Xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh thể bằng phương pháp thống kê biến dạng_2

luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 1 of 95.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ ÁNH NGUYỆT

XÁC ĐỊNH NHIỆT DUNG DEBYE
CỦA MẠNG TINH THỂ BẰNG PHƢƠNG PHÁP
THỐNG KÊ BIẾN DẠNG
Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và Vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS – TS. Nguyễn Thị Hà Loan

HÀ NỘI, 2017

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 2 of 95.

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan,
người đã hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này. Cô đã cung cấp tài liệu và
truyền thụ cho tôi những kiến thức mang tính khoa học. Sự quan tâm, bồi dưỡng
của cô đã giúp tôi tự tin vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Đối với tôi cô luôn là tấm gương sáng về tinh thần làm việc không
mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng thế

hệ trẻ.
Nhân dịp này cho phép tôi được chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa
Vật Lý Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã tận tình giảng
dạy, tạo mọi điều kiện giúp đõ tôi hoàn thành khóa học.
Học viên

Bùi Thị Ánh Nguyệt

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 3 of 95.

LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình nghiên cứu luận văn về đề tài: Xác định nhiệt dung
Debye của mạng tinh thể bằng phƣơng pháp thống kê biến dạng, tôi đã thực
sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hoàn thành luận văn. Đây là đề tài
không trùng với các đề tài khác và kết quả đạt đƣợc không trùng với kết quả của
các tác giả khác. Tôi xin cam đoan luận văn này đƣợc hoàn thành là do sự nỗ lực
của bản thân cùng với sự hƣớng dẫn chỉ bảo tận tình và hiệu quả của PGS. TS.
Nguyễn Thị Hà Loan, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn đã đƣợc cảm
ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đƣợc ghi rõ nguồn gốc.
Học viên

Bùi Thị Ánh Nguyệt

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 4 of 95.

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 2
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ...................................................................... 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................................... 2
5. Đóng góp mới..................................................................................................... 2
NỘI DUNG ............................................................................................................ 3
CHƢƠNG 1: DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG q .......................................................... 3
1.1 Dao động biến dạng q-Boson ........................................................................... 3
1.1.1 Dao động Boson ............................................................................................ 3
1.1.2 Dao động biến dạng q-Boson ........................................................................ 6
1.2 Dao động biến dạng q Fermion ......................................................................10
1.2.1 Dao động Fermion.......................................................................................10
1.2.2 Dao động biến dạng q Fermion ...................................................................11
CHƢƠNG II: THỐNG KÊ BIẾN DẠNG q ........................................................14
2.1 Thống kê biến dạng q của các hạt có spin nguyên .........................................14
2.1.1 Thống kê của Boson ....................................................................................14
2.1.2 Thống kê của Boson biến dạng q ................................................................15
2.2 Thống kê biến dạng q của các hạt có spin bán nguyên ..................................16
2.2.1 Thống kê của Fermion ................................................................................16
2.2.2 Thống kê của Fermion biến dạng q .............................................................17
CHƢƠNG III: XÁC ĐỊNH NHIỆT DUNG DEBYE CỦA MẠNG TINH
THỂ BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ BIẾN DẠNG ................................19
3.1 Nhiệt dung Debye ..........................................................................................19
3.2 Xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh thể bằng phƣơng pháp thống
kê biến dạng. ........................................................................................................26
KẾT LUẬN ..........................................................................................................33
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................34

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 5 of 95.

