Quá trình khuếch tán dạng affine và ứng dụng trong một số mô hình lãi suất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ NGỌC LINH

QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN DẠNG AFFINE
VÀ ỨNG DỤNG TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH LÃI SUẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ NGỌC LINH

QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN DẠNG AFFINE
VÀ ỨNG DỤNG TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH LÃI SUẤT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGÔ HOÀNG LONG

Hà Nội – 2018


i

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. NGÔ HOÀNG LONG, giảng viên
khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội đã trực tiếp giao đề tài và hướng dẫn em tận
tình, cho em những kiến thức và kinh nghiệm quý báu, tạo điều kiện thuận lợi cho
em trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình
học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực
hiện khóa luận tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 20 tháng 12 năm 2017
Học viên

Nguyễn Thị Ngọc Linh


ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung

thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự
giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Học viên

Nguyễn Thị Ngọc Linh


iii

Mục lục
Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1

1.2

1.3

Lý thuyết xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Kì vọng của bnn có phân phối liên tục tuyệt đối . . . . . . . .

5

1.1.4

Phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Lọc và quá trình ngẫu nhiên tương thích . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1

Định nghĩa martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.2

Một số bất đẳng thức cho dãy martingale . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5

Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1

Tich phân ngẫu nhiên trên không gian M2 ([a, b]) . . . . . . . 10

1.5.2

Tích phân ngẫu nhiên trên không gian L2 ([a, b]) . . . . . . . . 12

1.6

Công thức vi phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7

Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

iv

1.7.2

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Quá trình khuếch tán dạng affine

16

2.1

Quá trình Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2

Quá trình Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1

Định nghĩa và sự tồn tại

2.2.2

Đặc trưng và hàm mật độ xác suất . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Mối liên hệ giữa quá trình Ornstein-Uhlenbeck và Cox-IngersollRoss Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.4

Điều kiện Feller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3

Định nghĩa và đặc trưng của quá trình khuếch tán dạng affine . . . . 39

2.4

Mô phỏng quá trình khuếch tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.1

Phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4.2

Mô phỏng quá trình CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Một số mô hình lãi suất ngắn hạn

47

3.1

Tổng quan về lãi suất ngắn hạn trong tài chính . . . . . . . . . . . . 47

3.2

Mô hình Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3

Mô hình Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân ngẫu nhiên được sử dụng để mô tả các đại lượng biến thiên
ngẫu nhiên theo thời gian trong rất nhiều lĩnh vực toán học ứng dụng như tài chính,
sinh vật, vật lý... Các quá trình khuếch tán dạng affine là một trong những lớp
phương trình vi phân ngẫu nhiên được quan tâm sử dụng nhiều trong thực tế vì
phân phối của nó tại mỗi thời điểm có thể được xác định là một hàm tương đối
đơn giản của các tham số trong mô hình. Các quá trình affine tiêu biểu là quá trình
Ornstein-Uhlenbeck và quá trình Cox-Ingersoll-Ross.
Với mong muốn tìm hiểu sâu thêm về cơ sở lý thuyết của các quá trình dạng
affine và ứng dụng của chúng trong tài chính, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “QUÁ
TRÌNH KHUẾCH TÁN DẠNG AFFINE VÀ ỨNG DỤNG TRONG
MỘT SỐ MÔ HÌNH LÃI SUẤT” cho luận văn thạc sĩ của mình. .
Tài liệu tham khảo chính của luận văn là các sách chuyên khảo [2] của Aurélien
Alfonsi và [3] của Stefano Iacus.
2. Mục đích nghiên cứu
• Xác định các đặc trưng của quá trình khuếch tán dạng affine một chiều, phương
pháp ước lượng tham số và mô phỏng trên máy tính.
• Ưng dụng của quá trình khuếch tán dạng affine trong việc mô hình hoá lãi
suất ngắn hạn của ngân hàng.

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu tính chất của quá trình khuếch tán dạng affine
• Phương pháp ước lượng các tham số của mô hình
• Mô hình lãi suất ngắn hạn bởi các quá trình Ornstein-Uhlenbeck và CoxIngersoll-Ross
• Mô phỏng các mô hình trên máy tính.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Quá trình khuếch tán dạng affine
• Ứng dụng trong tài chính
5. Đóng góp mới
Luận văn đưa ra một cách tiếp cận mang tính hệ thống để nghiên cứu các tính chất
của quá trình affine một chiều. Luận văn cũng trình bày phương pháp mô phỏng
các quá trình affine trên máy tính.
6. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu lý thuyết.
• Nghiên cứu thực nghiệm mô phỏng trên máy tính.


