Bài 24 bảng nguyên hàm cơ bản

/>
BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt 
 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Cho hàm số f ( x) xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F ( x) được
gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K nếu F ' ( x) = f ( x) với mọi x Î K .
2. Định lý
1) Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x) trên K .
2) Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( x)
trên K đều có dạng F ( x) + C , với C là một hằng số.
Do đó F ( x) + C , C Î  là họ tất cả các nguyên hàm của f ( x) trên K . Ký hiệu

òf (x) dx = F (x) + C .
3. Tính chất của nguyên hàm
 Tính chất 1: òf ( x) dx ¢ = f ( x) và ò f ' ( x) dx = f ( x) + C .

(

)

 Tính chất 2: òkf ( x) dx = kò f ( x) dx với k là hằng số khác 0 .
 Tính chất 3: òéë f ( x) ± g ( x)ùû dx =ò f ( x) dx ±òg ( x) dx .
4. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f ( x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
5. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

(

)

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp u = u ( x)

òdx = x + C

òdu = u + C

1

òxa dx = a + 1 xa

+1

+ C (a ¹ -1)

1

1

òua du = a + 1 ua

+1

1

òx dx = ln x + C

òu du = ln u + C

òe dx = e

òe du = e

x

x

+C

+ C (a ¹ -1)

u

u

+C

ax
òa dx = ln a + C (a > 0, a ¹1)

au
òa du = ln a + C (a > 0, a ¹1)

òsin xdx = - cos x + C
òcos xdx = sin x + C

òsin udu = - cos u + C
òcos udu = sin u + C

x

u

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – BÀI TẬP |      

1


/>
1

òcos

2

x

1

òsin

2

x

1

dx = tan x + C

òcos

dx = - cot x + C

òsin

2

u

2

u

1

du = tan u + C
du = - cot u + C

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Hàm số f ( x) có nguyên hàm trên K nếu:
A. f ( x) xác định trên K .

B. f ( x) có giá trị lớn nhất trên K .

C. f ( x) có giá trị nhỏ nhất trên K .

D. f ( x) liên tục trên K .

Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên

(a; b)

và C là hằng số thì

òf (x) dx = F (x) + C .
B. Mọi hàm số liên tục trên (a; b) đều có nguyên hàm trên (a; b) .
C. F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên (a; b) Û F / ( x) = f ( x) , "x Î (a; b) .
D.

/

(òf (x) dx)

= f ( x) .

Câu 3. Xét hai khẳng định sau:
(I) Mọi hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] đều có đạo hàm trên đoạn đó.
(II) Mọi hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
Trong hai khẳng định trên:
A. Chỉ có (I) đúng.
B. Chỉ có (II) đúng.
Câu 4.

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên đoạn [a; b] nếu:

A. Với mọi x Î (a; b) , ta có F / ( x) = f ( x) .
B. Với mọi x Î (a; b) , ta có f / ( x) = F ( x) .
C. Với mọi x Î [a; b] , ta có F / ( x) = f ( x) .
D. Với mọi x Î (a; b) , ta có F / ( x) = f ( x) , ngoài ra F / a + = f (a) và F / b - = f (b) .

( )

Câu 5.

( )

Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng

D , câu nào là sai?
(I) F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu "x Î D : F ' ( x) = f ( x) .
(II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D .
(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.
A. Không có câu nào sai.
B. Câu (I) sai.
C. Câu (II) sai.
D. Câu (III) sai.
BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – BÀI TẬP |      

2

/>
Câu 6.

Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng (a; b) . Giả sử G ( x)
cũng là một nguyên hàm của f ( x) trên khoảng (a; b) . Khi đó:

A. F ( x) = G ( x) trên khoảng (a; b) .
B. G ( x) = F ( x) - C trên khoảng (a; b) , với C là hằng số.
C. F ( x) = G ( x) + C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số.
D. Cả ba câu trên đều sai.
Câu 7. Xét hai câu sau:
(I) ò f ( x) + g ( x) dx =ò f ( x) dx +òg ( x) dx = F ( x) + G ( x) + C , trong đó F ( x) và G ( x)

(

)

tương ứng là nguyên hàm của f ( x) , g ( x) .
(II) Mỗi nguyên hàm của a. f ( x) là tích của a với một nguyên hàm của f ( x) .
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (I) đúng.
C. Cả hai câu đều đúng.

