
2
2
2
sin x.co s x
sin x.co s x
co s x sin x
1
1
1
tan 2 x
dx
dx
dx
C .
2
2
2
2
4 cos x 4 cos x 1
cos 2 x
2 cos 2 x 1
4
c) Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Ta biến đổi: cos 3 xdx
1
1
1
3 cos x cos 3 x dx 3 sin x sin 3 x C .
4
4
3
Cách 2: Ta biến đổi: cos 3 xdx cos 2 x.cos x.dx (1 sin 2 x) cos x.dx
cos x.dx sin 2 x.d sin x sin x
1
sin 3 x C.
3
1
1
d) Sử dụng đồng nhất thức: tan 3 x tan 2 x.tan x
1 tan x tan x.
tan x .
2
cos 2 x
cos x
1
sin x
1
Ta được: tan x.
tan x dx tan x.
dx
dx
2
2
cos x
cos x
cos x
tan x.d(tan x)
d(cos x) 1
tan 2 x ln cos x C .
cos x
2
Ở câu d) chúng ta có thể tổng quát với I n cot n dx (hoặc I n tan n dx ), với n 2.
Bài tốn 11: Tìm các ngun hàm sau đây
a)
tan 2 x cos2 x
dx
sin 2 x
b)
cos x 2
1
dx c)
dx d) tan 2 2 x cot 2 2 x dx
1 cos x
sin 4 2 x
Lời giải:
a)
1
tan 2 x cos 2 x
1
sin2 x dx cos2 x sin 2 x 1 dx tan x cot x x C
b)
cos x 2
3
dx 1
dx dx
1 cos x
1 cos x
3
x
dx x 3 tan C .
x
2
2 cos 2
2
dx
1
d(cot 2 x) , ta được:
2
2
sin 2 x
dx
1
dx
1
1
1
2
3
sin 4 2x sin 2 2 x . sin 2 2 x 2 (1 cot 2x)d(cot 2x) 2 cot 2 x 6 cot 2 x C .
c) Sử dụng kết quả
1
1
1
d) Ta có: tan 2 2 x cot 2 2 x dx 1
1
dx 2 x tan 2 x cot 2 x C .
2
2
2
sin 2 x
cos 2 x
Trang 14
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
3. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định):
x3
8 x C.
3
a) f ( x) 6 x 5 12 x 3 x2 8.
ĐS: F( x) x6 3x 4
b) f ( x) ( x2 3x) ( x 1)
ĐS: F( x)
1
1
x2
2
3
x
x1
d) f ( x) 2
x
x
e) f ( x) 2 sin 2
2
1 x3 x
ĐS: F( x) C.
x 3 3
1
ĐS: F( x) ln x C.
x
f) f ( x) tan 2 x.
ĐS: F ( x ) tan x x C .
g) f ( x) 2 sin 3x cos 2 x.
1
ĐS: F( x) cos 5 x cos x C.
5
ex
h) f ( x) e x 2
cos2 x
ĐS: F( x) 2e x tan x C.
c) f ( x)
ĐS: F ( x) x sin x C .
3
i) I ( x x ) dx.
j) I
1
2 x
3
3
x
5
5
x
x4 2 x3 3x2
C.
4
3
2
dx
3 23
ĐS: I x C.
2
9
25 5 4
x C.
ĐS: F( x) x 3 x2
2
4
3 x 1
C.
ln 3
k) I (3 cos x 3 x 1 ) dx
ĐS: I 3 sin x
l) I (tan x 2 cot x)2 .dx.
ĐS: I tan x 4 cot x 9 x C.
m) I 3 u.(u 4).du.
ĐS: I
33 7
u 3 3 u4 C .
7
Bài tập 2: Tìm F x f x dx . Biết:
a) f ( x) x x
1
x
, F(1) 2.
b) I sin 2 x.cos x.dx , biết F 0.
3
ĐS: F( x)
2 5
22
x 2 x
5
5
1
1
7
ĐS: F( x) cos x cos x
6
2
12
c) I
3x 4 2 x 3 5
dx , biết F (1) 2.
x2
ĐS: F( x) x3 x2 7.
d) I
x 3 3x2 3x 7
dx , biết F (0) 8.
