Bài tập vật lý 5: Cực trị trong dòng điện xoay chiều - 1 pot

Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Nguyên tắc chung thiết lập các biểu thức tìm cực trị trong mạch điện xoay chiều:
Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép
biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và
mẫu cho tử số chẳng hạn )
Bổ đề :
 Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b khi đó
a b
ab a b 2 ab
2
+
≥ ⇔ + ≥
Dấu bằng xảy ra khi a = b.
 Hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c, với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
2
min
b 4ac b '
x ;y
2a 4a 4a a
∆ − ∆
= − = − = = −

I. MẠCH RLC CÓ R THAY ĐỔI

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 1:
Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó R có thể thay đổi được (R còn được gọi là biến trở). Tìm giá trị của R
để
a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại.
b) điện áp hiệu dụng hai đầu L hoặc C đạt cực đại.
c) công suất tỏa nhiệt trên R là P
o
cho trước.
d) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại.
Hướng dẫn giải:
a)
C
ườ
ng
độ
hi
ệ
u d
ụ
ng
( )
max
2
2
L C
U U
I I R 0.
Z
R Z Z
= = → ⇔ =

+ −

V
ậ
y R = 0 thì I
max
và giá tr
ị

max
L C
U
I
Z Z
=
−

b)
Ta có U
L
= I.Z
L
. Do L không
đổ
i nên (U
L
)
max
khi I
max

→
R = 0.
Khi
đ
ó,
( )
L
L max L
max
L C
U.Z
U I .Z
Z Z
= =
−

T
ươ
ng t
ự
ta c
ũ
ng có
(
)
( )
C
max
C
C max C

max
L C
U R 0
U.Z
U I .Z
Z Z

←→ =


= =

−


c)
Theo bài ta có
( )
( )
2
2
2 2 2
o o o o o L C
2
2
L C
U
P P I R P R P P R U R P Z Z 0
R Z Z
= ⇔ = ⇔ = ←→ − + − =

+ −

Thay các giá tr
ị
c
ủ
a U, Z
L
, Z
C
và P
o
vào ph
ươ
ng trình trên ta gi
ả
i
đượ
c R c
ầ
n tìm.
d)
Công su
ấ
t t
ỏ
a nhi
ệ
t trên R:
( ) ( )

( )
2 2 2 2 2
2
2 2
2
2
2
L C
L C L C
L C
U U U U U
P I R R R
Z 2 Z Z
R Z Z Z Z
Z Z
R
2 R.
R
R
= = = = ≤ =
−
+ − −
−
+

D
ấ
u b
ằ
ng x

ả
y ra khi
( )
2
L C
L C
Z Z
R R Z Z
R
−
= → = − và
2
max
L C
U
P
2 Z Z
=
−

V
ậy mạch RLC có R thay đổi, giá trị của R và P
max
t
ương ứng là

= −


=


−

L C
2
max
L C
R Z Z
U
P
2 Z Z

Bài giảng 5:
CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU_PHẦN 1

Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -

Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có
( )
−
= = =
4
2 4.10
u 150 2 cos 100
π V, L (H), C (F),
π 5π
điện trở R có thể thay đổi
được. Tìm R để

a) công suất tỏa nhiệt P = 90 W và viết biểu thức của cường độ dòng điện khi đó.
b) hệ số công suất của mạch là cosφ = 1/2.
c) công suất tỏa nhiệt trên mạch cực đại P
max
và tính giá trị P
max

Hướng dẫn giải:
Ta có Z
L
= 200 Ω, Z
C
= 125 Ω, U = 150 V.
a)
Ta có
2 2
2 2 2 2
2 2 2
R 225
Ω
U 150 R
P I R 90 90 R 90 90R 150 R 90.75 0
R 25
Ω
Z R 75
=

= = ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = →

=

+



Với
2 2
o
o
U
150 2 2
R 225
Ω Z 225 75 75 10 Ω I A.
Z
75 10 5
= → = + = → = = =

Độ lệch pha của u va i thỏa mãn
L C
u i i
Z Z
75 1 1 1
tanφ φ arctan φ φ φ arctan
R 225 3 3 3
−
   