B. Chỉ có (II) đúng.
D. Cả hai câu đều sai.

Câu 8. Các khẳng định nào sau đây là sai?
A. ò f ( x) dx = F ( x) + C Þò f (t ) dt = F (t ) + C .

ù/

B. é
ëò f ( x) dx û = f ( x) .
C. ò f ( x) dx = F ( x) + C Þò f (u) dx = F (u) + C .
D. òkf ( x) dx = kòf ( x) dx ( k là hằng số).
Câu 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. F ( x) = x 2 là một nguyên hàm của f ( x) = 2 x .
B. F ( x) = x là một nguyên hàm của f ( x) = 2 x .
C. Nếu F ( x) và G ( x) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì F ( x) - G ( x) = C (hằng số).
D. òéë f1 ( x) + f 2 ( x)ùû dx =ò f1 ( x) dx +ò f 2 ( x) dx .
Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) thì mọi nguyên hàm của f ( x) đều có
dạng F ( x) + C ( C là hằng số).

u' x
B. ò ( ) dx = log u ( x) + C .
u ( x)

3

C. F ( x) = 1 + tan x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 + tan 2 x .
BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – BÀI TẬP |      


/>
D. F ( x) = 5 - cos x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x .
Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
1
A. ò0dx = C ( C là hằng số).
B. ò dx = ln x + C ( C là hằng số).
x

C. òxa dx =

xa +1
+ C ( C là hằng số).
a +1

D. òdx = x + C ( C là hằng số).

1
có nguyên hàm trên:
cos x
æ p pö
B. çç- ; ÷÷ .
C. (p ; 2p ) .
è 2 2ø

Câu 12. Hàm số f ( x) =
A. (0; p ) .

é p pù
D. ê- ; ú .
ëê 2 2 ûú

Câu 13. Hàm số F ( x) = 5 x 3 + 4 x 2 - 7 x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f ( x) = 15 x 2 + 8 x - 7 .
C. f ( x) =

B. f ( x) = 5 x 2 + 4 x + 7 .

5 x 2 4 x3 7 x 2

+
.
4
3
2

Câu 14. Nếu ò f ( x) dx =

D. f ( x) = 5 x 2 + 4 x - 7 .

1
+ ln x + C thì f ( x) là:
x

1
B. f ( x) = - x + + C .
x
x -1
D. f ( x) = 2 .
x

A. f ( x) = x + ln x + C .
C. f ( x) = -

1
+ ln x + C .
x2

Câu 15. Hàm số F ( x) = 3 x 4 + sin x + 3 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f ( x) = 12 x 3 + cos x + 3 x .

B. f ( x) = 12 x 3 - cos x .

C. f ( x) = 12 x 3 + cos x .

D. f ( x) = 12 x 3 - cos x + 3 x .

Câu 16. Nếu ò f ( x) dx = sin 2 x cos x thì f ( x) là:

1
(3cos 3x + cos x) .
2
1
C. f ( x) = (3cos 3x - cos x) .
2

1
(cos 3x + cos x) .
2
1
D. f ( x) = (cos 3 x - cos x) .
2

A. f ( x) =

Câu 17. Nếu ò f ( x) dx =
x4 x
A. f ( x) =
+e .
3

B. f ( x) =

x3 x
+ e + C thì f ( x) bằng:
3
2

B. f ( x) = 3 x + e .
x

x4 x
C. f ( x) =
+e .
12

4
D. f ( x) = x 2 + e x .

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – BÀI TẬP |      


/>
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x +

1
là:
x

A. F ( x) =

x2
+ ln x + C .
2

B. F ( x) = 1 -

C. F ( x) =

x2
+ ln x + C .
2

D. F ( x) =

1
+C .
x2

x2
+ ln x .
2
Sở GD–ĐT Phú Yên

Câu 19. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =

1
và F (2) = 1 thì F (3)
x -1

bằng:

A. ln 2 + 1 .

B. ln

3
.
2

C. ln 2 .

D.