( x 1)2
ĐS: F( x)
x2
8
x
2
x1
ĐS: F( x)
x sin x 1
2
2
2
e) I sin 2
x
dx , biết F
2
2 4
1
7
f) I x x dx , biết F(1)
2
x
5
x
1
x2
ĐS: F( x) 3x 3 ln x 1.
x
2
Trang 15
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
Bài tập 3: Tính các nguyên hàm sau:
x 4 3x 2 2 x 1
dx
x2
x2 x 1
dx
b) I
x2
a) I
ĐS: I
x3
1
3x 2 ln x C.
3
x
ĐS: I
x2
x 3 ln x 2 C.
2
c) I
4x2 6x 1
dx
2x 1
1
ĐS: I x 2 2 x ln 2 x 1 C.
2
d) I
4 x3 4x2 1
dx
2x 1
ĐS: I
2 x3 x 2 x 1
ln 2 x 1 C.
3
2 2 2
e) I
dx
x 4
ĐS: I
1 x2
ln
C.
4 x2
2
dx
x 6x 9
4x 5
g) I 2
dx
x x2
1 2x
dx
h) I 2
x 2x
f) I
2
ĐS: I
1
C.
x3
ĐS: I ln x 2 3 ln x 1 C .
1
3
ĐS: I ln x ln x 2 C.
2
2
i) I
x 2 dx
x 2 7 x 12
ĐS: I x 16 ln x 4 9 ln x 3 C.
j) I
x2 1
dx
x2 1
ĐS: I x ln
k) I
l) I
3x 2
dx
4x 4x 1
2
x2 x
dx
( x 2)2
m) I
x 2 .dx
(1 x 2 )2
ĐS: I
x 1
C.
x1
3
7
ln 2 x 1
C.
4
4(2 x 1)
ĐS: I x 3 ln x 2
2
C.
x2
ĐS: I
1 x 1
1
1
ln
C.
4 x 1 x 1 x 1
3
5
ln x 2 ln x 1 ln x 2 C.
2
2
Bài tập 4: Tính các nguyên hàm sau:
a) I
2 x2 5x 3
dx
x3 x2 2 x
ĐS: I
b) I
2 x 2 8 x 10
dx
x3 x2 4x 4
1
20
17
ĐS: I ln x 2 ln x 1 ln x 2 C.
6
3
2
x3 1
dx
x 3 5x 2 6 x
3 x 2 3x 3
I
d)
x3 3x 2 dx
dx
e) I
x ( x3 1)
c) I
1
9
28
ĐS: I x ln x ln x 2 ln x 3 C.
6
2
3
ĐS: I 2 ln x 1 ln x 2
3
C.
x 1
1
ĐS: I ln x ln( x 3 1) C.
3
Trang 16
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
II. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. Phương pháp đổi biến số dạng 1
Có 2 loại phương pháp đổi biến (dạng 1 và dạng 2). Nhưng thông thường ta hay gặp những dạng tốn đổi
biến dạng 1 để tìm ngun hàm của hàm số.
Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I f x dx , trong đó ta có thể phân tích f x g u x u ' x
thì ta thực hiện phép đổi biến số t u x , suy ra dt u ' x dx .
Khi đó ta được nguyên hàm: g t dt G t C G u x C .
Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u x .
Các cách đặt cho các dạng toán thường gặp:
PP
I f ( ax b)n xdx
t ax b dt a.dx
m
xn
PP
n 1
n
I n1
dx t ax 1 dt (n 1).a.x .dx , với m , n .
ax 1
2
n
PP
2
I f ( ax b) xdx t ax b dt 2ax.dx
PP
Đặt t
I n f ( x) f ( x) dx
n
f ( x) , trừ một số trường hợp đổi biến dạng 2.
1
I f (ln x) x dx
t ln x
PP
Đặt
I f ( a b ln x) 1 dx
t a b ln x
x
• I
f x
f x
PP
dx
Đặt t f x .
PP
Đặt t e x dt e x .
I f ( e x ) e x dx
PP
I f (cos x) sin xdx
Đặt t cos x dt sin xdx.
PP
I f (sin x) cos xdx
Đặt t sin x dt cos xdx.
1
1
PP
Đặt t tan x dt
dx
dx (1 tan 2 x)dx.
2
cos x
cos 2 x
1
1
PP
Đặt t cot x dt
I f (cot x)
dx
dx (1 cot 2 x)dx.
2
sin x
sin 2 x
I f (tan x)
t sin 2 x dt sin 2 xdx
PP
Đặt
I f (sin 2 x; cos 2 x) sin 2 xdx
2
t cos x dt sin 2 xdx
PP
I f (sin x cos x) (sin x cos x) dx
Đặt t sin x cos x.