3

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Lý thuyết xác suất

1.1.1

Không gian xác suất

Giả sử Ω là một tập khác rỗng nào đó, ta kí hiệu 2Ω là tập tất cả các tập con của
Ω bao gồm cả tập rỗng ∅ và Ω. Giả sử A là một tập con của 2Ω .
Định nghĩa 1.1. A được gọi là một đại số nếu
1. ∅ ∈ A và Ω ∈ A;
2. Nếu A ∈ A thì Ac = Ω\A ∈ A;
3. A đóng đối với phép giao và phép hợp hữu hạn: tức là, với mọi A1 , . . . , An ∈ A,
ta có ∪ni=1 Ai và ∩ni=1 Ai đều thuộc A.
F được gọi là một σ-đại số nếu nó là đại số và thỏa mãn điều kiện
4. F đóng đối với phép giao và phép hợp đếm được: tức là, với mọi dãy Ai , i =
1, 2, . . . các phần tử của F, ta có ∪i 1 Ai và ∩i 1 Ai đều thuộc F.
Dễ thấy mọi σ-đại số đều là đại số. Ngược lại nói chung không đúng.
Định nghĩa 1.2. Giả sử C ⊂ 2Ω , σ-đại số sinh bởi C, kí hiệu là σ(C) là σ-đại số bé
nhất chứa C.
σ(C) luôn tồn tại vì 2Ω là một σ-đại số và giao của một họ bất kì các σ-đại số
cũng là một σ-đại số.


4

Ví dụ 1.1.1.

1. F = {∅, Ω}: σ-đại số tầm thường.

2. Nếu A là một tập con của Ω thì σ(A) = {∅, A, Ac , Ω}.
3. Nếu Ω = Rd thì σ-đại số sinh bởi tất cả các tập mở trên Ω được gọi là σ-đại
số Borel, kí hiệu là B(Rd ).
Định nghĩa 1.3. Nếu F là một σ-đại số trên Ω thì (Ω, F) được gọi là không gian

đo.
Định nghĩa 1.4. Giả sử (Ω, F) là một không gian đo. Ánh xạ P : A → [0, 1] được
gọi là một độ đo xác suất nếu
1. P(Ω) = 1;
2. Với mọi dãy gồm đếm được các tập con (Ai ) của A và đôi một không giao nhau
(tức là Am ∩ An = ∅) ta có
∞

∞

Ai

P
i=1

=

P(Ai )
i=1

Khi đó ta gọi (Ω, F, P) là một không gian xác suất, tập Ω là không gian mẫu. Mỗi
phần tử ω ∈ Ω gọi là một biến cố sơ cấp. Mỗi phần tử A ∈ A gọi là một biến cố và
giá trị của P(A) được gọi là xác suất của biến cố A. Nếu hai biến cố A và B thỏa
mãn B ⊂ A thì B được gọi là thuận lợi cho A. Hai biến cố A và B được gọi là xụng
khắc nếu A ∩ B = ∅ và được gọi là đối lập nếu A = Ω\B.
Mệnh đề 1.1. Nếu P là độ đo xác suất trên (Ω, F) thì
1. P(∅) = 0;
2. P là hữu hạn cộng tính;
3. P(Ac ) = 1 − P(A) với mọi A ∈ F;
4. Nếu A, B ∈ F và A ⊂ B thì P(A)

P(B).


5

1.1.2

Biến ngẫu nhiên

Giả sử (Ω, F) là không gian đo đã cho và B(R) là σ-đại số Borel trên R.
Định nghĩa 1.5. Hàm thực X : Ω → R được gọi là F-đo được hay biến ngẫu nhiên
(bnn) nếu
X − 1(B) := {ω : X(ω) ∈ B} ∈ F

∀B ∈ B(R)

Định nghĩa 1.6. Giả sử X là bnn nhận giá trị trên R. Hàm số
FX (x) = P[X < x],

x∈R

được gọi là hàm phân phối của bnn X.
Định nghĩa 1.7. Bnn X được gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm mật
độ fX nếu

a

FX (a) = P[X < a] =

fX (x)dx,

∀a ∈ R.

−∞

1.1.3

Kì vọng của bnn có phân phối liên tục tuyệt đối

Định lý 1.1. Giả sử bnn X có hàm mật độ f và h : R → R là một hàm Borel. Khi
đó nếu E(|h(X)|) < ∞ hoặc h là không âm thì
E(h(X)) =
1.1.4

h(x)f (x)dx.

