Bai 5 cực trị cơ bản(2)

Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
CỰC TRỊ CƠ BẢN
ĐÁP ÁN
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt
Câu 1.

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 và f x liên tục tại x0 thì hàm



số y  f  x đạt cực đại tại điểm x .
B. Hàm số y  f  x đạt cực trị tại x khi và chỉ khi x là nghiệm của đạo hàm.
C. Nếu f '  x   0 và f ''  x   0 thì x không phải là cực trị của hàm số y  f  x đã cho.
D. Nếu f '  x   0 và f ''  x   0 thì hàm số đạt cực đại tại .
0

0

0

0

0

0

0

0

Hướng dẫn giải:
Các mệnh đề sau sai vì:
Mệnh đề B thiếu điều kiện f ' x đổi dấu khi qua x0 .




 f '0  0
nhưng x  0 là điểm cực tiểu của hàm số.

f
''
0

0




4
Mệnh đề C sai, ví dụ hàm y  x có 

Mệnh đề D sai. Sửa lại: “Nếu f ' x0  0 và f '' x0  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 ”.

 

Câu 2.

 

Cho khoảng a; b chứa điểm x0 , hàm số f x có đạo hàm trong khoảng a; b (có

 



 

thể từ điểm x0 ). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu f x không có đạo hàm tại x0 thì f x không đạt cực trị tại x0 .



B. Nếu f '  x  0 thì f  x đạt cực trị tại điểm x .
C. Nếu f '  x  0 và f ''  x  0 thì f  x không đạt cực trị tại điểm x .
D. Nếu f '  x  0 và f ''  x  0 thì f  x đạt cực trị tại điểm x .
0

0

0

Hướng dẫn giải:
Các mệnh đề sau sai vì:
Mệnh đề A sai, ví dụ hàm y  x không có đạo hàm tại x  0 nhưng đạt cực tiểu tại x  0 .
Mệnh đề B thiếu điều kiện f ' x đổi dấu khi qua x0 .




 f '0  0
Mệnh đề C sai, ví dụ hàm: y  x có 
nhưng x  0 là điểm cực tiểu của hàm số.

 f '' 0  0
4

Câu 3.

Phát biểu nào dưới đây là sai?

CỰC TRỊ CƠ BẢN |

1


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
A. Nếu tồn tại số h sao cho f x  f x0



  với mọi

x   x0  h; x0  h và x  x0 , ta nói rằng

hàm số f x đạt cực đại tại điểm x0 .



B. Giả sử y  f x

liên tục trên khoảng K  x0  h; x0  h

 và có đạo hàm trên K hoặc trên
K \ x  , với h  0 . Khi đó nếu f ' x  0 trên  x  h; x  và f '  x  0 trên khoảng
x ; x  h thì x là một điểm cực tiểu của hàm số f x .
C. x  a là hoành độ điểm cực tiểu khi và chỉ khi y ' a  0; y "a  0 .
D. Nếu M  x ; f  x  là điểm cực trị của đồ thị hàm số thì y  f  x  được gọi là giá trị cực




0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

trị của hàm số.
Hướng dẫn giải:
Các Mệnh đề A, B, D đều đúng theo định nghĩa trong SGK.
Mệnh đề C sai. Sửa lại '' Nếu y ' a  0 và y " a  0 thì x  a là hoành độ điểm cực tiểu '' .



Câu 4.



Cho hàm số f x xác định và liên tục trên khoảng a; b . Tìm mệnh đề sai?



 

A. Nếu f x đồng biến trên khoảng a; b thì hàm số không có cực trị trên khoảng a; b .


 
 
B. Nếu f  x nghịch biến trên khoảng a; b thì hàm số không có cực trị trên khoảng a; b .
C. Nếu f  x đạt cực trị tại điểm x  a; b thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
M  x ; f  x  song song hoặc trùng với trục hoành.
D. Nếu f  x đạt cực đại tại x  a; b thì f  x đồng biến trên a; x  và nghịch biến trên
x ; b .

0

0

0

0

0

0

Hướng dẫn giải:
Các Mệnh đề A, B, C đều đúng theo định nghĩa trong SGK.
Vì mệnh đề này chưa chỉ rõ ngoài x0  a; b là cực đại của f x thì còn có cực trị nào khác

 



nữa hay không. Nếu có thêm điểm cực đại (hoặc cực tiểu khác) thì tính đơn điệu của hàm sẽ bị
thay đổi theo.

Câu 5.