I
x a 0
t x a x b khi
dx
x b 0
PP
Đặt
( x a)( x b)
t x a x b khi x a 0
x b 0
n
n
PP
I R 1 ax b ,..., k ax b dx
Đặt t n ax b với n B.C .N .N n1 ; n2 ; ...; nk
Trang 17
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
Một số bài toán minh họa
Bài tốn 1: Tìm các họ ngun hàm sau đây:
x3
b)
dx
1 x2
2 sin x
a)
dx
1 3cos x
c)
x 1
3
x2 2x 3
dx
Lời giải:
1
a) Đặt t 1 3 cos x , suy ra dt 3 sin x dx dt sin x dx
3
2 sin x
1 2
2
2
dx dt ln t C ln 1 3 cos x C
Khi đó
1 3 cos x
3 t
3
3
2 sin x
2
1
2
Cách dùng vi phân:
dx
d 1 3 cos x ln 1 3 cos x C .
1 3 cos x
3 1 3 cos x
3
b) Xét
x3
x2
dx
1 x2 xdx
1 x2
Đặt t 1 x 2 , suy ra dt 2 xdx
Khi đó
1
dt xdx và x 2 t 1
2
x2
1 t 1
1 1
1
xdx
dt 1 dt t ln t C
2
2 t
2 t
2
1 x
Như vậy
x3
1
1
dx 1 x 2 ln 1 x 2 C 1 x 2 ln(1 x 2 ) C
2
1 x
2
2
x3
x2
1
1
dx
1 x2
1 x2 xdx 2 1 1 x2
Cách dùng vi phân:
x 1
1
2
2
2
d 1 x 2 1 x ln(1 x ) C .
3
x2 2x 1
dx 2
x 1 dx
c) Xét 2
x 2x 3
x 2x 3
Đặt t x2 2 x 2, suy ra dt 2 x 2 dx
Khi đó
1
dt x 1 dx
2
x2 2 x 1
1 t4
1
4
1
x 1 dx
dt 1 dt t 4 ln t C
2
2
t
2
t
2
x 2x 3
Như vậy
x 1
2
3
x 2x 3
dx
1 2
x 2 x 3 4 ln x 2 2 x 3 C
2
x 1
3
x2 2x 1
1
4
x 1 dx 1 2
d x2 2x 3
2
x2 2 x 3
2
x 2x 3
x 2x 3
1
x 2 2 x 3 4 ln x2 2 x 3 C .
2
Cách dùng vi phân:
dx
Phương pháp vi phân: (Sử dụng nhanh cho một số bài tốn thay cho đổi biến)
Giả sử ta cần tìm ngun hàm I f x dx , trong đó ta có thể phân tích f x g u x u ' x ,ta
có thể trình bày gọn bài tốn bằng cơng thức vi phân u x dx d u x . Khi đó, nếu G x là
một nguyên hàm của g x và u u x là một hàm số theo biến x thì:
I f x dx g u x d u x G u x C
Trang 18
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
Bài tốn 2: Tìm các họ ngun hàm sau đây
a)
2
e tan x
dx b) xe x dx
2
cos x
2
c) e sin x sin 2 x dx
Lời giải:
a)
e tan x
1
dx . Đặt t tan x , suy ra dt
dx
2
cos2 x
cos x
Khi đó
e tan x
dx e t dt e t C e tan x C
2
cos x
e tan x
tan x
tan x
cos2 x dx e d tan x e C
2
1
b) xe x dx . Đặt t x 2 , suy ra dt 2 xdx dt xdx
2
2
1
1
1 2
Khi đó xe x dx e t dt e t C e x C
2
2
2
2
2
1
1 2
Cách dùng vi phân: xe x dx e x d x 2 e x C
2
2
Cách dùng vi phân:
2
c) esin x sin 2 x dx . Đặt t sin 2 x , suy ra dt 2 sin x cos dx dt sin 2 x dx
2
2
Khi đó e sin x sin 2 x dx e t dt e t C e sin x C
Cách dùng vi phân:
e
sin 2 x
2
2
sin 2 x dx e sin x d sin 2 x e sin x C .
Bài tốn 3: Tìm các họ ngun hàm sau đây
a)
x
2 x 1
b) x5 1 x 3
dx
3
6
dx
c)
x3 1
dx
x4 x
Lời giải:
a) Xét
x
2x 1
dx
3
1
2x
2dx .