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý hiện đại nghiên cứu cấu trúc vi mô của vật chất. Vật chất là một hệ
nhiều hạt, đối với hệ nhiều hạt thì nó tuân theo quy luật của thống kê. Cho nên
có thể nghiên cứu hệ nhiều hạt bằng phƣơng pháp thống kê, để xác định các đại
lƣợng vật lý của hệ nhiều hạt bằng quy luật thống kê cần phải tìm hàm phân bố
thống kê. Khi một tập hợp hạt đƣợc xem nhƣ một tập hợp các dao động điều hòa
thì phân bố thống kê của hệ đã đƣợc xác định; đối với các hạt có spin nguyên thì
tuân theo thống kê Bose-Einstein và đối với các hạt có spin bán nguyên thì tuân
theo thống kê Fermi-Dirac và các đại lƣợng vật lý mô tả hệ hoàn toàn có thể
tính qua hàm phân bố thống kê cho các kết quả còn có các sai lệch so với thực
nghiệm.
Vài chục năm gần đây, có nhiều nhà vật lý trong nƣớc và trên thế giới
nghiên cứu và đƣa ra khái niệm về nhóm lƣợng tử, đại số biến dạng và dao động
biến dạng bởi vì chúng có nhiều ứng dụng trong các mô hình vật lý nhƣ: chúng
liên quan đến những vấn đề tán xạ ngƣợc lƣợng tử trong cơ học thống kê, nghiên
cứu nghiệm của phƣơng trình Yang-Bacter lƣợng tử, và đặc biệt chúng tỏ ra rất
hữu ích trong việc nghiên cứu các môi trƣờng đậm đặc, trong nghiên cứu quang
lƣợng tử,…
Theo quan niệm của dao động biến dạng thì một hệ hạt đƣợc xem nhƣ là
một hệ dao động biến dạng và nghiên cứu hệ nhiều hạt bằng hình thức luận dao
động biến dạng thì thống kê của các hạt boson đƣợc gọi là thống kê BoseEinstein biến dạng q và thống kê của các hạt fermion đƣợc gọi là thống kê
Fermi-Dirac biến dạng q với một hi vọng rằng tính đƣợc hàm phân bố thống kê

biến dạng để tìm các đại lƣợng vật lý mô tả trạng thái của hệ nhiều hạt sẽ cho các
kết quả gần với thực nghiệm hơn tính bằng hàm phân bố thống kê của trƣờng
hợp chƣa biến dạng.

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 6 of 95.

2
Ở luận văn này, chúng tôi áp dụng hình thức luận dao động biến dạng để
tính các hàm phân bố thống kê biến dạng cho các hệ nhiều hạt có spin nguyên
và spin bán nguyên và từ đó ứng dụng để tính các đại lƣợng vật lý mô tả trạng
thái của hệ.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu dao động biến dạng và phân bố thống kê của dao động biến
dạng.
- Áp dụng phƣơng pháp thống kê của dao động biến dạng để xác định
nhiệt dung Debye của mạng tinh thể.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu và áp dụng thống kê biến dạng để xác định nhiệt dung Debye
của mạng tinh thể.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp của vật lý thống kê.
- Phƣơng pháp của đại số lƣợng tử (đại số biến dạng).
5. Đóng góp mới
Áp dụng thống kê biến dạng để xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh
thể.

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -

luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 7 of 95.

3
NỘI DUNG
CHƢƠNG I: DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG q
1.1 Dao động biến dạng q-Boson
1.1.1 Dao động Boson
Dao động tử Boson đơn mode đƣợc đặc trƣng bởi hệ thức giao hoán:
 a, a    1

(1.1)

Toán tử số dao động tử N đƣợc biểu diễn theo các toán tử sinh dao động tử a+ và
toán tử hủy dao động tử a nhƣ sau:
N  a a

(1.2)

Và thỏa mãn hệ thức giao hoán:

 N , a   a

(1.3)

 N , a    a 

Không gian Fock là không gian mà các vector cơ sở của nó là những trạng thái
với số hạt xác định. Trong không gian Fock trạng thái chân không 0 đƣợc định

nghĩa là trạng thái có số hạt bằng 0, thoả mãn điều kiện:
a 0 0

(1.4)

n là trạng thái n hạt: số hạt n hay trạng thái n dao động tử

Biểu thức (1.1) có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các vector
riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N:
n 

n
1
a  0

n!

n = 0,1,2…

(1.5)

Ta có thể chứng minh hệ thức sau:
 a,  a  n   n  a  n1



(1.6)

Chứng minh:
Ta chứng minh (1.6) bằng phƣơng pháp quy nạp nhƣ sau:

Với n = 1:

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 8 of 95.