Cho khoảng a; b chứa m . Hàm số y  f x xác định và liên tục trên khoảng a; b . Có

 



 

các phát biểu sau đây:

1 m là điểm cực trị của hàm số khi f 'm  0 .
2 f x  f m , x  a; b thì x  m là điểm cực tiểu của hàm số.
3 f x  f m , x  a; b \ m thì x  m là điểm cực đại của hàm số.
4 f  x  M , x  a; b thì M được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng a; b .
CỰC TRỊ CƠ BẢN |

2


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Số phát biểu đúng là:
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải:
Mệnh đề 1 sai vì thiếu điều kiện f ' x đổi dấu khi qua m .



Mệnh đề 2 sai, ví dụ cho hàm số y  1 .

Mệnh đề 3 đúng theo định nghĩa cực trị trong SGK.
Mệnh đề 4 sai vì chưa chỉ ra x  a; b để M  f  x .
0

Câu 6.

0

2
3
5
Một hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ( x)  x( x  1) ( x  2) ( x  3) . Hỏi hàm số này có

bao nhiêu cực trị ?
A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Hướng dẫn giải:

x  0

x  1
2
3
5

f ( x)  x( x  1) ( x  2) ( x  3) ; f ( x)  0  
x  2


x  3
Bảng biến thiên
x


f '  x

0
–

0

1
+

2

0

+

0

3
–

0


+

f  x

 có 3 cực trị.
Câu 7.

Hàm số nào sau đây không có cực trị:

3
A. y  x  3x.

B. y 

x2

2x 1

1
x

C. y  x  

4
2
D. y  x  2 x .

Hướng dẫn giải:
Đáp án B là hàm bậc nhất/bậc nhất nên không có cực trị.

Câu 8.
A. y 

Hàm số nào sau đây có cực đại?

x2
.
 x2  2

B. y 

x2
.
x2

C. y 

x2
.
x  2

D. y 

x  2
.
x2

Hướng dẫn giải:
B, C, D là hàm bậc nhất/bậc nhất nên không có cực trị.

CỰC TRỊ CƠ BẢN |

3


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
x2  x  3
. Các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
x2
A. y có một cực trị. B. y tăng trên  .
C. y không có cực trị. D. y có hai cực trị.
Cho y 

Câu 9.

Hướng dẫn giải:
2

x  4x  5

y' 

2

 0, x  2

x  2

x2  x  1
có mấy điểm cực trị?
Câu 10. Hàm số y 
x2  1
A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Hướng dẫn giải:
TXĐ:  \ 1

 x 2 1



y' 

  0, x 1

2

2

x  1

Vậy hàm số không có cực trị.

Câu 11. Đồ thị hàm số y  9  x 2 có mấy điểm cực trị ?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải:

x

y  9  x2 ; y ' 

2 9  x2

; y '  0 x  0

Vậy có 1 cực trị.

Câu 12. Điểm cực đại của hàm số y 
A. x  6 .

x

là:

2

2x  9  1
C. x  5 .

B. x  6 .

D. x  5 .

Hướng dẫn giải:

9  2x2  9

y' 

2 x2  9

x
y'



2x2  9  1

2

; y '  0  x  6


–6


–

0

6
+

0


–

 xCD  6

CỰC TRỊ CƠ BẢN |

4


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Câu 13. Tìm yCT của hàm số y  x  2 x 2  1 .

1
.
2

A. yCT  

1
.
2

B. yCT 

C. yCT   2 .

D. yCT 

2.

Hướng dẫn giải:

2 x2 1  2 x

y' 

2

2
2

; y '  0 x  

2 x 1

x





y'

–

2
2



0

+

2
1
 yCT 
2
2

 xCT  

Câu 14. Tìm yCD của hàm số y  3 x 2 ( x  5) .
B. yCD  3 4 3 .

A. yCD  0 .

C. yCD  3 4 3 .

D. yCD  4 3 .

Hướng dẫn giải:

5  x  2

y' 

33 x

x

; y '  0 x  2
0



y'

+

2

||

–

0


+

0



y

3 3 4



 xCD  0  yCD  0

Câu 15. Hàm số y 

4x
có tổng yCD  yCT là:
x4 1

A. 0.

B. 2 4 27 .

C.

4

D. 2 4 27 .

27 .

Hướng dẫn giải:

y' 

x

4 1  3x 4

  ; y '  0 x   1
3
1  x 
4 2



4

1
4
3

5

1
4
3



CỰC TRỊ CƠ BẢN |


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
y'

–

0

+

0
4



–

27

y

 4 27



 yCT   4 27, yCD  4 27  yCD  yCT  0

x 2  3x  3
. Khi đó giá trị
Câu 16. Gọi m, n lần lượt là giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số y 
x2
của biểu thức m 2  2 n bằng:
A. 8.