1
.
2

Câu 20. Cho hàm số F ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + 1 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) thỏa
mãn f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 4 . Hàm số F ( x) là:

1
A. F ( x) = - x 2 - x + 1 .
2
1
C. F ( x) = - x 2 + x + 1 .
2

1 2
x - x +1 .

2
1
D. F ( x) = x 2 + x + 1 .
2
B. F ( x) =

Câu 21. Cho F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = e3 x thỏa mãn F (0) = 1 . Mệnh đề nào
sau đây là đúng?
1
A. F ( x) = e3 x + 1 . B. F ( x) = e3x .
3

1
2
1
4
C. F ( x) = e3 x + . D. F ( x) = - e3 x + .
3
3
3
3
Chuyên Đại học Vinh – Lần 1

Câu 22. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x 3 + 3 x + 2 là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. F ( x) =

x 4 3x 2
+
+ 2x + C .
4

2

B. F ( x) =

x4
+ 3x2 + 2 x + C .
3

C. F ( x) =

x4 x2
+ + 2x + C .
4 2

D. F ( x) = 3 x 2 + 3 x + C .

1
Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số: y = x 2 - 3 x + là:
x
1
A. F ( x) = 2 x - 3 - 2 + C .
x
C. F ( x) =

x3 3 2
- x + ln x + C .
3 2

x3 3 2
B. F ( x) = + x + ln x + C .

3 2
D. F ( x) =

x3 3 2
- x + ln x + C .
3 2

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – BÀI TẬP |      

5


/>
Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x + 1)( x + 2) .
A. F ( x) =

x3 2 2
+ x + 2x + C .
3 3

C. F ( x) = 2 x + 3 + C .

B. F ( x) =

x3 3 2
+ x + 2x + C .
3 2

D. F ( x) =

x3 2 2
- x + 2x + C .
3 3

2
2 3
+ + 2 là hàm số nào?
5 - 2x x x
3
B. F ( x) = - ln 5 - 2 x + 2 ln x + + C .
x
3
D. F ( x) = - ln 5 - 2 x + 2 ln x - + C .
x

Câu 25. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

3
+C .
x
3
C. F ( x) = - ln 5 - 2 x - 2 ln x + + C .
x
A. F ( x) = ln 5 - 2 x + 2 ln x -

Câu 26. Hàm số f ( x) = x3 - x 2 + 3 +

1
có nguyên hàm là:
x

x3
+ 3 x + ln x + C .
3
1
C. F ( x) = 3x 2 - 2 x - 2 + C .
x
A. F ( x) = x 4 -

Câu 27. Hàm số F ( x) = 3 x 2 -

1
A. f ( x) = x3 - 2 x + .
x
1
C. f ( x) = x3 - x - - x .
x

B. F ( x) =

x 4 x3
- + 3 x + ln x + C .
4 3

D. F ( x) = x 4 - x 3 + 3 x + ln x + C .

1
1
+ 2 - 1 có một nguyên hàm là:
x x

1
1
B. f ( x) = x3 x- -x.
x
2
1
D. f ( x) = x3 - 2 x - - x .
x
2

Câu 28. Biết hàm số f ( x) = (6 x + 1) có một nguyên hàm là F ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d thoả
mãn điều kiện F (-1) = 20 . Tính tổng a + b + c + d .

A. 36.

B. 44.

C. 46.

D. 54.

1
và f (0) = 1 . Tính f (5) .
1- x
C. f (5) = -2 ln 2 + 1 . D. f (5) = -2 ln 2 .

Câu 29. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ' ( x) =
A. f (5) = 2 ln 2 .

B. f (5) = ln 4 + 1 .

Chuyên Chu Văn An – Lần 2
6
Câu 30. Giả sử F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4 x - 1 . Đồ thị của hàm số F ( x)
và f ( x) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị
hàm số trên là:
BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – BÀI TẬP |      


/>
æ5 ö
B. ç
ç ;9 ÷÷ .
è2 ø

A. (0; -1) .

æ5 ö
æ5 ö
C. (0; -1) và ç
ç ;9 ÷÷ . D. çç ;8 ÷÷ .
è2 ø
è2 ø

Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x - e - x .
A. ò f ( x) dx = e x + e - x + C .