4
 a, a    1

Với n = 2:
 a,  a  2   a  a, a    a, a   a   2a 

 




Nhận thấy (1.6) đúng với n = 1,2.
Giả sử biểu thức (1.6) đúng với n=k , tức là:
 a,  a  k   k  a  k 1



Ta phải chứng minh biểu thức trên đúng với n=k+1.
Ta có:
 a,  a  k 1   a   a,  a  k   a, a    a  k





 
a,  a  k 1   a  .k  a  k 1   a  k


 a,  a  k 1    k  1  a  k



Dễ dàng thử lại đƣợc: m n   mn

(đpcm)
m,n = 1,2,…

Từ hệ thức (1.6) ta có thể chứng minh n

(1.7)

là vector riêng của toán tử số hạt N

ứng với trị riêng của toán tử số hạt N tƣơng ứng với trị riêng n tức là:
N n n n

Thật vậy:
N n  a a n
N n  a a

(1.8)

a 

n!

1

 n

0

N n 

n
1 
a a  a  0
n!

N n 

n
1 
a  a,  a    0

n! 

N n 

n
n
a  0

n!

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 9 of 95.

5

a 
 n.

 n

N n

n!

0

N n n n

(1.9)

Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ x và xung lƣợng p
đƣợc định nghĩa:
x

a
2m



 a

m 
a  a
2

pi

(1.10)
(1.11)

Chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán:

 p, x  i

(1.12)

Thật vậy:
m
 a   a  a   a    a   a  a   a 

2 2m 

 p, x  i

 p, x   2a  a  2aa  
2
i

 p, x  i

a, a  

 p, x  i
Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa đƣợc biểu diễn theo các toán tử
sinh, hủy dao động tử a+,a nhƣ sau:
p2 1
H
 m 2 x 2
2m 2

H 

H

(1.13)

2
2
h 
h 
a  a 
a  a


4
4


2

 a a  aa 


1

H   N  
2




(1.14)

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 10 of 95.

6
1.1.2 Dao động biến dạng q-Boson
Dao động tử biến dạng q - Boson đơn mode đƣợc mô tả bởi các toán tử
hủy và toán tử sinh dao động tử a, a  tuân theo hệ thức giao hoán sau:
aa   qa  a  q  N

Trong đó:

(1.15)

q là thông số biến dạng
N là toán tử số dao động thỏa mãn phƣơng trình hàm riêng, trị

riêng: N n q  n n

(1.16)

q

và thỏa mãn hệ thức giao hoán

 N , a   a

(1.17)

 N , a    a 

Nếu q→1 thì (1.15) lại trở về hệ thức của dao động tử điều hòa Boson:
aa   a  a  1

Chúng ta đƣa vào không gian cơ bản Fock có các vector cơ sở là các vector riêng
của toán tử số dao động N là :

a 

 n

n

q



 nq 

(1.18)

0

Ở đây 0 là trạng thái nền và dùng kí hiệu:
qn  qn
 nq 
q  q 1

(1.19)

 nq    nq  n  1q  n  2q ...............1q
Tác dụng a  a, aa lên trạng thái riêng n q ta đƣợc:
aa n

q

  n q n

q

  n  1q n



aa n

q

(1.20)
q

Chứng minh:
Ta chứng minh biểu thức a  a n q   nq n

q

của (1.20) bằng phƣơng pháp quy

nạp nhƣ sau:

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 11 of 95.

7
Với n=0:
a  a 0 q  0  0q 0

q

Với n=1:
aa 1 q  aa



a a1q

a 0

1q

a   qa  a  q  N 
1

0

a  a 1 q  a  q 0 0
aa 1 q  a 0
a  a 1 q  1q 1

Với n=2:

a 
a a

 2

aa 2

aa 2

aa 2



q

q

q





0

 2q 

1

 2q 
1

 2q 

a   qa  a  q  N  a  0

 qa a aa






0  aq N 1



aa 2 q 

 q  a  2  qa  a  q  N  0  a  q 1 1 

 2q  

aa 2

 q  a  2 q 0 0  q 1 (a  )2 0 

 2q  

aa 2

q

q





1

1

1

 2q 

 q  q  a 
1

a  a 2 q   q  q 1  2
aa 2

q

  2q 2

 2

0

q

q

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 12 of 95.

