Phương Pháp Sử Dụng Hàm Sinh Tìm Công Thức Tổng Quát Của Dãy Số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - TIN HỌC

Nguyễn Khánh Linh 1411147
Hoàng Thanh Hải 1311083
Võ Phong Phú 1411232
Hạp Tiến Cây 1511025
Trần Ngọc Duy Khánh 1511135

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SINH
TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

MÔN ĐẠI SỐ SƠ CẤP
Ngành: Sư Phạm Toán

Người hướng dẫn:

TPHCM - 2018


Mục lục
I

Cơ sở lý thuyết hàm sinh

2

1

Định Nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2

Một số đẳng thức thường dùng trong hàm sinh

2

. . . . . . . . . . . .

II Sơ lược về phương pháp hàm sinh để tìm công thức tổng quát của
dãy số
III Ứng dụng hàm sinh vào các bài toán xác định công thức tổng quát

2
3

1

Ví Dụ 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2

Ví Dụ 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3

Ví Dụ 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

4

Ví Dụ 4: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

5

Ví Dụ 5: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

6

Ví Dụ 6: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

7

Ví Dụ 7: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

8

Ví Dụ 8: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

9

Ví dụ 9: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

IV Một Số Bài Toán Tự Luyện:

11


Ứng dụng của hàm sinh

Đại Số Sơ Cấp

I

Cơ sở lý thuyết hàm sinh

1

Định Nghĩa
Hàm sinh của dãy số vô hạn a0 , a1 , a2 , ..., an , ... là một chuỗi hình thức được xác

định bởi G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn + ...

2

Một số đẳng thức thường dùng trong hàm sinh
•

1
= 1 + x + x2 + x3 + ...
1−x

•

1
= 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ...
(1 − x)2

•

II

n(n + 1) 2 n(n + 1)(n + 2) 3
1
= 1 + nx +
x +
x + ... =
n
(1 − x)
2!
3!

∞
i
i
i=0 Ci+n−1 x với n ∈ N

•

1
= 1 − x + x2 − x3 + ...
1+x

•

1
= 1 + 2ax + 3a2 x2 + 4a3 x3 + ...
(1 − ax)2

•

1
= 1 + xr + x2r + x3r + ...
1 − xr

•

1
= 1 − xr + x2r − x3r + ...
1 + xr

Sơ lược về phương pháp hàm sinh để tìm công

thức tổng quát của dãy số
Tư tưởng sử dụng hàm sinh để tìm công thức tổng quát của dãy số có thể tóm

tắt như sau:
Để tìm công thức tổng quát của dãy số (an ) ta xét hàm sinh G(x) của dãy số (an ). khi
đó do tính chất của dãy (an ) nên G(x) phải thỏa mãn một số hệ thức nhất định.Giải
các hệ thức đó ta được G(x) = f (x) trong đó f (x) là một hàm số chứa các biểu thức
số học (cộng,trừ,nhân,chia,lũy thừa...) ta tìm khai triển f (x) thành chuỗi và so sánh
hệ số của xn ta tìm được (an ). Qua các ví dụ ở phần tiếp theo sẽ giúp ta hiểu rõ hơn
về phương pháp này.
Trang 2


Ứng dụng của hàm sinh

III

Đại Số Sơ Cấp

Ứng dụng hàm sinh vào các bài toán xác định
công thức tổng quát của dãy số điển hình

Thông thường các bạn biết đến phương pháp chứng minh quy nạp hoặc phương
pháp sai phân để tìm công thức tổng quát của dãy số. Nay chúng ta cùng tìm hiểu
một phương pháp nữa cũng khá hay để tìm công thức tổng quát của dãy số dựa trên
cơ sở hàm sinh.

1

Ví Dụ 1:

Tìm công thức tổng quát của dãy Fibonaci (Fn ) với :

 F =F =1
1
2
n≥3
 F =F
+F
n

n−1

n−2

Giải
Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (Fn ), và giả sử F0 = 0 chúng ta có:

G(x) = F0 + F1 x + F2 x2 + F3 x3 + ...