Phân phối chuẩn

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn N (a, σ 2 ) nếu hàm mật độ của
X xác định bởi
f (x) =

1 − (x−a)2 2
e 2σ .
2πσ 2

Nếu X có phân phối chuẩn N (a, σ 2 ) thì

X−a

σ

có phân phối chuẩn N (0, 1).

Nếu X có phân phối chuẩn N (a1 , σ12 ) và Y có phân phối chuẩn N (a2 , σ22 ) thì ta
có mX + nY có phân phối chuẩn (ma1 + na2 , m2 σ12 + n2 σ22 ).
Vecto ngẫu nhiên: X = (X1 , X2 , X3 , ...., Xn ) được gọi là vecto ngẫu nhiên Gauss
nếu tồn tại : A ∈ Rn và B ∈ Rn.m đồng thời Z1 , Z2 , ...., Zm là các biến ngẫu nhiên


6

độc lập có phân phối chuẩn tắc N (0, 1) sao cho
m

Xk = A k +

Bi,k Zk

∀k = 1, ..., n.

i=1
m

Bk2i

Ta có Xk ∼ N Ak ,

vì E(Xk ) = Ak và DXk =

m
i=1

Bk2i .

k=1

1.2

Quá trình ngẫu nhiên

1.2.1

Lọc và quá trình ngẫu nhiên tương thích

Cho (Ω, F, P) là không gian xác suất
Định nghĩa 1.8.
• Họ {Ft }t

0

các σ-đại số con của F gọi là một lọc nếu Ft ⊂ Fs với mọi

• Lọc {Ft }t

0

được gọi là liên tục phải nếu Ft =

• Lọc {Ft }t

0

được gọi là thỏa mãn điều kiện thông thường nếu nó là liên tục

s

t

0.
s>t

Fs với mọi t

0.

phải và F0 chứa tất cả các tập A ⊂ Ω sao cho A ⊂ B ∈ F và P(B) = 0.
Từ đây nếu không có chú thích gì đặc biệt, chúng ta luôn xét không gian xác
suất đầy đủ (Ω, F, P) và lọc {Ft }t

0

thỏa mãn điều kiện thông thường.

Định nghĩa 1.9. Họ {Xt }t∈I nhận giá trị trên Rd được gọi là một quá trình ngẫu
nhiên (qtnn) với tập chỉ số I và không gian trạng thái Rd . Tập chỉ số I có thể là nửa
đường thẳng thực R+ = [0, ∞) hoặc đoạn [a, b] hoặc tập hợp các số nguyên không
âm.
Khi I là (tập con của) tập các số nguyên dương thì {Xt }t∈I được gọi là quá trình
ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, còn khi I là tập (con của) R+ thì {Xt }t∈I được gọi

là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục. Với mỗi thời điểm cố định t ∈ I, ánh
xạ
Xt : Ω −→ Rd , ω −→ Xt (ω)


7

là một biến ngẫu nhiên và với mỗi ω ∈ Ω ta có hàm
X(ω) : I −→ Rd , t −→ Xt (ω) = X(t, ω)
được gọi là một quỹ đạo của quá trình X ứng với ω.
Sau đây ta nêu một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên {Xt }t∈I .
Định nghĩa 1.10.
• Quá trình {Xt }t

0

được gọi là liên tục (liên tục phải, liên tục trái) nếu với hầu

hết ω ∈ Ω, hàm t −→ Xt (ω) là liên tục (liên tục phải, liên tục trái) trên đoạn
[0, ∞).
• Cadlag (tức liên tục phải và có giới hạn trái) nếu nó là một hàm liên tục phải
và với hầu hết ω ∈ Ω thì giới hạn trái lims→t Xs (ω) tồn tại và hữu hạn với mọi
t > 0.
• Quá trình {Xt }t

0

được gọi là thích nghi nếu Xt là Ft -đo được.

• Quá trình ngẫu nhiên {Yt }t

Yt ) = 1 với mọi t

0

0

nếu P(Xt =

0.

• Hai quá trình ngẫu nhiên {Xt }t
P(Xt = Yt với mọi t
1.2.2

được gọi là bản sao của {Xt }t

0

và {Yt }t

0

được gọi là bất khả phân biệt nếu

0) = 1.

Thời điểm dừng

Định nghĩa 1.11. Biến ngẫu nhiên T : Ω → [0, ∞) được gọi là thời điểm dừng nếu
với mọi t, biến cố {T

t} ∈ Ft . T được gọi là thời điểm dừng hữu hạn nếu T < ∞.

T được gọi là thời điểm dừng bị chặn nếu tồn tại K ∈ [0, ∞) sao cho T
Với mỗi quá trình ngẫu nhiên {Xt }t

0

K hcc.

và thời điểm dừng T , ta kí hiệu XT (ω) =

XT (ω) (ω).
Mệnh đề 1.2. Giả sử lọc {Ft }t

0

thỏa mãn điều kiện thông thường. Khi đó

1. T là thời điểm dừng khi và chỉ khi {T < t} ∈ Ft với mọi t.
2. Nếu T = t h.c.c thì T là thời điểm dừng.
3. Nếu S và T là hai thời điểm dừng thì S ∧ T, S ∨ T cũng là các thời điểm dừng.


8

4. Nếu (Tn )n 1 là dãy các thời điểm dừng thì supn Tn và infn Tn cũng là các thời điểm
dừng.
5. Nếu s

0 và S là thời điểm dừng thì T = S + s cũng là thời điểm dừng.

Mệnh đề 1.3. Giả sử T là thời điểm dừng hữu hạn, đặt
Tn (w) = (k + 1)/2n nếu k/2n
Khi đó (Tn )n

1

T (w) < (k + 1)/2n .

là dãy thời điểm dừng hội tụ hầu chắc chắn đến T . Dãy (Tn ) được

gọi là dãy xấp xỉ rời rạc của T .
Với mỗi tập Borel A, đặt
TA = inf{t > 0 : Xt ∈ A}.
Mệnh đề 1.4. Giả sử lọc (Ft ) thỏa mãn điều kiện thông thường và quá trình ngẫu
nhiên (Xt ) có quĩ đạo liên tục. Khi đó:
1. Nếu A là tập mở thì TA là thời điểm dừng.
2. Nếu A là tập đóng thì TA cũng là thời điểm dừng.
Với mỗi thời điểm dừng T ta đặt:
FT = {A ∈ F : A ∩ {T

t} ∈ Ft với mọi t > 0}.

FT là σ-đại số gồm các sự kiện xảy ra cho đến thời điểm T .
Mệnh đề 1.5. Giả sử lọc (Ft ) thỏa mãn điều kiện thông thường.
1. FT là σ-đại số.
2. Nếu S

T thì FS ⊂ FT .

3. Đặt FT + = ∩ε>0 FT +ε . Khi đó FT + = FT .
4. Nếu XT có quĩ đạo liên tục phải thì XT là FT -đo được.


9

1.3
1.3.1

Martingale
Định nghĩa martingale

Giả sử (Ft ) là một lọc, không nhất thiết phải thỏa mãn điều kiện thông thường.
Định nghĩa 1.12. Quá trình ngẫu nhiên (Mt )t

0

được gọi là một martingale thời

gian liên tục ứng với lọc (Ft ) và độ đo xác suất P nếu:
1. E[|Mt |] < ∞ với mọi t;
2. Mt là Ft -đo được với mọi t;
3. E[Mt |Fs ] = Ms hcc với mọi t > s.
Nếu điều kiện thứ ba được thay bởi E[Mt |Fs ]

Ms hcc với mọi t > s thì (Mt ) được

gọi là martingale dưới. (Mt ) được gọi là martingale trên nếu (−Mt ) là martingale
dưới.

Ví dụ 1.3.1. Giả sử X là một bnn khả tích, (Ft ) là một lọc. Đặt Xt = E[X|Ft ].
Khi đó (Xt ) là một martingale và được gọi là martingale chính qui.
1.3.2

Một số bất đẳng thức cho dãy martingale

Thời gian rời rạc

Định lý 1.2. Giả sử (Xn ) là martingale dưới. Khi đó với mọi a > 0 và N ∈ N,
i) aP(max Xn

a)

ii) aP(min Xn

−a)

n N

n N

iii) aP(max |Xn |

E[|XN |; max |Xn |

a)

n N

n N

a]

E(|XN |),

E(|X0 | + |XN |),
2E(|XN | + |X0 |).

Định lý 1.3. Nếu p > 1 và X là martingale hoặc martingale dưới không âm thỏa
mãn E[|Xi |p ] < ∞ với mọi i

N . Khi đó:

i) P(max |Xn |
n N

ii) E[| max |Xn |p ]
n N

a)

a−p E(|XN |p ),
p
p−1

p

E[|XN |p ].

10
Thời gian liên tục

Định lý 1.4. Giả sử (Mt ) là martingale hoặc là martingale dưới không âm có quĩ
đạo liên tục phải và có giới hạn trái. Khi đó:
1. Với mọi a > 0,
P(sup |Ms |

a)

s t

E[|Mt |]/a.

2. Nếu 1 < p < ∞ thì
p
p−1

E[sup |Ms |p ]
s t

1.4

p

E[|Mt |p ].

Chuyển động Brown

Định nghĩa 1.13. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất với lọc (Ft )t 0 . Qtnn

(Bt )t

0

được gọi là một chuyển động Brown ứng với lọc (Ft )t

0

nếu:

1. B0 = 0;
2. B liên tục;
3. Bt − Bs độc lập với Fs với mọi t

s

0;

4. Bt − Bs có phân phối chuẩn N (0, t − s).
Định nghĩa 1.14. Giả sử (Bt1 ), . . . , (Btn ) là n chuyển động Brown độc lập. Khi đó
B = ((Bt1 , . . . , Btn )T , t

1.5
1.5.1

0) là một chuyển động Brown n chiều.

Tích phân ngẫu nhiên Itô
Tich phân ngẫu nhiên trên không gian M2 ([a, b])

Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất với lọc (Ft )t

0

thỏa mãn điều kiện thông

thường. Giả sử (Bt , Ft ) là một chuyển động Brown.
Định nghĩa 1.15. Giả sử 0
các quá trình f = (ft )a

t b

a < b < ∞. Kí hiệu M2 ([a, b]) là không gian tất cả

tương thích với lọc (Ft ) sao cho
b

||f ||2a,b

|f (s)|2 ds < ∞.

=E
a


11

Ta đồng nhất f với f trong M2 ([a, b]) nếu ||f − f ||a,b = 0.
Định nghĩa 1.16. Qtnn g = (gt )a

được gọi là quá trình đơn giản nếu tồn tại

t b

một phân hoạch a = t0 < t1 < . . . < tk = b của đoạn [a, b] và các bnn bị chặn
ξi , 0

k − 1, sao cho ξi là Fti -đo được và

i

k−1

g(t) = ξ0 I[t0 ,t1 ] (t) +

ξi I(ti ,ti+1 ] (t).

(1.1)

i=1

Ta kí hiệu M0 ([a, b]) là tập tất cả các quá trình đơn giản.
Định nghĩa 1.17. Giả sử g là qtnn đơn giản xác định bởi (1.1). Tích phân ngẫu
nhiên Itô của g đối với chuyển động Brown B trên đoạn [a, b] là
k−1

b

ξi (Bti+1 − Bti ).

g(t)dBt =
a

(1.2)

i=0

Định nghĩa 1.18. Giả sử f ∈ M2 ([a, b]). Tích phân ngẫu nhiên Itô của f đối với
chuyển động Brown B được xác định bởi
b

b
2

f (t)dBt = L − lim

n→∞

a

gn (t)dBt ,

(1.3)

a

trong đó (gn ) là dãy quá trình đơn giản thỏa mãn
b

|f (t) − gn (t)|2 dt = 0.

lim E

n→∞

a

Định lý 1.5. Giả sử f, g ∈ M2 ([a, b]) và α, β ∈ R. Khi đó
1.

b
a

2. E
3. E
4.

f (t)dBt là Fb -đo được;
b
a

f (t)dBt = 0;

b
a

2

f (t)dBt

b
(αf (t)
a

=E

b
a

|f (t)|2 dt;

+ βg(t))dBt = α

b
a

f (t)dBt + β

b
a

g(t)dBt .

(1.4)


12

1.5.2

Tích phân ngẫu nhiên trên không gian L2 ([a, b])

Định nghĩa 1.19. Giả sử 0
các quá trình f = (ft )a

t b

∞. Kí hiệu L2 ([a, b]) là không gian tất cả

a
tương thích với lọc (Ft ) sao cho
b

|f (s)|2 ds < ∞.
a

Dễ thấy M2 ([a, b]) ⊂ L2 ([a, b]), ta sẽ tìm cách mở rộng tích phân ngẫu nhiên từ
không gian M2 ([a, b]) lên không gian L2 ([a, b]).
Giả sử f ∈ L2 (R+ ). Với mỗi n ∈ N xét thời điểm dừng
t

τn = n ∧ inf t

|f (s)|2 ds

0:

n .

0

Ta có τn ↑ ∞hcc. Hơn nữa, vì
∞

|f (s)|2 I2[0,τn ] (s)ds

E

n,

0

nên quá trình (f (t)I[0,τn ] (t))t

0

∈ M2 (R+ ). Do đó tích phân ngẫu nhiên
t

In (t) =

f (s)I[0,τn ] (s)dBs
0

xác định với mọi t

0. Hơn nữa với mọi 1

n

m và t

t∧τn

Im (t ∧ τn ) =

0, ta có

t

f (s)I[0,τm ] (s)dBs =
0

f (s)I[0,τm ] (s)I[0,τn ] (s)dBs
0

t

=

f (s)I[0,τn ] (s)dBs = In (t).
0

Vậy Im (t) = In (t) với mọi t ∈ [0, τn ]. Do đó ta có thể xác định quá trình tích phân
(It )t

0

bởi I(t) = In (t) trên đoạn t ∈ [0, τn ].

13

1.6

Công thức vi phân Itô

Kí hiệu L1 là tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên tương thích (Ft )t

0

thỏa mãn

T

|f (s)|ds < ∞ hcc với mọi T > 0.
0

Định nghĩa 1.20. Quá trình Itô một chiều là quá trình tương thích liên tục x(t)
có dạng

t

x(t) = x(0) +

t

f (s)ds +
0

g(s)dBs ,
0

trong đó f ∈ L1 (R+ , R) và g ∈ L2 (R+ , R). Ta nói rằng x(t) có vi phân ngẫu nhiên
dx(t) cho bởi
dx(t) = f (t)dt + g(t)dBt .

(1.5)

Kí hiệu C 2,1 (R × R+ ; R) là họ các hàm giá trị thực F (x, t) xác định trên Rd × R+
sao cho chúng khả vi liên tục hai lần theo biến x và một lần theo biến t. Ta đặt
∂ 2F
∂F
và Fxx =
.
Fx =
∂x
∂x2
Định nghĩa 1.21 (Công thức Itô một chiều). Cho x(t) là quá trình Itô với vi phân
ngẫu nhiên được xác định bởi (1.5). Giả sử F ∈ C 2,1 (R × R+ ; R). Khi đó, F (x(t), t)
cũng là một quá trình Itô với vi phân ngẫu nhiên cho bởi
1
dF (x(t), t) = Ft (x(t), t) + Fx (x(t), t))f (t) + Fxx (x(t), t)g 2 (t) dt
2
+ Fx (x(t), t)g(t)dBt

1.7

hcc.

(1.6)

Phương trình vi phân ngẫu nhiên

1.7.1

Định nghĩa

• Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất đầy đủ với họ lọc {Ft }t

0

thỏa mãn

điều kiện thông thường.
• B(t) = (B1 (t), B2 (t), . . . , Bm (t))T , t

0 là chuyển động Brown m chiều xác

định trên không gian (Ω, F, P), Bt là Ft -đo được.


14

• Giả sử 0

T < ∞ và ξ là véctơ ngẫu nhiên, Ft0 - đo được, nhận giá trị

t0

trong Rd và E[|ξ|2 ] < ∞.
• Giả sử
f : Rd × [0, T ] −→ Rd ,

g : Rd × [0, T ] −→ Rd×m ,

là các hàm Borel đo được.
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên d chiều


dx(t) = f (x(t), t)dt + g(x(t), t)dB(t), 0

t0

t

T,

(1.7)


x(t0 ) = ξ.
Phương trình trên có thể viết dưới dạng tích phân
t

x(t) = ξ +

t

f (x(s), s)ds +

g(x(s), s)dB(s).

t0

(1.8)

t0

Định nghĩa 1.22. Quá trình ngẫu nhiên {x(t)}t0 ≤t≤T nhận giá trị trên Rd được gọi
là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.8) nếu thỏa mãn:
1. x(t) liên tục và là Ft -đo được;
2. f (x(t), t) ∈ L1 ([t0 , T ], Rd ) và g(x(t), t) ∈ L2 ([t0 , T ], Rd×m ) tức là:
t

t

|g(x(s), s)|2 ds < ∞ hcc;

|f (x(s), s)|ds < ∞ và
t0

t0

3. x(t) thỏa mãn phương trình (1.8).
Chú ý 1.1. Nếu ta kí hiệu nghiệm của phương trình (1.7) bởi x(t; t0 , ξ) thì từ phương
trình (1.8) ta có với mọi s ∈ [t0 , T ],
t

x(t) = x(s) +

t

f (x(u), u)du +
s

g(x(u), u)dB(u) với s

t

T.

(1.9)

s

Mặt khác, (1.9) lại là một phương trình vi phân ngẫu nhiên trên đoạn [s, T ] với
giá trị ban đầu là: x(s) = x(s; t0 , ξ). Kí hiệu nghiệm của phương trình (1.9) bởi
x(t; s, x(s; t0 , ξ)). Khi đó, nếu phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.7) và (1.9) có


15

nghiệm duy nhất thì hai nghiệm này phải trùng nhau trên đoạn [s, T ], tức là:
x(t; t0 , ξ) = x(t; s, x(s; t0 , ξ)),

t0

s

t

T.

(1.10)

Tính chất (1.10) được gọi là tính chất dòng hoặc tính chất nửa nhóm của nghiệm.
1.7.2

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lý 1.6. Giả sử tồn tại hai hằng số dương K và K sao cho
(i) (Điều kiện Lipschitz) Với mọi x, y ∈ Rd và t ∈ [t0 , T ]
|f (x, t) − f (y, t)|2 ∨ |g(x, t) − g(y, t)|2 ≤ K|x − y|2 .

(1.11)

(ii) (Điều kiện tăng tuyến tính) Với mọi x, y ∈ Rd × [t0 , T ]
|f (x, t)|2 ∨ |g(x, t)|2 ≤ K(1 + |x|2 ).

(1.12)

Khi đó phương trình vi phân (1.7) có nghiệm duy nhất thỏa mãn:
T

x(s)2 ds < ∞,

E

(1.13)

t0

trong đó tính "duy nhất" hiểu theo nghĩa: Nếu x(t) cũng là nghiệm của phương trình
(1.7) thì:
P [x(t) = x(t), ∀t ∈ [t0 , T ]] = 1.


16

Chương 2

Quá trình khuếch tán dạng affine
2.1

Quá trình Ornstein-Uhlenbeck

Quá trình Ornstein-Uhlenbeck (mô phỏng chuyển động của hạt trong môi trường
chất lỏng hoặc khí) có lẽ là ví dụ đơn giản nhất về quá trình khuếch tán dạng affine.
Giả sử X x là nghiệm (duy nhất) của phương trình vi phân ngẫu nhiên (PTVPNN)
t

Xtx = x +

(a − kXsx )ds + σWt ,

x ∈ R, t ≥ 0,

(2.1)

0

với a, k và σ ∈ R. Các hệ số của PTVPNN này là affine và do đó chúng là liên tục
Lipschitz, điều này đảm bảo rằng X x tồn tại và duy nhất. Tuy nhiên trong trường
hợp này, sự tồn tại và tính duy nhất của X x có thể được chứng minh một cách trực
tiếp như sau. Ta đặt Yt = ekt Xtx và theo công thức vi phân Itô ta có
dYt = aekt dt + σekt dWt ,
và từ đó rút ra được
t

Xtx

−kt

=e

t
ks

(x + a

eks dWs )

e ds + σ
0

0
1

= xe−kt + aζk (t) + σ

e−k(t−s)dWs ,
0


17

với ζk (t) =

t −ks
e ds
0

=



 1 (1 − e−kt )
k

nếu k = 0,


t

nếu k = 0.

Do đó, ta có X x là một quá trình

Gauss và phân phối của nó được xác định hoàn toàn thông qua giá trị trung bình
E[Xtx ] = xe−kt + aζk (t) và phương sai của nó được xác định bởi
t

s

e−k(t−u) dWu

Cov(Xsx , Xtx ) = σ 2 E
0

e−k(s−u) dWu
0

s

= σ 2 e−k(t+s)

e2ku du = σ 2 e−k(t−s) ζ2k (s), với mọi t ≥ s ≥ 0.
0

Đặc biệt, phân phối của Xtx là N (e−kt x + aζk (t), σ 2 ζ2k (t)) và ta có
∀u ∈ C, E[exp(uXtx )] = exp e−kt ux + aζk (t)u +

σ 2 u2
ζ2k (t) .
2

(2.2)
1

t→+∞ k

Khi k > 0, thì quá trình Ornstein-Uhlenbeck là ergodic. Thật vậy ta có ζk (t) −→
và do đó
a
σ 2 u2
u+
.
k
4k

E[exp(uXtx )] → exp
t→+∞

2

Do đó, Xtx hội tụ theo phân phối đến N ( ks , σ2k ) khi t → +∞. Bây giờ ta xác định
phân phối đồng thời của vecto ngẫu nhiên (Xtx ,

t
0

Xtx ds) thông qua biến đổi Laplace

của nó. Bởi vì vecto này là vecto Gauss nên phân phối của nó được xác định thông
qua kì vọng và hiệp phương sai của nó. Ta có
t

t

Xsx ds = xζk (t) + a

E
0
t

Cov Xtx ,

t

Cov(Xsx , Xtx )ds =

Xsx ds =
0

0

t

t

Xsx ds

V ar
0

ζk (s)ds,
0

σ2

ζk (t)2 ,
2
t

s

Cov(Xtx , Xsx )duds

=2
0

0

=σ

2

ζk (s)2 ds,
0


18

và với u, v ∈ R,
t

Xsx ds

E exp(uXtx + v
0

t

= exp x[ue−kt + vζk (t)] + uaζk (t) + va

ζk (s)ds
0

σ2 2
u ζ2k (t) + uvζk (t)2 + v 2
2

+

t

ζk (s)2 ds

.

(2.3)

0

Chú ý rằng các tích phân trên có thể được tính toán một cách cụ thể như sau
t

ζk (s)ds =
0
t

0

1
(t − ζk (t)),
k

1
1
ζk (s)s ds = 2 (t − ζk (t)) − ζk (t2 ) với k = 0
k
2k
t
t2
và
ζk (s)ds = ,
2
0
t
3
t
ζk (s)2 ds = vik = 0.
3
0

2.2

Quá trình Cox-Ingersoll-Ross

2.2.1

Định nghĩa và sự tồn tại

(2.4)

Giả sử a ≥ 0, k ∈ R và σ > 0. Quá trình Cox-Ingersoll-Ross được xác định bởi
PTVPNN sau
t

t

(a − kXsx )ds +

Xxt = x +
0

σ

Xsx dWs ,

x ∈ R+ , t ≥ 0.

(2.5)

0

Khi k = 0 và σ = 2, quá trình này cũng được biết đến như quá trình Bessel bình
phương với số chiều a. Ở đây, ta loại trừ các trường hợp σ = 0 tương ứng với phương
trình vi phân tuyến tính thường có nghiệm Xtx = xe−kt + aζk (t). Chúng ta cũng
chú ý rằng khi σ < 0 ta cũng có thể đưa về dạng (2.5) với σ > 0, nếu chúng ta
thay thế chuyển động Brownian W bằng −W . Hệ số khuếch tán của phương trình

√
(2.5), h(x) = σ x không liên tục Lipschitz nhưng liên tục Holder với α = 12 (vì
√
√
| x − y| ≤ |x − y|). Tuy nhiên phương trình (2.5) vẫn có nghiệm duy nhất trên
(0, +∞)


19

Định lý 2.1. Tồn tại duy nhất một quá trình ngẫu nhiên liên tục, không âm X x
thỏa mãn phương trình (2.5)
Để chứng minh định lý, đầu tiên ta xét phương trình vi phân ngẫu nhiên sau với
x≥0

t

t

(a − kXs )ds +

Xt = x +

σ

|Xs |dWs ,

t ≥ 0.

(2.6)

0

0

Điều khác biệt duy nhất với phương trình (2.5) là hệ số khuếch tán được xác định
với mọi giá trị kể cả khi X âm. Trước tiên ta chứng minh tính duy nhất nghiệm cho
phương trình (2.6)
t
(a
0

˜ s |dWs là một nghiệm khác
˜ s )ds + t σ |X
− kX
0
˜ là bất khả phân biệt, tức là P(Xt = X
˜ t , ∀t ≥
của phương trình (2.6). Khi đó X và X

˜t = x +
Bổ đề 2.1. Giả sử X

0) = 1
Chứng minh. Trước tiên ta nhắc lại phương pháp xấp xỉ Yamada Watanabe. Đặt
bn = exp −

n(n+1)
2

Với mỗi n ≥ 1, do

suy ra bn = e−n bn−1 .
bn−1
(1/x)dx
bn

= n, tồn tại hàm liên tục gn : R → R với giá nằm

trong khoảng (bn , bn−1 ) sao cho
∀x ∈ R, 0 ≤ gn (x) ≤ 1x∈(bn ,bn−1 )

2
,
nx

và
gn (x)dx = 1.
R

Ta đặt Gn (x) =

x
0

gn (y)dy là nguyên hàm của gn . Khi đó
∀x ∈ R, 1x∈(bn−1 ,+∞) ≤ Gn (x) ≤ 1x∈(bn ,+∞) .

Cuối cùng ta đặt
|x|

ψn (x) =

Gn (y)dy.

(2.7)

0

Hàm ψn thỏa mãn |ψn (x)| ≤ |x|, |ψn (x)| ≤ 1, ψn khả vi liên tục đến cấp hai và
ψn (x) = gn (|x|). Ngoài ra áp dụng định lý hội tụ Lebesgue ta có limn→+∞ |ψn (x)| =