8
Nhận thấy biểu thức a  a n q   nq n
Giả sử biểu thức a  a n q   nq n

của (1.20) đúng với n = 0,1,2

q

đúng với n = k tức là: ta sẽ chứng minh nó

q

đúng với n = k+1
1

aa k  1 q  aa

 k  1q 

a  a k  1 q  a  aa 
aa k  1 q 
aa k  1 q 

aa k  1 q 
aa k  1 q 

aa k  1 q 

a 

 k 1

1

k

 k  1q

1

 k  1q
1

 k  1q
1

 k  1q
1

 k  1q

a  aa  k

0

q

q

a   qa  a  q  N  k

 qa a a k




 qa k 


k

q

k

q

q

 a q k k

 aq N k

 qk  qk

 qk  a k
q
1
 k  1q  q  q


a




q



1

 q k 1  q  ( k 1)  
a a k 1 q 

a k
 k  1q  q  q 1 


q

q

1

 k  1q a  k
a k 1 q 
 k  1q

q

q

 k  1q  a   0

a a k 1 q 
 k  1q  k q 
k 1

a  a k  1 q   k  1q

1

 k  1q 

a 

 k 1

0

a  a k  1 q   k  1q k  1 q

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 13 of 95.

9
→ Điều phải chứng minh

Áp dụng biểu thức 1 của (1.20) ta đi chứng minh biểu thức thứ 2:
aa  n

q

  n  1q n

q

Ta có :
aa  n q   qa  a  q  N  n
aa  n
aa  n

aa  n

aa  n

q

q

q

q

q

 q  nq n q  q  N n

q

 qn  qn

 q
 qn  n
1
 qq




q n 1  q   n 1
n
q  q 1

  n  1q n

q

q

q

→ Điều phải chứng minh
Hamiltonian đƣợc biểu diễn qua toán tử tọa độ x và toán tử xung lƣợng p có
dạng:
H

p2 1

 m 2 x 2
2m 2

(1.21)

Hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ x và toán tử xung lƣợng p là:

 p, x  i

q

N

  q  1  N q



(1.22)

Chứng minh:
x

Vì: p  i

a  a 
2m


m
2

 p, x  

a



 a

và

 p, x  px  xp nên ta đƣợc:

i
 a   a  a   a    a   a  a   a 

2

 p, x  i  aa   a a 

 p, x  i  N  1q   N q 

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 14 of 95.

10

 p, x  i  N  1q  q  N q  q  N q   N q 

 p, x  i

q

N

  q  1  N q



→ Điều phải chứng minh.
Khi q = 1 thì (1.22) trở về hệ thức hoán vị thông thƣờng  p, x  i
Toán tử Hamiltonian đƣợc biểu diễn nhƣ sau:


H

2



H

2

 a a  aa 




 N 

q

  N  1q



(1.23)

Phổ năng lƣợng của dao động điều hòa biến dạng q đƣợc xác định từ
phƣơng trình hàm riêng và trị riêng của toán tử H :
H n q  En n

(1.24)

q

Mà ta lạicó:
H n
H n

q

q






2


2

 N 

q

 n 

q



  N  1q n



  n  1q n

q

q

Vậy:
En 


2

n  n  1 
q

q

(1.25)

Khi q = 1 thì phổ năng lƣợng của dao động điều hòa biến dạng trở về phổ
năng lƣợng của dao động tử điều hòa một thông thƣờng:
En 


2

 2n  1

1.2 Dao động biến dạng q Fermion
1.2.1 Dao động Fermion
Dao động tử Fermion đơn mode đƣợc đặc trƣng bởi hệ thức giao hoán :
bb  bb  1
b2  0

(1.26)

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 15 of 95.

11
Toán tử số dao động tử N biểu diễn theo các toán tử sinh và hủy dao động tử b,
b+ nhƣ sau:
N  bb
1  N  bb

(1.27)

Và thỏa mãn hệ thức giao hoán:

 N , b  b
 N , b   b

(1.28)

Trạng thái chân không thỏa mãn:
b 0 0

Phƣơng trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số dao động tử N :
N n n n

n = 0, 1

(1.29)

Trong đó: n là trạng thái n hạt thỏa mãn điều kiện trực chuẩn
m n   mn

m,n = 0, 1

(1.30)

Tác dụng của các toán tử b, b+ lên các vector trạng thái n nhƣ sau:
b 0 0
b1  0

b 0  1
b 1  0

1.2.2 Dao động biến dạng q Fermion
Các toán tử sinh và hủy b , b của dao động tử Fermion biến dạng q thỏa mãn hệ
thức giao hoán:
bb  qbb  q  N
b2   b   0
2

(1.31)

Trong đó: q là thông số biến dạng
N là toán tử số dao động tử thỏa mãn hệ thức giao hoán

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 16 of 95.