(1)

−xG(x) = −F0 x − F1 x2 − F2 x3 − F3 x4 − ...

(2)

−x2 G(x) = −F0 x2 − F1 x3 − F2 x4 − ...

(3)

Từ (1),(2) và(3) ta có:

(1 − x − x2 )G(x) = F0 + (F1 − F0 )x + (F2 − F1 − F0 )x2 + ... = x
x
⇔ G(x) =
1 − x − x2
x
A
B
Phân tích G(x) =
=
+
2
1 − x −√x
1 − αx 1 − βx
√
1+ 5
1− 5
Với α =
;β =
là 2 nghiệm của phương trình 1 − x − x2 = 0
2
2
1
1
Quy đồng và đồng nhất hệ số chúng ta được A = √ , B = − √ .
5
5
1
1
1

x
Vậy G(x) =
=√
−
1 − x − x2
5 1 − αx 1 − βx
Trang 3


Ứng dụng của hàm sinh
√

Đại Số Sơ Cấp

∞
∞
∞
1
1
(αn − β n )xn
(βx)n =
−
=
(αx)n −
1 − αx 1 − βx
k=0
k=0
k=0
∞ αn − β n
√

Vậy G(x) =
xn
5
k=0
√ n
√ n
1+ 5
1
αn − β n
1− 5
=√
Hệ số trong khai triển là : Fn = √
−
2
2
5
5
√ n
√
1
1+ 5
1− 5
Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng : Fn = √
−
2
2
5

⇔

5G(x) =

Nhận xét:Vậy với cách sử dụng hàm sinh chúng ta cũng đã tìm ra công thức tổng
quát của dãy số Fibonacci nổi tiếng.Bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu thêm một vài ví
dụ tương tự như dãy trên để thấy rõ tính hiểu quả của phương pháp hàm sinh.

2

Ví Dụ 2:
Tìm công thức tổng quát của dãy số (an ) với:

 a = 1; a = 2
0
1
n ≥ 0(∗)
 a
n+2 = 5an+1 − 4an

Giải:
Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (an ), chúng ta có:
G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ...

(4)

−5xG(x) = −5a0 − 5a1 x − 5a2 x2 − ...

(5)

4x2 G(x) = 4a0 x2 + 4a1 x3 + ...

(6)

cộng 3 đẳng thức trên và kết hợp (∗) ta có:
G(x) − 5xG(x) + 4x2 G(x) = a0 + (a1 − 5a0 )x + (a2 − 5a1 + 4a0 )x2 + ... = 1 + 3x
⇔ (1 − 5x + 4x2 )G(x) = 1 − 3x
Do đó G(x) =

1 − 3x
2
=
2
1 − 5x + 4x
3

1
1−x

+

1
3

1
1 − 4x

2
1
= (1 + x + x2 + ...) + 1 + (4x) + (4x)2 + ...
3
3

2 1 n
2 1
+ 4 nên an = + 4n , n ≥ 0.
3 3
3 3
2 1 n
Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng: an = + 4 , n ≥ 0.
3 3
Nhận Xét:Như vậy hàm sinh đã giải quyết tốt bài toán xác định công thức tổng
Do đó hệ số của xn trong khai triển của G(x) là

Trang 4

n


Ứng dụng của hàm sinh

Đại Số Sơ Cấp


 a = a; a = b
0
1
quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi :
n ≥ 0 Bài toán
 a
=
pa
+

qa
n+2
n+1
n
ở ví dụ 1 và ví dụ 2 chúng ta thấy hàm G(x) là tam thức bậc 2, chẳng hạn ở ví dụ 2
chúng ta có mẫu số của hàm sinh là f (x) = 1 − 5x + 4x2 có 2 nghiệm phân biệt . Vậy
trong trường hợp mẫu số của G(x) là phương trình bậc 2 có nghiệm kép thì chúng ta
làm như thế nào ? ví dụ sau đây sẽ giúp chúng ta xử lý tình huống đó.