4 2 x 13
Đặt t 2 x 1, suy ra dt 2dx
Khi đó
Vậy
1
2x
1 t 1
1 1
2dx 3 dt 2 t 3 dt
3
4 2 x 1
4 t
4 t
x
2 x 1
3
dx
Cách dùng vi phân:
1
8 2 x 1
x
2x 1
3
2
1
C .
4 2 x 1
dx
b) Xét x 5 1 x 3
6
dx x 3 1 x 3
1 1 1
C
4 t 2t 2
6
1
2x
1
1
1
d 2 x 1
d
2
x
1
4 2 x 13
4 2 x 1 2 2 x 1 3
1
1
1
1
1
C
C
2
2
4 2 x 1 2 2 x 1
4 2 x 1
8
2
x
1
x 2 dx .
Trang 19
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
1
Đặt t 1 x 3 , suy ra dt 3 x 2 dx dt x 2 dx
3
Khi đó x 3 1 x 3
5
Vậy x 1 x
c) Xét
3
6
6
1
1 t7 t8
6
1
t
t
dt
3
3 7 8
x 2 dx
7
1 x 1 x
dx
3
3
21
C
8
C .
24
x3 1
x3 1
x3 1
dx
dx
x 2 dx
4
3
3
3
x x
x x 1
x x 1
Đặt t x 3 +1, suy ra dt 3 x 2 dx
Khi đó
x3 1
x3 x3 1
x 2 dx
1
dt x 2 dx
3
1 t2
1 2
1
1
t2
dt
dt
ln
C .
3 t 1 t
3 t t 1
3 t 1
x3 1
x3 1
1
dx ln
Vậy 4
3
3
x x
x
2
C .
Bài tốn 4: Tìm các họ ngun hàm sau đây:
a) x 4 1 x 2 dx
b)
1
x x1
c) x 3 x 2 9 dx
dx
Lời giải:
a) Xét x 4 1 x 2 dx .
Đặt t 4 1 x 2 t 4 1 x2 , suy ra 4t 3dt 2 xdx 2t 3dt xdx
2 1 x2 4 1 x2
2t 5
Khi đó x 1 x dx 2 t.t dt
C
C
5
5
1
dx .
b) Xét
x x 1
4
2
3
2tdt dx
Đặt t x 1 t 2 x 1 . Suy ra
2
x t 1
Khi đó
1
x x1
dx
2t
t
2
1 t
dt
2
1
1
t 1
dt
dt ln
C ln
t 1
t 1
t 1 t 1
2
x 1 1
x1 1
C
c) Xét x 3 x 2 9 dx x 2 x 2 9.xdx .
tdt xdx
Đặt t x 2 9 t 2 x2 9 . Suy ra 2 2
x t 9
Khi đó x 2 x 2 9.xdx t 2 9 t.tdt t 4 9t 2 dt
Như vậy x 3
x 9 dx
2
x2 9
5
t5
3t 3 C.
5
5
3
x2 9
3
C .
Trang 20
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
Bài tốn 5: Tìm các họ ngun hàm sau đây
ln 2 x 1
dx
a)
x ln x
b)
x ln x 2 1
x2 1
dx
c)
ln 2 x
x 1 ln x 1
dx
Lời giải:
2
a) Xét
ln x 1
1
dx . Đặt t ln x , suy ra dt dx
x ln x
x
Khi đó
b) Xét
x ln x 2 1
2
x 1
Khi đó
c) Xét
ln 2 x 1
t2 1
1
t2
ln 2 x
dx
dt t dt ln t C
ln ln x C .
x ln x
t
2
2
t
dx . Đặt t ln
x ln x 2 1
2
x 1
2
dx 1
ln 2 x
x 1 ln x 1
x
1 dt
1
tdt t
2
4
2
C
2x
1
x
dx dt 2
dx .
2
x 1
x 1
2
1 2 2
ln x 1 C .
4
dx .
2
Đặt t 1 1 ln x t 1 1 ln x ln x t 2 2t
Khi đó
ln 2 x
x 1 ln x 1
dx
t
2
2t
t
2
2t 2 dt
2 t 4 5t 3 8t 2 4t dt
Như vậy
Bài toán 6:
dx
2t 2 dt .
x
2 5 5 4 16 3
t t t 4t 2 C .
5
2
3
ln 2 x
2
5
16
dx t 5 t 4 t 3 4t 2 C với t 1 ln x 1 .
5
2
3
x 1 ln x 1
a) Biết f x dx 2 x ln 3 x 1 C. Tìm f 3 x dx ?
b) Cho hàm số f x 3 2 sin x . Tìm họ nguyên hàm f 2 x 1 dx
Lời giải:
1
dt dx .