12

 N , b  b
 N , b   b

(1.32)

Phƣơng trình hàm riêng và trị riêng của toán tử số dao động tử N là:
N n

q

n n

(1.33)

q

Các trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử N đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

b 

 n

n

q

Với: nq



nq 

(1.34)

0

q  n   1 q n

q  q 1
n

(1.35)

Khi q =1 thì nq  n
Trong không gian Fock với vector cơ sở là các vector trạng thái n

q

ta có:

bb   N q
bb   N  1q

(1.36)

Khi q =1 ta có dao động tử Fermion thông thƣờng:
bb  bb  1

Ở đây nguyên lý loại trừ Pauli là hệ quả trực tiếp từ điều kiện:
b2   b   0
2

KẾT LUẬN:
Trong chƣơng 1 chúng ta đã viết tổng quan về dao động tử điều hòa và
dao động tử điều hòa biến dạng q của các hạt có spin nguyên và các hạt có spin
bán nguyên. Đồng thời cũng xây dựng đƣợc không gian Fock cho các dao động
tử và nhận thấy khi thông số biến dạng tiến đến giá trị giới hạn (q→1) thì tất cả
các kết quả của các dao động biến dạng sẽ trở về dao động lúc chƣa biến dạng.

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 17 of 95.

13
Hay nói cách khác, dao động biến dạng phản ánh các dao động của các
dao động tử một cách tổng quát hơn. Và dao động lúc chƣa biến dạng là một
trƣờng hợp riêng của dao động biến dạng.

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 18 of 95.

14
CHƢƠNG II: THỐNG KÊ BIẾN DẠNG q
2.1 Thống kê biến dạng q của các hạt có spin nguyên
2.1.1 Thống kê của Boson
Hàm Green của đại lƣợng vật lý F tƣơng ứng với toán tử Fˆ đƣợc định ngĩa qua
công thức:
F 

với

1
Tr  e  H F 
Z

 

Tr Gˆ   n Gˆ n
n

Z là hàm phân bố, đƣợc xác định nhƣ sau:
Z  Tr  e  H 


Z   e n
n 0

Z

1
1  e 

Hàm phân bố Z xác định tính chất nhiệt động của hệ thống kê  

(2.1)
1
kT

và H là

Hamiltonian mà thông thƣờng nó có dạng H=ωN với ω là năng lƣợng dao động
của một hạt.
Áp dụng ta tính thống kê cho dao động tử điều hòa Bosson nhƣ sau:
aa 

1
Tr  e  H a  a 
Z

a a 

1
n e  n a  a n

Z n

a a 

1
n e   N N n

Z n

a a 

1
 n e  n n n
Z n

aa 

1
 e  n n
Z n

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 19 of 95.

15
a a 

d
e  n 


    Z d n

aa 

1
e 
Z 1  e  2

1

Mà ta lại có:
Z  Tr  e  N 

Z   n e   N n
n

Z   e  n
n

Z

1
1  e 

(2.2)

Từ đây suy ra:
aa 

1
e

 

(2.3)

1

2.1.2 Thống kê của Boson biến dạng q
Đối với hệ các dao động tử Boson biến dạng q thỏa mãn hệ thức giao hoán:
aa   qa  a  q  N

ta thu đƣợc phân bố thống kê sau:

aa  
aa  

aa  
aa  
aa  

aa  



1
Z



1
Z



1
Z





1
Z



 e    n

1
Z

 e  

n e   N a  a n

n 0


n 0

n 0

n e  N  N q n

n e  n  nq n
 n

q

n 0




n 0



 n

qn  qn 

q  q 1 

1 1     n    1 n 
e q  
e q  
Z q  q 1  n 0
n 0


Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 20 of 95.