B. ò f ( x) dx = - e x + e - x + C .

C. ò f ( x) dx = e x - e - x + C .

D. ò f ( x) dx = - e x - e - x + C .

Câu 32. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x.3-2 x .

æ9 öx
1
ç ÷÷ .
+C .
A. ò f ( x) dx = ç
è 2 ø ln 2 - ln 9

æ2 öx
1
ç ÷÷ .
+C .
B. ò f ( x) dx = ç
è 9 ø ln 2 - ln 9

æ2 öx
1
C. ò f ( x) dx = ç
+C .
ç ÷÷ .
è 3 ø ln 2 - ln 9

æ2 öx
1
D. ò f ( x) dx = ç
+C .

ç ÷÷ .
è 9 ø ln 2 + ln 9

(

)

Câu 33. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x 3 + e - x là:
A. F ( x) = 3e + x + C .
x

C. F ( x) = 3e x -

1
+C .
ex

B. F ( x) = 3e x + e x ln e x + C .
D. F ( x) = 3e x - x + C .

Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 4 x - 2 .
A. ò f ( x) dx =

1 4 x-2
e
+C .
2

C. ò f ( x) dx = e 2 x -1 + C .

1 2 x -1
e
+C .
2
1
D. ò f ( x) dx = e 2 x -1 + C .
2
B. ò f ( x) dx =

Câu 35. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2 x .
A. òsin 2 xdx = cos 2 x + C .

B. òsin 2 xdx = - cos 2 x + C .

1
C. òsin 2 xdx = - cos 2 x + C .
2

D. òsin 2 xdx =

1
cos 2 x + C .
2

æ
e- x ö
Câu 36. Hàm số f ( x) = e x ççln 2 + 2 ÷÷ có họ nguyên hàm là:
sin x ø
è
1

1
A. F ( x) = e x ln 2 +
+C .
B. F ( x) = e x ln 2 +C .
2
cos x
cos 2 x

C. F ( x) = e x ln 2 - cot x + C .

D. F ( x) = e x ln 2 + cot x + C .

Câu 37. Hàm số f ( x) = 3x - 2 x.3x có nguyên hàm bằng:
BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – BÀI TẬP |      

7


/>
A.

3x
6x
+C .
ln 3 ln 6

(

)

B. 3x ln 3 1 + 2 x ln 2 + C .

3x 3x.2 x
C.
+
+C .
ln 3 ln 6

3x
6x
D.
+
+C .
ln 3 ln 3.ln 2

Câu 38. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 4 x.22 x +3 .
A. F ( x) =

24 x +1
.
ln 2

B. F ( x) = 24 x +3.ln 2 .

C. F ( x) =

2 4 x +3
.
ln 2

D. F ( x) = 24 x +1.ln 2 .
Chuyên Thái Bình – Lần 3

(

Câu 39. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = e - x + e x

2

)

thỏa mãn điều kiện

F (0) = 1 là:

1
1
A. F ( x) = - e -2 x + e 2 x + 2 x - 1 .
2
2
1
1
C. F ( x) = - e -2 x + e 2 x + 2 x + 1 .
2
2

B. F ( x) = -2e -2 x + 2e 2 x + 2 x + 1 .

1
1

D. F ( x) = - e -2 x + e 2 x + 2 x .
2
2

Câu 40. Hàm số F ( x) = 7e x - tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f ( x) = 7e x +

1
.
cos 2 x

æ
e - x ö÷
C. f ( x) = e x çç7 2
÷.
è cos x ø

B. f ( x) = 7e x + tan 2 x - 1 .

æ x
1 ö
÷÷ .
D. f ( x) = 7 ç
çe cos 2 x ø
è

Câu 41. Tính òsin x (2 + cos x) dx bằng:

1
A. -2 cos x - cos 2 x + C .

4
1
C. 2 cos x + cos 2 x + C .
4

1
B. 2 cos x - cos 2 x + C .
4
1
D. 2 cos x + cos 2 x + C .
2

æ
1 ö
÷÷ dx bằng:
Câu 42. Tính òç
çsin x +
cos 2 x ø
è
A. - cos x + tan x + C . B. cos x + tan x + C .