= = = → = = − → = −
   
   

Biểu thức cường độ dòng điện là

2 1
i cos 100
πt arctan A.
3
5
 
 
= −
 
 
 
 

 Với
2 2
o
o
U
150 2 6
R 25
Ω Z 25 75 25 10 Ω I A.
Z
25 10 5
= → = + = → = = =
Độ lệch pha của u va i thỏa mãn
( ) ( )
L C
u i i
Z Z
75

tan
φ 3 φ arctan 3 φ φ φ arctan 3
R 25
−
= = = → = = − → = −
Biểu thức cường độ dòng điện là
( )
( )
6
i cos 100
πt arctan 3 A.
5
= −
b) Từ công thức tính hệ số công suất ta có
( )
2
2 2
2
L C
1 R 1 R 1
cos
φ R 25 3Ω.
2 2 R 75 4
R Z Z
= ⇔ = ⇔ = → =
+
+ −

c) Ta có P
max

khi
L C
2
max
L C
R Z Z
U
P
2 Z Z
 = −


=

−


Thay số ta được R = 75 Ω và
2 2
max
L C
U 150
P 150W.
2 Z Z 2.75
= = =
−


Chú ý:


Trong trường hợp P
max
thì hệ số công suất của mạch khi đó là
2 2
1
2
= = = = −
+
L C
R R
cos
φ , do R Z Z .
Z
R R

Tức là độ lệch pha của u và i khi đó là π/4.

Khi cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r
≠
0 thì ta còn có thêm dạng bài tính công suât tỏa nhiệt trên R, trên cuộn
dây và trên toàn mạch.
TH
1
: Công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch cực đại
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )

( )
2 2 2 2
2
2 2 2
2
L C
L C L C
U U U U
P I R r R r R r
Z 2 Z Z
R r Z Z Z Z
R r
R r
= + = + = + = ≤
−
+ + − −
+ +
+

Từ đó ta cũng được giá trị của R và P
max
tương ứng
L C L C
2 2
max max
L C L C
R r Z Z R Z Z r
U U
P P
2 Z Z 2 Z Z

 
+ = − = − −
 
←→
 
= =
 
− −
 


TH
2
: Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại
Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -

Ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
R
2 2 2
2
2
2 2

2
L C L C
L C
U U U U
P I R R R
Z
R 2Rr r
R r Z Z r Z Z
Z Z
R 2r
R
R R
= = = = =
+ +
+ + − + −
−
+ +
+

Áp d
ụ
ng B
Đ
T Cauchy cho m
ẫ
u s
ố
ta c
ũ
ng

đượ
c
( ) ( )
2 2
R
2 2
2 2
L C L C
U U
P
r Z Z 2r r Z Z
2r R.
R
≤ =
+ − + + −
+

T
ừ

đ
ó ta
đượ
c giá tr
ị
c
ủ
a R và (P
R
)

max
t
ươ
ng
ứ
ng là
( )
( )
( )

= + −



=

+ + −


2
2
L C
2
R
max
2
2
L C
R r Z Z
U

P
2r r Z Z

Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây có r

= 50 Ω, L = 0,4/π (H) và tụ điện có điện dung C = 10
–4
/π
(F) và điện trở thuần R thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch là
(
)
=u 100 2 cos 100
πt V.
Tìm R để
a) hệ số công suất của mạch là 1/2.
b) công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
c) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R cực đại. Tính giá trị cực đại của công suất đó.
Hướng dẫn giải:
Ta có
L C
Z 40
Ω, Z 100Ω, U 100V
= = =
a)
Hệ số công suất của mạch là
( ) ( )
2 2
L C
R r R r 1
cosφ

Z 2
R r Z Z
+ +
= ⇔ =
+ + −

Thay số ta được
( )
( ) ( )
2 2
2
2
2
R 50 1
4 R 50 R 50 60
2
R 50 60
+
 
= ⇔ + = + +
 
+ +

Giải phương trình trên ta được các nghiệm R cần tìm.
b) Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt giá trị cực đại khi
L C
R r Z Z R 50 60 R 10
Ω.
+ = − ⇔ + = → =
Khi đó, công suất cực đại của mạch

2 2
max
L C
U 100 250
P W.
2 Z Z 2.60 3
= = =
−

c)
Công su
ấ
t t
ỏ
a nhi
ệ
t trên R c
ự
c
đạ
i khi
( )
( )
( )
2
2
L C
2
R
max

2
2
L C
R r Z Z
U
P
2r r Z Z

= + −



=

+ + −



Thay s
ố
ta
đượ
c
( )
( )
( )
2
2 2 2
L C
2 2

R
max
2
2
L C
R r Z Z 50 60 10 61 Ω.
U 100
P W.
100 20 61
2r 2 r Z Z

= + − = + =



= =

+
+ + −



Ví dụ 3: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, biết R có thể thay đổi được. Biểu thức điện áp hai đầu
mạch có dạng
 
= +
 
 
π
u 100 2 cos 100

πt V.
4
Điều chỉnh R để công suất tiêu thụ của mạch đạt giá trị cực đại và
bằng 100 W. Viết biểu thức cường độ dòng điện trong mạch, biết mạch có tính dung kháng.
Hướng dẫn giải:
Khi công suất tỏa nhiệt trên R cực đại thì ta có
L C
2
2
max
L C
R Z Z
Z R
R 50
Ω.
U
100
P
100
2 Z Z
2R
 = −
=



→ ⇔ =
 
=
=

 
−



Khi đó,
o
o
U
100
I 2A
Z 50
1
π
cosφ φ
4
2

= = =




= → = ±


.
Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -

Do mạch có tính dung kháng nên
u i i
π π
φ 0 φ φ φ φ .
4 2
< → = − = − ⇔ =

Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là
π
i 2cos 100
πt A.
2
 
= +
 
 

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 2:
Cho mạch điện RLC có R thay đổi. Điện áp hiệu dụng hai đầu mạch điện là U. Khi R = R
1
và R = R
2
thì mạch
tiêu thụ cùng một công suất (hay P
1
= P
2
). Chứng minh rằng:
a)

( )
2
1 2 L C
R R Z Z= −
b)
1 2
π
φ φ
2
+ =
, với φ
1
, φ
2
lần lượt là độ lệch pha của u và i khi R = R
1
, R = R
2
.
c) Công suất tỏa nhiệt tương ứng khi đó
= = =
+
2
1 2
1 2
U
P P P
R R

Hướng dẫn giải:

a)
Theo giả thiết ta có P
1
= P
2

( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 L C 2 1 L C
2 2
2 2
1 L C 2 L C
U U
I R I R R R R R Z Z R R Z Z
R Z Z R Z Z
   
⇔ = ⇔ = ⇔ + − = + −
   
+ − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
1 2 1 L C 2 1 2 L C 1 2 2 1 L C 2 1 1 2 L C
R R R Z Z R R R Z Z R R R R Z Z R R R R Z Z⇔ + − = + − ⇔ − = − − ⇔ = −
b) Ta có
L C

1
1
L C
2
2
Z Z
tan φ
R
Z Z
tan φ
R

−
=



−

=


, do
( )
2
L C
2
1 2 L C 1 2
1 L C
Z Z

R
R R Z Z tan
φ
cot
φ
R Z Z
−
= − → = ←→ =
−

T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
1 2
π
φ φ
dpcm.
2
+ = →
c)
Ta có
( )
2 2 2
2
1 2 1 1 1 1
2 2

2
1 1 2 1 2
1 L C
U U U
P P P I R P R R dpcm
R R R R R
R Z Z
= = = ⇔ = = = →
+ +
+ −

V
ậ
y m
ạ
ch RLC có R thay
đổ
i mà R = R
1
và R = R
2
thì P
1
= P
2
s
ẽ
th
ỏ
a mãn

(
((
( )
))
)
2
1 2 L C
1 2
2
1 2
R R Z Z
π
φ φ
2
U
P
R R






= −
= −= −
= −







+ =
+ =+ =
+ =









=
==
=



+
++
+





Chú ý:


Trong trường hợp mạch điện bị khuyết một phần tử (hoặc L hoặc C) thì ta có các điều kiện tương tự
+
Với mạch R, L:

2
1 2
2
1 2
L
R R Z
U
P
R R

=


=

+


+
V
ớ
i m
ạ
ch R, C:

2
1 2
2
1 2
C
R R Z
U
P
R R

=


=

+




Các em c
ầ
n phân bi
ệ
t rõ hai tr
ườ
ng h
ợ
p công su
ấ

t c
ự
c
đạ
i khi R bi
ế
n thiên và công su
ấ
t b
ằ
ng nhau.
+
Khi R bi
ế
n thiên thì công su
ấ
t c
ự
c
đạ
i là
2 2
2 2
max
L C
U U
P
Z Z R
= =
−

+ Khi R bi
ến thiên có hai giá trị cho P bằng nhau thì
( )
2
2 2
1 2
2
1 2
1 2
2
2
max
L C
L C
U
P
U U
R R
P
Z Z
R R
Z Z R R

=

+
→ = =

−


− =


Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -


Ví dụ 1: (Đề thi Đại học – 2009)
Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với
tụ điện. Dung kháng của tụ điện là 100 Ω. Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị R
1
và R
2
công suất tiêu thụ của
đoạn mạch như nhau. Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R
1

bằng hai lần điện áp hiệu dụng
giữa hai đầu tụ điện khi R = R
2
. Các giá trị R
1
và

R
2
là
A. R

1


= 50 Ω, R
2


= 100 Ω. B. R
1
= 40 Ω, R
2
= 250 Ω.
C. R
1


= 50 Ω, R
2


= 200 Ω. D. R
1
= 25 Ω, R
2
= 100 Ω.
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có P
1
= P
2

2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 C 2 1 C
2 2 2 2
1 C 2 C
U U
I R I R R R R R Z R R Z
R Z R Z
   
⇔ = ⇔ = ⇔ + = +
   
+ +

(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 C 2 1 2 C 1 2 2 1 C 2 1 1 2 C 1 2
R R R Z R R R Z R R R R Z R R R R Z R R 100
+ = + ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =
,
(1)

M
ặ
t khác, g
ọ
i U

1C
là
đ
i
ệ
n áp t
ụ

đ
i
ệ
n khi R = R
1
và U
2C
là
đ
i
ệ
n áp t
ụ

đ
i
ệ
n khi R = R
2

Khi
đ

ó theo bài ta
đượ
c
1
1C 2C 1 C 2 C
2
I
U 2U I Z 2I Z 2
I
= ⇔ = ⇒ =

Lại có
2
2 2
2 1
1 2 1 1 2 2
1 2
R I
P P I R I R 4
R I
 
= ⇔ = ⇔ = =
 
 
,
(2)

Gi
ả
i

(1)
và
(2)
ta
đượ
c R
1


= 50
Ω
, R
2


= 200
Ω
.
Vậy chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến trở R được mắc nối
tiếp. Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp xoay chiều
(
)
u 120 2cos 120
πt V.
= . Biết rằng ứng với hai giá trị
của biến trở R
1
= 18 Ω và R
2

= 32 Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau. Công suất P của
đoạn mạch có thể nhận giá trị nào ?
Hướng dẫn giải:
Theo ch
ứ
ng minh công th
ứ
c
ở
trên ta
đượ
c
2 2
1 2
U 120
P 288W.
R R 18 32
= = =
+ +

V
ậ
y P = 288 W.
Ví dụ 3:

Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch là
u 30 2cos(100
πt)V,
=
R thay đổi được. Khi mạch có R

= R
1
= 9 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ
1 .
Khi mạch có R = R
2
= 16 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ
2.
biết
+ =
1 2
π
φ φ .
2

a) Tính công suất ứng với các giá trị của R
1
và R
2

b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với R
1
, R
2

c) Tính L biết
3
10
C (F).
2π

−
=

d) Tính công suất cực đại của mạch.
Hướng dẫn giải:
a)
Theo ch
ứ
ng minh công th
ứ
c
ở
trên, khi
1 2 2 2
1 2
1 2
1 2
R R , R R
U 30
P P P 36W.
π
R R 9 16
φ φ
2
= =


→ = = = = =

+ +

+ =



b) Ta có
( )
1 2
2
L C 1 2 L C
1 2
R R , R R
Z Z R R 9.16 144 Z Z 12
Ω.
π
φ φ
2
= =


→ − = = = ⇒ − = ±

+ =




Khi R = R
1
= 9 Ω thì ta có tổng trở của mạch là
( )

2
2 2
1 L C
U
Z R Z Z 9 144 15
Ω I 2A.
Z
= + − = + = → = =

Độ lệch pha của u và i thỏa mãn
L C
u i i
1
Z Z
12 4 4 4
tan
φ φ
arctan
φ φ φ
artan
R 9 3 3 3
−
±
   
= = = ± → = ± = − → = ±
   
   
∓

Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -

Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là
4
i 2 2cos 100
πt artan A.
3
 
 
= ±
 
 
 
 
∓

 Khi R = R
1
= 16 Ω thì ta có tổng trở của mạch là
( )
2
2 2
2 L C
U
Z R Z Z 16 144 20
Ω I 1,5A.
Z
= + − = + = → = =
Độ lệch pha của u và i thỏa mãn

L C
u i i
2
Z Z
12 3 3 3
tanφ φ arctan φ φ φ artan
R 16 4 4 4
−
±
   
= = = ± → = ± = − → = ±
   
   
∓
Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là
3
i 1,5 2cos 100
πt artan A.
4
 
 
= ±
 
 
 
 
∓

c)
Khi

3
C
10
C (F) Z 20
Ω.
2
π
−
= ⇒ =

Mà

L
L C
L
8
L (H)
Z 32Ω
25π
Z Z 12Ω
Z 8Ω 2
L (H)
25π

=

=

− = ± → ←→



=


=



d)
Công suất cực đại của mạch khi R biến thiên được tính bởi
2 2
max
L C
U 30
P 37,5W.
2 Z Z 2.12
= = =
−

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch
=u U 2cos(
ωt )V ,
R thay đổi được. Khi mạch có R = R
1
= 90 Ω
thì độ lệch pha giữa u và i là φ
1 .
Khi mạch có R = R
2

= 160 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ
2.
Biết rằng
+ =
1 2
π
φ φ .
2

a) Tìm L biết C = 10
–4
/π (F) và ω = 100π rad/s.
b) Tìm ω biết
−
= =
4
3,2 10
L ( H ),C ( F ).
π 2π

Bài 2:
Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch là
=
u U 2cos(100
πt )V ,
R thay đổi được. Khi mạch có R = R
1
=
90 Ω và R = R
2

= 160 Ω thì mạch có cùng công suất P.
a)
Tính C biết L = 2/π (H).
b)
Tính U khi P = 40 W.
Bài 3:
Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là
=
u 200 2cos(100
πt )V,
L = 2/π
(H), C = 10
–4
/π (F). Tìm R để
a)
hệ số công suất của mạch là
.
3
2

b)
điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở là =
R
U 50 2V .

c)
công suất tỏa nhiệt trên R là P = 80 W.
Bài 4:
Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là
−

= =
4
10
u 240 2cos(100
πt )V ,C ( F ).
π

Khi R = R
1
= 90 Ω và R = R
2
= 160 Ω thì mạch có cùng công suất P.
a)
Tính L, công suất P của mạch.
b)
Giả sử chưa biết L, chỉ biết P
max
= 240 W và với 2 giá trị R
3
và R
4
thì mạch có cùng công suất là P = 230,4 W
Tính giá trị R
3
và R
4.
Giáo viên : Đặng Việt Hùng
Nguồn :
Hocmai.vn