16

1 1 
1
1

1 

 
  1 
Z q  q  1 e q 1 e q 

aa  

aa

q  q 1  e 

1 1

Z q  q 1 1   q  q 1  e   e2 



Nhƣ vậy:
aa  

e2 

e   1
  q  q 1  e   1

(2.4)

Nhận xét: Trong trƣờng hợp giới hạn q→1 thì phân bố thống kê (2.4) trở về phân
bố Bose-Einstein thông thƣờng đối với hệ các Boson:
1
e 1

aa  



2.2 Thống kê biến dạng q của các hạt có spin bán nguyên
2.2.1 Thống kê của Fermion
Tƣơng tự nhƣ dao động tử Boson ta xác định thống kê cho dao động tử Fermion:
Z  Tr  e  N 
1

Z   n e   N n
n 0

1

Z   n e  n n
n 0
1

Z   e  n
n 0

Z  e   1

(2.5)

Từ đây suy ra:
bb 

1
Tr  e  N b b 
Z

bb 

1
Z



1
Z

1

bb 

1

n e  n n n

n 0

e  n
 n

n 0

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -

luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 21 of 95.

17
1  
e
Z

b b 

(2.6)

Thay (2.5) vào (2.6) ta đƣợc:
b b 

1
1  e 

(2.7)

2.2.2 Thống kê của Fermion biến dạng q
Khi các toán tử sinh và hủy hạt của hệ Fermion biến dạng q thỏa mãn hệ thức
giao hoán:
bb  qbb  q  N
b2   b   0
2

ta sẽ thu đƣợc phân bố thống kê:
bb 

bb 
bb 
bb  



1
Z



1
Z



1
Z





1
Z



n e  N bb  n

n 0


n 0

n 0

n e  N  N q n
n e  n nq n

 e    n
 n

n 0

q

bb 

n
n
1     n q   1 q 
e


Z n 0 
q  q 1 

bb 

n
1 1     1 n   
e q    e  q  
1   
Z q  q  n 0
n 0


bb 


1 1 
1
1

1 
  1
  1 
Z q  q  1 e q
1 e q 

Nhƣ vậy
bb 

e2 

e   1
  q  q 1  e   1

(2.8)

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 22 of 95.

18
Nhận xét:

Trong trƣờng hợp giới hạn q→1 thì phân bố thống kê (2.8) trở về

phân bố Fermi-Dirac thông thƣờng đối với hệ các Fermion:
1
e 1

bb 



KẾT LUẬN CHƯƠNG II:
Trong chƣơng 2 này chúng ta đã đi nghiên cứu một cách chi tiết các phân
bố thống kê của các dao động tử điều hòa và dao động tử biến dạng. Nhận thấy:
1. Phân bố thống kê của các dao động tử điều hòa có spin nguyên có dạng:
1

aa 

e

 

1

Với hệ các dao động tử Boson biến dạng q, phân bố thống kê có dạng:
aa  

e2 

e   1
  q  q 1  e   1

2. Phân bố thống kê của các dao động tử điều hòa có spin bán nguyên có dạng:
b b 

1
1  e 

Với hệ các dao động tử Fermion biến dạng q, phân bố thống kê có dạng:
bb





e2 

e   1
  q  q 1  e   1

3. Đặc biệt, trong trƣờng hợp giới hạn q→1 thì phân bố thống kê biến dạng

của các dao động tử biến dạng sẽ trở về phân bố thống kê thông thƣờng.
Cụ thể: phân bố thống kê của các dao động tử q-Boson sẽ trở về phân bố
thống kê Bose-Einstein; phân bố thống kê của các các dao động tử qFermion sẽ trở về phân bố thống kê Fermi-Dirac.

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 23 of 95.

19
CHƢƠNG III: XÁC ĐỊNH NHIỆT DUNG DEBYE CỦA MẠNG TINH
THỂ BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ BIẾN DẠNG
3.1 Nhiệt dung Debye
Giả sử vật rắn gồm N nguyên tử, mỗi một nguyên tử đó dao động nhỏ
xung quanh vị trí cân bằng và có 3 bậc tự do. Toàn bộ các nguyên tử trong vật
rắn có 3N bậc tự do. Mỗi một nguyên tử thƣờng thực hiện các dao động phức tạp
bao gồm nhiều chuyển động dao động điều hòa. Tuy nhiên, trong một hệ bất kì,
với các dao động nhỏ ta có thể lựa chọn những tọa độ suy rộng gọi là các tọa độ
chuẩn, sao cho mỗi một bậc tự do sẽ chỉ ứng với một dao động điều hòa đơn
giản. Trong trƣờng hợp đó, một vật rắn sẽ tƣơng đƣơng với một hệ gồm 3N dao
động tử điều hòa, hệ này sẽ đƣợc diễn tả bằng 3N phƣơng trình có dạng:
Qk  k2Qk  0