3

Ví Dụ 3:
Tìm công thức tổng quát của dãy (an ) với:

 a =a =1
0
1
n≥0
 a
n+2 = 4an+1 − 4an

Giải:
Đặt G(x) là hàm sinh của dãy (an ), chúng ta có:
G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ...

(7)

−4xG(x) = −4a0 x − 4a1 x2 − 4a2 x3 − ...

(8)

4x2 G(x) = 4a0 x2 + 4a1 x3 + ...

(9)

Cộng 3 đẳng thức trên ta có:
G(x) − 4xG(x) + 4x2 G(x) = a0 + (a1 − 4a0 )x = 1 − 3x ⇔ (1 − 4x + 4x2 )G(x) = 1 − 3x
1 − 3x
1 − 3x
1
x
Do đó G(x) =
=
=
−
2
2
1 − 4x + 4x
(1 − 2x)
1 − 2x (1 − 2x)2
∞

∞
n

(2x) − x

=
n=1

∞
n−1

(2x)
n=1

(2n − n2n−1 )xn

=
n=1

Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng an = 2n − n2n−1 , n ≥ 0
Nhận Xét : Trong ví dụ 2 và ví dụ 3, mẫu số hàm sinh G(x) đều có nghiệm thực
Câu hỏi đặt ra nếu mẫu số của G(x) vô nghiệm thì chúng ta sẽ giải quyết như thế
nào?.Dựa vào ý tưởng số phức của phương pháp sai phân tìm công thức tổng quát
của dãy số thật thú vị là vẫn với ý tưởng số phức , chúng ta áp dụng vào hàm sinh
và thấy rằng hàm sinh cũng giải quyết tốt. Ví dụ sau thông qua cách giải toán sẽ nói
lên ý tưởng làm bài.

Trang 5


Ứng dụng của hàm sinh

4

Đại Số Sơ Cấp

Ví Dụ 4:
Tìm công thức tổng quát của dãy số (an ) với :


 a = 1; a = 1
0
1
2
n≥0
 a
n+2 = an+1 − an

Giải:
Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (an ) chúng ta có:

G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ...

(10)

−xG(x) = −a0 x − a1 x2 − a2 x3 − ...

(11)

x2 G(x) = a0 x2 + a1 x3 ...

(12)

Cộng 3 đẳng thức trên ta có:
1
G(x) − xG(x) + x2 G(x) = a0 + (a1 − a0 )x + (a2 − a1 − a0 )x2 + ... = 1 − x
2
1
2−x

2
⇔ (1 − x + x )G(x) = 1 − x =
2
2
2−x
A
2−x
B
√
√
Do đó G(x) =
=
=
+
√
√
2
2(1 − x + x )
1 − 1−i 3 x 1 − 1−i 3 x
2 1 − 1−i 3 x 1 − 1+i 3 x
2

2

2

2

1
Đem quy đồng và đồng nhất hệ số ta được A = B =

2
Vậy ta có:
√
1 ∞  1−i 3
=
2 k=0
2


G(x) =

1
2

1
1−

√

1−i 3
x
2

+

1

1−

√

1−i 3
x
2

k

+

√
1+i 3
2

k


 xk

k

−π
−π
π
π k k
1 ∞
cos(
) + i sin(
) + cos( ) + i sin( )
x
=
2 k=0

3
3
3
3
1 ∞
−kπ
−kπ
kπ
kπ
=
cos(
) + i sin(
) + cos(
+ i sin( ) xk
2 k=0
3
3
3
3
∞
1 ∞
kπ k
kπ k
=
2 cos
x =
cos
x
2 k=0
3

3
k=0
nπ
Vậy hệ số an của hàm sinh G(x) là : an = cos( )
3
Bây giờ ta đi xét trường hợp bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số mà
vế phải còn có thêm hàm f (n). trước tiên ta xét dãy số có dạng:

 a = a; a = b
0
1
n ≥ 0 ví dụ 5 và 6 sau đây sẽ minh họa cho cách làm sử
 a
= pa n + 1 + qa
n+2

n

n

Trang 6


Ứng dụng của hàm sinh

Đại Số Sơ Cấp

dụng hàm sinh để tìm công thức tổng quát của dãy số có dạng đã cho:

5

Ví Dụ 5:
Tìm công thức tổng quát của dãy số (an )với :

 a = 0; a = 1
0
1
n ≥ 2(∗)
 a + 5a
n
n−1 + 6an−2 = 3n

Giải
Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (an ) chúng ta có:
G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ...

(13)

5xG(x) = 5a0 x + 5a1 x2 + 5a2 x3 + 5a3 x4 ...

(14)

6x2 G(x) = 6a0 x2 + 6a1 x3 + 6a2 x4 + 6a3 x5 + ...

(15)

Cộng các đẳng thức trên ta có:
(1 + 5x + 6x2 )G(x) = a0 + (a1 + 5a0 )x + (a2 + 5a1 + 6a0 )x2 + (a3 + 5a2 + 6a1 )x3 + ...
= x + 3(2x2 + 3x3 + 4x4 + ...)
= x + 3x(2x + 3x2 + 4x3 + ...)

= −2x + 3x(1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ...)
3x
−2x3 + 4x2 + x
= −2x +
=
(1 − x)2
(1 − x)2
−2x3 + 4x2 + x
−2x3 + 4x2 + x
=
(1 + 5x + 6x2 )(1 − x)2
(3x + 1)(2x + 1)(1 − x)2
3
2
−2x + 4x + x
A
B
C
D
Phân tích G(x) =
=
+
+
+
(3x + 1)(2x + 1)(1 − x)2
3x + 1 2x + 1 1 − x (1 − x)2
5
−2
5
1

Đồng nhất hệ số chúng ta tìm được : A = ; B =
;C = ;D =
16
3
48
4
−2x3 + 4x2 + x
5
1
2
1
5
1
1
1
Vậy G(x) =
= .
− .
+ .
+ .
2
(3x + 1)(2x + 1)(1 − x)
16 1 + 3x 3 1 + 2x 48 1 − x 4 (1 − x)2
5 ∞
2 ∞
5 ∞ i 1 ∞
=
(−1)i (3x)i −
(−1)i (2x)i +
x +

(i + 1)xi
16 i=0
3 i=0
48 i=0
4 i=0

Vậy G(x) =

Hệ số của xn trong khai triển của G(x) là:
5
2
5
1
5
2
n 17
(−1)n 3n − (−1)n 2n +
+ (n + 1) = (−1)n 3n − (−1)n 2n + +
16
3
48 4
16
3
4 48
5
2
n
17
Vậy : an = (−1)n 3n − (−1)n 2n + + , n ≥ 0
16

3
4 48
=

Trang 7


Ứng dụng của hàm sinh

6

Đại Số Sơ Cấp

Ví Dụ 6:
Tìm công thức tổng quát của dãy số (an )với :

 a = 0; a = 1
0
1
n ≥ 2(∗)
 a = 5a
n
n
n−1 − 6an−2 + 5

Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (an ) chúng ta có:
G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ...

(16)

−5xG(x) = −5a0 x − 5a1 x2 − 5a2 x3 − 5a3 x4 − ...

(17)

6x2 G(x) = 6a0 x2 + 6a1 x3 + 6a2 x4 + 6a3 x5 + ...

(18)

Cộng các đẳng thức trên ta có:

(1 − 5x + 6x2 )G(x) = x +

∞

(ai − 5ai−1 + 6ai−2 )xi = x +

i=2

∞

5i xi

i=2

= x + 52 x2 + 53 x3 + 54 x4 + ...
= x + (5x)2 [1 + (5x) + (5x)2 + ...]
(5x)2
25x2 + x − 5x2
20x2 + x
=

=
=x+
1 − 5x
1 − 5x
1 − 5x
20x2 + x
20x2 + x
=
(1 − 5x)(1 − 5x + 6x2 )
(1 − 5x)(1 − 2x)(1 − 3x)
A
B
C
20x2 + x
=
+
+
Ta có : G(x) =
(1 − 5x)(1 − 2x)(1 − 3x)
1 − 5x 1 − 2x 1 − 3x
Đồng nhất hệ số chúng ta được:
Do đó G(x) =

G(x) =

25
1
22
1
23

1
.
+ .
− .
6 1 − 5x
3 1 − 2x
2 1 − 3x

G(x) =

22 ∞
23 ∞
25 ∞
(5x)i +
(2x)i −
(3x)i
6 i=0
3 i=0
2 i=0

25 n 22 n 23 n
Hệ số của xn trong khai triển của G(x) là:
5 + 2 − 3 nên
6
3
2
25 n 22 n 23 n
an = 5 + 2 − 3 , n ≥ 0.
6
3

2
Nhận Xét:Thông qua các ví dụ trên chúng ta thấy hàm sinh là một công cụ hữu
hiệu giải quyết các bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số có dạng :

 a = a; a = b
0
1
n≥0
 a
n+2 = pan+1 + qan + f (n)
Trang 8


Ứng dụng của hàm sinh

Đại Số Sơ Cấp

Câu hỏi đặt ra đối với dãy số có công thức truy hồi tổng quát phức tạp hơn thì chúng
ta làm như thế nào ? 2 ví dụ sau đây sẽ minh họa cách sử dụng hàm sinh cho các
trường hợp như thế.

7

Ví Dụ 7:
Tìm công thức tổng quát của dãy số (an )với :

 a = 2; a = 4; a = 31
0
1
2

n ≥ 2(∗)
 a
n+1 = 4an + 3an−1 − 18an−2

Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (an ) chúng ta có:
G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ...

(19)

−4xG(x) = −4a0 x − 4a1 x2 − 4a2 x3 − 4a3 x4 − ...

(20)

−3x2 G(x) = −3a0 x2 − 3a1 x3 − 3a2 x4 − 3a3 x5 − ...

(21)

18x3 G(x) = 18a0 x3 + 18a1 x4 + 18a2 x5 + 18a3 x6 + ...

(22)

Cộng các đẳng thức trên ta có:
(1 − 4x − 3x2 + 18x3 )G(x) = 2 − 4x + 9x2
Do đó G(x) =

2 − 4x + 9x2
2 − 4x + 9x2
=
1 − 4x − 3x2 + 18x3
(1 + 2x)(1 − 3x)2

1
1
+
=
=
1 + 2x (1 − 3x)2

∞

∞
i

(i + 1)(3x)i

(−2x) +
i=0

i=0

Hệ số của xn trong khai triển G(x) là: (−2)n + (n + 1)3n
Vậy an = (−2)n + (n + 1)3n , n ≥ 0

8

Ví Dụ 8:
Tìm công thức tổng quát của dãy số an với:

 a = 2; a = −8; a = 4; a = −42
0
1

2
3
n ≥ 4(∗)
 a = −a
n
n−1 + 3an−2 + 5an−3 + 2an−4
Trang 9


Ứng dụng của hàm sinh

Đại Số Sơ Cấp

Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (an ) chúng ta có:
G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ...

(23)

xG(x) = a0 x + a1 x2 + a2 x3 + a3 x4 − ...

(24)

−3x2 G(x) = −3a0 x2 − 3a1 x3 − 3a2 x4 − 3a3 x5 − ...

(25)

−5x3 G(x) = −5a0 x3 − 5a1 x4 − 5a2 x5 − 5a3 x6 − ...

(26)

−2x4 G(x) = −2a0 x4 − 2a1 x5 − 2a2 x6 − 2a3 x67 − ...