3
1
1
1
Khi đó f 3 x dx f t dt 2t ln 3t 1 C 2.3 x ln 3.3 x 1 C
3
3
3
a) Xét f 3 x dx . Đặt t 3x , suy ra dt 3dx
Như vậy f 3 x dx 2 x ln 9 x 1 C .
Cách dùng vi phân:
1
1
f 3x dx 3 f 3x d 3x 3 .2 3x ln 3 3x 1 C 2 x ln 9x 1 C
b) Xét f 2 x 1 dx . Đặt t 2x 1, suy ra dt 2dx
Khi đó f 2 x 1 dx
1
dt dx .
2
1
1
3
3
f t dt f t C
2 sin t C
2 sin 2 x 1 C .
2
2
2
2
Trang 21
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
Nhận xét: Với đề bài này nếu khơng nắm tốt để sử dụng được tính chất nguyên hàm
f t dt f t C , mà lại tính f 2 x 1 để thay vào tính f 2 x 1 dx , việc thực hiện bài
giải sẽ gặp nhiều khó khăn và rất dễ dẫn đến nhiều sai sót.
2. Phương pháp đổi biến số dạng 2
Dấu hiệu
Cách đặt
a2 x 2
;
x a sin t víi t
2
2
x a cos t víi t 0;
x 2 a2
a
víi t
; \0
x
sin t
2 2
a
x
víi t 0; \
cos t
2
a2 x 2
;
x a tan t víi t
2
2
x a cot t víi t 0;
ax
hoặc
ax
x a.cos 2t với t 0;
2
ax
ax
x a b a sin2 t với t 0;
2
x a b x
Một số bài tốn minh họa
Bài tốn 7: Tìm các ngun hàm sau ( với a 0 ):
a) I
dx
a2 x2
b) I
x2
x 3 dx
dx
c
)
I
dx
d
)
I
4 x2
1 x2
a2 x2
Lời giải:
a) I
x
. Đặt x a sin t , t ; cos t 0 , dx a cos tdt , t arcsin
a
2 2
a x
dx
2
2
dx
Do đó: I
Vậy I
b) I
a2 x2
a cos tdt
a2 a 2 sin 2 t
dt t C.
dx
x
arcsin C .
a
a x
2
2
dt
dx
. Đặt x tan t , t ; , dx
tan 2 t 1 dt , t arctan x
2
2
2
2
a x
cos
t
2
Do đó: I
dx
a(tan 2 t 1)dt
dt t
C.
2
2
2
2
2
a a
a x
a a tan t
Trang 22
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
dx
arctan x
C
2
a
a x
Vậy I
2
x2
c) I
dx . Đặt x 2 cos t với t 0; , dx 2 sin tdt
4 x2
x2
I
/>
4 x2
dx
4 cos 2 t.2 sin tdt
4 1 cos 2 t
4 cos 2 t.2 sin tdt
2 cos 2 tdt
2 sin t
2 (1 cos 2t )dt 2t sin 2t C.
Ta có: x 2 cos t với t 0; sin t 0 . Nên sin 2t 2 sin t.cos t 2 1
x2
x x 4 x2
dx 2 arccos
C .
2
2
4 x2
Vậy I
x 3dx
d) I
1 x
2
. Đặt x sin t dx cos dt với
x 3dx
I
x2 x x 4 x2
.
4 2
2
1 x2
t cos t 0 cos t 1 x2
2
2
sin 3 t.cos t
dt sin 3 tdt sin 2 t.sin t dt (1 cos2 t )d(cos t )
cos t
cos3 t
cos t
C.
3
Vậy I
1 x
1 x
2
x3 dx
2
1 x2
1 x2
3
C. ( có thể giải bằng cách đặt t =
1 x 2 )
Bài tốn 8: Tìm họ ngun hàm của f x . Biết:
1
a) f ( x)
1 x
2
3
1
b) f ( x)
1 x
2
3
c) I
dx
4 x2
4 x2
Lời giải:
a)
dx
1 x
2
3
. Đặt x cos t , 0 t dx sin t.dt ;
Khi đó: f ( x).dx
dx
Vậy
b)
1 x
2
dx
1 x
I
2
3
3
sin t.dt
dt
x
d cot t cot t C
C
3
2
sin t
sin t
1 x2
x
1 x2
C .