B. 7.

C. 9.

D. 6.

Hướng dẫn giải:

y' 

x2  4x  3
( x  2) 2

y '  0

x  3
x2  4x  3
 0 
2

( x  2)
x  1

Hàm số đạt cực đại tại x  3 và yCD  3
Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 và yCT  1

 M 2  2n  7

Câu 17. Tìm yCD của hàm số y  sin 2 x  cos x, x  (0;  ) .
A. yCD  1 .

B. yCD  1 .

C. yCD 

5
.
4

D. yCD  

5
.
4

Hướng dẫn giải:

y '  sin x 2 cos x  1 ; y '  0  x 

x

3



0



3

y'

+

0

–

5
4

y

 xCD 




3

 yCD

6

5

4

CỰC TRỊ CƠ BẢN |


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Câu 18. Điểm cực trị của hàm số y  sin 2 x  x là:
A. xCD 
C. xCD 


6


6

 k 2 k   .
 k ; xCT  


6

B. xCT  

 k k   .

D. xCD 


3


3

 k k   .

 k k   .

Hướng dẫn giải:
Đạo hàm cấp 1: y '  2 cos 2 x  1
Đạo hàm cấp 2: y ''  4 sin 2 x



x1   k
1
6

Ta có: y '  0  cos 2 x   
k  
2
x     k
2

6


 3


 

3






k



4

0;
y
''


k



4
Do y '' 





 2   0.
2
6

 6




Câu 19. Giá trị cực đại của hàm số y  x  2 cos x trên khoảng 0;   là:
A.

5
 3.
6

B.

5
 3.
6

C.


6

 3.

D.


6

 3.

Hướng dẫn giải:
Đạo hàm: y '  1  2 sin x

 
 
x   k 2
x 
1
6
6

Khi đó: y '  0  sin x   
k   . Vì x  0;    


2
x  5  k 2
x  5



6
6


  
3
y '' 
  2.
0

 6 
2
Mặt khác: y ''  2 cos x . Do đó 
  5 


y ''    2  3   0


 2 
 6 




 



6

6

Giá trị cực đại của hàm số là y 
  

 3 .

Câu 20. Cho hàm số y  sin x  3 cos x . Khẳng định nào sau đây sai:
A. x 

7

5
là một nghiệm của phương trình.
6

B. Trên khoảng 0; 

  hàm số có duy nhất một cực trị.
CỰC TRỊ CƠ BẢN |


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x 

5
.
6

D. y  y ''  0, x   .
Hướng dẫn giải:



Ta có y  sin x  3 cos x  2sin 
x 




3

 
 
Đạo hàm cấp 1: y '  2cos 
 x   ; Đạo hàm cấp 2: y ''  2sin 
 x  
3
3


  5 

 y '
   2 cos  0
2
5
 6 
Vì: 

. Suy ra x 
là điểm cực đại.
6

  5 
 y '' 
   2sin  0
2
 6 


3x 2  13x  19
Câu 21. Cho hàm số y 
. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
x 3
số có phương trình là:
A. 5 x  2 y  13  0 .

B. y  3 x  13 .

C. y  6 x  13 .

D. 2 x  4 y  1  0 .

Hướng dẫn giải:

 9  21
x 

3 x  18 x  20

3
 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
y' 
 0 
2

x

3

9

21
 
x 

3

của đồ thị hàm số là y  6 x  13 .
2

2 x 2  ax  5
1
đạt cực đại tại điểm x  và yCD  6 .
2
x b
2




a  4
a  4
a  1
B. 
.
C. 
.
D. 
.



b  1
b  1
b  4

Câu 22. Tìm a , b để hàm số y 


a  4
.
b  1


A. 

Hướng dẫn giải:
2

y' 

ax  4b  10 x  ab
2

2

x  b

Hàm số đạt cực đại tại x 

1
, yCD  6
2

8

CỰC TRỊ CƠ BẢN |


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
a
1
  4b  10.  ab  0
 1 
2
 y '
   0  4
1 a

 2 


a  4

  5

 1 
2 2
b  1

6
y
 1
   6
 2


b

 4

x 2  mx  1
Câu 23. Hàm số y 
đạt cực đại tại x  2 khi giá trị thực m bằng:
xm
A. –1.