(k  1,2,......3N )

(3.1)

Trong đó, Qk là tọa độ chuẩn.
Đối với một hệ nhƣ vậy, hàm Hamilton đƣợc biểu diễn qua toán tử tọa độ
x và toán tử xung lƣợng p có dạng nhƣ sau:

H

p2 1
 m 2 x 2
2m 2



H 
H

H

4


2


2

a





 a 
2

4

a



 a

2

 a a  aa 




 2a a  a, a  




1

H   N  
2


Lại có:   2 v và h  2

(3.2)
thay vào (3.2) ta đƣợc:

1

H  hv  N  
2


(3.3)

Phổ năng lƣợng của dao động điều hòa đƣợc xác định từ phƣơng trình
hàm riêng và trị riêng của toán tử H:

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 24 of 95.

20
H n  En n

(3.4)

Vậy: En  hv  n  1 


2

Ta đi tìm tổng trạng thái của một hệ dao động tử:
Năng lƣợng của dao động tử điều hoà tuyến tính với tần số v là




1

 n  hv  n  
2


(3.5)

Tổng trạng thái

  
Z d   exp  n 
 kT 
n 0

 hv  
 hv 
Z d  exp 
n
  exp 
 2kT  n0
 kT 

(3.6)

Ta thấy, vế phải của (3.6) có chứa cấp số nhân vô hạn giảm dần (có số công bội
là q  exp  hv  và số hạng đầu tiên a = 1 ). Theo công thức tính tổng các số
 kT 

hạng của cấp số nhân vô hạn giảm dần ta đƣợc:
 hv 
exp 

 2kT 
Z
 hv 
1  exp  
 kT 

(3.7)

 hv 
exp 

2kT 

Z
 hv 
exp    1
 kT 

(3.8)

Hay là

Năng lƣợng trung bình của một dao động tử là:
  
exp  n 

2
 kT   kT Z
 d  n1
  
z T
exp  n 

 kT 
n1




n

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 25 of 95.

21
hv

2

d 

hv
 hv 
exp    1

 kT 

Nhận xét: Ở các nhiệt độ thấp,
sẽ dẫn tới

(3.9)

hv
hv
 1 hay T 
 Td năng lƣợng trung bình
kT
k

hv
là năng lƣợng “dao động không”.
2

Còn ở các nhiệt độ cao (T >> Td) năng lƣợng trung bình của dao động tử có trị số
cổ điển kT
Nhiệt dung CV ứng với một dao động tử đƣợc xác định theo công thức:
  
CV   d 
 T 

(3.10)

Trong trƣờng hợp T→0 nhiệt dung sẽ dẫn tới không, còn đối với các nhiệt độ
cao nó bằng trị số cổ điển.
Ta biết rằng, mỗi một bậc tự do dao động ứng với năng lƣợng kT ta sẽ tìm đƣợc

năng lƣợng của chuyển động dao động bằng cách nhân kT với số bậc tự do dao
động 3N:
U  3NkT

(3.11)

Lúc này, nhiệt dung vật rắn đƣợc xác định nhƣ sau:
CV 

dU
 3Nk
dT

(3.12)

Tuy nhiên, thực nghiệm cho thấy: sự tăng lên của nhiệt dung khi nhiệt độ tăng
lên có thể giải thích theo quan điểm cổ điển, còn việc giảm đi của nhiệt dung ở
nhiệt độ thấp thì không thể giải thích đƣợc bằng thuyết cổ điển.
Vì vậy đã xuất hiện một thuyết mới về nhiệt dung vật rắn, đó là thuyết Debye
(vào năm 1912)
Theo Debye các nguyên tử khác nhau dao động trong vật rắn với các tần
số khác nhau, và vì số nguyên tử là rất lớn cho nên thực tế ta có thể coi phổ các
tần số riêng nhƣ là phổ liên tục. Do có tƣơng tác mạnh giữa các nguyên tử của
vật rắn, ta có thể xem vật rắn nhƣ là một môi trƣờng liên tục đàn hồi trong đó có

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -