Chỉnh hóa một số bài toán ngược trong khoa học ứng dụng (1)

~

PHAN I
,

/

/

CAC BAI TOAN CAUCHY
CHO PHUdNG TRINM POISSON

Trong ph§n nay chung ta xet ba bai toan Cauchy cho phu'dng trmh
Poisson trong cac mien khac nhau cua R2 va R3. Cac mien nay l§n lu'<;:it
1ft
hlnh tron ddn vi ma, 111l'a
m~t phgng tren ma, lllIa khong gian tren ma. Bieu
"u

ki~n Cauchy g6m gia hi cua ham u va d<;\oham rhea hu'dng phap tuy€n en
o9
(d6i vdi bien cua mien) cho tren mQt ph<1nbien ma khac tr6ng cua mien
dang khao sat.
Cac bai roan nay thuQc lo<;\i"lien thong tin" nay sinh trong V~t ly Bia
duo Cac mien k€ tren la cac "ma hmh" khac nhau cua trai d5t.
MQt sO'k€t qua cua ph<1nnay du'<;:ic
cang b6 trong [1], [2], [3],[4].

1. BAI ToAN CAUCHY CRO PHUONG TRl~h POISSON TRONG
HINH TRON BON V+.
1. Bai tmin :

G<;>iD = {D={
x2+/S;1}

Tlln ham u thoa :

0<0
(1.1)'
(1.2)
(1.3)

0<0
(1.4)

~= f
trong D
u E C2(D)nC1( I»
u (ei6)

au
"

on'

ydi f

= uo(0)

(e'B)= U 1(0).,

,

I

cho tru'dc !rang D ~ UO,Ul

cho tru'oc tren
- 11 -

(0, a) , (0

~: - d~o ham thee hudng phap tuytn ngoai tren S =aD = {(x,y):~+l=l}
Ky hi~u r = {eiB:0 < B< a}
r= S \ Y

Ntu ta bitt

~: (eiB) =

v(e) ~ a ~e ~ 21t thl ta bitt di~u ki~n

Neumann tren S va bai toan tlm u thoa (1.1) voi di~u ki~n Neumann eho
tru'dcla mQt bai toan chllh, da dU<;1c
dua vao cae giao trmh phuong trmh d~o
ham rieng (xem [7], [15] ).

a. ~ e ~ 21t

,

= ~: (eiB)

Do v~y ta ch9n v(e)

2. Thie't hip phu'dmz trInh deh phan eua v

lam.in ham.

.

Trong ph~n nay chung ta dung phuong phap Green d€ dua vi~e tlm
nghi~m u cua bai toan Cauchy k€ tren v~ vi~c giai phuong trmh tich phan
Fredhohn lo~i mQt ddi vdi v.
Xet ham Green eua bai toan Neumann
trong hmh tron don vj

G(X,Y;;,11)

eho phuong trmh Laplace

=~41r'In[eX-q)2 +(Y-17)2]
+~

7t:'\7

7

7

In ex- P-?;- +(Y- P-17t

41r'
1
--Ine;
41r'

[

p4
2

]

(1.5)

7

+ 17-)

B~t M =M(x,y) ED.

Gqi M'

=M'(~,p-

.~)

p-

(voi p=

~X2

di€m d6i XU'ngvdi M qua phep nghjch dao cua vong tron don vj S .
B~t P

=p

(;,11) la diem ch<;1Y

+ y'

),13


I
r =IMP! = ~(x~)2 + (Y - '1)2

I

j~(~_~) +(.L,- '1)

r' = 1M'?!=

2

p~

~

P-

I
I

p= OM' = p

J

I

I

=r

pr'

(1.6)

2 ~

1

I

D~ thay

I

1

lieU

P(~,ll)

1

Khid6
G(X,Y;~,ll)

(1.7)

E S

rr'

= G(M,P) = 2;r In lOp!
=

J..-(
2n: G1 + Gz + G3)

(1.8)

d day
G1 = G1(M,p)

= In r = InJ(x-

~t+(y-

I(

12

(

j

+1 yz
',p

~-~

Gz =Gz(M',P)=Inr'=In,!1

~ \p

7]?
'\ 2
'

-

)

7]

(1.9)

= G3( 0, p) = InIOP! = In ~ ~2 + 7]z

G3

Trude het ta chU'ngminh
oG(.M,p)1
0n
Th~t v~y,

PES,

me

no

g<;>i }10 1a veetd

I

=0

(1.10)

PES

ddn v~ phap tuyen

ngoai d6i vdi

S ~i

= OP . Ta e6
......--....

= cos(lvlP,OP) = cosOMP = 1+r2 - p2

oG11

0 n Is

r

r

2r2
~

oGz = cosUvl'P,OP)= cosOPM' = l+r'~-p'on IS
r'
r'
2r'z
I

- 13 -

~

(1.11)