B. –3.

C. 1.

D. 3.

Hướng dẫn giải:
TXĐ: D   \  m .
Đạo hàm y ' 

x 2  2mx  m 2  1
2

x  m

.

m  1
.

m  3

Hàm số đạt cực đại tại x  2 nên y ' 2  0  



Thử lại với m  1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x  2 : không thỏa mãn.
Thử lại với m  3 thì hàm số đạt cực đại tại x  2 : thỏa mãn.

x 2  mx  1
đạt cực đại tại điểm x  0 .
xm
1
1

B. m  1 .
C. m  .
D. m   .
2
2

Câu 24. Tìm m để hàm số y 
A. m  1 .

Hướng dẫn giải:
2

y'

x  2mx  m 2  1
2

x  m

Hàm số đạt cực đại tại x  0  y ' 0  0 



m2  1
 0  m  1
m2

x  0

x  2

Với m  1 thì y '  0 có 2 nghiệm 

x
y'

–2


+

0

–1
–

||

0
–

0


+

Vậy m  1 không thỏa mãn do lúc này x  0 là điểm cực tiểu.

9

x  0
Với m  1 thì y '  0 có 2 nghiệm 

x  2

CỰC TRỊ CƠ BẢN |


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
x

0



y'

+

1

0

–

||

2
–



0

+

Vậy m  1 thỏa mãn.

Câu 25. Biết hàm số y  a sin x  b cos x  x, (0  x  2 ) đạt cực trị tại x 


3

, x   . Khi đó

a b  ?
A.

3 1 .

3
1.
3

B.

C. 3.

D.

3 1.

Hướng dẫn giải:

y '  a cos x  b sin x  1
Hàm số đạt cực trị tại x 


3

,x 

  

a  1

   0  a  b 3  1  0 
 y '
  3 
2

 a  b  1 3

2



b 3

 a  1  0



 y '    0

Câu 26. Với giá trị nào của m thì hàm số y  sin 3 x  m sin x đạt cực đại tại điểm x 
A. m  5

B. m  6

C. m  5


3

?

D. m  6

Hướng dẫn giải:

y '  3cos 3 x  m cos x
Hàm số đạt cực đại tại x 

 
m
 y '
   0  3   0  m  6
3
2
3



Câu 27. Hàm số y  sin 3x  m cos x đạt cực đại tại x 
A. –1.

B. 0.


6

khi m bằng:

C. 1.

D. 2.

Hướng dẫn giải:
Đạo hàm cấp 1: y '  3cos 3x  m sin x ; Đạo hàm cấp 2: y ''  9sin 3 x  m cos x
Để hàm số đạt cực đại tại điểm x 


3

khi:

  




 y '
  0
3cos  m sin  0

m  0
 6


2
6


 m  0.



  


m  6 3

9sin  m cos  0
 y '' 
   0 
2
6

 6


10

CỰC TRỊ CƠ BẢN |


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Câu 28. Biết hàm số y  a sin x  b cos x  2 x



0  x  2  đạt cực trị tại

x

C. 2 3  6 .

3 4.

6

; x   . Khi đó

tổng a  b bằng:
A. 6.

3
5.
3

B.

D.

Hướng dẫn giải:
Đạo hàm: y '  a cos x  b sin x  2
Hàm số đạt cực trị tại x 


6

; x   nên:

  
 3
a  2
 y '
 a  1b2  0

   0

 a b  2 3 6.
 2

 6 

2



b  42 3


a  2  0


 y '    0

x 2  mx  1
có cực đại và cực tiểu thì các giá trị của m là:
x 1
B. m  0 .
C. m   .
D. m  0 .

Câu 29. Để hàm số y 
A. m  0 .

Hướng dẫn giải:
2

y'

x  2 x  1  m
2

x  1

Hàm số có cực đại, cực tiểu  y '  0 có 2 nghiệm phân biệt

 x 2  2 x  1  m  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2


m  0
 '  1  1  m  0
 2

m  0

m

0

1

2.1

1

m

0

 


Câu 30. Hàm số y 
A. m 0 .

x 2  m2 x  1
có cực đại và cực tiểu thì điều kiện của m là:
x 1

B. m  0 .
C. m   .
D. Không tồn tại m .

Hướng dẫn giải:
Tập xác định: D   \ 1
Đạo hàm: y ' 

x2  2 x  m2 1
2

x  1

. Đặt f  x  x 2  2 x  m 2  1

11


 m 2  0
' f x  0

 2
Đề hàm số có cực đại và cực tiểu khi: 

m  4  0
 f 1  0 
CỰC TRỊ CƠ BẢN |


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />

Vậy không tồn tại m .

12

CỰC TRỊ CƠ BẢN |