. Đặt x tan t ,
dx
1 x
2
3
2
t
dt
1
cos 2 t
2
cos t
3
2
cost 0 , dx
dt
cos 2 t
cos tdt sin t C
Trang 23
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
/>
x
sin 2 t cos 2 t 1
sin t
1 x2
Ta có:
víi
t
;
cos
t
0
sin t
2 2
1
x
cos t
cos t
1 x2
dx
Vậy I
c) I
1 x
2
3
dx
4 x
2
Vậy I
4x
2
x
1 x2
C.
. Đặt x 2 sin t ,
2 cos tdt
4 4 sin t
2
4 4 sin 2 t
t ; dx 2 cos tdt
2
2
2 cos tdt
4 cos2 t 4 cos 2 t
dt
1
1
x
tan t tan arcsin C .
2
4
2
4 cos t 4
3. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Tính các nguyên hàm sau:
a) I x (1 x)2015 dx
ĐS: I
b) I x 2 ( x 1)9 dx
ĐS: I
c) I x 3 (2 3 x 2 )8 dx
ĐS: I
xdx
x2 2
2x
dx
e) I
( x 1)2
d) I
f) I
x
dx
( x 1)5
( x 1)12 2( x 1)11 ( x 1)10
C.
12
11
10
(2 3x 2 )10 (2 3x2 )9
C.
180
81
1
ĐS: I ln x 2 2 C.
2
2
C.
ĐS: I 2 ln x 1
x1
ĐS: I
1
1 1
1
C.
3
( x 1) 4 x 1 3
3
x
g) I
dx
2
1 x
h) I
xdx
(2 x 1)3
(1 x)2016 (1 x)2017
C.
2016
2017
ĐS: I
ĐS: I
1
1
C.
2
2(1 x ) 4(1 x2 )2
1
1
1
C.
2
2 4(2 x 1) 2(2 x 1)
Bài tập 2: Tính các nguyên hàm sau:
( x 1)dx
a) I
2
x 2x 4
b) I x. 2 x 2 .dx.
c) I
d) I
ĐS: I x2 2 x 4 C.
2 xdx
3
2
x 4
x 2 dx
1 x
ĐS: I
ĐS: I
(2 x 2 )3
C.
3
33 2
( x 4)2 C.
2
ĐS: I
Trang 24
2(3x 2 4 x 8) 1 x
C.
15
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
3
4
15
2 3
ĐS: I (1 x ) C.
8
2
e) I 5x. 1 x .dx.
4x 1
f) I
x3
g) I
ĐS: I 2 x 1 4 2 x 1 5ln 2 x 1 2 C.
dx.
2x 1 2
/>
(4 x 2 )3
4 4 x 2 C.
3
dx.
ĐS: I
ĐS: I
1
ln
4
dx.
ĐS: I
2 ( x 2 x 1)3
2 x 2 x 1 C.
3
j) I sin 3 x. cos x .dx.
ĐS: I
2
(cos 3 x 7 cos x) cos x C.
21
ĐS: I
1
ln
2
ĐS: I
( x 2 1)3
x3
C.
3
3
ĐS: I
ln 3 x
C.
3
4 x2
dx
h) I
i) I
x x2 4
2 x3 3x2 x
x2 x 1
dx
k) I
l) I
x ln x. 1 3 ln 2 x
xdx
x x2 1
x2 4 2
x2 4 2
C.
1 3 ln 2 x 1
1 3 ln 2 x 1
C.
Bài tập 3: Tính các nguyên hàm sau:
1
a) I ln 2 x dx
x
3 ln x 1
dx
b) I
x ln x
1
c) I (1 ln x) dx
x
d) I
1
dx
1 ln x x
e) I
ln x. 3 2 ln 2 xdx
x
f) I
ln x
log 32 x
x 1 3 ln 2 x
dx
ĐS: I 3 ln x ln ln x C .
ĐS: I
(1 ln x)2
C.
2
2 (1 ln x)3
2 1 ln x C.
ĐS: I
3
ĐS: I
33
(2 ln 2 x)4 C.
8
ĐS: I
2
3
1 (1 3 ln x)
2
C.
1
3
ln
x
3
9 ln 3 2
Bài tập 4: Tính các nguyên hàm sau:
a) I
dx
x
e 1
ĐS: I ln
ex 1
C.
ex
b) I
dx
x
e 2e x 3
ĐS: I ln
ex 2
C.
ex 1
c) I
dx
x
e 4.e x
ĐS: I
1 ex 2
ln
C.
4 ex 2
Trang 25
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