C. cos x - tan x + C .

D. - cos x -

1
+C .
cos x

Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 3 x là hàm số nào?

1
A. òcos 3xdx = sin 3x + C .
3

B. òcos 3xdx = sin 3 x + C .

C. òcos 3 xdx = 3sin 3 x + C .

1
D. òcos 3xdx = - sin 3x + C .
3
BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – BÀI TẬP |      

8


/>
Chuyên Chu Văn An – Lần 2
Câu 44. Cho hàm số f ( x) = 3 x + sin x + 2 cos x . Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x)
thỏa mãn F (0) = 1 .

A. x 2 + cos x + 2sin x - 2 .

B. x 2 + cos x + 2sin x .

C. x 2 - cos x + 2sin x .

D. x 2 - cos x + 2sin x + 2 .

1
. Nếu F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) và đồ
sin 2 x
æp ö
thị y = F ( x) đi qua điểm M ç
ç ;0 ÷÷ thì F ( x) là:
è6 ø

Câu 45. Cho hàm số y = f ( x) =

A. F ( x) =

3
- cot x .
3

B. F ( x) = -

C. F ( x) = - 3 + cot x. .

3
+ cot x. .
3

D. F ( x) = 3 - cot x. .

3
thỏa mãn đồ thị của
5
hai hàm số F ( x) và f ( x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung là:

Câu 46. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2sin 5 x + x +

A. F ( x) =

2
2
3
cos 5 x + x x + x + 1 .
5
3
5

2
2
3
C. F ( x) = - cos 5 x + x x + x + 1 .
5
3
5

B. F ( x) = 10 cos 5 x +

1

3
+ x +1 .
2 x 5

2

2
3
D. F ( x) = - cos 5 x + x x + x .
5
3
5

x2
+ C1 ,òg ( x) dx = x 2 + C2 ( C1 , C2 là hằng số). Tìm họ nguyên
2
hàm của hàm số h ( x) = f ( x) + g ( x) .

Câu 47. Biết ò f ( x) dx =

A.

3x 2
.
2

B. 3 x + C .

C.

x3
+C .
2

D.

3x 2
+C .
2
Sở GD–ĐT Phú Yên

Câu 48. Giá trị m để hàm số F ( x) = mx3 + (3m + 2) x 2 - 4 x + 3 là một nguyên hàm của hàm
số f ( x) = 3 x 2 + 10 x - 4 là:

A. m = 0 .

B. m = 1 .

C. m = 2 .

D. m = 3 .

Câu 49. Tìm số thực m để hàm số F ( x) = mx 3 + (3m + 2) x 2 - 4 x + 3 là một nguyên hàm của
hàm số f ( x) = 3 x 2 + 10 x - 4 .

A. m = -1 .

B. m = 0 .

C. m = 1 .

D. m = 2 .

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – BÀI TẬP |      

9

/>
Câu 50. Cho f ( x) =

3
A. - .
4

 

 

p

+ sin 2 x . Tìm m để nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn

æp ö p
F (0) = 1 và F ç
ç ÷÷ = .
è4ø 8
3
B. .
4

C. ĐÁP ÁN
1  2  3 
D  C 

4m

4 

5 

6 

B  D  A  B 
 

 

 

 

7 

8 

C  C 
 

 

4
C. - .
3

4

.
3

D.

9  10 11 12 13 14 15  16  17  18  19 20
B 

B 

C 

 

 

 

B  A  D  C  A  D  C  A  D 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

21  22  23  24  25  26  27  28 29 30 31 32 33 34 35  36  37  38  39 40
C  A  C 
 

 

 

B  D  B  D  C  C  C  A  B  A  D  C  C  A  A  C  C 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41  42  43  44  45  46  47  48 49 50
A  A  A  D  D  C  D  B 

C  A 

10

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – BÀI TẬP |