(27)

Cộng các đẳng thức trên ta có:
(1 + x − 3x2 − 5x3 − 2x4 )G(x) = −8x − 4x2 − 14x3
−8x − 4x2 − 14x3
8x + 4x2 + 14x3
⇔ G(x) =
=
1 + x − 3x2 − 5x3 − 2x4
(x + 1)3 (2x − 1)
8x + 4x2 + 14x3
A
B
C
D
=
+
+
+
3
2
3
(x + 1) (2x − 1)
x + 1 (x + 1)
(x + 1)
2x − 1
Quy đồng và đồng nhất thức hệ số ta được:A = 6; B = −10; C = 6; D = 2
10

6
2
6
−
+
+
Vậy G(x) =
2
3
x + 1 (x + 1)
(x + 1)
2x − 1
Phân tích G(x) =

k

k k

(−1) x − 10

G(x) = 6
k=0

∞

∞

∞

∞

k

k

(−1)

(−1) (k + 1)x + 6

k
Ck+2
xk

k=0

k=0

(2x)k

−2
k=0

Hệ số của xn trong khai triển G(x) là:
an = 6(−1)n − 10(−1)n (n + 1) + 6(−1)n

n2 + 3n + 2
− 2n+1
2

= (3n2 − n + 2)(1−)n − 2n+1 , n ≥ 0

Một câu hỏi đặt ra vậy xây dựng công thức truy hồi và tìm công thức tổng quát để
làm gì? thì ví dụ tiếp theo sẽ cho ta biết ứng dụng của nó trong thực tế và chính vì
vậy mà các phương pháp tìm công thức tổng quát ra đời, trong đó hàm sinh là một
phương pháp hiệu quả để giải quyết.

9

Ví dụ 9:
Một người gửi 1000 đô la vào trong một tài khoản tiết kiệm với lãi suất là 5%

một năm. Bắt đầu mỗi năm người đó lại chuyển vào tài khoản đó 500 đô la nữa. Hỏi
Trang 10


Ứng dụng của hàm sinh

Đại Số Sơ Cấp

số tiền trong tài khoản tiết kiệm của người đó sau n năm là bao nhiêu?
Giải
Gọi an là số dư trong tài khoản tiết kiệm sau n năm. Ta thấy a0 = 1000, an+1 =
1.05an + 500.Gọi G(x) =

n≥0

an xn là hàm sinh của dãy {an }n≥0 .

G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ...

(28)

−1.05xG(x) = −1.05(a0 x + a1 x2 + a2 x3 + a3 x4 + ...)

(29)

cộng các đẳng thức trên ta có:
500x
1−x
500x
1000
+
⇔ G(x) =
1 − 1.05x (1 − x)(1 − 1.05x)
(1 − 1.05x)G(x) = 1000 +

1000
A
B
+
+
1 − 1.05x 1 − 1.05x 1 − x
Quy đồng và đồng nhất thức hệ số ta được: A = 10000, B = −10000
1000
10000
10000
Vậy G(x) =
+
−
1 − 1.05x 1 − 1.05x

1−x

Phân tích G(x) =

∞

∞

xk

k

(1.05x) − 10000

G(x) = 11000
k=1

k=1

Hệ số của xn trong khai triển G(x) là:
an = 11000 · 1.05xn − 10000
thử lại ta được kết quả đúng.

IV

Một Số Bài Toán Tự Luyện:

Bài 1:



 a = 0; a = 1
0
1
Tìm công thức tổng quát (an ) với :
n≥2
 a − 4a
n
n−2 = 0
Bài 2:


 a = 2; a = 6
0
1
Tìm công thức tổng quát (an ) với :
n≥2
 a − 7a
n
n
n−1 + 10an−2 = 2
Bài 3:

Hết


Ứng dụng của hàm sinh

Đại Số Sơ Cấp



 a = 3; a = 1
0
1
Tìm công thức tổng quát (an ) với :
n≥2
 a − 2a
−
3a
=
0
n
n−1
n−2
Bài 4:


 a = 3; a = 1; a = 2
0
1
2
Tìm công thức tổng quát (an ) với :
n≥3
 2a = a
+
2a
−
a
n
n−1
n−2

n−3
Bài 5:


 a =a =1
0
1
Tìm công thức tổng quát (an ) với :
n≥2
 a = 3a
−
2a
+
2
n
n−1
n−2
Bài 6:


 a = −4; a = −5
0
1
Tìm công thức tổng quát (an ) với :
n≥2
 a −a
−
2a
=
4n

n
n−1
n−2

Hết